图形推理中的“相似图形”
一般情况下，如果一组图形的组成元素相同或者相似度很高，那么我们就可以称这样的图形为相似图形。“相似图形”通常考察的规律是：平移、旋转、去同存异、去异存同和规律叠加。
一、平移
例1：从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性( )
解析：此题选B。此题的规律为图形依次向中间平移，同学们需要注意，在图形发生位置移动时，是不能丢元素的，所以第二组图形平移之后中间线条是要出头的。故选B。
二、旋转
例2：从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性
( )
解析：此题选C。观察九宫格，会发现每行有旋转规律，第一行图形每次逆时针旋转90°，第二行图形每次逆时针旋转90°，所以第三行图形也遵循相同规律。故本题选C。
三、去同存异
例3：从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性( )
解析：此题选D。九宫格的题目按照我们的常规思路横行或者纵行找规律，此题很明显需要横行找规律。那我们仔细观察第一行，第一个图形和第二个图形叠加后去同存异可得第三个图形；第二行中发现，第一个图形和第二个图形叠加之后去同存异并不能得到第三个图形，因为三角形的位置发生了变化，所以需要重新思考规律。那么这道题目的规律为每一行第一个图形先左右翻转，再和第二个图形叠加去同存异可得第三个图形，故答案选择D。
四、去异存同
例4：从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性( )
解析：此题选D。第一组图形中，将第2个图形上下翻转后，再与第一个图形进行去异存同的叠加运算，第二组图形满足相同规律。故选D。
五、规律叠加
例5：从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性( )
解析：此题选A。九宫格每行前两个图形上半部分去同存异得到第三个图形上半部分，排除C、D；下半部分是规律叠加，叠加规律为：白+黑=白，白+白=黑，黑+白=黑，黑+黑=白。故选A。
图形的相似 【教学目标】 知识与技能： 1．理解并掌握两个图形相似的概念、理解相似形的特征，掌握相似形的识别方法。 2．掌握相似多边形的特征，会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并能运用相似多边形的性质进行相关计算。 过程与方法： 观察生活中的形状相同的图形，初步认识理解相似图形的概念，在此基础上理解相似图形的特征，进一步掌握相似图形的识别方法，并通过归纳、类比、反思、交流，提高数学思维水平。 . 情感、态度与价值观： 培养学生的观察力，激发学生的探究的兴趣和欲望，并进行美育渗透。 【教学重点】 理解并掌握两个图形相似的概念及特征。 【教学难点】 1．理解相似形的特征，掌握识别相似图形的方法。 2．能运用相似多边形的特征进行相关的计算。 【教学流程】 ~ 一、情境引入 问题1：图中的两个图形有什么关系什么样的图形是全等形 追问：如果把其中的一个放大镜缩小，它们还全等吗 引出课题：这节课来探究这类问题。 二、探究归纳
（一）相似图形 @ 出示一组图形。 定义：形状相同的图形叫做相似图形。 问题2：相似图形在我们的生活中是很常见的，你能再举出一些相似图形的例子吗 如：放电影时，银幕上的画面与胶片上的画面是相似图形；复印机把一个图形放大，放大后的图形与原来的图形是相似图形。 问题3：国旗上的大五角星与小五角星是相似图形吗四颗小五角星呢 全等图形是相似图形，相似图形不一定是全等图形，即全等图形是特殊的相似。 、 问题4：观察这四组相似图形，其中一个图形可以看作由另一个图形怎样变换得到 每对图形中的两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到的。 思考：一个女孩儿从平面镜和哈哈镜里看到的自己的形象，这些镜中的形象相似吗 平面镜中看到的图像，和自己是一样的，它们相似； 哈哈镜中看到的图像，有的被“压扁”了，有的被“拉长”了，它们不相似。 （二）相似多边形 ~ A B C D是两个大小不同的四边形。 问题5：四边形ABCD与四边形 1111 （1）它们相似吗
第课时 1.通过具体实例认识相似图形,理解和掌握两个图形相似的概念. 2.理解相似图形的性质定理,掌握相似图形的判定定理. 1.通过观察实际生活中的图形,辨析相似图形,让学生体会数学与实际生活密切联系,激发学生学习兴趣. 2.通过观察、测量、辨析、归纳等数学活动,经历相似图形的概念的形成过程,培养学生观察能力及归纳总结能力. 1.通过观察识别相似图形,渗透生活和数学中美的教育. 2.通过小组合作交流,培养学生共同探究的合作意识. 3.通过识别生活中的相似图形,激发学生探究、发现数学问题的兴趣. 【重点】 理解并掌握相似图形的概念及特征. 【难点】 理解相似图形的特征,掌握识别相似图形的方法. 【教师准备】多媒体课件1~2. 【学生准备】预习教材P24~25. 导入一: 欣赏图片. 【课件1展示】 (1)汽车和它的模型 (2)大小不同的两个足球 (3)大小不同的两张照片
【引导语】上面各组图片的共同之处是什么?这些图形涉及的就是我们这章要学习的相似形问题. 导入二: 请同学们看黑板正上方的五星红旗,五星红旗上的大五角星与小五角星它们的形状、大小有什么关系?导入三: 【复习提问】 1.什么是全等形?全等形的形状和大小有什么关系? (能够完全重合的图形是全等形,全等形的形状相同、大小相等) 2.判断下列图形是不是全等形?如何判断? (下列两幅图片均是全等形.判断依据:形状相同、大小相等) [设计意图]通过欣赏生活中的图片,让学生体会数学来源于生活,激发学生学习的兴趣,感受数学中的美.在欣赏国旗上的五角星时,对学生进行爱国主义思想教育.同时通过复习全等形的概念及全等形的判定,为本节课相似形的学习做铺垫. 思路一 【思考1】以上展示的图片之间有什么特点?它们的形状和大小有怎样的关系? 【师生活动】学生观察思考,教师引导点拨它们形状相同、大小不等.共同归纳本节课学习重点——相似形的概念. 【结论】形状相同的图形叫做相似图形. 【思考2】全等形一定是相似图形吗?相似图形一定全等吗?它们之间有什么关系? 【师生活动】学生通过观察导入中图片,独立思考后小组交流,教师对学生回答进行点评,归纳全等形与相似形之间的关系. 【结论】全等图形是相似图形的一种特殊情况.全等图形一定相似,相似图形不一定全等. 【思考3】你能举出现实生活中一些相似图形的例子吗? 【师生活动】学生积极回答,通过生活中相似图形的实例巩固相似图形的概念,教师对思维活跃、积极参与的学生给予鼓励. 思路二 教师引导学生思考回答下列问题. (1)全等形的形状和大小之间有什么关系? (全等形的形状相同、大小相等) (2)观察上述图片,它们的形状和大小之间有什么关系? (形状相同、大小不等) (3)你能给出相似图形的定义吗? (形状相同的图形叫做相似形) (4)全等图形一定相似吗?相似图形一定全等吗? (全等图形一定相似,相似图形不一定全等) (5)归纳全等图形和相似图形之间的关系. (全等图形是相似图形的特例) (6)你能举出现实生活中一些相似图形的例子吗? 【师生活动】学生在教师设置的问题下积极思考回答,教师及时点拨和引导,最后课件展示探究结论.
图形的相似经典测试题及答案解析 一、选择题 1．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，则下列结论不正确的是（）A．AC2＝AD?AB B．CD2＝AD?BD C．BC2＝BD?AB D．CD?AD＝AC?BC 【答案】D 【解析】 【分析】 直接根据射影定理来分析、判断，结合三角形的面积公式问题即可解决． 【详解】 解：如图， ∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的高， ∴由射影定理得：AC2＝AD?AB，BC2＝BD?AB， CD2＝AD?BD； ∴CD BC AD AC ； ∴CD?AC＝AD?BC， ∴A，B，C正确，D不正确． 故选：D． 【点睛】 该题主要考查了射影定理及其应用问题；解题的关键是灵活运用射影定理来分析、判断、推理或解答． 2．如图，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE．下列结论：①EO⊥AC；②S△AOD＝4S△OCF；③AC：BD ＝21：7；④FB2＝OF?DF．其中正确的是（） A．①②④B．①③④C．②③④D．①③ 【答案】B 【解析】 【分析】 ①正确．只要证明EC=EA=BC，推出∠ACB=90°，再利用三角形中位线定理即可判断． ②错误．想办法证明BF=2OF，推出S△BOC=3S△OCF即可判断．
③正确．设BC=BE=EC=a ，求出AC ，BD 即可判断． ④正确．求出BF ，OF ，DF （用a 表示），通过计算证明即可． 【详解】 解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴CD ∥AB ，OD=OB ，OA=OC ， ∴∠DCB+∠ABC=180°， ∵∠ABC=60°， ∴∠DCB=120°， ∵EC 平分∠DCB ， ∴∠ECB= 1 2 ∠DCB=60°， ∴∠EBC=∠BCE=∠CEB=60°， ∴△ECB 是等边三角形， ∴EB=BC ， ∵AB=2BC ， ∴EA=EB=EC ， ∴∠ACB=90°， ∵OA=OC ，EA=EB ， ∴OE ∥BC ， ∴∠AOE=∠ACB=90°， ∴EO ⊥AC ，故①正确， ∵OE ∥BC ， ∴△OEF ∽△BCF ， ∴ 1 2 OE OF BC FB == ， ∴OF= 1 3 OB ， ∴S △AOD =S △BOC =3S △OCF ，故②错误， 设BC=BE=EC=a ，则AB=2a ，3，223(7 2)a a +， ∴7a ， ∴AC ：3a 7217，故③正确， ∵OF= 13OB=7 6 a ，
第1页 共3页 数学测试（4） 一.选择题 1、两地实际距离是500m,画在图上的距离是25cm ，若在此图上量的A 、B 两地相距为4cm ，则A 、B 两地的实际距离是 A 、800m B 、8000m C 、32250m D 、3225m 2、如图，矩形ABCD 中，DE ⊥AC ，E 为垂足，图中 相似三角形共有（全等除外） A 、3对 B 、4对 C 、5对 D 、6对 3、如图，D 为△ABC 的边BC 上的一点，连结AD ，要 使△ABD ∽△CBA ，应具备下列条件中的（ ） A 、 BC AB CD AC = B 、BD AB =2 ·BC C 、AD BD CD AB = D 、CD AC =2·BC A 、所有的等腰三角形都相似B 、有一对锐角相等的两个角三角形相似 C 、全等的三角形一定相似； D 、所有的等边三角形都相似 5、Rt ?ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，∠BAC 的平分线分别交BC 、CD 于点E 、F 。图中共有8个三角形，如果把一定相似的三角形归为一 类，那么图中的三角形可分为（ ）类。 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 6.已知 0432≠==c b a ,则 c b a +的值为( ) A.54 B.45 C.2 D.2 1 7.已知⊿ABC 的三边长分别为2,6,2,⊿A ′B ′C ′的两边长分别是1和3,如果⊿ABC 与⊿A ′B ′C ′相似,那么⊿A ′B ′C ′的第三边长应该是( ) A.2 B. 22 C.26 D.3 3 8.如图,AB 是斜靠在墙上的长梯,梯脚B 距墙脚1.6m,梯上点D 距墙1.4m,BD 长0.55m,则梯子的长为( ) A.3.85m B.4.00m C.4.40m D.4.50m 5.如图,∠ACB=∠ADC=90°,BC=a,AC=b,AB=c,要使⊿ABC ∽⊿CAD,只要CD 等于( ) A.c b 2 B.a b 2 C.c ab D.c a 2 9.一个钢筋三角架三 长分别为20cm,50cm,60cm,现要再做一个与其相似的钢筋三角架,而只有长为30cm 和50cm 的两根钢筋,要求以其中的一根为一边,从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边,则不同的截法有( ) A.一种 B.两种 C.三种 D.四种 10、在△ABC 与△中，有下列条件：①；⑵ ③∠A ＝∠；④∠C ＝∠。如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断 △ABC ∽△的共有（ ）组。 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 二.填空题 11、如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AC 、BD 相交于点O ，若S △OAB ：S △OBC = 1：4，则S △OAD ：S △OCB = 。 12、在口ABCD 中，E 为CD 上一点，DE ：CE=2：3，连接AE 、BE 、BD 且AE 、BD 交于F ， 则S △DEF ：S △EBF ：S △ABF = 。 13、如图，DE//BC ，CD 和BE 相交于点O ，S △DOE ：S △COB =16：25，则AD ：DB= 。 14、把正方形ABCD 沿对角线AC 的方向移动到A 1B 1C 1D 1的位置，它们重叠部分的面积是 正方形ABCD 的面积的一半，若AC=2，则平移的距离是 。 15、如图，D 为△AB Ｃ的边ＡＣ上的一点，∠ＤＢＣ＝∠Ａ，ＢＣ＝2，△ＢＣＤ与△ＡＢＣ 的面积比是２：３ ，则ＣＤ＝ 。 1６、如图，已知△ＡＢＣ中，ＤＥ//ＦＧ//ＢＣ，（１）若 ＡＤ：ＦＤ：ＦＢ＝１：２：３，则Ｓ１：Ｓ２：Ｓ３＝ ；（２）若Ｓ１：Ｓ２：Ｓ３＝１：２：３，则ＡＤ：ＦＤ：ＦＢ＝ 。 C B A '''C B BC B A AB ''=''C A AC C B BC ''= ''A 'C 'C B A '''第5题 A B C D E F D A B C E 第2题图 A B D C 第 3题 第8题图 第9题图 O D C B A F E D C B A E O D C B A D 1C 1 B 1 A 1D C B A 第12题图 第13题图 第14题图
图形的相似经典测试题及解析 一、选择题 1．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（） A．（―1，2） B．（―9，18） C．（―9，18）或（9，―18） D．（―1，2）或（1，―2） 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析：方法一：∵△ABO和△A′B′O关于原点位似，∴△ ABO∽△A′B′O且OA' OA ＝ 1 3 . ∴A E AD ＝ 0E 0D ＝ 1 3 .∴A′E＝ 1 3 AD＝2，OE＝ 1 3 OD＝1.∴A′（－1,2）.同理可得A′′（1,―2）. 方法二：∵点A（―3，6）且相似比为1 3 ，∴点A的对应点A′的坐标是（―3× 1 3 ， 6×1 3 ），∴A′（－1,2）. ∵点A′′和点A′（－1,2）关于原点O对称，∴A′′（1,―2）.故答案选D.
考点：位似变换. 2．如图，四边形ABCD 内接于O e ，AB 为直径，AD CD =，过点D 作DE AB ⊥于点 E ，连接AC 交DE 于点 F .若3sin 5 CAB ∠=，5DF =，则AB 的长为( ) A ．10 B ．12 C ．16 D ．20 【答案】D 【解析】 【分析】 连接BD ，如图，先利用圆周角定理证明ADE DAC ∠=∠得到5FD FA ==，再根据正弦的定义计算出3EF =，则4AE =，8DE =，接着证明ADE DBE ??∽，利用相似比得到16BE =，所以20AB =． 【详解】 解：连接BD ，如图， AB Q 为直径， 90ADB ACB ∴∠=∠=?， AD CD =Q ， DAC DCA ∴∠=∠，
20 8 F C 课题：10.3相似图形 一．学习目标 ： 知识与技能：1．了解形状相同的图形是相似的图形； 2．理解相似三角形、相似比的概念． 过程与方法：1．经历观察、操作、归纳、类比、反思、交流的过程，提高数学思维水平； 2．通过渗透类比的思想方法，进一步体会数学内容之间的内在联系，初步认 识特殊与一般的辩证关系； 3．通过几何图形的变换发展空间观念； 4．通过从直观发现到自觉说理的过渡，培养有条理的表达能力。 情感态度与价值观：分析、欣赏相似图形，提高审美意识，增强学习数学的兴趣和自信心。 二．学习重点：相似三角形定义的理解和认识。 三．学习难点：准确判断出相似三角形的对应角和对应边。 四．自主探究： 操作：（小组合作） （1）度量课本第90页放大镜中的三角形和原三角形对应的角和边，你发现了什么？ （2）放大镜中的三角形和原三角形形状相同吗？它们相似吗？ 五．课堂巩固： 1、下列命题正确的是（ ） A 、所有的等腰三角形都相似 B 、所有的直角三角形都相似 C 、所有的等边三角形都相似 D 、所有的矩形都相似 2、若△ABC ∽△ A ′B ′C ′ ，且 ，则△ABC 与△ A ′B ′C ′相似比是 ，△ A ′B ′C ′与△ABC 的相似比是 。 注意：相似三角形的相似比具有顺序性。 3、△ABC 的三条边的长分别为6、8、10，与△ABC 相似的△A ′B ′C ′的最长边为30则△ A ′ B ′ C ′的最短边的长为_______。 4、 如图，判断下面两个三角形是否相似，简单 说明理由；若相似，写出相似三角形对应边的比例式，求出相似比k 。 5、 在图中的△ABC 内任取一点M ，连结MA 、MB 、 MC ，分别取MA 、MB 、MC 的中点A ′、B ′、C ′，连结 A ′ B ′、B ′ C ′、 C ′A ′，△ABC 和△ A ′B ′C ′相似吗？ 为什么？ 2''=B A AB
图形的相似单元测试题 班级 姓名 学号 一、填空题（每小题3分,共24分） 1.如果四条线段m, n, x, y 成比例,若m=2 , n=8 , y=20 .则线段x 的长是__________. 2.边长为12cm 的等边三角形按2:1的比例缩小后的三角形是边长为________的_______三角形. 3.已知△ABC ∽△DEF, AB ＝6 , DE ＝8 , 则:ABC DEF S S ??＝________. 4.已知三个数2,2,请你再添一个数,写出一个比例式________. 5.点P 是△ABC 中AB 边上的一点,过点P 作直线 (不与直线AB 重合)截△ABC,使截得三角形与 △ABC 相似,满足这样条件的直线最多________条. 6.电视节目主持人在主持节目时,站在舞台上的黄金分割点处最 自然得体,若舞台AB 长为20cm,试计算主持人应走到离A 点 至少____________________m 处.(结果精确到0.1m) 7.一个4米高的电线杆的影长是6米,它临近的一个建筑物的影长 是36米.则这个建筑的高度是_________. 8.如图,若DE ∥BC,FD ∥AB,AD ∶AC ＝2∶3 ,AB ＝9,BC ＝6,则四边形BEDF 的周长为________. 二、选择题（每小题4分,共40分） 1.若果mn ab =,则下列比例式中不正确的是( ) A.a n m b = B.a m n b = C.m n a b = D.m b a n = 2.已知:如图2,在△ABC 中,∠ADE=∠C,则下列等式成立的是( ) A.AD AE AB AC = B.AE AD BC BD = C.DE AE BC AB = D.DE AD BC DB = 3.已知正五边形ABCDE 与正五边形'''''A B C D E 的面积比为1:2，则它们的相似比为（ ） A. 1:2 B. 2:1 C.22 4.如图,两个位似图形△ABO 和△' ''C B A ， 若OA:'OA ＝3:1,则正确的是( ) A.AB:''A B ＝3:1 B.'AA :'BB ＝AB:'AB C.OA:'OB =2:1 D.∠A ＝∠'B 5.在比例尺是1:3800的南京交通游览图上,玄武湖隧道长约7cm,它的实际长度约为( )
八年级数学相似图形知识点梳理 ※1、如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n,或写成. ※2、四条线段a、b、c、d中,如果a与b的比等于c 与d的比,即,那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段,简称比例线段. ※3、注意点: ①a:b=k,说明a是b的k倍; ②由于线段a、b的长度都是正数,所以k是正数; ③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致; ④除了a=b之外,a:b≠b:a,与互为倒数; ⑤比例的基本性质:若,则ad=bc;若ad=bc,则 ※1、如图1,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比. ※2、黄金分割点是最优美、最令人赏心悦目的点. ¤1、一般地,形状相同的图形称为相似图形. ※2、对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比. ※1、在相似多边形中,最为简简单的就是相似三角形.
※2.对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比. ※3、全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于1.注意:证两个相似三角形,与证两个全等三角形一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上. ※4、相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比. ※5、相似三角形周长的比等于相似比. ※6、相似三角形面积的比等于相似比的平方. ※1、相似三角形的判定方法: 一般三角形直角三角形 基本定理:平行于三角形的一边且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形与原三角形相似. ①两角对应相等; ②两边对应成比例,且夹角相等; ③三边对应成比例.①一个锐角对应相等; ②两条边对应成比例: a.两直角边对应成比例; b.斜边和一直角边对应成比例. ※2、平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. ※3、平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延
《相似图形》水平测试二 一、试试你的身手（每小题3分，共30分） 1在比例尺为1 : 50 0000的福建省地图上，量得省会福州到漳州的距离约为46厘米，则福州到漳州实际距离约为__________ 千米. 2.若线段a , b , c , d成比例，其中a 5cm, b 7cm, c 4cm，则d _________________ 3.已知4x 5y 0,则(x y): (x y)的值为 9： 25,其中一个三角形的周长为36cm,则另一个三角形的周 长是 （如图1），如果把各边中点连线所围成三角形铺成黑色大理石, 其余部分铺成白色大理石，则黑色大理石的面积与白色大理石的面积之比为 4?两个相似三角形面积比是 5.把一个矩形的各边都扩大4倍，则对角线扩大到________ 倍，其面积扩大到 _______ 倍. 6?厨房角柜的台面是三角形 7?顶角为36。的等腰三角形称为黄金三角形，如图 黄金三角形，已知AB 1,贝U DE的长_________ 2, △ ABC, △ BDC , △ DEC 都是&在同一时刻，高为 1.5m的标杆的影长为2.5m，一古塔在地面上影长为50m，那么古塔的高为_________ . 9?如图3, △ ABC 中，DE // BC , AD 2 , AE 3, BD 4，贝U AC (: 10.如图4，在△ ABC和厶EBD中 EB 之差为10cm，则△ ABC的周长是_________ 二、相信你的选择（每小题3分，共30分） 1 .在下列说法中，正确的是（） A .两个钝角三角形一定相似 B. 两个等腰三角形一定相似 C. 两个直角三角形一定相似 D .两个等边三角形一定相似 BD ED 3 2.如图5,在厶ABC中，D , E分别是AB、AC边上的点，DE // BC , / ADE 30°, Z C 120°，则/ A ( )
课题：27.1图形的相似 P34—39 【教学内容及其分析】 1、内容：这是九年级人教版数学第27章第1节内容。主要讲述相似图形的概念、怎样判别相似图形以及从相似三角形到相似多边形的特征。 2、分析：本部分内容虽然只需要讲解一个概念：相似。但所要准备的工作却有很多， 特别是如何从相似的一般性到特殊性，再回到一般性的过程很重要。 【目标以及分析】 1、教学目标：通过一些相似的实例，让学生观察相似图形的特点，感受形状相同的意义，理解相似图形的概念．能通过观察识别出相似的图形．能根据直觉在格点图中画出已知图形的相似图形． 2、分析：在获得知识的过程中培养学习的自信心． 【教学问题诊断分析】 相似图形在日常生活是非常普遍的，如何把它引入到数学中来，及如何引导学生通过观 察识别相似的图形，培养学生的观察分析及归纳能力是一个特别要关注的问题。 【教学过程设计】 （一）教学流程 创设情境，提出问题→探索新知，解决问题→巩固与练习→小结 （二）教学情景 1、创设情境，引出问题 问题1：我们日常生活中有哪些图形给我们以相似的感觉，它们的形状、大小各有什么特征？还有，我们地理所说的比例尺又是怎么回事呢？ 问题2：观察课本第34页图24.1.1、图27.1-1，每组图形中的两图之间有什么关系？ 问题3：相似三角形有什么特征，相似多边形呢？它们的各角、各边各有什么变化？ （设计意图：此问题贴近学生生活，容易激发学生学习兴趣，能较快的引入新课。） 2、探索新知，解决问题 （设计意图：学生结合课本，在自主探究问题过程中发现问题，解决问题，并总结规律，加深对所学知识的理解。） 观察同一张底片洗出的不同尺寸的照片，不同大小的足球，还有汽车和它的模型，它们有什么特征？ （1）归纳：每组图形中的两个图形形状相同，大小不同；具有相同形状的图形叫相似图形． （2）老师还可结合实例说明： ①相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关． ②相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况． ③我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． （3）若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形． 两个正三角形，其中一大一小，我们可以把其中较大的一个当作是较小的那个经过图形放大所得到的，那么它们之间有什么关系？延伸到多边形呢?下面我们进一步研究相似多边
经典练习题相似三角形 一．解答题（共30小题） 1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC． 2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G． （1）求证：△CDF∽△BGF； （2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长． $ 3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC． 求证：△ABC∽△FDE．
4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD． ; 5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点． （1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形； （2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立； （3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．
6．如图，E是?ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明． | 7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． （1）填空：∠ABC=_________°，BC=_________； （2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论． 8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问： ' （1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的 （2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
《相似图形》水平测试 一、试试你的身手（每小题3分，共30分） 1．在比例尺为1∶50 0000的福建省地图上，量得省会福州到漳州的距离约为46厘米，则福州到漳州实际距离约为 千米． 2．若线段a ，b ，c ，d 成比例，其中5cm a =，7cm b =，4cm c =，则d = ． 3．已知450x y -=，则():()x y x y +-的值为 ． 4．两个相似三角形面积比是9∶25，其中一个三角形的周长为36cm ，则另一个三角形的周长是 ． 5．把一个矩形的各边都扩大4倍，则对角线扩大到 倍，其面积扩大到 倍． 6．厨房角柜的台面是三角形(如图1)，如果把各边中点连线所围成三角形铺成黑色大理石，其余部分铺成白色大理 石，则黑色大理石的面积与白色大理石的面积之比为 ． 7．顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图2，ABC △，BDC △，DEC △都是黄金三角形，已知1AB =，则DE 的长= ． 8．在同一时刻，高为1.5m 的标杆的影长为2.5m ，一古塔在地面上影长为50m ，那么古塔的高为 ． 9．如图3，ABC △中，DE BC ∥，2AD =，3AE =，4BD =，则AC = ． 10．如图4，在ABC △和EBD △中，53 AB BC AC EB BD ED ===，ABC △与EBD △的周长之差为10cm ，则ABC △的周长是 ． 二、相信你的选择(每小题3分，共30分) 11．在下列说法中，正确的是（ ） A ．两个钝角三角形一定相似 B ．两个等腰三角形一定相似 C ．两个直角三角形一定相似 D ．两个等边三角形一定相似 12．如图5，在ABC △中，D ，E 分别是AB 、AC 边上的点，DE BC ∥，30ADE =∠，120C =∠， 则A =∠（ ） A ．60° B ．45° C ．30° D ．20° 13．如果三角形的每条边都扩大为原来的5倍，那么三角形的每个角（ ） A ．都扩大为原来的5倍 B ．都扩大为原来的10倍 C ．都扩大为原来的25倍 D ．都与原来相等 14．如图6， 在Rt ABC △中，90ACB =∠，CD AB ⊥于D ，若1AD =，
27.1 图形的相似 一．选择题： 1、下列各组数中，成比例的是（ ） A ．－7，－5，14，5 B ．－6，－8，3，4 C ．3，5，9，12 D ．2，3，6，12 2、如果x:(x+y)＝3:5，那么x:y ＝( ) A. B. C. D. 3、如图，F 是平行四边形ABCD 对角线BD 上的点，BF ∶FD=1∶3，则BE ∶EC=（ ） A 、21 B 、31 C 、32 D 、4 1 4、下列说法中，错误的是（ ） （A ）两个全等三角形一定是相似形 （B ）两个等腰三角形一定相似 （C ）两个等边三角形一定相似 （D ）两个等腰直角三角形一定相似 5、如图，RtΔABC 中，∠C ＝90°，D 是AC 边上一点，AB ＝5，AC ＝4，若ΔABC ∽ΔBDC ， 则CD ＝ ． A ．2 B ．32 C ．43 D ．9 4 二、填空题 6、已知a ＝4，b ＝9，c 是a b 、的比例中项，则c ＝ ． 7、如图，要使ΔABC ∽ΔACD ，需补充的条件是 ．（只要写出一种） 8、如图，小东设计两个直角，来测量河宽DE ，他量得AD ＝2m ，BD ＝3m ，CE ＝9m ，则河宽DE 为 （第5题） （第7题） 2 3833258
9、一公园占地面积约为8000002m ，若按比例尺1∶2000缩小后，其面积约为 2m ． 10、如图，点P 是RtΔABC 斜边AB 上的任意一点（A 、B 两点除外）过点P 作一条直线，使截得的三角形与RtΔABC 相似，这样的直线可以作 条． 三、解答题 11、如图18—95，AB 是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B 距墙80cm ，梯上点D 距墙70cm ，BD 长55cm ．求梯子的长．(8分) 12、如图，已知AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AO ＝78cm ，BO ＝42cm ，CD ＝159cm ，求CO 和DO ．(8分) （第10题）
众兴中学初三数学导学案 课题图形的相似（一） 教学目的: (1)从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似,理解相似图形概念． (2)了解成比例线段的概念，会确定线段的比． 重点、难点 1．重点：相似图形的概念与成比例线段的概念． 2．难点：成比例线段概念． 一. 观察图片，体会相似图形 1 、同学们，请观察下列几幅图片，你能发现些什么你能对观察到的图片特点进行归纳吗 (课本图( 课本图 2 、小组讨论、交流．得到相似图形的概念． 什么是相似图形 3 、思考：如图是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们相似吗 观察思考，小组讨论回答： 二、成比例线段概念
1．问题：如果把老师手中的教鞭与铅笔，分别看成是两条线段AB 和CD ，那么这两条线段的比是多少 归纳：两条线段的比，就是两条线段长度的比． 2、成比例线段： 对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如d c b a =（即ad=bc ），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 【注意】 （1）两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计算时要注意统一单位；（2）线段的比是一个没有单位的正数；（3）四条线段a,b,c,d 成比例，记作d c b a =或a:b=c:d ；（4）若四条线段满足d c b a =，则有ad=bc ． 三、例题讲解 例1（补充：选择题）如图，下面右边的四个图形中，与左边的图形相似的 是（ ） 例2（补充）一张桌面的长a=，宽b=，那么长与宽的比是多少 （1）如果a=125cm ，b=75cm ，那么长与宽的比是多少 （2）如果a=1250mm ，b=750mm ，那么长与宽的比是多少 小结：上面分别采用m 、cm 、mm 三种不同的长度单位，求得的b a 的值是________的，所以说，两条线段的比与所采用的长度单位______，但求比时两条线段的长度单位必须____． 例3（补充）已知：一张地图的比例尺是1:，量得北京到上海的图上距离大约为，求北京到上海的实际距离大约是多少km
标准对数视力表 0.1 4.0 0.12 4.1 0.15 4.2 相似三角形在实际生活中的应用 【知识点击】 1、如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过 ，那么这样的两个图形就称为位似图形。此时的这个点叫做 ，相似比又称为 ． 注：位似图形作为一种特殊的相似图形，是最重要的图形之一．但相似图形未必都能够成位似关系．所谓位似图形，是指两个图形不仅是相似图形，而且___________________，此时的这个点叫做位似中心，相似比又称为_____________．位似图形具有相似图形的所有性质，利用位似的方法可以将一个多边形放大或缩小． 2、相似多边形的性质_____________________________________________________ 【重点演练】 知识点一、位似图形 例1、如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O 和△ABC 的顶点均在小正方形的顶点. （1）以O 为位似中心，在网格图中作△A ′B ′C ′和△ABC 位似，且位似比为1︰2； （2）连接（1）中的AA ′,求四边形AA ′C ′C 的周长.（结果保留根号） 例2、如图3，以点O 为位似中心，将五边形ABCDE 放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA =10cm ，OA ′=20cm，则五边形ABCDE 的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是 ． 变式训练： 1.视力表对我们来说并不陌生．如图是视力表的一部分，其中开口向上的两 个“E ”之间的变换是（ ） A ．平移 B ．旋转 C ．对称 D ．位似 2. 如图，正方形OEFG 和正方形ABCD 是位似形，点F 的坐标为（1，1），点C 的坐标为（4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是 ． 图3 ′
第六章《图形的相似》单元测试卷 一、选择题： 1.（2015?东营）若 3 4 y x =，则 x y x + 的值为……………………………………………（）A．1； B ． 4 7 ； C ． 5 4 ； D． 7 4 ； 2. 已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a=9cm，b=4cm，则线段c长………（） A．18cm； B．5cm； C．6cm； D．±6cm； 3. 已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB=4，那么AP的长是………………（） A．252 -；B．25 -； C．251 -； D．52 -； 4. （2015?荆州）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（） A．∠ABP=∠C；B．∠APB=∠ABC；C． AP AB AB AC =； D． AB AC BP CB =； 5. （2016?临夏州）如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是………（） A．1：16； B．1：4； C．1：6； D．1：2； 6. （2015?恩施州）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE：EA=3：4，EF=3，则CD的长为…… （）A．4； B．7； C．3； D．12； 8. 如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB=9，BD=3，则CF等于（） A．1； B．2； C．3； D．4； 10.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着 A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为……（）A．2； B．或； C．或； D．2或或； 二、填空题：11. 如果在比例尺为1：1?000?000的地图上，A、B两地的图上距离是厘米，那么A、B两地的实际距离是? 千米． 第4题图 第8题图第12题图 第10题图 第6题图第7题图
城关一中九年级数学学案----§24.1 相似的图形课型：新授课 执笔：党京丽审核：卢晓峰授课人：党京丽授课时间：学案编号：【课题】 【学习目标】 1、通过实例理解相似图形的概念； 2、会识别相似图形，通过图形识别提高自己的观察能力； 3、能按照要求画出相似的图形，会根据条件制作出相似的图形。 【学习重点】：相似图形的概念 【学习难点】：相似图形的识别与作图 【自主学习】 1、什么是全等图形： 2、阅读课本第42页，然后快速写出你的答案： （1）、什么是相似图形 （2）、生活中还有那些相似图形，请举例并与同学交流补充： 3、相似图形与全等图形的区别与联系是什么？ 【学习过程】 一、主要知识点 1、在数学上，称为相似图形。 2、相似图形只与形状有关，与它们的大小、位置无关。 【课堂练习】 1、下列说法错误的是( ) A.等腰三角形的两腰之比是1; B.直角三角形斜边上的中线与斜边之比是1:2 C.所有的等边三角形都相似; D.矩形和长与宽之比一定是2:1 2、请把相似的图形连线： 3.下列图形是不是相似图形：
所有的圆形；所有的正方形；所有的直角三角形；平面镜中的图形与实际图形；哈哈镜中的图形与实际图形；放大镜下的图形与原来的图形 【作业】 1、下列说法正确的是（） A．所有的菱形都相似B．所有的矩形都相似、 C．所有的正方形都相似D．所有的梯形都相似 3、小明的文具袋里有一个塑料的小等腰直角三角形，教室的讲台上有一木制的大等腰直角三角板，那么这两个三角板（） A．形状相同B．形状不同C．边长不成比例D．无法比较 4、放大镜中的三角形与原三角形的关系是（） A．形状不同，大小不同B．形状相同，大小相同 C．形状相同，大小不同D．形状不同，大小相同 7、将直角三角形的三条边的长度都扩大同样的倍数后，得到的三角形（） A．可能是锐角三角形 B．仍是直角三角形 C．可能是钝角三角形 D．不能确定是什么三角形 8、我们已经学习了相似三角形，也知道，如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形．比如两个正方形，它们的边长、对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形．现给出下列4对几何图形：①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；④两个正六边形，是相似图形的有（） A．①③ B．①② C．①④ D．②③ 10、如图，试将一个等边三角形分割为6个相似的三角形． 11、如图所示的两个矩形是否相似？
相似中的基本图形---A 型.X 型 基本图形: A 型 X 型 一、 可以判断A 、X 型相似的条件： 1、 2、 3、 4、 （注意：在A 型中可以直接由由平行得到，在X 型中不可以直接由平行得到相似，需要由平行得到角相等，再由角相等判断三角形相似）上述四个条件中任意一个都可以判断△ADE ∽△ABC 二、若△ADE ∽△ABC ，则有下列结论： 1） 2 3、 4、周长比： 5、面积比： 6、等积式： 例1、如图，△ABC ，AD=2，BD=3，AE=1，若DE ∥BC ，求CE 的长。 基础练习： 1、如图1CE=4，若DE ∥BC ，则 2、在△ABC D 作DE ∥BC 交AC 于E S △ADF ：S △BCED 3、已知D 、、AC 上，DE ∥BC 长之比为3：DB= 。 4、如图2，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，BE 、CD 交于点O ，则△ADE ∽ ，相似比K 1= ；△ODE ∽ ，相似比K 2= 。 5、如图，E 是平行四边形ABCD 的边似三角形 对。 6对，它们分别是7的三角形的有 个，它们分别是8、如图，△ABC 中，DE ∥BC ，GF 9、如图，在△ABC 中，中线BE ，CD 10．如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB EF DE AB BC =；4）CE EA CF BF =，其中正确的比例式的个数有11．如图，在△ABC 中，AB=15，AC=12，AD 是∠BAC 的外角平分线，DE ∥AB ，交AC 的延A B D E C A E D B C C C B A D C E
长线于点E ，那么CE 等于 。 12．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB 、AC 上的点， DC 交BF 于F ，且AD=13AB ，AE=12 EC ，求证：1）△DEF ∽△CBF ；2）D F ·BF=EF ·CF 13．在△ABC 中，D ，E 分别是AB 、AC 的中点，F 是 BC 延长线上的一点，DF 平分CE 于点G ，CF=1，则 BC= ，△ADE 与△ABC 的周长之比为 ， △CFG 与△BFD 的面积之比为 14、如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是BE 的中点，AE ，DF 交于点H ，则S △EFH ：S △ADH = 15．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 、BD 交于点O ，S △AOD ：S △COB =1：9，则S △ODC ：S △OBC = 。 16．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边上一点，且BE ：EC=2：1，AE 与BD 交于点F ，则三角形AFD 与四边形DFEC 的面积之比是 。 17、如图，在△ABC 中，BC=12，点D 、E 是AB 的三等分点，F 、G 是AC 的二等分点，则DE+FG+BC= 。 18、如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 为AB 的三等分点，DM 、DN 分别交AC 于P 、Q 两点，则AP ：PQ ：QC= 。 19、已知点D 是AD 边的中点，AF ∥BC ，CG ：GA=3：2，则AF= 20、如图，在△ABC 中，∠BAC=900，AD ⊥BC ，PA=PD ，BP 交AC 于E ，EF ⊥BC ，FE 与BA 的延长线相交于点G ，求证：EF 2=A E ·EC 。 21、在△ABC 中，AB=AC=6，作边AC 的垂直平分线，与AC 交于点D ，与直线AB 交于点E ，与直线BC 交于点F ，若DE=4，则CF= 。（画出图像，写出解答过程） 22、在△ABC 中，D 为AC 的中点，E 是BC 延长线上一点，过A 作AH ∥BE ，连结ED 并延长交AB 于F ，交AH 于H 。 1）求证：AH=CE 2）如果AB=4AF ，EH=8，求DF 的长。 23、如图，在正方形ABCD ，一等腰直角三角板的一个锐角顶点与A 重合，交此三角板旋转，两边分别交直线BC 、CD 于EF 1）线段BE 、DF 、EF 之间又有怎样的数量关系。 2）作直线BD 交直线AE 于点P ，若EF=10，CE=8，求AP 的长。 24、如图，D 为△ABC 的边上的一点，E 为CB 的延长线上一点，且EF AC FD BC =，求证：AD=EB 25、如图，E 、F 分别为△ABC 的边AB 、AC 上的点，且BE=CF ，EF 的延长线 与BC 的延长线交于点D ，求证：AB DF AC DE = 26、如图，在△ABC 中，D 为BC 边上的中点，在AD 上任取一点O ，过O 作BO 交AC 于点F ，作CO 交AB 于E ，边结EF 。 求证：EF ∥BC 27、已知，如图，在△ABC 中，F 为AB 边上的点，2BF=AF ，过F 作FE ⊥BC 于点E ，直线EF 与直线AC 交于点D ，若EF=3，BE=4，∠C=450，求DF 的长。 C