导数各种题型方法总结
请同学们高度重视： 首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2 变更主元；3 根分布；4 判别式法 5、二次函数区间最值求法： （1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在 其次， 分析每种题型的本质， 你会发现大部分都在解决 “不等式恒成立问题” 以及“充分应用数形结合思想” ，创建不等关系求出取值范围。b5E2RGbCAP 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；
1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令 f ' ( x) ? 0 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种：
第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元） ；
（请同学们参看 2012 省统测 2） 例 1： 设函数 y ? f ( x) 在区间 D 上的导数为 f ?( x ) ， f ?( x ) 在区间 D 上的导数为 g ( x) ， 若在区间 D 上，
g ( x) ? 0 恒 成 立 ， 则 称 函 数 y ? f ( x ) 在 区 间 D 上 为 “ 凸 函 数 ” ，已知实数 m 是常数，
f ( x) ?
x 4 mx3 3x 2 ? ? p1EanqFDPw 12 6 2 （1）若 y ? f ( x) 在区间 ? 0,3? 上为“凸函数” ，求 m 的取值范围；
（2）若对满足 m ? 2 的任何一个实数 m ，函数 f ( x ) 在区间 ? a, b ? 上都为“凸函数” ，求 b ? a 的最大
值.
x 4 mx3 3x 2 x3 mx 2 ? ? ? ? 3x 解:由函数 f ( x) ? 得 f ?( x) ? 12 6 2 3 2 ? g ( x) ? x2 ? mx ? 3
（1）
y ? f ( x) 在区间 ?0,3? 上为“凸函数” ，
2
则 ? g ( x) ? x ? mx ? 3 ? 0 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于 gmax ( x) ? 0
1 / 19
? 0 ?? ? 3 0 ?g( 0 ) ?? ?m?2 ? ? 0 ? ? 9 m3 ? ?3 0 ?g( 3 )
解法二：分离变量法：
∵ 当 x ? 0 时, ? g ( x) ? x2 ? mx ? 3 ? ?3 ? 0 恒成立, 当 0 ? x ? 3 时, g ( x) ? x2 ? mx ? 3 ? 0 恒成立
x2 ? 3 3 ? x ? 的最大值（ 0 ? x ? 3 ）恒成立， x x 3 而 h( x ) ? x ? （ 0 ? x ? 3 ）是增函数，则 hmax ( x) ? h(3) ? 2 x ?m ? 2
等价于 m ? (2)∵当 m ? 2 时 f ( x ) 在区间 ? a, b ? 上都为“凸函数” 则等价于当 m ? 2 时 g ( x) ? x2 ? mx ? 3 ? 0 恒成立
变更主元法
再等价于 F (m) ? mx ? x2 ? 3 ? 0 在 m ? 2 恒成立（视为关于
m 的一次函数最值问题）
?? x2? x 2 ? ?3 0 ? 0 ? ? F (? 2 ) ?? ?? ? ?1 ? x ? 1 2 ?2 x ? x ? 3 ? 0 ? F (2) ? 0 ? ?b ? a ? 2
-2 2
请同学们参看 2012 第三次周考： 例 2：设函数 f ( x) ? ?
1 3 x ? 2ax 2 ? 3a 2 x ? b(0 ? a ? 1, b ? R) 3
（Ⅰ）求函数 f（x）的单调区间和极值； （Ⅱ）若对任意的 x ? [a ? 1, a ? 2], 不等式 f ?( x) ? a 恒成立，求 a 的取值范围.
（二次函数区间最值的例子）
解： （Ⅰ） f ?( x) ? ?x ? 4ax ? 3a ? ? ? x ? 3a ?? x ? a ?
2 2
0 ? a ?1
f ?( x)
a 3a a 3a
令 f ?( x) ? 0, 得 f ( x) 的单调递增区间为（a,3a） 令 f ?( x) ? 0, 得 f ( x) 的单调递减区间为（－ ? ，a）和（3a，+ ? ） 2 / 19
∴当 x=a 时， f ( x) 极小值= ?
3 3 a ? b; 4
当 x=3a 时， f ( x) 极大值=b.
2 2
（Ⅱ）由| f ?( x) |≤a，得：对任意的 x ? [a ? 1, a ? 2], ?a ? x ? 4ax ? 3a ? a 恒成立① 则 等 价 于 g ( x) 这 个 二 次 函 数 ?
? g max ( x) ? a ? g min ( x) ? ?a
g ( x) ? x2 ? 4ax ? 3a2 的 对 称 轴 x ? 2a
0 ? a ? 1,
a ? 1 ? a ? a ? 2a （放缩法）
即定义域在对称轴的右边， g ( x) 这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。
g ( x) ? x2 ? 4ax ? 3a2在[a ? 1, a ? 2] 上是增函数.
∴
g ( x)max ? g (a ? 2) ? ?2a ? 1.
?a ? 1,
x ? 2a
a ? 2?
g ( x)min ? g (a ? 1) ? ?4a ? 4.
于是，对任意 x ? [a ? 1, a ? 2] ，不等式①恒成立，等价于
? g (a ? 2) ? ?4a ? 4 ? a, 4 解得 ? a ? 1. ? 5 ? g (a ? 1) ? ?2a ? 1 ? ?a
又 0 ? a ? 1, ∴
4 ? a ? 1. 5
点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系 第三种：构造函数求最值 题型特征： f ( x) ? g ( x) 恒成立 ? h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 0 恒成立；从而转化为第一、二种题型
例 3；已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 图象上一点 P(1, b) 处的切线斜率为 ?3 ，
t ?6 2 x ? (t ? 1) x ? 3 (t ? 0) 2 （Ⅰ）求 a , b 的值； （Ⅱ）当 x ? [?1, 4] 时，求 f ( x ) 的值域； （Ⅲ）当 x ? [1, 4] 时，不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立，求实数 t 的取值范围。 g ( x) ? x 3 ?
? f / (1) ? ?3 ?a ? ?3 解： （Ⅰ） f ( x) ? 3x ? 2ax ∴ ? ， 解得 ? ?b ? ?2 ?b ? 1 ? a （Ⅱ）由（Ⅰ）知， f ( x) 在 [?1,0] 上单调递增，在 [0, 2] 上单调递减，在 [2, 4] 上单调递减 又 f (?1) ? ?4, f (0) ? 0, f (2) ? ?4, f (4) ? 16 ∴ f ( x ) 的值域是 [ ?4,16] t 2 x ? [1, 4] （Ⅲ）令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ? x ? (t ? 1) x ? 3 2 2 思路 1：要使 f ( x) ? g ( x) 恒成立，只需 h( x) ? 0 ，即 t ( x ? 2x) ? 2 x ? 6 分离变量
/ 2
思路 2：二次函数区间最值 3 / 19
二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围 解法 1：转化为 f ' ( x) ? 0或f ' ( x) ? 0 在给定区间上恒成立， 回归基础题型 解法 2：利用子区间（即子集思想） ；首先求出函数的单调增或减区间，然后让 所给区间是求的增或减区间的子集； DXDiTa9E3d
做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b） ” ，要弄清楚两 句话的区别：前者是后者的子集 RTCrpUDGiT
例 4：已知 a ? R ，函数 f ( x) ?
1 3 a ?1 2 x ? x ? (4a ? 1) x ． 12 2
（Ⅰ）如果函数 g ( x) ? f ?( x) 是偶函数，求 f ( x) 的极大值和极小值； （Ⅱ）如果函数 f ( x) 是 (??,
解：
? ?) 上的单调函数，求 a 的取值范围．
f ?( x) ?
1 2 x ? (a ? 1) x ? (4a ? 1) . 4
此时
（Ⅰ）∵
f ?( x ) 是偶函数，∴ a ? ?1 .
f ( x) ?
1 3 1 x ? 3 x ， f ?( x) ? x 2 ? 3 ， 12 4
令
f ?( x) ? 0 ，解得： x ? ?2 3 .
列表如下：
x
f ?( x)
f ( x)
可知：
(－∞,－2 + 递增
3)
－2 0
3
(－ 2
3 ,2 3 )
－
2 0
3
(2
3 ,+∞)
+ 递增
极大值
递减
极小值
f ( x) 的极大值为 f (?2 3) ? 4 3 ，
f ( x) 的极小值为 f (2 3) ? ?4 3 .
（Ⅱ）∵函数
f ( x) 是 (??, ? ?) 上的单调函数，
∴
f ?( x) ?
1 2 x ? (a ? 1) x ? (4a ? 1) ? 0 ，在给定区间 R 上恒成立判别式法 4 1 2 2 则 ? ? ( a ? 1) ? 4 ? ? (4a ? 1) ? a ? 2a ? 0， 解得： 0 ? a ? 2 . 4
综上， a 的取值范围是 {a 0 ? a ? 2} .
例 5、已知函数 f ( x) ?
1 3 1 x ? (2 ? a) x 2 ? (1 ? a) x(a ? 0). 3 2
（I）求 f ( x ) 的单调区间； （II）若 f ( x ) 在[0，1]上单调递增，求 a 的取值范围。子集思想 4 / 19
（I） f ?( x) ? x2 ? (2 ? a) x ? 1 ? a ? ( x ? 1)( x ? 1 ? a). 1、 当a ? 0时, f ?( x) ? ( x ? 1)2 ? 0恒成立, 当且仅当 x ? ?1 时取“=”号， f ( x)在(??, ??) 单调递增。 2、 当a ? 0时,由f ?( x) ? 0, 得x1 ? ?1, x2 ? a ? 1, 且x1 ? x2 ,
f ?( x)
-1 a-1
, ( ? 1? ,? ) 单调增区间： (? ?, ?1 ) a , ? 1) 单调增区间： (? 1 a
（II）当
f ( x)在[0,1]上单调递增,
则 ?0 , 1 ? 是上述增区间的子集：
1、 a ? 0 时， f ( x)在(??, ??) 单调递增 符合题意 2、 ?0,1? ? ? a ?1, ??? ，? a ? 1 ? 0 综上，a 的取值范围是[0，1]。
?a ?1
三、题型二：根的个数问题 题 1 函数 f(x)与 g(x)（或与 x 轴）的交点======即方程根的个数问题 解题步骤
第一步：画出两个图像即“穿线图” （即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减 再增”还是“先减后增再减” ；5PCzVD7HxA 第二步： 由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式 （组） ； 主要看极大值和极小值与 第三步：解不等式（组）即可； 例 6、已知函数 f ( x) ?
0 的关系；
1 3 (k ? 1) 2 1 x ? x ， g ( x) ? ? kx ，且 f ( x) 在区间 (2,??) 上为增函数． 3 2 3
（1） 求实数 k 的取值范围； （2） 若函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象有三个不同的交点，求实数 k 的取值范围．
2 解： （1）由题意 f ?( x) ? x ? (k ? 1) x ∵ f ( x) 在区间 (2,??) 上为增函数，
∴ f ?( x) ? x ? (k ? 1) x ? 0 在区间 (2,??) 上恒成立（分离变量法）
2
即 k ? 1 ? x 恒成立，又 x ? 2 ，∴ k ? 1 ? 2 ，故 k ? 1 ∴ k 的取值范围为 k ? 1
x 3 (k ? 1) 2 1 ? x ? kx ? ， 3 2 3 2 h?( x) ? x ? (k ? 1) x ? k ? ( x ? k )(x ? 1) 令 h ?( x) ? 0 得 x ? k 或 x ? 1 由（1）知 k ? 1 ， 2 ①当 k ? 1 时， h?( x) ? ( x ? 1) ? 0 ， h( x) 在 R 上递增，显然不合题意… ②当 k ? 1 时， h( x) ， h ?( x ) 随 x 的变化情况如下表： x (??, k ) (k ,1) (1,??) k 1 ? ? — h ?( x ) 0 0 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ h( x )
（2）设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 5 / 19
?
由于
k ?1 ? 0 ，欲使 f ( x) 与 g ( x) 的图象有三个不同的交点，即方程 h( x) ? 0 有三个不同的实根，故 2 ?k ? 1 k3 k2 1 ? ? ? 0 ，即 (k ? 1)(k 2 ? 2k ? 2) ? 0 ∴ ? 2 需? ，解得 k ? 1 ? 3 6 2 3 k ? 2 k ? 2 ? 0 ?
综上，所求 k 的取值范围为 k ? 1 ? 3 根的个数知道，部分根可求或已知。 例 7、已知函数 f ( x) ? ax ?
3
k3 k2 1 ? ? 6 2 3
k ?1 2
1 2 x ? 2x ? c 2
（1）若 x ? ?1 是 f ( x ) 的极值点且 f ( x ) 的图像过原点，求 f ( x ) 的极值；
1 2 bx ? x ? d ，在（1）的条件下，是否存在实数 b ，使得函数 g ( x) 的图像与函数 f ( x) 的 2 图像恒有含 x ? ?1 的三个不同交点？若存在，求出实数 b 的取值范围；否则说明理由。 jLBHrnAILg
（2）若 g ( x) ?
高 1考1 资1 源2网
解： （1）∵ f ( x) 的图像过原点，则 f (0) ? 0 ? c ? 0
f ?( x) ? 3ax2 ? x ? 2 ，
又∵ x ? ?1 是 f ( x ) 的极值点，则 f ?(?1) ? 3a ? 1 ? 2 ? 0 ? a ? ?1
f ?( x)
-1
? f ?( x) ? 3x2 ? x ? 2 ? (3x ? 2)( x ? 1) ? 0
f 极大值 ( x) ? f (?1) ? 3 2 2 22 f 极小值 ( x )? f ( ? )? 3 7
2 3
（2）设函数 g ( x) 的图像与函数 f ( x) 的图像恒存在含 x ? ?1 的三个不同交点，
等价于 f ( x) ? g ( x) 有含 x ? ?1 的三个根，即： f (?1) ? g (?1) ? d ? ?
1 (b ? 1) 2
1 2 1 1 x ? 2 x ? bx 2 ? x ? (b ? 1) 整理得： 2 2 2 1 1 3 2 即： x ? (b ? 1) x ? x ? (b ? 1) ? 0 恒有含 x ? ?1 的三个不等实根 2 2 1 1 （计算难点来了： ） h( x) ? x 3 ? (b ? 1) x 2 ? x ? (b ? 1) ? 0 有含 x ? ?1 的根， 2 2 ? x3 ?
则 h( x) 必可分解为 ( x ? 1)(二次式) ? 0 ，故用添项配凑法因式分解，
1 1 x3 ? x 2 ? x 2 ? (b ? 1) x 2 ? x ? (b ? 1) ? 0 2 2
1 ?1 ? x 2 ( x ? 1) ? ? (b ? 1) x 2 ? x ? (b ? 1) ? ? 0 2 ?2 ?
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1 x 2 ( x ? 1) ? ? (b ? 1) x 2 ? 2 x ? (b ? 1) ? ? ??0 2 1 b ? 1x )? b ( ?? ? 1 ) x ?? 1 ? 十字相乘法分解： x 2 ( x? 1 )? ? ( 2
0
1 1 ? ? ( x ? 1) ? x 2 ? (b ? 1) x ? (b ? 1) ? ? 0 2 2 ? ?
1 1 ? x3 ? (b ? 1) x 2 ? x ? (b ? 1) ? 0 恒有含 x ? ?1 的三个不等实根 2 2 1 1 2 等价于 x ? (b ? 1) x ? (b ? 1) ? 0 有两个不等于-1 的不等实根。 2 2
1 1 ? ? ? (b ? 1) 2 ? 4 ? (b ? 1) ? 0 ? ? 4 2 ?? ? b ? (??, ?1) ? (?1,3) ? (3, ??) ?(?1) 2 ? 1 (b ? 1) ? 1 (b ? 1) ? 0 ? ? 2 2
题 2：切线的条数问题====以切点 x0 为未知数的方程的根的个数
例 7、 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx 在点 x0 处取得极小值－4， 使其导数 f '( x) ? 0 的 x 的取值范围为
(1,3) ，求： （1） f ( x ) 的解析式； （2）若过点 P(?1, m) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线，求实数 m 的取值
范围．xHAQX74J0X （1）由题意得： f '( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c ? 3a( x ?1)( x ? 3),(a ? 0) ∴在 (??,1) 上 f '( x) ? 0 ；在 (1,3) 上 f '( x) ? 0 ；在 (3, ??) 上 f '( x) ? 0 因此 f ( x ) 在 x0 ? 1 处取得极小值 ?4 ∴ a ? b ? c ? ?4 ①， f '(1) ? 3a ? 2b ? c ? 0 ②， f '(3) ? 27a ? 6b ? c ? 0 ③
? a ? ?1 ? 3 2 由①②③联立得： ?b ? 6 ，∴ f ( x) ? ? x ? 6 x ? 9 x ? c ? ?9 ?
, （2）设切点 Q (t , f (t )) ， y ? f (t ) ? f (t )( x ? t )
y ? (?3t 2 ? 12t ? 9)( x ? t ) ? (?t 3 ? 6t 2 ? 9t ) ? (?3t 2 ? 12t ? 9) x ? t (3t 2 ?12t ? 9) ? t (t 2 ? 6t ? 9) ? (?3t 2 ? 12t ? 9) x ? t (2t 2 ? 6t ) 过 (?1, m) m ? (?3t 2 ? 12t ? 9)(?1) ? 2t 3 ? 6t 2 g (t ) ? 2t 3 ? 2t 2 ?12t ? 9 ? m ? 0 2 2 令 g '(t ) ? 6t ? 6t ?12 ? 6(t ? t ? 2) ? 0 ， 求得： t ? ?1, t ? 2 ，方程 g (t ) ? 0 有三个根。 ? g (?1) ? 0 ??2 ? 3 ? 12 ? 9 ? m ? 0 ?m ? 16 需： ? ?? ?? ? g (2) ? 0 ?16 ? 12 ? 24 ? 9 ? m ? 0 ?m ? ?11
故： ?11 ? m ? 16 ；因此所求实数 m 的范围为： (?11,16)
题 3：已知 f ( x) 在给定区间上的极值点个数则有导函数=0 的根的个数
解法：根分布或判别式法
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例 8、
1 7 解：函数的定义域为 R （Ⅰ）当 m＝4 时，f (x)＝ x3－ x2＋10x，LDAYtRyKfE 3 2
f ?( x ) ＝x2－7x＋10，令 f ?( x) ? 0 ， 解得 x ? 5, 或 x ? 2 .
令 f ?( x) ? 0 ， 解得 2 ? x ? 5 可知函数 f(x)的单调递增区间为 ( ??, 2) 和（5，＋∞） ，单调递减区间为 ? 2,5? ． （Ⅱ） f ?( x ) ＝x2－(m＋3)x＋m＋6, 要使函数 y＝f (x)在（1，＋∞）有两个极值点, ? f ?( x) ＝x2－(m＋3)x ＋m＋6=0 的根在（1，＋∞）Zzz6ZB2Ltk
根分布问题：
1
? ?? ? (m ? 3) 2 ? 4(m ? 6) ? 0; ? 则 ? f ?(1) ? 1 ? (m ? 3) ? m ? 6 ? 0; ， 解得 m＞3 ?m ? 3 ? ? 1. ? 2
1 a 3 1 2 x ? x ，(a ? R, a ? 0) （1）求 f ( x) 的单调区间； （2）令 g ( x) ＝ x4＋f（x） 4 3 2
例 9、已知函数 f ( x) ?
（x∈R）有且仅有 3 个极值点，求 a 的取值范围．dvzfvkwMI1 解： （1） f ( x) ? ax ? x ? x(ax ? 1)
' 2
1 1 或x ? 0 ，令 f ' ( x) ? 0 解得 ? ? x ? 0 ， a a 1 1 所以 f ( x) 的递增区间为 (?? ,? ) ? (0,?? ) ，递减区间为 (? ,0) . a a 1 1 ? ) ，递减区间为 (?? ,0) ? (? ,?? ) . 当 a ? 0 时，同理可得 f ( x) 的递增区间为 (0， a a 1 4 a 3 1 2 （2） g ( x) ? x ? x ? x 有且仅有 3 个极值点 4 3 2
' 当 a ? 0 时，令 f ( x) ? 0 解得 x ? ?
? g?( x) ? x3 ? ax2 ? x ? x( x2 ? ax ? 1) =0 有 3 个根，则 x ? 0 或 x 2 ? ax ? 1 ? 0 ， a ? ?2
8 / 19
方程 x ? ax ? 1 ? 0 有两个非零实根，所以 ? ? a 2 ? 4 ? 0,
2
? a ? ?2 或 a ? 2
而当 a ? ?2 或 a ? 2 时可证函数 y ? g ( x) 有且仅有 3 个极值点
其它例题：
（a ? 0） 1、 （最值问题与主元变更法的例子）.已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? ax3 ? 2ax2 ? b 在
区间 ? ?2,1? 上的最大值是 5，最小值是－11. （Ⅰ）求函数 f ( x ) 的解析式；
? tx ? 0 恒成立，求实数 x 的取值范围. （Ⅱ）若 t ? [?1,1] 时， f ?( x）
解： （Ⅰ）
f ( x) ? ax3 ? 2ax2 ? b,? f ' ( x) ? 3ax2 ? 4ax ? ax(3x ? 4) 4 ' 令 f ( x) =0,得 x1 ? 0, x2 ? ? ? ?2,1? 3 因为 a ? 0 ，所以可得下表：
x
f ' ( x)
??2,0?
+ ↗
0 0 极大
? 0,1?
↘
f ( x)
因此 f (0) 必为最大值,∴ f（0） ? 5 因此 b ? 5 ，
f (?2) ? ?16a ? 5, f (1) ? ?a ? 5,? f (1) ? f (?2) ，
2
即 f (?2) ? ?16a ? 5 ? ?11，∴ a ? 1 ，∴ f ( x） ? x 3 ? 2x 2 ? 5.
2 ? tx ? 0 等价于 3x ? 4 x ? tx ? 0 ， （Ⅱ）∵ f ?( x) ? 3x ? 4 x ，∴ f ?( x）
令 g (t ) ? xt ? 3x ? 4x ，则问题就是 g(t ) ? 0 在 t ? [?1,1] 上恒成立时，求实数 x 的取值范围，
2
?3x 2 ? 5x ? 0 ? g (?1) ? 0 为此只需 ? ，即 ? 2 ， 1) ? 0 ? g（ ? x ? x?0 解得 0 ? x ? 1 ，所以所求实数 x 的取值范围是[0，1].
2、 （根分布与线性规划例子）
（1）已知函数 f ( x) ? x3 ? ax 2 ? bx ? c
( Ⅰ ) 若函数 f ( x ) 在 x ? 1 时有极值且在函数图象上的点 (0, 1) 处的切线与直线 3x ? y ? 0 平行 , 求
2 3
f ( x) 的解析式；
9 / 19
(Ⅱ) 当 f ( x ) 在 x ? (0, 1) 取得极大值且在 x ? (1,
2) 取得极小值时, 设点 M (b ? 2, a ? 1) 所在平面
区域为 S, 经过原点的直线 L 将 S 分为面积比为 1:3 的两部分, 求直线 L 的方程.rqyn14ZNXI 解： (Ⅰ). 由 f ?( x) ? 2 x2 ? 2ax ? b , 函数 f ( x ) 在 x ? 1 时有极值 , ∴ 2a ? b ? 2 ? 0 ∵ f (0) ? 1 ∴
c ?1
又∵ f ( x ) 在 (0, 1) 处的切线与直线 3x ? y ? 0 平行, ∴ f ?(0) ? b ? ?3 ∴ f ( x) ? 故
a?
1 2
……………………. 7 分
2 3 1 2 x ? x ? 3x ? 1 3 2
(Ⅱ) 解法一: 由 f ?( x) ? 2 x 2 ? 2ax ? b 及 f ( x ) 在 x ? (0, 1) 取得极大值且在 x ? (1,
2) 取得极小值,
? f ?(0) ? 0 ? ∴ ? f ?(1) ? 0 ? f ?(2) ? 0 ?
?b ? 0 ? 即 ? 2a ? b ? 2 ? 0 ? 4a ? b ? 8 ? 0 ?
令 M ( x,
y) ,
则 ?
?x ? b ? 2 ? y ? a ?1
? a ? y ?1 ∴ ? ?b ? x ? 2
易得 A(?2,
?x ? 2 ? 0 ? ∴ ?2 y ? x ? 2 ? 0 ?4 y ? x ? 6 ? 0 ?
0) , B(?2, ? 1) ,
故点 M 所在平面区域 S 为如图△ABC,
C (2, ? 2) ,
D(0, ? 1) ,
3 E (0, ? ) , 2
S?ABC ? 2
同时 DE 为△ABC 的中位线,
1 S ?DEC ? S四边形ABED 3
∴ 所求一条直线 L 的方程为: x ? 0 另一种情况设不垂直于 x 轴的直线 L 也将 S 分为面积比为 1:3 的两部分, 设直线 L 方程为 y ? kx ,它与 AC,BC 分别交于 F、G, 则 k ? 0,
S四边形DEGF ? 1 EmxvxOtOco
由 ?
? y ? kx 2 得点 F 的横坐标为: xF ? ? 2k ? 1 ?2 y ? x ? 2 ? 0 ? y ? kx 6 得点 G 的横坐标为: xG ? ? 4k ? 1 ?4 y ? x ? 6 ? 0
由 ?
∴ S四边形DEGF
? S?OGE ? S?OFD ? ? ?
1 3 6 1 2 ? ? 1? ? 1 即 16k 2 ? 2k ? 5 ? 0 2 2 4k ? 1 2 2k ? 1
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5 1 (舍去) 故这时直线方程为: y ? x 8 2 1 综上,所求直线方程为: x ? 0 或 y ? x .…………….………….12 分 2
解得: k ? 或
1 2
k??
SixE2yXPq5
(Ⅱ) 解法二: 由 f ?( x) ? 2 x2 ? 2ax ? b 及 f ( x ) 在 x ? (0, 1) 取得极大值且在 x ? (1,
2) 取得极小值,
? f ?(0) ? 0 ? ∴ ? f ?(1) ? 0 ? f ?(2) ? 0 ?
?b ? 0 ? 即 ? 2a ? b ? 2 ? 0 ? 4a ? b ? 8 ? 0 ?
令 M ( x,
, y)
则 ?
?x ? b ? 2 ? y ? a ?1
? a ? y ?1 ∴ ? ?b ? x ? 2
易得 A(?2,
?x ? 2 ? 0 ? ∴ ?2 y ? x ? 2 ? 0 ?4 y ? x ? 6 ? 0 ?
0) , B(?2, ? 1) ,
故点 M 所在平面区域 S 为如图△ABC,
C (2, ? 2) ,
D(0, ? 1) ,
3 E (0, ? ) , 2
S?ABC ? 2
同时 DE 为△ABC 的中位线,
1 S ?DEC ? S四边形ABED 3
∴所求一条直线 L 的方程为: x ? 0
另一种情况由于直线 BO 方程为: y ?
1 x , 设直线 BO 与 AC 交于 H , 2
1 ? ? y? x 由 ? 2 ? ?2 y ? x ? 2 ? 0
∵ S?ABC ? 2 ,
得直线 L 与 AC 交点为: H (?1,
1 ? ) 2
1 1 1 1 1 1 1 S ?DEC ? ? ? 2 ? , S ?ABH ? S ?ABO ? S ?AOH ? ? 2 ? 1 ? ? 2 ? ? 2 2 2 2 2 2 2
1 x 2
3 2
∴ 所求直线方程为: x ? 0 或 y ?
3、 （根的个数问题）已知函数 f(x) ? ax ? bx ? (c ? 3a ? 2b)x ? d (a ? 0) 的图象如图所示。 （Ⅰ）求 c、 d 的值； （Ⅱ）若函数 f (x) 的图象在点 (2,f (2)) 处的切线方程为 3x ? y ? 11 ? 0 ， 求函数 f ( x )的解析式； （Ⅲ）若 x0 ? 5, 方程 f (x) ? 8a 有三个不同的根，求实数 a 的取值范围。 解：由题知： f ?(x) ? 3ax ? 2bx+c-3a-2b
2
（Ⅰ）由图可知 函数 f ( x )的图像过点( 0 , 3 )，且 f ??1? = 0
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得?
?d ? 3 ?d ? 3 ?? ? 3a ? 2b ? c ? 3a ? 2b ? 0 ?c ? 0
f ??2?= – 3 且 f ( 2 ) = 5
（Ⅱ）依题意
?12a ? 4b ? 3a ? 2b ? ?3 解得 a = 1 , b = – 6 ? ?8a ? 4b ? 6a ? 4b ? 3 ? 5
所以 f ( x ) = x3 – 6x2 + 9x + 3 （Ⅲ）依题意 f ( x ) = ax3 + bx2 – ( 3a + 2b )x + 3 ( a＞0 ) 6ewMyirQFL
f ?? x ? = 3ax2 + 2bx – 3a – 2b
由 f ??5? = 0 ? b = – 9a
①
若方程 f ( x ) = 8a 有三个不同的根，当且仅当 由① ② 所以 当 得 – 25a + 3＜8a＜7a + 3 ?
满足 f ( 5 )＜8a＜f ( 1 ) ②kavU42VRUs
1 ＜a＜3 11
1 ＜a＜3 时，方程 f ( x ) = 8a 有三个不同的根。………… 12 分 11 1 4、 （根的个数问题）已知函数 f ( x) ? x3 ? ax 2 ? x ? 1(a ? R) 3
（1）若函数 f ( x ) 在 x ? x1 , x ? x2 处取得极值，且 x1 ? x2 ? 2 ，求 a 的值及 f ( x ) 的单调区间； （2）若 a ?
1 1 2 5 ，讨论曲线 f ( x ) 与 g ( x) ? x ? (2a ? 1) x ? ( ?2 ? x ? 1) 的交点个数． 2 2 6
2
解： （1） f' ( x) ? x ? 2ax ? 1
? x1 ? x2 ? 2a, x1 ? x2 ? ?1
? x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 4a 2 ? 4 ? 2
? a ? 0 ………………………………………………………………………2 分
f ?( x) ? x2 ? 2ax ? 1 ? x2 ? 1
令 f ?( x) ? 0 得 x ? ?1, 或x ? 1 令 f ?( x) ? 0 得 ?1 ? x ? 1 ∴ f ( x ) 的单调递增区间为 (??, ?1) ， (1, ??) ，单调递减区间为 (?1,1) …………5 分 （2）由题 f ( x) ? g ( x) 得
1 3 1 5 x ? ax 2 ? x ? 1 ? x 2 ? (2a ? 1) x ? 3 2 6 1 3 1 2 1 即 x ? ( a ? ) x ? 2ax ? ? 0 3 2 6 1 3 1 2 1 令 ? ( x) ? x ? (a ? ) x ? 2ax ? (?2 ? x ? 1) ……………………6 分 3 2 6
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?? ?( x) ? x2 ? (2a ? 1) x ? 2a ? ( x ? 2a)( x ? 1)
令 ? ?( x) ? 0 得 x ? 2a 或 x ? 1 ……………………………………………7 分
a?
1 2
?2
当 2a ? ?2 即 a ? ?1 时
x
(?2,1)
－
1
? ?( x )
? ( x)
?8a ?
9 2
a
9 ? 0 ， a ? 0 ，有一个交点；…………………………9 分 2 1 当 2a ? ?2 即 ?1 ? a ? 时， 2
此时， ?8a ?
x
?2
(?2, 2a)
＋
2a
0
(2a,1)
—
1
? ?( x )
? ( x)
?8a ?
9 2
2 2 1 a (3 ? 2a) ? 3 6
a
2 2 1 a (3 ? 2a) ? ? 0 , 3 6 9 9 ∴当 ?8a ? ? 0 即 ?1 ? a ? ? 时,有一个交点； 2 16 9 9 ? a ? 0 时，有两个交点； 当 ?8a ? ? 0，且a ? 0 即 ? 2 16 1 9 当 0 ? a ? 时， ?8a ? ? 0 ，有一个交点．………………………13 分 2 2 9 1 综上可知，当 a ? ? 或 0 ? a ? 时，有一个交点； 16 2 9 ? a ? 0 时，有两个交点．…………………………………14 分 当? 16 x3 2 10 5、 （ 简单切线问题） 已知函数 f ( x) ? 2 图象上斜率为 3 的两条切线间的距离为 ，函数 5 a 3bx g ( x) ? f ( x) ? 2 ? 3 ． a （Ⅰ） 若函数 g ( x) 在 x ? 1 处有极值，求 g ( x) 的解析式；
（Ⅱ） 若函数 g ( x) 在区间 [ ?1,1] 上为增函数，且 b ? mb ? 4 ? g ( x) 在区间 [ ?1,1] 上都成立，求实数 m 的 取值范围．
2
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导数解答题归纳总结 19.（2009浙江文）（本题满分15分）已知函数3 2 ()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R ． （I ）若函数()f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求,a b 的值； （II ）若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调．．．，求a 的取值范围． 解析 （Ⅰ）由题意得)2()1(23)(2 +--+='a a x a x x f 又?? ?-=+-='==3 )2()0(0 )0(a a f b f ，解得0=b ，3-=a 或1=a （Ⅱ）函数)(x f 在区间)1,1(-不单调，等价于 导函数)(x f '在)1,1(-既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数 即函数)(x f '在)1,1(-上存在零点，根据零点存在定理，有 0)1()1(<'-'f f ， 即：0)]2()1(23)][2()1(23[<+---+--+a a a a a a 整理得：0)1)(1)(5(2 <-++a a a ，解得15-<<-a 20.（2009北京文）（本小题共14分） 设函数3 ()3(0)f x x ax b a =-+≠. （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切，求,a b 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值点. 解析 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能 力． （Ⅰ）()' 233f x x a =-, ∵曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切， ∴()()()'20340 4,24.86828 f a a b a b f ?=-=?=????????=-+==????? （Ⅱ）∵()()()' 230f x x a a =-≠, 当0a <时，()' 0f x >，函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增， 此时函数()f x 没有极值点. 当0a >时，由()' 0f x x a =?=± ， 当() ,x a ∈-∞-时，()' 0f x >，函数()f x 单调递增， 当(),x a a ∈-时，()'0f x <，函数()f x 单调递减， 当(),x a ∈+∞时，()' 0f x >，函数()f x 单调递增，
导数各种题型方法总结 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)(' =x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）； 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上，()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数， 4323()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围； （2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=-- （1） ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数” ， 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x < (0) 0302(3) 09330g m g m <-??<--=-的最大值（03x <≤）恒成立， 而3 ()h x x x =-（03x <≤）是增函数，则max ()(3)2h x h == 2m ∴> (2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数” 则等价于当2m ≤时2 ()30g x x mx =--< 恒成立 变更主元法 再等价于2 ()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立（视为关于m 的一次函数最值问题） 2 2 (2)023011(2)0230F x x x F x x ?->--+>?????-<-+>??? 2b a ∴-=
高考压轴题：导数题型及解题方法 （自己总结供参考） 一．切线问题 题型1 求曲线)(x f y 在0x x 处的切线方程。方法： )(0x f 为在0x x 处的切线的斜率。 题型2 过点),(b a 的直线与曲线 )(x f y 的相切问题。 方法：设曲线 )(x f y 的切点))(,(00x f x ，由b x f x f a x )()()(000 求出0x ，进而解决相关问题。 注意：曲线在某点处的切线若有则只有一，曲线过某点的切线往往不止一条。例 已知函数f （x ）=x 3 ﹣3x ． （1）求曲线y=f （x ）在点x=2处的切线方程；（答案：0169y x ） （2）若过点A )2)(,1(m m A 可作曲线)(x f y 的三条切线，求实数 m 的取值范围、 （提示：设曲线 )(x f y 上的切点（)(,00x f x ）；建立)(,00x f x 的等式关系。将问题转化为关于 m x ,0的方 程有三个不同实数根问题。（答案： m 的范围是2,3） 题型3 求两个曲线)(x f y 、)(x g y 的公切线。方法：设曲线)(x f y 、)(x g y 的切点分别为（ )(,11x f x ）。（)(,22x f x ）； 建立 21,x x 的等式关系，12112)()(y y x f x x ，12 212 )()(y y x f x x ；求出21,x x ，进而求出 切线方程。解决问题的方法是设切点，用导数求斜率，建立等式关系。 例 求曲线 2 x y 与曲线x e y ln 2的公切线方程。（答案02e y x e ） 二．单调性问题 题型1 求函数的单调区间。 求含参函数的单调区间的关键是确定分类标准。分类的方法有：（1）在求极值点的过程中，未知数的系数与 0的关系不定而引起的分类；（2）在求极值点的过程中，有无极值点引起的分类（涉及到二次方程问题时，△与 0的 关系不定）；(3) 在求极值点的过程中，极值点的大小关系不定而引起的分类；(4) 在求极值点的过程中，极值点与区间的关系不定而引起分类等。注意分类时必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏。例 已知函数x a x x a x f )1(2 1ln ) (2 （1）求函数)(x f 的单调区间。（利用极值点的大小关系分类）（2）若 e x ,2，求函数)(x f 的单调区间。（利用极值点与区间的关系分类） 题型2 已知函数在某区间是单调，求参数的范围问题。 方法1：研究导函数讨论。 方法2：转化为 0) (0) (' ' x f x f 或在给定区间上恒成立问题， 方法3：利用子区间（即子集思想） ；首先求出函数的单调增区间或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子 集。 注意：“函数)(x f 在 n m,上是减函数”与“函数)(x f 的单调减区间是b a,”的区别是前者是后者的子集。 例已知函数2 () ln f x x a x + x 2在 , 1上是单调函数，求实数 a 的取值范围． （答案 , 0） 题型 3 已知函数在某区间的不单调，求参数的范围问题。 方法1：正难则反，研究在某区间的不单调方法2:研究导函数是零点问题，再检验。方法3:直接研究不单调，分情况讨论。 例 设函数 1) (2 3 x ax x x f ，R a 在区间 1,2 1内不单调，求实数 a 的取值范围。 （答案： 3, 2a ） ）三．极值、最值问题。 题型1 求函数极值、最值。基本思路：定义域 → 疑似极值点 → 单调区间 → 极值→ 最值。 例 已知函数12 1)1() (2 kx x e k x e x f x x ，求在2,1x 的极小值。 （利用极值点的大小关系、及极值点与区间的关系分类） 题型 2 已知函数极值，求系数值或范围。 方法：1.利用导函数零点问题转化为方程解问题，求出参数，再检验。方法2.转化为函数单调性问题。 例 函数1)1(2 1)1(3 14 1) (2 3 4 x p p px x p x x f 。0是函数)(x f 的极值点。求实数 p 值。（答案：1）
导数压轴题型归类总结 目 录 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 （1） 二、交点与根的分布 （23） 三、不等式证明 （31） （一）作差证明不等式 （二）变形构造函数证明不等式 （三）替换构造不等式证明不等式 四、不等式恒成立求字母范围 （51） （一）恒成立之最值的直接应用 （二）恒成立之分离常数 （三）恒成立之讨论字母范围 五、函数与导数性质的综合运用 （70） 六、导数应用题 （84） 七、导数结合三角函数 （85） 书中常用结论 ⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为sin 1x x <，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵1x e x >+ ⑶ln(1)x x >+ ⑷ln ,0x x x e x <<>.
一、导数单调性、极值、最值的直接应用 1. （切线）设函数a x x f -=2)(. （1）当1=a 时，求函数)()(x xf x g =在区间]1,0[上的最小值； （2）当0>a 时，曲线)(x f y =在点)))((,(111a x x f x P >处的切线为l ，l 与x 轴交于点)0,(2x A 求证：a x x >>21. 解：(1)1=a 时，x x x g -=3)(，由013)(2=-='x x g ，解得3 3 ±=x . 所以当33= x 时，)(x g 有最小值9 32)33(-=g . (2)证明：曲线)(x f y =在点)2,(211a x x P -处的切线斜率112)(x x f k ='= 曲线)(x f y =在点P 处的切线方程为)(2)2(1121x x x a x y -=--. 令0=y ，得12 122x a x x +=，∴12 1 112 11222x x a x x a x x x -=-+=- ∵a x >1，∴ 021 21 <-x x a ，即12x x <. 又∵1122x a x ≠，∴a x a x x a x x a x x =?>+=+= 1 1111212222222 所以a x x >>21. 2. （2009天津理20，极值比较讨论） 已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x =+-+∈R 其中a ∈R ⑴当0a =时，求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率； ⑵当2 3 a ≠ 时，求函数()f x 的单调区间与极值. 解：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。 ⑴.3)1(')2()(')(022e f e x x x f e x x f a x x =+===，故，时，当 .3))1(,1()(e f x f y 处的切线的斜率为在点所以曲线= ⑵[] .42)2()('22x e a a x a x x f +-++= .223 2 .220)('-≠-≠-=-==a a a a x a x x f 知，由，或，解得令
第一章 导数及其应用 一.导数的概念 1..已知x f x f x x f x ?-?+=→?) 2()2(lim ,1 )(0 则的值是（ ） A. 4 1- B. 2 C. 41 D. －2 变式1：()()()为则设h f h f f h 233lim ,430--='→（ ） A ．－１ Ｂ．－2 C ．－3 D ．1 变式2：()()()00003,lim x f x x f x x f x x x ?→+?--??设在可导则等于 （ ） A ．()02x f ' B ．()0x f ' C ．()03x f ' D ．()04x f ' 导数各种题型方法总结 请同学们高度重视： 首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在 其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)(' =x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）； （请同学们参看2010省统测2） 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上， ()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，432 3()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围； （2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=-- （1） ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”， 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x <
导数题型总结 1、分离变量-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 2、变更主元-----已知谁的范围就把谁作为主元 3、根分布 4、判别式法-----结合图像分析 5、二次函数区间最值求法-----（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立 此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)('=x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 第三种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）。 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上，()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数， 4323()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围； （2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332x mx f x x '=- - 2()3g x x mx ∴=-- （1） ()y f x =Q 在区间[]0,3上为“凸函数”， 则 2()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x <
导数习题题型十七：含参数导数问题的分类讨论问题 含参数导数问题的分类讨论问题 1．求导后，导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。 ★已知函数ax x a x x f 2)2(2 131)(23++-=（a>0）,求函数的单调区间 )2)((2)2()(--=++-='x a x a x a x x f ★★例1 已知函数x a x a x x f ln )2(2)(+-- =（a>0）求函数的单调区间 2 2 2) )(2(2)2()(x a x x x a x a x x f --=++-=' ★★★例3已知函数()()22 21 1 ax a f x x R x -+=∈+，其中a R ∈。 （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()() 2,2f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。 ! 解：（Ⅰ）当1a =时，曲线()y f x =在点()() 2,2f 处的切线方程为032256=-+y x 。 （Ⅱ）由于0a ≠，所以()() 1 2)1(222+-+='x x a x f ,由 ()'0f x =，得121 ,x x a a =-=。这两个实根都在定 ()()()()()() 2 2 ' 2222 122122111a x a x a x x ax a a f x x x ? ?--+ ?+--+??==++义域R 内，但不知它们之间 的大小。因此，需对参数a 的取值分0a >和0a <两种情况进行讨论。 (1)当0a >时，则12x x <。易得()f x 在区间1,a ? ? -∞- ??? ，(),a +∞内为减函数， 在区间1,a a ?? - ??? 为增函数。故函数()f x 在11x a =-处取得极小值 21f a a ?? -=- ??? ； 函数()f x 在2x a =处取得极大值()1f a =。 （1） 当0a <时，则12x x >。易得()f x 在区间),(a -∞，),1 (+∞-a 内为增函数，在区间 )1,(a a -为减函数。故函数()f x 在11 x a =-处取得极小值 21f a a ?? -=- ??? ；函数 ()f x 在 2x a =处取得极大值()1f a =。
第一章导数及其应用 一.导数的概念 1..已知的值是（） A. B. 2 C. D. －2 变式1：（） A．－１Ｂ．－2C．－3D．1 变式2：（） A．B．C．D． 导数各种题型方法总结 请同学们高度重视： 首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系（2）端点处和顶点是最值所在 其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）； （请同学们参看2010省统测2） 例1：设函数在区间D上的导数为，在区间D上的导数为，若在区间D上，恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数， （1）若在区间上为“凸函数”，求m的取值范围； （2）若对满足的任何一个实数，函数在区间上都为“凸函数”，求的最大值. 解:由函数得 （1）在区间上为“凸函数”， 则在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于
导数各种题型方法总结
请同学们高度重视： 首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2 变更主元；3 根分布；4 判别式法 5、二次函数区间最值求法： （1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在 其次， 分析每种题型的本质， 你会发现大部分都在解决 “不等式恒成立问题” 以及“充分应用数形结合思想” ，创建不等关系求出取值范围。b5E2RGbCAP 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；
1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令 f ' ( x) ? 0 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种：
第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元） ；
（请同学们参看 2012 省统测 2） 例 1： 设函数 y ? f ( x) 在区间 D 上的导数为 f ?( x ) ， f ?( x ) 在区间 D 上的导数为 g ( x) ， 若在区间 D 上，
g ( x) ? 0 恒 成 立 ， 则 称 函 数 y ? f ( x ) 在 区 间 D 上 为 “ 凸 函 数 ” ，已知实数 m 是常数，
f ( x) ?
x 4 mx3 3x 2 ? ? p1EanqFDPw 12 6 2 （1）若 y ? f ( x) 在区间 ? 0,3? 上为“凸函数” ，求 m 的取值范围；
（2）若对满足 m ? 2 的任何一个实数 m ，函数 f ( x ) 在区间 ? a, b ? 上都为“凸函数” ，求 b ? a 的最大
值.
x 4 mx3 3x 2 x3 mx 2 ? ? ? ? 3x 解:由函数 f ( x) ? 得 f ?( x) ? 12 6 2 3 2 ? g ( x) ? x2 ? mx ? 3
（1）
y ? f ( x) 在区间 ?0,3? 上为“凸函数” ，
2
则 ? g ( x) ? x ? mx ? 3 ? 0 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于 gmax ( x) ? 0
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第一章 导数及其应用 一， 导数的概念 1..已知x f x f x x f x ?-?+=→?) 2()2(lim ,1 )(0 则的值是（ ） A. 4 1- B. 2 C. 41 D. －2 变式1：()()()为则设h f h f f h 233lim ,430--='→（ ） A ．－１ Ｂ．－2 C ．－3 D ．1 变式2：()()() 0000 3,lim x f x x f x x f x x x ?→+?--??设在可导则等于 （ ） A ．()02x f ' B ．()0x f ' C ．()03x f ' D ．()04x f ' 导数各种题型方法总结 请同学们高度重视： 首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在 其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)(' =x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，
2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）； （请同学们参看2010省统测2） 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上，()0 g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，432 3()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围； （2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=-- （1） ()y f x =Q 在区间[]0,3上为“凸函数”， 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x < (0)030 2(3)09330g m g m <-? ?<--=-的最大值（03x <≤）恒成立， 而3 ()h x x x =- （03x <≤）是增函数，则max ()(3)2h x h == 2m ∴> (2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数” 则等价于当2m ≤时2 ()30g x x mx =--< 恒成立
导数题型总结（解析版） 题型一: 关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系（2）端点处和顶点是最值所在 其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)(' =x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）； 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上， ()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数” ，已知实数m 是常数，432 3()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围； （2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =--得32 ()332x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=--（1） ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，
导数题型目录 1.导数的几何意义 2.导数四则运算构造新函数 3.利用导数研究函数单调性 4.利用导数研究函数极值和最值 5.①知零点个数求参数范围②含参数讨论零点个数 6.函数极值点偏移问题 7.导函数零点不可求问题 8.双变量的处理策略 9.不等式恒成立求参数范围 10.不等式证明策略 11.双量词的处理策略 12.绝对值与导数结合问题 导数专题一导数几何意义 一.知识点睛 导数的几何意义：函数y=f（x）在点x=x0 处的导数f’（x0）的几何意义是曲线在点x=x0 处切线的斜率。 二.方法点拨： 1.求切线 ①若点是切点：(1)切点横坐标x0 代入曲线方程求出y0(2)求出导数f′(x)，把x0代入导数求得函数y＝f(x)在点x=x0处的导数f′(x0)(3)根据直线点斜式方程，得切线方程：y－y0＝f′(x0)(x－x0)． ②点（x0，y0）不是切点求切线：（1）设曲线上的切点为(x1，y1)；(2)根据切点写出切线方程y－y1＝f′(x1)(x－x1) (3)利用点（x0，y0）在切线上求出（x1，y1）；(4)把（x1，y1）代入切线方程求得切线。 2.求参数，需要根据切线斜率，切线方程，切点的关系列方程：①切线斜率k=f′(x0) ②切点在曲线上③切点在切线上 三．常考题型：(1)求切线(2)求切点(3)求参数⑷求曲线上的点到直线的最大距离或最小距离(5)利用切线放缩法证不等式 四．跟踪练习 1.（2016全国卷Ⅲ）已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)=f（-x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，-3）处的切线方程是 2.（2014新课标全国Ⅱ）设曲线y=ax-ln（x+1）在点（0,0）处的切线方程为y=2x，则a=
《导数及其应用》经典题型总结 一、知识网络结构 题型一 求函数的导数及导数的几何意义 考点一 导数的概念，物理意义的应用 例1．(1)设函数()f x 在2x =处可导，且(2)1f '=，求0 (2)(2) lim 2h f h f h h →+--； (2)已知()(1)(2)(2008)f x x x x x =+++L ，求(0)f '. 考点二 导数的几何意义的应用 例2: 已知抛物线y=ax 2+bx+c 通过点P(1，1)，且在点Q(2，-1)处与直线y=x-3相切，求实数a 、b 、c 的值 例3：已知曲线y=.3 43 13+x (1)求曲线在（2，4）处的切线方程;(2)求曲线过点（2，4）的切线方程.
题型二 函数单调性的应用 考点一 利用导函数的信息判断f(x)的大致形状 例1 如果函数y ＝f(x)的图象如图，那么导函数y ＝f(x)的图象可能是( ) 考点二 求函数的单调区间及逆向应用 例1 求函数522 4 +-=x x y 的单调区间.（不含参函数求单调区间） 例2 已知函数f (x )＝1 2x 2＋a ln x (a ∈R ，a ≠0)，求f (x )的单调区间．（含参函数求单调区间） 练习：求函数x a x x f +=)(的单调区间。 例3 若函数f(x)＝x 3－ax 2＋1在(0,2)内单调递减，求实数a 的取值范围．（单调性的逆向应用） 练习1：已知函数0],1,0(,2)(3 >∈-=a x x ax x f ，若)(x f 在]1,0(上是增函数，求a 的取值范围。
2. 设a>0,函数ax x x f -=3 )(在（1，+∞）上是单调递增函数，求实数a 的取值范围。 3. 已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2-x+1在R 上为减函数，求实数a 的取值范围。 总结：已知函数)(x f y =在),(b a 上的单调性，求参数的取值范围方法： 1、利用集合间的包含关系 2、转化为恒成立问题（即0)(0)(/ / ≤≥x f x f 或）（分离参数） 3、利用二次方程根的分布（数形结合） 例4 求证x x
第一章导数及其应用一，导数的概念 1..已知 的值是（） A. B. 2 C. D. －2 变式1： （） A．－１Ｂ．－2 C．－3 D．1 变式2： （） A． B． C． D．
导数各种题型方法总结 请同学们高度重视： 首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系（2）端点处和顶点是最值所在 其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种：
第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）； （请同学们参看2010省统测2） 例1：设函数 在区间D上的导数为 ， 在区间D上的导数为 ，若在区间D上， 恒成立，则称函数 在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数， （1）若 在区间 上为“凸函数”，求m的取值范围； （2）若对满足 的任何一个实数 ，函数 在区间
上都为“凸函数”，求 的最大值. 解:由函数 得 （1） 在区间 上为“凸函数”， 则 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于 解法二：分离变量法： ∵ 当
导数题型总结 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上， ()0g x <恒成立， 则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，432 3()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围； （2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=-- （1） ()y f x =Q 在区间[]0,3上为“凸函数”， 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x < (0)030 2(3)09330g m g m <-??<--=-的最大值（03x <≤）恒成立， 而3 ()h x x x =-（03x <≤）是增函数，则max ()(3)2h x h == 2m ∴> (2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数” 则等价于当2m ≤时2 ()30g x x mx =--< 恒成立 变更主元法 再等价于2 ()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立（视为关于m 的一次函数最值问题） 2 2 (2)0230 11(2)0230 F x x x F x x ?->--+>?????-<-+>??? 2b a ∴-= 例2：设函数),10(323 1)(223 R b a b x a ax x x f ∈<<+-+- = （Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间和极值； （Ⅱ）若对任意的],2,1[++∈a a x 不等式()f x a '≤恒成立，求a 的取值范围. 解：（Ⅰ）()()2 2 ()433f x x ax a x a x a '=-+-=--- 01a < Word 资料 【导数基础知识及各种题型归纳方法总结】第3页共22页◎【导数基础知识及各种题型归纳方法总结】第4页共22页 值和f(a) 、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和f(a) 、f(b)中最小的一个。 2．函数在定义域上只有一个极值，则它对应一个最值（极大值对应最大值;极小值对应最小值） 3、注意：极大值不一定比极小值大。如 1 () f x x x =+的极大值为2-，极小值为2。 注意：当x=x0时，函数有极值?f/(x0)＝0。但是，f/(x0)＝0不能得到当x=x0时，函数有极值； 判断极值，还需结合函数的单调性说明。 题型一、求极值与最值 题型二、导数的极值与最值的应用（不等式恒成立问题，讨论方程的根的个数问题） 题型四、导数图象与原函数图象关系 导函数（看正负）原函数（看升降增减） '() f x的符号() f x单调性 '() f x与x轴的交点且交点两侧异号() f x极值 '() f x的增减性() f x的每一点的切线斜率的变化趋势（() f x的图象的增减幅度） '() f x增() f x的每一点的切线斜率增大（() f x的图象的变化幅度快） '() f x减() f x的每一点的切线斜率减小（() f x的图象的变化幅度慢） 【题型针对训练】 1. 已知f(x)=e x-ax-1. （1）求f(x)的单调增区间； （2）若f(x）在定义域R单调递增，求a的取值围； （3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？ 若存在，求出a的值；若不存在，说明理由. 2.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0， 若x= 3 2时，y=f(x）有极值. （1）求a,b,c的值；（2）求y=f(x）在［-3，1］上的最大值和最小值. （请你欣赏）3.当0 > x，证明不等式x x x x < + < + ) 1 ln( 1 . 证明： x x x x f + - + = 1 )1 ln( ) (，x x x g- + =)1 ln( ) (，则 2 ) 1( ) ( x x x f + = '， 当0 > x时。)(x f ∴在() +∞ ,0是增函数，)0( ) (f x f> ∴，即0 1 ) 1 ln(> + - + x x x， 又 x x x g + - = ' 1 ) (，当0 > x时，0 ) (< 'x g，)(x g ∴在() +∞ ,0是减函数，)0( ) (g x g< ∴，即0 ) 1 ln(< - +x x，因此，当0 > x时，不等式x x x x < + < + ) 1 ln( 1 成立. 点评：由题意构造出两个函数 x x x x f + - + = 1 )1 ln( ) (，x x x g- + =)1 ln( ) (. 利用导数求函数的单调区间或求最值，从而导出是解决本题的关键. （请你欣赏）4、已知函数32 f(x)ax bx(c3a2b)x d (a0) =++--+>的图象如图所示。（Ⅰ）求c d 、的值； （Ⅱ）若函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为3x y110 +-=， 求函数f ( x )的解析式； （Ⅲ）若 x5, =方程f(x)8a =有三个不同的根，数a的取值围。 解：由题知：2 f(x)3ax2bx+c-3a-2b '=+ （Ⅰ）由图可知函数f ( x )的图像过点( 0 , 3 )，且()1 f'= 0 得 3 32c320 d a b a b = ? ? ++--= ? ? ? ? ? = = 3 c d （Ⅱ）依题意()2 f'= – 3 且f ( 2 ) = 5 124323 846435 a b a b a b a b +--=- ? ? +--+= ? 解得a = 1 , b = – 6 所以f ( x ) = x3– 6x2 + 9x + 3 （Ⅲ）依题意f ( x ) = ax3 + bx2– ( 3a + 2b )x + 3 ( a＞0 ) ()x f'= 3ax2 + 2bx– 3a– 2b Word 资料 最精最全的《函数与导数解题方法知识点技巧总结》 1.高考试题中，关于函数与导数的解答题(从宏观上)有以下题型： （1）求曲线()y f x =在某点出的切线的方程 （2）求函数的解析式 （3）讨论函数的单调性，求单调区间 （4）求函数的极值点和极值 （5）求函数的最值或值域 （6）求参数的取值范围 （7）证明不等式 （8）函数应用问题 2.在解题中常用的有关结论（需要熟记）： 曲线()y f x =在0x x =处的切线的斜率等于0()f x '，且切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+。 若可导函数()y f x =在0x x =处取得极值，则0()0f x '=。反之不成立。 对于可导函数()f x ，不等式()f x ' 0>0<（）的解是函数()f x 的递增（减）区间。 函数()f x 在区间I 上递增（减）的充要条件是：x I ?∈()f x '0≥(0)≤恒成立（()f x ' 不恒为0）. 若函数()f x 在区间I 上有极值，则方程()0f x '=在区间I 上有实根且非二重根。 （若()f x ' 为二次函数且I=R ， 则有0?>）。 若函数f(x)在区间I 上不单调且不为常量函数,则()f x 在I 上有极值。 若x I " ()f x 0>恒成立，则m in ()f x 0>; 若x I ?∈()f x 0<恒成立，则m ax ()f x 0< 若 0x I ?∈使得 0()f x 0>，则m ax ()f x 0>.;若0x I ?∈使得 0()f x 0<，则m in ()f x 0 <. 设()f x 与()g x 的定义域的交集为D ，若x ?∈D ()f x >()g x 恒成立，则有 []min ()()0f x g x ->. （10）若对11 x I ?∈、 22 x I ∈ ， 12()()f x g x >恒成立，则min max ()()f x g x >. 若对 11 x I ?∈， 22 x I ?∈ ， 使得 12()() f x g x >, 则 min min ()()f x g x >. 若对 11 x I ?∈， 22 x I ?∈,使得 12()() f x g x <,则 m ax m ax ()()f x g x <. （11） 已知()f x 在区间1I 上的值域为A,()g x 在区间2I 上值域为B ，若对11x I ?∈,22 x I ?∈使得1()f x =2()g x 成 立，则A B ?。 （12） 若三次函数f(x)有三个零点，则方程()0f x ' =有两个不等实根12,x x 且12()()0f x f x < （13） 证题中常用的不等式:导数知识点各种题型归纳方法总结
最精最全的《函数与导数解题方法知识点技巧总结》
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