用样本估计总体
【学习目标】
1.在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图.
2.通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征，从而恰当地选择上述方法分析样本的分布，准确地做出总体估计.
3.正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差.
4.能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并做出合理的解释.
5.会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征.
【要点梳理】
要点一、频率分布的概念
频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小.一般用频率分布直方图反映样本的频率分布.其一般步骤为：
1.计算一组数据中最大值与最小值的差，即求极差
2.决定组距与组数
3.将数据分组
4.列频率分布表
5.画频率分布直方图
要点诠释：
频率分布直方图的特征：
1.从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体趋势.
2.从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了.
要点二、频率分布折线图、总体密度曲线
1.频率分布折线图的定义：
连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图.
2.总体密度曲线的定义：
在样本频率分布直方图中，样本容量越大，所分组数越多，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.
要点诠释：
总体密度曲线能够精确地反映了总体在各个范围内取值的百分比，它能给我们提供更加精细的信息，能够精确的反映一个总体在各个区域内取值的规律.
要点三、茎叶图
当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图.
要点诠释：
茎叶图的特征：
(1)用茎叶图表示数据有两个优点：一是在统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示.
(2)茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，而且茎叶图只方便记录两组的数据，两个以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两个记录那么直观，清晰.
要点四、众数、中位数与平均数
1.众数
一组数据中出现次数最多的数据叫做众数.如果变量是分类的，用众数是很有必要的.例如班委会要作出
一项决定，考察全班同学对它赞成与否就可以用众数.
2.中位数
将一组数据从小到大依次排列，把中间数据(或中间两数据的平均数)叫做中位数.中位数把样本数据分成了相同数目的两部分.
3.平均数
样本数据的算术平均数，即121
()n x x x x n
=
+++.
要点诠释：
由于众数仅能刻画某一数据出现的次数较多，中位数对极端值不敏感，而平均数又受极端值左右，因此这些因素制约了仅依赖这些数字特征来估计总体数字特征的准确性.
要点五、标准差与方差 1.标准差
样本数据1,2,
,n x x x 的标准差的算法：
(1)算出样本数据的平均数x .
(2)算出每个样本数据与样本数据平均数的差：()12i x x i n -=， ，， (3)算出(2)中()12i x x i n -=， ，，的平方. (4)算出(3)中n 个平方数的平均数，即为样本方差. (5)算出(4)中平均数的算术平方根，，即为样本标准差. 其计算公式为：
s =
2.方差
从数学的角度考虑，人们有时用标准差的平方2
s (即方差)来代替标准差，作为测量样本数据分散程度的工具：
2222121
[()()()]n s x x x x x x n
=
-+-++-
要点诠释：
在刻画样本数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差. 数据的离散值程度可以用极差、方差或标准差来描述.极差反映了一组数据变化的幅度；样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小；样本方差的算术根表示样本的标准差，它也描述了数据对平均数的离散程度.
【典型例题】
类型一：频率分布表、频率分布直方图
例1．在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月1日至30日，评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图（如下图所示）．已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，第三组的频数为12，请解答下列问题：
（1）本次活动共有多少件作品参加评比？ （2）哪组上交的作品数最多？有多少件？
（3）经过评比，第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖，问这两组哪组获奖率较高？ 【答案】（1）60 （2）四组 18（3）六组 【解析】 （1）依题意知第三组的频率为41
2346415
=+++++．
∵第三组的频数为12， ∴本次活动的参评作品数为
12
6015
=件）
． （2）根据频率分布直方图，可以看出第四组上交的作品数量最多，共有6
6018
234641
?=+++++（件）．
（3）第四组的获奖率是
105
189
=， 第六组上交的作品数量为1
603234641
?=+++++（件）
， ∴第六组的获奖率为
2639
=． 显然第六组的获奖率较高．
【总结升华】弄清所求问题是什么，并正确地运算是做对题的关键．本题主要考查同学们对频率分布直方图的理解，只有熟悉它的特征，才能清楚数据分布的总体趋势，根据直方图反映的信息正确解题．
举一反三：
【变式1】某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图（如下图所示）．根据频率分布直方图推测，这3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________．
例2．阅高考试卷有一个环节叫“试批”．某省为了了解和掌握考生的实际答卷情况，随机地抽取了100名考生的数学成绩，数据如下（单位：分）：
135 98 102 110 99 121 110 96 100 103 125 97 117 113 110 92 102 109 104 112
105 124 87 131 97 102 123 104 104 128
109 123 111 103 105 92 114 108 104 102
129 126 97 100 115 111 106 117 104 109
111 89 110 121 80 120 121 104 108 118
129 99 90 99 121 123 107 111 91 100
99 101 116 97 102 108 101 95 107 101
102 108 117 99 118 106 119 97 126 108
123 119 98 121 101 113 102 103 104 108
（1）列出频率分布表；
（2）画出频率分布直方图和折线图；
（3）估计该省考生数学成绩在100～120分之间的比例；
（4）设该省有20万考生，估计该省考生数学成绩不及格的人数（满分150分，90分及以上视为及格）；
（5）根据折线图估计该省考生的数学成绩在哪一个分数段的人数将会最多．
【思路点拨】理解频率分布直方图的具体含义.
【解析】100个数据中，最大值为135，最小值为80，极差为135－80=55．
把100个数据分成11组，这时组距
55
5
11
===
极差
组数
．
注：表中加上“频率
组距
”一列，这是为画频率直方图准备的，因为它是频率直方图的纵坐标．
（2）根据频率分布表中的有关信息画出频率分布直方图及折线图，见下图．
（3）从频率分布表中可知，这100名考生的数学成绩在100～120分之间的频率为0.24+0.15+0.12+0.09=0.60，据此估计该省考生数学成绩在100～120分之间的比例为60％（0.60=60％）．
（4）100名考生中，数学成绩不及格的频率为0.01+0.02=0.03．比例为3％．
200000×3％=6 000（人）．
估计该省考生数学成绩不及格的有6000人．
（5）折线图的最高点位于100～105之间，据此估计该省考生的数学成绩在100～105分这个分数段的人数将会最多．
【总结升华】本例中，决定分点时，直接使用了最小值加组距，即80+5k（k=1，2，…，11），而没有把最小值减去某一个数（例如80－0.5=79.5）作为第1个分点，这是因为100个分数是明确的，即它们都在80～135之间．凡事都要具体问题具体分析，不可教条化．本例是把5分看成一个分数段，统计各段的情况．
举一反三：
【变式1】一个容量为20的样本，分组后，组距与频数如下[10，20]，2；（20，30]，3；（30，40]，4；（40，50]，5；（50，60]，4；（60，70]，2，则样本在（－∞，50]上的频率为（）
A．1
20
B．
1
4
C．
1
2
D．
7
10
【答案】 D
【解析】根据频率的计算公式频率=
频数
样本容量
求解．
频率
2345147 2345422010
+++
===
+++++
．
（2）画出频率分布直方图；
（3）估计该电子元件寿命在100～400 h以内的占总体的比例；
（4）估计该电子元件寿命在400 h以上的在总体中占的比例．【解析】
（1）样本频率分布表如下：
（2）频率分布直方图如下图所示；
（3）估计该电子元件寿命在100～400 h以内占总体的比例为65％；
（4）估计该电子元件寿命在400 h 以上的在总体中占的比例为35％．
类型二：众数、中位数、平均数
（1）求该公司人员月工资的平均数、中位数、众数；（精确到元）
（2）假设副董事长的工资从5000元提升到20000元，董事长的工资从5500元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？（精确到元）
（3）你认为哪个统计量更能反映这个公司人员的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．
【思路点拨】理解平均数、中位数、众数的概念． 【答案】（1）2091 1500 1500 （2）3288 （3）中位数和众数 【解析】 （1）平均数是
40003500200021500100055003020
150033
x ++?++?+?+?=+
150********≈+=（元）
， 中位数是1500元，众数是1500元． （2）平均数是
2850018500200021500100055003020
'1500150017883288
33
x ++?++?+?+?=+
≈+=（元），
中位数是1500元，众数是1500元．
（3）在这个问题中，中位数和众数均能反映该公司人员的工资水平．因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司人员的工资水平．
【总结升华】 （1）深刻理解和把握平均数、中位数、众数在反映样本数据上的特点，结合实际情况，灵活运用．
（2）众数、中位数、平均数三者比较，平均数更能体现每个数据的特征，它是各数据的重心． 举一反三：
【变式1】为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12. (1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？ (2)若次数在110以上(含110次)为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？ 在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个
小组内？请说明理由.
在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相
应各组的频率，小长方形的高与频数成正比，各组频
数之和等于样本容量，频率之和等于1. 【答案】 (1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数
据落在各小组内的频率大小，
因此第二小组的频率为：
4
0.0824171593
=+++++
又因为频率=
第二小组频数
样本容量
所以 12
1500.08
=
==第二小组频数样本容量第二小组频率
(2)由图可估计该学校高一学生的达标率约为
171593
100%88%24171593
+++?=+++++
(3)由已知可得各小组的频数依次为6，12，51，45，27，9，所以前三组的频数之和为69，前四组的频数之和为114，所以跳绳次数的中位数落在第四小组内.
类型三：方差、标准差
已经算得两个组的平均分都是80分．请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由．
【解析】 （1）甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些．
（2）2
1
251013146
s =+++++甲[2(50－80)2+5(60－80)2+10(70－80)2+13(80－80)2+14(90－80)2+6(100
－80)2]=
1
50(2×900+5×400+10×100+13×0+14×100+6×400)=172， 2
150
s =乙(4×900+4×400+16－100+2×0+12×100+12×400)=256．
∴22
s s <乙甲，
∴甲组成绩较乙组成绩稳定，故甲组成绩好些．
（3）甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分，其中，甲组成绩在80分以上的有33人，乙组成绩在80分以上的有26人，从这一角度看，甲组的成绩总体较好．
（4）从成绩统计表看，甲组成绩大于或等于90分的人数为14+6=20（人），乙组成绩大于或等于90分的人数为12+12=24（人），∴乙组成绩集中在高分段的人数较多，同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人，从这一角度看，乙组的成绩较好
【总结升华】 要正确解答这道题，首先要抓住问题中的关键词语．全方位地进行必要的计算，而不能习惯地仅从样本方差的大小去决定哪一组的成绩好，像这样的实际问题还得从实际的角度去分析，如本例的“满分人数”；其次要在恰当地评估后，组织好正确的语言作出结论．
举一反三： 【变式1】甲、乙两台机床在相同的技术条件下,同时生产一种零件,现在从中抽测10个,它们的尺寸分别如下（单位:mm) 甲机床：
10.2 10.1 10.0 9.8 9.9 10.3 9.7 10.0 9.9 10.1 乙机床：
10.3 10.4 9.6 9.9 10.1 10.9 8.9 9.7 10.2 10.0
分别计算上面两个样本的平均数和方差.如图纸规定零件的尺寸为10 mm ，从计算的结果来看哪台机床加工这种零件较合适？ 【解析】
101001011.101.102.10101=?=++=）（甲 x ，
1010101104.103.10101=?=+++=）（乙 x .
∴[]
2222101.10101.10102.10101）
（）（）（甲-+-+-= s =0.032
mm []
22221010104.10103.1010
1）
（）（）（乙-+-+-= s =0.062
mm . ∴2甲s ＜2乙s
∴用甲机床比乙机床稳定，即用甲机床加工较合适. 类型四：茎叶图
例5．某中学高二（2）班甲、乙两名学生自进入高中以来，每次数学考试成绩情况如下： 甲：95，81，75，91，86，89，71，65，76，88，94，110，107； 乙：83，86，93，99，88，103，98，114，98，79，78，106，101． 画出两人数学成绩的茎叶图，并根据茎叶图对两人的成绩进行比较．
【思路点拨】茎叶图便于表示两位有效数字的数据，而且茎叶图只方便记录两组的数据． 【答案】乙同学的成绩比较稳定
【解析】 甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示．
从这个茎叶图上可以看出，乙同学的得分情况是大致对称的，中位数是98；甲同学的得分情况，也大致对称，中位数是88．乙同学的成绩比较稳定，总体情况比甲同学好． 举一反三：
【变式1】在某高中篮球联赛中，甲、乙两名运动员的得分如下：
甲：14，17，25，26，30，31，35，37，38，39，44，48，51，53，54； 乙：6，15，17，18，21，27，28，33，35，38，40，44，56． （1）用茎叶图表示上面的样本数据，并求出样本数据的中位数；
（2）根据（1）中所求的数据分析甲、乙两名运动员中哪一位发挥得更加稳定． 【解析】（1）茎叶图如图所示．
甲运动员的中位数是37，乙运动员的中位数是28．
（2）从茎叶图上可以看出甲运动员的得分大致对称，中位数是37，乙运动员的得分也大致对称，中位数是28，因此，甲运动员发挥得比较稳定，总体得分比乙运动员高． 【变式2】 随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图. (1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (2)计算甲班的样本方差.
【答案】（1）乙班（2）57 【解析】（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于160179之间， 而乙班身高集中于170180之间． 因此乙班平均身高高于甲班; (2) 158162163168168170171179179182
17010
+++++++++=
=x
甲班的样本方差为：
()()()()()()()()()()
2222222222
115817016217016317016817016817010
17017017117017917017917018217057
[-+-+-+-+-+
-+-+-+-+-]=
2.2.1用样本的频率分布估计总体分布 一、教学目标分析 1．知识与技能目标 （1）通过实例体会分布的意义和作用。 （2）在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图。 （3）通过实例体会频率分布直方图的特征，能准确地做出总体估计。 2、过程与方法目标： 通过对现实生活的探究，感知应用数学知识解决问题的方法，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。 3、情感态度与价值观目标： 通过对样本分析和总体估计的过程，感受数学对实际生活的需要，认识到数学知识源于生活并指导生活的事实，体会数学知识与现实世界的联系。 二、教学的重点和难点 重点：会列频率分布表，画频率分布直方图。 难点：能通过样本的频率分布估计总体的分布。 三、教法与学法分析 1、教法：遵循观察、探究、发现、总结式的教学模式。重点以引导学生为主，让他们能积极、主动的进行探索，获取知识。由于内容较繁琐，所以要借助多媒体辅助教学。 2、学法：根据本节知识的特点，由于学生已具备一定的基础知识，可采取研究性学习的学习方法。 四、教学过程 （一）情境引入 1.随机抽样有哪几种基本的抽样方法？ 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样. 2.随机抽样是收集数据的方法，如何通过样本数据所包含的信息，估计总体的基本特征，即 用样本估计总体，是我们需要进一步学习的内容. 3.高二某班有50名学生，在数学必修②结业考试后随机抽取10名，其考试成绩如下： 82，75，61，93，62，55，70，68，85，78. 如果要求我们根据上述抽样数据，估计该班对数学模块②的总体学习水平，就需要有相应的数学方法作为理论指导，本节课我们将学习用样本的频率分布估计总体分布. （二）新课讲解 知识探究（一）：频率分布表 【问题】我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费. 通过抽样调查，获得100位居民2007年的月均用水量如下表（单位：t）： 3.1 2.5 2.0 2.0 1.5 1.0 1.6 1.8 1.9 1.6 3.4 2.6 2.2 2.2 1.5 1.2 0.2 0.4 0.3 0.4 3.2 2.7 2.3 2.1 1.6 1.2 3.7 1.5 0.5 3.8 3.3 2.8 2.3 2.2 1.7 1.3 3.6 1.7 0.6 4.1 3.2 2.9 2.4 2.3 1.8 1.4 3.5 1.9 0.8 4.3 3.0 2.9 2.4 2.4 1.9 1.3 1.4 1.8 0.7 2.0 2.5 2.8 2.3 2.3 1.8 1.3 1.3 1.6 0.9 2.3 2.6 2.7 2.4 2.1 1.7 1.4 1.2 1.5 0.5 2.4 2.5 2.6 2.3 2.1 1.6 1.0 1.0 1.7 0.8 2.4 2.8 2.5 2.2 2.0 1.5 1.0 1.2 1.8 0.6 2.2
第二节用样本估计总体 [最新考纲] 1.了解分布的意义与作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点.2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并做出合理的解释.4.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征．理解用样本估计总体的思想，会用样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题． 1．常用统计图表 (1)作频率分布直方图的步骤： ①求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)． ②决定组距与组数． ③将数据分组． ④列频率分布表． ⑤画频率分布直方图． (2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图(如图) 横轴表示样本数据，纵轴表示频率 组距 ，每个小矩形的面积表示样本数据落在该组内的频 率．各小矩形的面积和为1. (3)频率分布折线图和总体密度曲线 ①频率分布折线图：将频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺次连接起来，就得到频率分布折线图． ②总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．2．样本的数字特征 (1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数． (2)中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数
据的平均数)叫做这组数据的中位数． (3)平均数：把x ＝ x 1＋x 2＋…＋x n n 称为x 1，x 2，…，x n 这n 个数的平均数． (4)标准差与方差：设一组数据x 1，x 2，x 3，…，x n 的平均数为x ，则这组数据的标准差和方差分别是 s ＝ 1 n [x 1－x 2 ＋x 2－x 2 ＋…＋x n －x 2 ]； s 2＝1 n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]． [常用结论] 1．频率分布直方图中的常见结论 (1)众数的估计值为最高矩形的中点对应的横坐标． (2)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和． (3)中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积和是相等的． 2．平均数、方差的公式推广 (1)若数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，那么mx 1＋a ，mx 2＋a ，mx 3＋a ，…，mx n ＋a 的平均数是m x ＋a . (2)数据x 1，x 2，…，x n 的方差为s 2 . ①数据x 1＋a ，x 2＋a ，…，x n ＋a 的方差也为s 2 ； ②数据ax 1，ax 2，…，ax n 的方差为a 2s 2 . 一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势． ( ) (2)一组数据的方差越大，说明这组数据越集中. ( ) (3)频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越高． ( ) (4) 已知样本数据x 1，x 2，…，x n 的均值x ＝5，则样本数据2x 1＋1,2x 2＋1，…，2x n ＋1的均值为10. ( ) [答案](1)√ (2)× (3)√ (4)× 二、教材改编 1．一个容量为32的样本，已知某组样本的频率为0.25，则该组样本的频数为( ) A ．4 B ．8 C ．12 D ．16
第5章用样本推断总体 新城学校曹双飞 5.1总体平均数与方差的估计 学习目标： 1、理解总体与样本的关系，认识并体会统计估计的意义，实施办法及在实际问题中的应用。 2、理解用样本平均数、方差推断总体平均数与方差。 重点、难点 体会统计思想，并会用样本平均数和方差估计总体平均数和方差。 教学过程： 一、旧知回顾： 1、在调查研究过程中，总体是，个体是，样本是，样本容量是 2、平均数的计算公式是 3、方差的计算公式是 二快乐自学： 阅读教材P140-144 完成下列练习。 1、在总体中抽取样本，通过对样本的分析，去推断总体的情况，这就是 思想。 2、用样本平均数、方差去估计总体的然后再对事件发展做出决断、预测。 3、在“说一说”及“动脑筋”中，分别是可以用样本的 去估计总体的、 4、例题是通过计算零件直径的方差来得到机器两个时段的运作性能是否稳定正常的。 三、巩固练习: 1、P144 练习T1-- 2 2.为估计一个月家中使用管道煤气的开支情况，小强从15日起，连续八天每天晚上记录了家的煤气表显示的读数，如下表(注：煤气表上先后两次显示的读数之差就是这段时间内使用煤气的数量．单位：m3) 如果每立方煤气2.2元，请你估计小强家一个月(按30天计)使用管道煤气的费用是_____元(精确到0.1元)．
3.农科院对甲,乙两种甜玉米各用10块试验田进行试验,得到两个品种每公顷产量的两种数据: 根据这些数据，应为农科院选择甜玉米种子提出怎样的建议？ 解：用计算器算得样本数据的平均数是： X甲≈7.54 X乙≈7.52 说明在试验田中,甲,乙两种甜玉米的平均产量相差不大,由此估计在这个地区种植这两种甜玉米,它们的平均产量相差不大. 用计算器算得样本数据的方差是： S2甲≈0.01, S2乙≈0.002 得出 S2甲＞S2乙 说明在试验田中,乙种甜玉米的产量比较稳定,进而可以推测要这个地区种植乙种甜玉米的产量比甲的稳定. 综合考虑甲乙两个品种的产量和产量的稳定性,可以推测这个地区更适合种植乙种甜玉米. 四、归纳小结 本节课你有什么收获？还有什么问题？ 五、达标检测 1. 为了让人们感受丢塑料袋对环境造成的影响，某班环保小组的六名同学记录了自己家中一周内丢弃的塑料袋的数量，结果如下（单位：个）33，25，28，26，25，31．如果该班有45名学生，那么根据提供的数据，估计本周全班同学各家总共丢弃塑料袋的数量约（） A．900个B．1080个C．1260个D．1800个 2. 某食品店购进2000箱苹果，从中任选10箱，称得重量分别为（单位：千克）：16，16.5，14.5，1 3.5，15，16.5，15.5，14，14，1 4.5 若每千克苹果售价为2.8元，则利用样本平均数估计这批苹果的销售额是元________． 3．从总体中抽取一个样本，计算出样本方差为2，可以估计总体方差（）A．一定大于2 B．约等于2 C．一定等于2 D．与样本方差无关
河南省郑州市高考数学一轮复习：55 用样本估计总体 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 (共12题；共24分) 1. （2分） (2016高一下·大连期中) 样本a1 ， a2 ， a3 ，…，a10的平均数为，样本b1 ， b2 ， b3 ，…，b10的平均数为，那么样本a1 ， b1 ， a2 ， b2 ，…，a10 ， b10的平均数为（） A . + B . （ + ） C . 2（ + ） D . （ + ） 2. （2分）(2019·石家庄模拟) 甲、乙两人次测评成绩的茎叶图如图，由茎叶图知甲的成绩的平均数和乙的成绩的中位数分别是（） A . B . C . D . 3. （2分）一组数据的茎叶图如图所示，则数据落在区间内的概率为（）
A . 0.2 B . 0.4 C . 0.5 D . 0.6 4. （2分）从某鱼池中捕得1200条鱼，做了记号之后，再放回池中，经过适当的时间后，再从池中捕得1000条鱼，计算其中有记号的鱼为100条，试估计鱼池中共有鱼的条数为（） A . 10000 B . 12000 C . 1300 D . 13000 5. （2分） (2018高一下·长春期末) 抽样统计甲、乙两位同学5次数学成绩绘制成如图所示的茎叶图,则成绩较稳定的那位同学成绩的方差为（） A . B . C . D .
6. （2分）(2020·泉州模拟) 每年的台风都对泉州地区的渔业造成较大的经济损失．某保险公司为此开发了针对渔船的险种，并将投保的渔船分为I，II两类，两类渔船的比例如图所示．经统计，2019年I，II两类渔船的台风遭损率分别为15%和5%．2020年初，在修复遭损船只的基础上，对I类渔船中的20%进一步改造．保险公司预估这些经过改造的渔船2020年的台风遭损率将降为3%，而其他渔船的台风遭损率不变．假设投保的渔船不变，则下列叙述中正确的是（） A . 2019年投保的渔船的台风遭损率为10% B . 2019年所有因台风遭损的投保的渔船中，I类渔船所占的比例不超过 C . 预估2020年I类渔船的台风遭损率会小于II类渔船的台风遭损率的两倍 D . 预估2020年经过进一步改造的渔船因台风遭损的数量少于II类渔船因台风遭损的数量 7. （2分）一次考试某简答题满分5分，以0.5分为给分区间．这次考试有100人参加，该题没有得零分的人，所有人的得分按(0,1],(1,2],...(4,5]分组所得的频率分布直方图如图所示．设其众数、中位数、平均分最大的可能值分别为m0,mc,，则（） A . B . C . D . 8. （2分）如图所示的茎叶图记录了长郡中学的甲、乙两名同学在校级运动会的五次一千米训练成绩（单位：
. . . .. .. 2.2 用样本估计总体 教案 A 第1课时 教学容 §2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布 教学目标 一、知识与技能 1. 通过实例体会分布的意义和作用. 2. 在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图. 3.通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征，从而恰当地选择上述方法分析样本的分布，准确地做出总体估计. 二、过程与方法 通过对现实生活的探究，感知应用数学知识解决问题的方法，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法. 三、情感、态度与价值观 通过对样本分析和总体估计的过程，感受数学对实际生活的需要，认识到数学知识源于生活并指导生活的事实，体会数学知识与现实世界的联系. 教学重点、难点 重点：会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图. 难点：能通过样本的频率分布估计总体的分布. 教学设想 一、创设情境 在ＮＢＡ的2004赛季中，甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下﹕甲运动员得分﹕12，15，20，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50 乙运动员得分﹕8，13，14，16，23，26，28，38，39，51，31，29，33 请问从上面的数据中你能否看出甲，乙两名运动员哪一位发挥比较稳定？ 如何根据这些数据作出正确的判断呢？这就是我们这堂课要研究、学习的主要容——用样本的频率分布估计总体分布. 二、探究新知 探究1：我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费.如果希望大部分居民的日常生活不受影响，那么标准a定为多少比较合理呢？你认为，为了较为合理地确
在线分享文档 用样本估计总体 【教学目标】： 通过实例，使学生体会用样本估计总体的思想，能够根据统计结果作出合理的判 断和推测，能与同学进行交流，用清晰的语言表达自己的观点。 【重点难点】： 重点、难点：根据有关问题查找资料或调查，用随机抽样的方法选取样本，能用 样本的平均数和方差，从而对总体有个体有个合理的估计和推测。 【教学过程】： 一、课前准备 问题：2010年北京的空气质量情况如何？请用简单随机抽样方法选取该年的30 天，记录并统计这30天北京的空气污染指数，求出这30天的平均空气污染指数， 据此估计北京2010年全年的平均空气污染指数和空气质量状况。请同学们查询 中国环境保护网。 二、新课 师生用随机抽样的方法选定如下表中的30天，通过上网得知北京在这30天的空 气污染指数及质量级别，如下表所示： 这30个空气污染指数的平均数为107，据此估计该城市2010年的平均空气污染 指数为107，空气质量状况属于轻微污染。 讨论：同学们之间互相交流，算一算自己选取的样本的污染指数为多少？根据 样本的空气污染指数的平均数，估计这个城市的空气质量。 2、体会用样本估计总体的合理性 下面是老师抽取的样本的空气质量级别、所占天数及比例的统计图和该城市 2010年全年的相应数据的统计图，同学们可以通过比较两张统计图，体会用样 本估计总体的合理性。 经比较可以发现，虽然从样本获得的数据与总体的不完全一致，但这样的误差还 是可以接受的，是一个较好的估计。 练习：同学们根据自己所抽取的样本绘制统计图，并和2010年全年的相应数据 的统计图进行比较，想一想用你所抽取的样本估计总体是否合理？ 显然，由于各位同学所抽取的样本的不同，样本的污染指数不同。但是，正如我 们前面已经看到的，随着样本容量（样本中包含的个体的个数）的增加，由样本 得出的平均数往往会更接近总体的平均数，数学家已经证明随机抽样方法是科学 而可靠的 . 对于估计总体特性这类问题，数学上的一般做法是给出具有一定可
2021届一轮复习人教A 版 用样本估计总体 学案 1．用样本的频率分布估计总体分布 (1)作频率分布直方图的步骤。 ①求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)。 ②决定组距与组数。 ③将数据分组。 ④列频率分布表。 ⑤画频率分布直方图。 (2)频率分布折线图和总体密度曲线。 ①频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得频率分布折线图。 ②总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率分布折线图会越来越接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线。 (3)茎叶图。 茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数。 2．用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数：一组数据中出现次数最多的数。 (2)中位数：将数据按大小顺序排列，若有奇数个数，则最中间的数是中位数；若有偶数个数，则中间两数的平均数是中位数。 (3)平均数：x － ＝x 1＋x 2＋…＋x n n ，反映了一组数据的平均水平。 (4)标准差：是样本数据到平均数的一种平均距离，s ＝1 n [(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x － )2 ]。 (5)方差：s 2 ＝1n [(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x － )2 ](x n 是样本数据，n 是样本容量， x － 是样本平均数)。 1．频率分布直方图中各小矩形的面积之和为1。 2．频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系 (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数。 (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的。 (3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和。 3．平均数、方差的公式推广
第三十章样本与总体 总分100分，时间60分钟 一、选择题：（每小题3分，共24分） 1、下列问题适合抽样调查的个数是（） ①了解一批炮弹的杀伤半径；②调查科教片《走近科学的收视率》；③了解某班学生的视力情况；④检测某城市的空气质量状况； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2、下列调查的样本缺乏代表性的是（） A.为了解植物园一年中游客的人数，小名利用五一长假作了5天的进园人数调查 B.从养鸡场中随机抽取种鸡10只，来估计这批种鸡体重的平均值 C.为了解我市读者到市图书馆借阅图书的情况，从全年的借读人数中抽查了20天每天到图书馆借阅图书的人数 D.调查某电影院单排号的观众，以了解观众们对所看影片的评价情况 3、为了了解某校初三年级400名学生的体重情况，从中抽取了50名学生的体重进行统计分析，在这个问题中，总体是指（） A．400名学生 B．被抽取的50名学生 C．400名学生的体重 D．被抽取的50名学生的体重 4、下列哪项调查用全面调查方式最合适（） A．调查中小学生学习负担是否过重 B．调查中小学生课外资料花费情况 C．调查某种奶粉的合格率 D．调查禽流感病例在各省市的分布情况 5、调查学生对教师教学的评价，若选用抽样调查，下列选项正确的是（） A．只调查小组长 B．只调查班委干部 C．只调查学科好学生或学科差学生 D．利用学号随机地抽取部分学生 6、为了了解国民对公务员调资问题的看法，下列抽样调查中，样本选取最合理的是（） A．用手机短信的形式问卷调查 B．分别在机关企事业单位，私营企业个体经营户以及农村抽样调查 C．随机拨打电话进行询问 D．在互联网上进行问卷调查 7、班长对全班同学说：“请同学们投票，选举一位同学”你认为班长在收集数据过程中的 失误（） A．没有确定调查对象 B．没有规定调查方法 C．没有展开调查 D．没有明确调查问题 8、为了解我校八年级800名学生期中数学考试情况，从中抽取了200名学生的数学成绩 进行统计.下列判断：①这种调查方式是抽样调查；②800名学生是总体；③每名学生的数 学成绩是个体；④200名学生是总体的一个样本；⑤200名学生是样本容量.其中正确的判 断有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4 二、填空题：（每小题4分，共24分） 9、全面调查的缺点是；抽样调查的缺点是； 10、某果园有果树200棵，从中随机抽取5棵，每棵果树的产量如下（单位：㎏）：98，102，97，103，105，这5棵果树的平均产量为㎏；估计这200棵果树的总产量约为㎏； 11、某公园在“五一”黄金周期间，每天的平均入场券收入为1500元，由此可推算该公园五月份的入场券总收入可达1500×31=4.65（万），你认为这样的推理是否合理？简要说明理由；答：； 12、某校对七年级300名学生数学考试成绩作了一个全面调查，通过调查得知在某范围内的得分比例如图所示，则在76~90分这一段内的人数为； 13、下列是用普查的方式，是用抽查的方式来收集数据的。
用样本估计总体 【学习目标】 1.在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图. 2.通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征，从而恰当地选择上述方法分析样本的分布，准确地做出总体估计. 3.正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差. 4.能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并做出合理的解释. 5.会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征. 【要点梳理】 要点一、频率分布的概念 频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小.一般用频率分布直方图反映样本的频率分布.其一般步骤为： 1.计算一组数据中最大值与最小值的差，即求极差 2.决定组距与组数 3.将数据分组 4.列频率分布表 5.画频率分布直方图 要点诠释： 频率分布直方图的特征： 1.从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体趋势. 2.从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了. 要点二、频率分布折线图、总体密度曲线 1.频率分布折线图的定义： 连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图. 2.总体密度曲线的定义： 在样本频率分布直方图中，样本容量越大，所分组数越多，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线. 要点诠释： 总体密度曲线能够精确地反映了总体在各个范围内取值的百分比，它能给我们提供更加精细的信息，能够精确的反映一个总体在各个区域内取值的规律. 要点三、茎叶图 当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图. 要点诠释： 茎叶图的特征： (1)用茎叶图表示数据有两个优点：一是在统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示. (2)茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，而且茎叶图只方便记录两组的数据，两个以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两个记录那么直观，清晰. 要点四、众数、中位数与平均数 1.众数 一组数据中出现次数最多的数据叫做众数.如果变量是分类的，用众数是很有必要的.例如班委会要作出
用样本估计总体教案． 2.2.1用样本的频率分布估计总体分布 一、教学目标分析 1．知识与技能目标
（1）通过实例体会分布的意义和作用。（2）在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图。 （3）通过实例体会频率分布直方图的特征，能准确地做出总体估计。 2、过程与方法目标： 通过对现实生活的探究，感知应用数学知识解决问题的方法，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。
3、情感态度与价值观目标： 通过对样本分析和总体估计的过程，感受数学对实际生活的需要，认识到数学知识源于生活并指导生活的事实，体会数学知识与现实世界的联系。 二、教学的重点和难点 重点：会列频率分布表，画频率分布直方图。难点：能通过样本的频率分布估计总体的分布。 三、教法与学法分析． 1、教法：遵循观察、探究、发现、总结式的教学模式。重点以引导学生为主，让他们能积极、主动的进行探索，获取知识。由于内容较繁琐，
所以要借助多媒体辅助教学。 2、学法：根据本节知识的特点，由于学生 已具备一定的基础知识，可采取研究性学习的学习方法。 四、教学过程 （一）情境引入 1.随机抽样有哪几种基本的抽样方法？ 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样. 2.随机抽样是收集数据的方法，如何通过样本数据所包含的信息，估计总体的基本特征，
即用样本估计总体，是我们需要进一步学习的内容. 3.高二某班有50名学生，在数学必修②结业考试后随机抽取10名，其考试成绩如下： 82， 75， 61， 93， 62， 55， 70，68， 85， 78. 如果要求我们根据上述抽样数据，估计该班对数就需要有相应的数学学模块②的总体学习水平， 本节课我们将学习用样本的方法作为理论指导，. 频率分布估计总体分布（二）新课讲解
用样本估计总体一、基础知识 1．频率分布直方图 (1)纵轴表示频率 组距 ，即小长方形的高＝ 频率 组距 ； (2)小长方形的面积＝组距×频率 组距 ＝频率； (3)各个小方形的面积总和等于1 . 2．频率分布表的画法 第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝极差组数 ； 第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间； 第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表． 3．茎叶图 茎叶图是统计中用来表示数据的一种图， 茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁 边生长出来的数． 4．中位数、众数、平均数的定义 (1)中位数 将一组数据按大小依次排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数． (2)众数 一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数． (3)平均数 一组数据的算术平均数即为这组数据的平均数，n个数据x1，x2，…，x n的 平均数x＝1 n(x1＋x2＋…＋x n)．
5．样本的数字特征 如果有n个数据x1，x2，…，x n，那么这n个数的 (1)平均数x＝1 n(x1＋x2＋…＋x n)． (2)标准差s＝1 n[(x1－x) 2＋(x 2 －x)2＋…＋(x n－x)2]. (3)方差s2＝1 n[(x1－x) 2＋(x 2 －x)2＋…＋(x n－x)2]． 二、常用结论 1．频率分布直方图中的常见结论 (1)众数的估计值为最高矩形的中点对应的横坐标． (2)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和． (3)中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积和是相等的． 2．平均数、方差的公式推广 (1)若数据x1，x2，…，x n的平均数为x，则mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mx n＋a的平均数是m x＋a. (2)若数据x1，x2，…，x n的方差为s2，则数据ax1＋b，ax2＋b，…，ax n＋b 的方差为a2s2. 考点一茎叶图 [典例](优质试题·山东高考)如图所示的茎叶图记录了甲、 乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据 的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为() A．3,5B．5,5 C．3,7 D．5,7 [解析]由两组数据的中位数相等可得65＝60＋y，解得y＝5，又它们的平
《§6.2用样本估计总体》学案 一、学习要求： 1、掌握数据整理及其相关图表的制作方法 2、会求样本的平均值和标准差 3、能通过样本的分布和特征值来估计总体的分布和特征值 4、通过具体的实际问题，感受用样本估计总体分布规律的思想 二、学习重点、难点： 重点：数据整理及其相关图表的制作；样本特征值的计算；对总体分布和特征值的估计。 难点：频数频率分布图表和累计频率分布折线图的作用和分析；如何用样本的分布和特征值来估计总体。 三、学时安排：共4学时 第一学时：学习频率分布表，感受如何用样本频率分布表去估计总体分布，亲自体验制作频数频率分布表的过程。 第二学时：学习频率分布直方图，强化制作频率分布直方图的可操作性。 第三学时：学习平均数、方差和标准差的计算，熟悉并会用计算公式。 第四学时：建立用样本的分布估计总体的特征性质的思想，并小结本节内容四、学习过程： 第一学时 （一）课前尝试 1、学法指导： （1）回顾初中已经学过的频数分布表 （2）自学课本上P.8～10介绍的频数频率分布表。 2、尝试练习： 从某校高一年级的1002名新生中用系统抽样的方法抽取一个容量 为100的身高样本，数据如下（单位：cm），试作出该样本频率分布表。 168 165 171 167 170 165 170 152 175 174 165 170 168 169 171 166 164 155 164 158 170 155 166 158 155 160 160 164 156 162
160 170 168 164 174 171 165 179 163 172 180 174 173 159 163 172 167 160 164 169 151 168 158 168 176 155 165 165 169 162 177 158 175 165 169 151 163 166 163 167 178 165 158 170 169 159 155 163 153 155 167 163 164 158 168 167 161 162 167 168 161 165 174 156 167 166 162 161 164 166 （二）课堂探究： 1、探究问题：频数频率分布表能较好地反映总体分布情况，在实际中应用很广，因此，如何来制作频数频率分布表呢？ 2、知识链接：对总体分布的估计 (1)频数频率分布表 (2)频数频率分布表的制作 3、拓展练习：课本上P.9例1 一般地，编制频率分布表的步骤如下： （1）求全距，决定组数和组距，组距组数 全距 ； （2）分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间； （3）登记频数，计算频率，列出频率分布表。 4、当堂训练： 下面是某职业学校学生随机抽样的40名学生在一个月内的零花钱数据(单
人教版新课标普通高中◎数学③必修 2. 2 用样本估计总体 教案 A 第1课时 教学内容 §2. 2. 1 用样本的频率分布估计总体分布 教学目标 一、知识与技能 1.通过实例体会分布的意义和作用. 2.在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线 图和茎叶图 . 3.通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征，从而恰当地 选择上述方法分析样本的分布，准确地做出总体估计. 二、过程与方法 通过对现实生活的探究，感知应用数学知识解决问题的方法，理解数形结合的数学 思想和逻辑推理的数学方法 . 三、情感、态度与价值观 通过对样本分析和总体估计的过程，感受数学对实际生活的需要，认识到数学知识 源于生活并指导生活的事实，体会数学知识与现实世界的联系. 教学重点、难点 重点：会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图. 难点：能通过样本的频率分布估计总体的分布. 教学设想 一、创设情境 在ＮＢＡ的 2004 赛季中，甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下﹕ 甲运动员得分﹕ 12， 15，20， 25， 31， 31， 36， 36， 37， 39， 44， 49， 50 乙运动员得分﹕ 8， 13， 14， 16，23， 26，28， 38，39， 51，31， 29， 33 请问从上面的数据中你能否看出甲，乙两名运动员哪一位发挥比较稳定？ 如何根据这些数据作出正确的判断呢？这就是我们这堂课要研究、学习的主要内容——用样本的频率分布估计总体分布. 二、探究新知 探究 1：我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为 了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标 准a，用水量不超过 a 的部分按平价收费，超出 a 的部分按议价收费 . 如果希望大部分居 民的日常生活不受影响，那么标准a 定为多少比较合理呢？你认为，为了较为合理地确 1
用样本的频率分布估计总体分布（第1课时） 教学目标： 1.通过实例体会分布的意义和作用，通过对现实生活的探究，感知应用数学知识解决问题的方法. 2.通过表示样本数据的过程，学会列频率分布表，画频率分布直方图，理解数形结合的数学思想. 3.通过对样本分析和总体估计的过程，感受数学在实际生活中的作用，认识数学知识源于生活并指导生活的事实. 教学重点： 会列频率分布表，画频率分布直方图，了解样本频率分布与总体分布之间的关系 教学难点： 掌握频率分布直方图的正确画法，体会分布的意义与作用 教学方法：引导——探究教学法 教学过程： 一、创设情境，呈现问题 问题情境：我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，武汉市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费. 如果希望大部分居民的日常生活不受影响，那么标准a定为多少比较合理呢？ 二、操作讨论，构建新知 <知识探究1 改良频数分布表→频率分布表> 问题1：如果标准太低，会影响居民的日常生活；如果标准太高，则不利于节水.那么你认为，为了较合理地确定出这个标准，需要了解哪些相关信息，做哪些工作？ 【学生活动1】探究讨论，得到结论： ①为了制定一个较为合理的标准a，需要知道每个家庭的用水量 ②如何获得家庭用水量的有关信息？对家庭进行调查，采用抽样调查的方式 ③抽样时，样本容量定为多少比较合适？武汉市1000万人口，抽样10000比较合适 课堂上为了处理数据的方便，我们理想化地抽取100个数据的样本，比如： 通过抽样调查，获得100户居民的月均用水量如下表（单位：t） 3.1 2.5 2.0 2.0 1.5 1.0 1.6 1.8 1.9 1.6 3.4 2.6 2.2 2.2 1.5 1.2 0.2 0.4 0.3 0.4 3.2 2.7 2.3 2.1 1.6 1.2 3.7 1.5 0.5 3.8 3.3 2.8 2.3 2.2 1.7 1.3 3.6 1.7 0.6 4.1 3.2 2.9 2.4 2.3 1.8 1.4 3.5 1.9 0.8 4.3 3.0 2.9 2.4 2.4 1.9 1.3 1.4 1.8 0.7 2.0 2.5 2.8 2.3 2.3 1.8 1.3 1.3 1.6 0.9 2.3 2.6 2.7 2.4 2.1 1.7 1.4 1.2 1.5 0.5 2.4 2.5 2.6 2.3 2.1 1.6 1.0 1.0 1.7 0.8 2.4 2.8 2.5 2.2 2.0 1.5 1.0 1.2 1.8 0.6 2.2 问题2：从表中随意记录下的数据中很难直接看出规律，因此需要对统计数据进行整理分析. 回顾你看到全班的期末考试成绩单后是怎样分析的？
30.3 借助调查作决策 一、教学目标： 根据教材的地位与作用，以及对教材的自我分析和新课程标准要求，设计教学目标如下：知识目标：了解媒体是获取信息的一个重要渠道，学会从媒体上获取数据信息，包括上网、看电视、读报、听广播等，并通过对这些数据的分析进行决策． 能力目标：学会对来自媒体的数据信息进行合理的分析，发表自己的观点． 情感目标：通过对来自媒体的数据的分析与交流，在分析信息、提高分析辩别能力的同时，增强合作学习的意识与能力． 二、教学重点及难点： 根据课程标准的要求及本章的特点，确定本节重点为： 1.综合运用所学统计知识读取媒体信息，并进行适当的分析 2.能够对信息中数据的来源及处理数据的方法以及由此得到的结果进行合理的质疑. 根据学生的心理特点与认知要求的距离确定本节难点为： 从统计（数学）的角度对媒体信息进行质疑，并能有条理地阐述自己的观点. 三、引入 获取信息的一个重要渠道，通过媒体可以便捷地获取丰富、实时的信息 举例：如果明天我们要郊游，可以留意报纸、广播、电视中的天气预报或者上网查询，要是天气预报说“明天降雨概率为90%”，那我们可能都会带上雨具． 请同学再举几个通过媒体获取数据进行决策的例子 1.借助调查作决策 问题1 2001年“五·一”前夕，小明一家准备购买一台彩电．是买国产的还是进口的？是考虑价格便宜还是追求功能全面？最后决定在甲、乙、丙三个国产品牌中选择一个最畅销的品牌．小明上网查得截至2001年第一季度的最新数据，如表28.1.1所示． 如果你是小明，会怎样取舍呢？ 分析把这三个品牌彩电自1999年以来截至2001年第一季度的总销量和平均月销售量用图形表示．
用样本估计总体 要点梳理(预习学案) 1.频率分布直方图 （1）通常我们对总体作出的估计一般分成两种， 一种是用 .另一种 是用 . （2）在频率分布直方图中，纵轴表示 ，数据 落在各小组内的频率用 表示. 各小长方形的面积总和 （3）连结频率分布直方图中各小长方形上端的中 点，就得到频率分布折线图.随着 的增加，作图时所分的 增加，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线， 统计中 称之为 ，它能够更加精细的反映出 . （4）当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以 ，而且 可以 ，给数据的 和 都带来方便. 2.用样本的数字特征估计总体的数字特征 （1）众数、中位数、平均数 众数：在一组数据中，出现次数 的数据叫做这组数据的众数. 中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在 位置的一个数据（或最中间两个数据的 平均数）叫做这组数据的 . 平均数：样本数据的算术平均数.即 = . 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该 . （2）样本方差、标准差 标准差s= 其中n x 是 ，n 是 ____________________，- x 是_______________ 是反映总体波动大小的特征数， 样本方差是标准差的 .通常用样本方差估计总体方差，当 时,样 本方差很接近总体方差. 基础自测 1.一个容量为32的样本，已知某组样本的频率为 0.375，则该组样本的频数为 （ ） A.4 B.8 C.12 D.16 2.已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到-1，0，4，x,7，14，中位数为5，则这组数 据的平均数和方差分别为 （ ） A.5,24 B.5,24 C.4,25 D.4,25 3.某雷达测速区规定：凡车速大于或等于70 km/h 的汽车视为“超速”，并将受到处罚，如 图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的 频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有 （ ） A.30辆 B.40辆 C.60辆 D.80辆 ,])()()[(122221x x x x x x n n -++-+-
用样本估计总体 三维目标 1理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差，对样本数据中提取基本的数字作合理的解释 2会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征。 问题提出 1. 对一个未知总体，我们常用样本的频率分布估计总体的分布，其中表示样本数据的频率分布的基本方法有哪些？ 频率分布直方图、频率分布表、频率分布折线图、茎叶图 2. 美国NBA 在2006——2007年度赛季中，甲、乙两名篮球运动员在随机抽取的12场比赛中的得分情况如下： 甲运动员得分：12，15，20，25，31，30， 36，36，37，39，44，49. 乙运动员得分：8，13，14，16，23，26， 28，38，39，51，31，39. 如果要求我们根据上面的数据，估计、比较甲，乙两名运动员哪一位发挥得比较稳定，就得有相应的数据作为比较依据，即通过样本数据对总体的数字特征进行研究，用样本的数字特征估计总体的数字特征. 知识探究（一）：众数、中位数和平均数 思考1：以上两组样本数据如何求它们的众数、中位数和平均数？ 思考2：在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图中，你认为众数应在哪个小矩形内？由此估计总体的众数是什么？ 思考3：中位数左右两侧的直方图的面积应有什么关系？ 思考：在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图中，从左至右各个小矩形的面积 0.5 频率 组距0.40.30.2取最高矩形下端 中点的横坐标 2.25作为众数.
分别是0.04，0.08，0.15，0.22，0.25，0.14，0.06，0.04，0.02.由此估计总体的中位数是什么？ 0.5－0.04－0.08－0.15－0.22=0.01，0.5×0.01÷0.25=0.02，中位数是2.02. 思考5：平均数是频率分布直方图的“重心”，从直方图估计总体在各组数据内的平均数分别为多少？ 0.25，0.75，1.25，1.75，2.25， 2.75，3.25，3.75，4.25. 思考6：将频率分布直方图中每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标之积相加，就是样本数据的估值平均数. 由此估计总体的平均数是什么？ 0.25×0.04+0.75×0.08+1.25×0.15+1.75×0.22+2.25×0.25+2.75×0.14+3.25×06+3.7 5×0.04+4.25×0.02=2.02（t）. 平均数是2.02. 思考7：从居民月均用水量样本数据可知，该样本的众数是2.3，中位数是2.0，平均数是1.973，这与我们从样本频率分布直方图得出的结论有偏差，你能解释一下原因吗？ 频率分布直方图损失了一些样本数据，得到的是一个估计值，且所得估值与数据分组有关.注: 在只有样本频率分布直方图的情况下，我们可以按上述方法估计众数、中位数和平均数，并由此估计总体特征. 思考8 （1）一组数据的中位数一般不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是一个优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点，你能举例说明吗？ 如：样本数据收集有个别差错不影响中位数；大学毕业生凭工资中位数找单位可能收入较低. （2）样本数据的平均数大于（或小于）中位数说明什么问题？ 平均数大于（或小于）中位数，说明样本数据中存在许多较大（或较小）的极端值.
用样本估计总体 要点梳理(预习学案) 1.频率分布直方图 （1）通常我们对总体作出的估计一般分成两种， 一种是用 .另一种 是用 . （2）在频率分布直方图中，纵轴表示 ，数据 落在各小组内的频率用 表示. 各小长方形的面积总和 （3）连结频率分布直方图中各小长方形上端的中 点，就得到频率分布折线图.随着 的 增加，作图时所分的 增加，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线，统计中 称之为 ，它能够更加精细的反映出 . （4）当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以 ，而且可以 ，给数据的 和 都带来方便. 2.用样本的数字特征估计总体的数字特征 （1）众数、中位数、平均数 众数：在一组数据中，出现次数 的数据叫做这组数据的众数. 中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在 位置的一个数据（或最中间两个数据的平均 数）叫做这组数据的 . 平均数：样本数据的算术平均数.即 = . 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该 . （2）样本方差、标准差 标准差s= 其中n x 是 ，n 是 ____________________，- x 是_______________ 是反映总体波动大小的特征数，样本方差是标准差的 .通常用样本方差估计总体方差，当 时,样本方差很接近总体方差. 基础自测 1.一个容量为32的样本，已知某组样本的频率为 0.375，则该组样本的频数为 （ ） A.4 B.8 C.12 D.16 2.已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到-1，0，4，x,7，14，中位数为5，则这组数据的平均数和方差分别为 （ ） A.5,24 B.5,24 C.4,25 D.4,25 3.某雷达测速区规定：凡车速大于或等于70 km/h 的汽车视为“超速”，并将受到处罚，如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率 分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有 （ ） A.30辆 B.40辆 C.60辆 D.80辆 4.甲、乙两位同学参加了由学校举办的篮球比赛，它们都参加了全部的7场比赛，平均得分均为16分， 标准差分别为 5.09和3.72，则甲、乙两同学在这次篮球比赛活动中，发挥得更稳定的是（ ） A.甲 B.乙 C.甲、乙相同 D.不能确定 5.一个容量为20的样本数据，分组后，组别与频数如下： 则样本在（20，50］上的频率为 . 题型分类 深度剖析(讲授学案) 题型一 频率分布直方图在总体估计中的应用 【例1】 为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图，图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组频数为12. (1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）若次 数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高 一学生的达标率是多少？ ,])()()[(12 2221x x x x x x n n -++-+-