上海市闵行区2021届初三一模数学试卷 2021.01 一. 选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）
1. 下列函数中，是二次函数的是（ ）
A. 223y x x
=-- B. 22(1)y x x =--+ C. 21129y x x =+ D. 2y ax bx c =++
2. 已知在Rt △ABC 中，90C ∠=?，B β∠=，5AB =，那么AC 的长为（ ）
A. 5cos β
B. 5sin β
C. 5cos β
D. 5sin β
3. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y ax bx c =++
图像经过点(0,0)O ，那么根据图像，下列判断正确的是（ ）
A. 0a <
B. 0b >
C. 0ab >
D. 0c =
4. 以下说法错误的是（ ）
A. 如果0ka =，那么0a =
B. 如果2a b =-，那么||2||a b =
C. 如果23
a b =（b 为非零向量），那么a ∥b D. 如果0a 是与非零向量a 同方向的单位向量，那么0||a a a =
5. 已知A 与B 的半径分别是6和8，圆心距2AB =，那么A 与B 的位置关系 是（ ）
A. 相交
B. 内切
C. 外切
D. 内含
6. 古希腊艺术家发现当人的头顶至肚脐的长度（上半身的长度）与肚脐至足底的长度（下半身的长度）的比值为“黄金分割数”时，人体的身材是最优美的，一位女士身高为154cm ，她上半身的长度为62cm ，为了使自己的身材足够显得更为优美，计划选择一双合适的高跟鞋，使自己的下半身长度增加，你认为选择鞋跟高为多少厘米的高跟鞋最佳？（ ）
A. 4cm
B. 6cm
C. 8cm
D. 10cm
二. 填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）
7. 如果23a b =（0b ≠），那么a b
= 8. 化简：12(3)33
a b b -++=
9. 抛物线23y x x =--在对称轴的右侧部分是 的（填“上升”或“下降”）
10. 将抛物线22y x x =+向下平移1
个单位，那么所得抛物线与y 轴的交点的坐标为
11. 已知两个相似三角形的相似比为4:9，那么这两个三角形的周长之比为
12. △ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且DE ∥BC ，如果
25DE BC =，那么AE EC =
13. 在直角坐标平面内有一点(12,5)A ，点A 与原点O 的连线与x 轴的正半轴的夹角为θ， 那么cos θ=
14. 在港口A 的南偏东52°方向有一座小岛B ，那么从小岛B 观察港口A 的方向是
15. 正六边形的边心距与半径的比值为 （结果保留根号）
16. 如图，在△ABC 中，2AB AC =，点D 在边AB 上，且ACD B ∠=∠，那么ACD ABC S S =
17. 如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=?，5AB =，3BC =，点P 在边AC 上，
P 的 半径为1，如果P 与边BC 和边AB 都没有公共点，那么线段PC 长的取值范围是
18. 如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=?，3AB =，1tan 2
B =，将△AB
C 绕着点A 顺时 针旋转后，点B 恰好落在射线CA 上的点
D 处，点C 落在点
E 处，射线DE 与边AB 相交于 点
F ，那么BF =
三. 解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14=78分）
19. 计算：24sin 452cos60cot30tan 601
??-?+?-.
20. 如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 为OC 的中点，联结BE 并延长，交边CD 于点F ，设BA a =，BC b =.
（1）填空：向量AE = ；
（2）填空：向量BF = ，并在图中画出向量BF 在向量BA 和BC 方向上的分向量.（注：本题结果用含向量a 、b 的式子表示，画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）
21. 如图，O 是△ABC 的外接圆，AB 长为4，AB AC =，联结CO 并延长，交边AB 于点D ，交AB 于点E ，且E 为AB 的中点，求：
（1）边BC 的长；（2）O 的半径.
22. 为了监控大桥下坡路车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速，如图，电子眼位于点P 处，离地面的铅锤高度PQ 为9米，区间测速的起点为下引桥坡面点A 处，此时电子眼的俯角为30°，区间测速的中点为下引桥坡脚点B 处，此时电子眼的俯角为60°（A 、B 、P 、Q 四点在同一平面）.
（1）求路段BQ 的长（结果保留根号）；
（2）当下引桥坡度1:23i =时，求电子跟区间测速路段AB 的长（结果保留根号）.
23. 如图，点E 为△ABC 边BC 上一点，过点C 作CD BA ⊥，交BA 的延长线于点D ，交EA 的延长线于点F ，且AF CD BC AD ?=?.
（1）求证：AE BC ⊥；
（2）如果BE CE =，求证：22BC BD AC =?.
24．在平面直角坐标系xOy 中，如果抛物线2y ax bx c =++上存在一点A ，使点A 关于坐标原点O 的对称点A '也在这条抛物线上，那么我们把这条抛物线叫做回归抛物线，点A 叫做这条抛物线的回归点.
（1）已知点M 在抛物线224y x x =-++上，且点M 的横坐标为2，试判断抛物线224y x x =-++是否为回归抛物线，并说明理由；
（2）已知点C 为回归抛物线22y x x c =--+的顶点，如果点C 是这条抛物线的回归点，求这条抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，所求得的抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，联结CO 并延长，交该抛物线于点E ，点F 是射线CD 上一点，如果CFE DEC ∠=∠，求点F 的坐标.
25. 如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，点E 在边AB 上（点E 与端点A 、B 不重合），联结DE ，过点D 作DF DE ⊥，交BC 的延长线于点F ，联结EF ，与对角线AC 、边CD 分别交于点G 、H ，设AE x =，DH y =.
（1）求证：ADE ∽CDF ，并求EFD ∠的正切值；
（2）求y 关于x 函数解析式，并写出该函数的定义域；
（3）联结BG ，当BGE 与DEH 相似时，求x 的值.
参考答案
一. 选择题
1. C
2. B
3. D
4. A
5. B
6. C
二. 填空题 7.
32
8. a b -+ 9. 下降 10. (0,1)- 11. 4:9 12. 23 13. 1213 14. 北偏西52°
15.
16. 14 17. 713CP << 18. 3-
三. 解答题
19. 2.
20.（1）3344AE a b =-+；（2）13BF a b =+，画图略.
21.（1）4BC =；（2）r =
22.（1）BQ =2）AB =.
23.（1）证明略；（2）证明略.
24.（1）是回归抛物线；（2）221y x x =--+；（3）(1,8)F --.
25.（1）1tan 2EFD ∠=；（2）222(02)21x y x x +=<<+；（3）32
x =.