第四章 圆与方程 4.1 圆的方程 4.1.1 圆的标准方程 1.以(3,-1)为圆心,4为半径的圆的方程为( ) A .(x +3)2+(y -1)2=4 B .(x -3)2+(y +1)2=4 C .(x -3)2+(y +1)2=16 D .(x +3)2+(y -1)2=16 2.一圆的标准方程为x 2+(y +1)2=8,则此圆的圆心与半径分别为( ) A .(1,0),4 B .(-1,0),2 2 C .(0,1),4 D .(0,-1),2 2 3.圆(x +2)2+(y -2)2=m 2的圆心为________,半径为________. 4.若点P (-3,4)在圆x 2+y 2=a 2上,则a 的值是________. 5.以点(-2,1)为圆心且与直线x +y =1相切的圆的方程是____________________. 6.圆心在y 轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为( ) A .x 2+(y -2)2=1 B .x 2+(y +2)2=1 C .(x -1)2+(y -3)2=1 D .x 2+(y -3)2=1 7.一个圆经过点A (5,0)与B (-2,1),圆心在直线x -3y -10=0上,求此圆的方程. 8.点P (5a +1,12a )在圆(x -1)2+y 2=1的内部,则a 的取值范围是( ) A .|a |<1 B .a <1 13 C .|a |<1 5 D .|a |<1 13 9.圆(x -1)2+y 2=25上的点到点A (5,5)的最大距离是__________. 10.设直线ax -y +3=0与圆(x -1)2 +(y -2)2 =4相交于A ,B 两点,且弦AB 的长为
(数学2必修)第四章 圆与方程 [基础训练A 组] 一、选择题 1.圆22(2)5x y ++=关于原点(0,0)P 对称的圆的方程为 ( ) A .22(2)5x y -+= B .22(2)5x y +-= C .22(2)(2)5x y +++= D .22(2)5x y ++= 2.若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点,则直线AB 的方程是( ) A. 03=--y x B. 032=-+y x C. 01=-+y x D. 052=--y x 3.圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是( ) A .2 B .21+ C .2 21+ D .221+ 4.将直线20x y λ-+=,沿x 轴向左平移1个单位,所得直线与 圆22 240x y x y ++-=相切,则实数λ的值为( ) A .37-或 B .2-或8 C .0或10 D .1或11 5.在坐标平面,与点(1,2)A 距离为1,且与点(3,1)B 距离为2的直线共有( ) A .1条 B .2条 C .3条 D .4条 6.圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为( ) A .023=-+y x B .043=-+y x C .043=+-y x D .023=+-y x 二、填空题 1.若经过点(1,0)P -的直线与圆03242 2=+-++y x y x 相切,则此直线在y 轴上的截距是 __________________. 2.由动点P 向圆221x y +=引两条切线,PA PB ,切点分别为0 ,,60A B APB ∠=,则动点P 的轨迹方程为 。 3.圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --,则圆C 的方程为 . 4.已知圆()4322 =+-y x 和过原点的直线kx y =的交点为,P Q 则OQ OP ?的值为________________。
《圆与方程》知识点整理 一、标准方程()() 222 x a y b r -+-= 1.求标准方程的方法——关键是求出圆心(),a b和半径r ①待定系数:往往已知圆上三点坐标,例如教材 119 P例2 ②利用平面几何性质 往往涉及到直线与圆的位置关系,特别是:相切和相交 相切:利用到圆心与切点的连线垂直直线 相交:利用到点到直线的距离公式及垂径定理 二、一般方程 () 2222 040 x y Dx Ey F D E F ++++=+-> 1.220 Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆方程则 22 22 00 00 40 40 A B A B C C D E AF D E F A A A ? ? =≠=≠ ? ? ?? =?= ?? ??+-> ? ???? ?+-?> ? ? ????? ? 2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法: 3.2240 D E F +->常可用来求有关参数的范围 三、圆系方程: 四、参数方程: 五、点与圆的位置关系 1.判断方法:点到圆心的距离d与半径r的大小关系 d r ?点在圆外 2.涉及最值: (1)圆外一点B,圆上一动点P,讨论PB的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ (2)圆内一点A,圆上一动点P,讨论PA的最值 m i n P A A N r A C ==- max PA AM r AC ==+ 思考:过此A点作最短的弦?(此弦垂直AC)
六、直线与圆的位置关系 1.判断方法(d 为圆心到直线的距离) (1)相离?没有公共点?0d r ?> (2)相切?只有一个公共点?0d r ?=?= (3)相交?有两个公共点?0d r ?>?< 这一知识点可以出如此题型:告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围. 2.直线与圆相切 (1)知识要点 ①基本图形 ②主要元素:切点坐标、切线方程、切线长等 问题:直线l 与圆C 相切意味着什么? 圆心C 到直线l 的距离恰好等于半径r (2)常见题型——求过定点的切线方程 ①切线条数 点在圆外——两条;点在圆上——一条;点在圆内——无 ②求切线方程的方法及注意点... i )点在圆外 如定点()00,P x y ,圆:()()222x a y b r -+-=,[()()22 200x a y b r -+->] 第一步:设切线l 方程()00y y k x x -=- 第二步:通过d r =k ?,从而得到切线方程 特别注意:以上解题步骤仅对k 存在有效,当k 不存在时,应补上——千万不要漏了! 如:过点()1,1P 作圆22 46120x y x y +--+=的切线,求切线方程. 答案:3410x y -+=和1x = ii )点在圆上 1) 若点()00x y ,在圆222x y r +=上,则切线方程为200x x y y r += 会在选择题及填空题中运用,但一定要看清题目. 2) 若点()00x y ,在圆()()22 2x a y b r -+-=上,则切线方程为 ()()()()200x a x a y b y b r --+--= 碰到一般方程则可先将一般方程标准化,然后运用上述结果. 由上述分析,我们知道:过一定点求某圆的切线方程,非常重要的第一步就是——判断点与圆的位置关系,得出切线的条数. ③求切线长:利用基本图形,222AP CP r AP =-?= 3.直线与圆相交 (1)求弦长及弦长的应用问题 垂径定理....及勾股定理——常用
4.1.2 圆的一般方程 1.方程064222=--++y x y x 表示的图形是【 】 A.以)2,1(-为圆心,11为半径的圆 B.以)2,1(为圆心,11为半径的圆 C.以)2,1(--为圆心,11为半径的圆 D.以)2,1(-为圆心,11为半径的圆 2.方程224250x y x y m ++-+=表示圆的条件是【 】 A. 114 m << B. 1m > C. 14m < D. 1m < 3.已知圆的方程为086222=++-+y x y x ,那么通过圆心的一条直线方程是【 】 A.012=--y x B.012=++y x C.012=+-y x D.012=-+y x 4.圆222430x y x y +-++=的圆心到直线1x y -=的距离为【 】 A . 2 B. C. 1 D. 5.与圆0352:22=--+x y x C 同圆心,且面积为其一半的圆的方程是【 】 A.3)1(22=+-y x B.6)1(22=+-y x C.9)1(22=+-y x D.18)1(22=+-y x 6.圆x 2+y 2-4x -5=0的弦AB 的中点为P (3,1),则直线AB 的方程是 . 7.已知方程042422=--++y x y x ,则22y x +的最大值是 . 8.已知圆C :(x -1)2+y 2=1,过坐标原点O 作弦OA ,则OA 中点的轨迹方程是 . 9.求经过三点(1,1)A -,(1,4)B ,(4,2)C -的圆的方程,并求出圆的圆心与半径.
参考答案 1. D 2. D 3. B 4. D 5. D 6. x +y -4=0 7. 14+ 8. 2211()24x y -+=(x ≠0) 9. 设所求圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=, ∵ (1,1)A -、(1,4)B 、(4,2)C -三点在圆上,代入圆的方程并化简,得 24174220D E F D E F D E F -+=-??++=-??-+=-?,解得D =-7,E =-3,F =2. ∴ 所求圆的方程为227320x y x y +--+=.
4.1.1圆的标准方程 教学目标: (1)掌握圆的标准方程,会由标准方程得出圆心与半径,能根据圆 心、半径写出圆的标准方程. (2)会用待定系数法与数形结合法求圆的标准方程. (3)培养学生用解析法研究几何问题的能力,渗透数形结合思想, (4)在探索圆的知识与特点时感受数学中的对称美与和谐美. 教学重点:圆的标准方程的得出与应用. 教学难点:根据不同的已知条件,求圆的标准方程 教学方法: 启发、引导、讨论. 教学过程: 一、新课引入 1.引入语: 通过上一章的学习,我们知道直线这一平面图形可以由一个代数中的二元一次方程来表示,称此方程为直线的方程。从而,通过方程利用代数的方法研究了直线的性质与特点。事实上,这种方法是解析几何解决问题的基本方法,我们还可以采用它研究其他的一些平面图形,比如:圆。 在直角坐标系中,两点确定一条直线,或者一点和倾斜角也能确定一条直线。圆作为平面几何中的基本图形,确定它的要素又是什么呢? (圆心,半径。圆心决定位置,半径决定大小) 那么我们能否在圆心与半径确定的条件下,找到一个方程与圆对应呢?这就是我们这节课的主要任务。(书写标题) 回顾直线方程得出的过程:在直线l 上任取一点P(x,y),找到该点的横纵坐标满足的一个关系式,通过验证,称此方程为直线的方程。 类似的,我们用得出直线方程方法来探求圆的方程。 二、讲授新课 确定圆的基本条件为圆心和半径,设圆的圆心坐标为(,)A a b ,半径为r (其中a 、b 、r 都是常数,0r ).设(,)M x y 为这个圆上任意一点,
那么点M 满足的条件是(引导学生自己列出){}P M MA r ==,由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条 件r =① 引导学生自己 证明r =为圆的方程,得出结论. 1.若点),(00y x M 在圆上,由上述讨论可知,点M 的坐标适用方程①. 2.若),(00y x 是方程①的一组解,则以这组解为坐标的点),(00y x M 到圆心A 的距离为r ,即点M 在圆心为A 的圆上. 故方 程r =为圆的一个方程。 方程①可等价变为:222()()x a y b r -+-= ② 方程②形式较①式更为和谐美观。 方程②也是圆心为(,)A a b ,半径为r 的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程. 特别地,若圆心为O (0,0),则圆的标准方程为:222r y x =+ 练习1 (口答) 、求圆的圆心及半径 (1)、422=+y x (2)、1)1(22=+-y x 练习2、写出下列圆的方程 (1)、圆心在原点,半径为3; 922=+y x (2)、圆心在(-3、4),半径为5 5)4()3(22=+++y x 三、例题解析 例1 已知两点A(4,9)、B(6,3),求以AB 为直径的圆的方程 分析:可以从计算圆心与半径. 解:解:圆心C (5,6)半径r=10 所求的圆的标准方程是10)6()5(22=-+-y x 把点)7,8(1M 的坐标代入方程10)6()5(22=-+-y x ,左右两边相等,点1M 的坐标适合圆的方程,所以点1M 在这个圆上;把点)5,3(2M 的坐标代入方程10)6()5(22=-+-y x ,左右两边不相等,点2M 的坐标不适合圆的方 程,所以点2M 不在这个圆上. 是否在这个圆上?并判断点 )5,3(),7,8(21M M
高一数学必修二圆与方程 知识点整理 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020
高一数学必修二《圆与方程》知识点整理 一、标准方程 1.求标准方程的方法——关键是求出圆心(),a b 和半径r ①待定系数:往往已知圆上三点坐标,例如教材119P 例2 ②利用平面几何性质 相切:利用到圆心与切点的连线垂直直线 相交:利用到点到直线的距离公式及垂径定理 2.特殊位置的圆的标准方程设法(无需记,关键能理解) 条件方程形式 圆心在原点()2220x y r r +=≠ 过原点()()()22 22220x a y b a b a b -+-=++≠ 圆心在x 轴上()()2220x a y r r -+=≠ 圆心在y 轴上()()2220x y b r r +-=≠ 圆心在x 轴上且过原点()()2220x a y a a -+=≠ 圆心在y 轴上且过原点()()2220x y b b b +-=≠ 与x 轴相切()()()2220x a y b b b -+-=≠ 与y 轴相切()()()22 20x a y b a a -+-=≠ 与两坐标轴都相切()()()2220x a y b a a b -+-==≠ 二、一般方程 1.220Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆方程则 2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法:如教材122P 例r 4 3.2240D E F +->常可用来求有关参数的范围 三、点与圆的位置关系 1.判断方法:点到圆心的距离d 与半径r 的大小关系 d r ?点在圆外 2.涉及最值: (1)圆外一点B ,圆上一动点P ,讨论PB 的最值
标准方程(x - a )2 + (y - b )2 = r 2 ,圆心 (a , b ),半径为 r 11 11 11 11 0 0 第二节:圆与圆的方程典型例题 一、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径。二、圆的方程 (1) ; 点 M (x , y ) 与圆(x - a )2 + ( y - b )2 = r 2 的位置关系: 当(x - a )2 + ( y - b )2 > r 2 ,点在圆外 当(x - a )2 + ( y - b )2 = r 2 ,点在圆上 当(x - a )2 + ( y - b )2 < r 2 ,点在圆内 (2) 一般方程 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 当 D 2 + E 2 - 4F > 0 时,方程表示圆,此时圆心为?- D E ? ,半径为r = 当 D 2 + E 2 - 4F = 0 时,表示一个点; 当 D 2 + E 2 - 4F < 0 时,方程不表示任何图形。 ,- ? ? 2 2 ? 2 (3) 求圆方程的方法: 一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程, 需求出 a ,b ,r ;若利用一般方程,需要求出 D ,E ,F ; 另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。 例 1 已知方程 x 2 + y 2 - 2(m - 1)x - 2(2m + 3) y + 5m 2 + 10m + 6 = 0 . (1) 此方程表示的图形是否一定是一个圆?请说明理由; (2) 若方程表示的图形是是一个圆,当 m 变化时,它的圆心和半径有什么规律?请说明理由. 答案:(1)方程表示的图形是一个圆;(2)圆心在直线 y =2x +5 上,半径为 2. 练习: 1.方程 x 2 + y 2 + 2x - 4 y - 6 = 0 表示的图形是( ) A.以(1,- 2) 为圆心, 为半径的圆 B.以(1,2) 为圆心, 为半径的圆 C.以(-1,- 2) 为圆心, 为半径的圆 D.以(-1,2) 为圆心, 为半径的圆 2.过点 A (1,-1),B (-1,1)且圆心在直线 x +y -2=0 上的圆的方程是( ). A .(x -3)2+(y +1)2=4 B .(x +3)2+(y -1)2=4 C .(x -1)2+(y -1)2=4 D .(x +1)2+(y +1)2=4 3.点(1,1) 在圆(x - a )2 + ( y + a )2 = 4 的内部,则 a 的取值范围是( ) A. -1 < a < 1 B. 0 < a < 1 C. a < -1 或 a > 1 D. a = ±1 4.若 x 2 + y 2 + ( -1)x + 2y + = 0 表示圆,则的取值范围是 5. 若圆 C 的圆心坐标为(2,-3),且圆 C 经过点 M (5,-7),则圆 C 的半径为 . 6. 圆心在直线 y =x 上且与 x 轴相切于点(1,0)的圆的方程为 . 7. 以点 C (-2,3)为圆心且与 y 轴相切的圆的方程是 . 1 D 2 + E 2 - 4F
必修二圆与方程专题讲义 一、标准方程 ()()2 2 2x a y b r -+-= 1.求标准方程的方法——关键是求出圆心(),a b 和半径r 2.特殊位置的圆的标准方程设法(无需记,关键能理解) 二、一般方程 ( )222 2040x y D x E y F D E F ++++=+- > 1.220Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆方程,则 2222 0004040 A B A B C C D E AF D E F A A A ? ? =≠=≠????=?=????+->??????+-?> ? ?????? ? 2.求圆的一般方程方法 ①待定系数:往往已知圆上三点坐标
②利用平面几何性质 涉及点与圆的位置关系:圆上两点的中垂线一定过圆心 涉及直线与圆的位置关系:相切时,利用到圆心与切点的连线垂直直线;相交时,利用到点到直线的距离公式及垂径定理 3.2240D E F +->常可用来求有关参数的范围 三、点与圆的位置关系 1.判断方法:点到圆心的距离d 与半径r 的大小关系 d r ?点在圆外 2.涉及最值: (1)圆外一点B ,圆上一动点P ,讨论PB 的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ (2)圆内一点A ,圆上一动点P ,讨论PA 的最值 min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+ 思考:过此A 点作最短的弦?(此弦垂直AC ) 3.以1122(,),(,)A x y B x y 为直径两端点的圆方程为 1212()()()()0x x x x y y y y --+--= 四、直线与圆的位置关系 1.判断方法(d 为圆心到直线的距离) (1)相离?没有公共点?0d r ?> (2)相切?只有一个公共点?0d r ?=?= (3)相交?有两个公共点?0d r ?>?<
圆与方程 1. 圆的标准方程:以点),(b a C 为圆心,r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例:圆心在坐标原点,半径为r 的圆的方程是:222r y x =+. 2. 点与圆的位置关系: (1). 设点到圆心的距离为d ,圆半径为r : a.点在圆内 d <r ; b.点在圆上 d=r ; c.点在圆外 d >r (2). 给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-. ①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-? ②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-? ( ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-? (3)涉及最值: ① 圆外一点B ,圆上一动点P ,讨论PB 的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ ② 圆内一点A ,圆上一动点P ,讨论PA 的最值 min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+ 思考:过此A 点作最短的弦?(此弦垂直AC ) 3. 圆的一般方程:022=++++F Ey Dx y x . (1) 当0422>-+F E D 时,方程表示一个圆,其中圆心??? ??--2,2E D C ,半径2 422F E D r -+=.
(2) 当0422=-+F E D 时,方程表示一个点??? ? ?--2,2E D . (3) 当0422<-+F E D 时,方程不表示任何图形. 注:方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是:0=B 且0≠=C A 且0422φAF E D -+. 4. 直线与圆的位置关系: 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+- 圆心到直线的距离22B A C Bb Aa d +++= 1)无交点直线与圆相离??>r d ; 2)只有一个交点直线与圆相切??=r d ; 3)有两个交点直线与圆相交??