1.（13年江苏T9）抛物线2
y x =在1x =处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D （包含三角形内部和边界）
.若点(,)P x y 是区域D 内的任意一点，则2x y +的取值范围是 . 【测量目标】导数的几何意义、直线方程以及线性规划问题.
【考查方式】给定函数和切点横坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，然后得到可行域，再利用线性规划问题的一般解法求解最值范围. 【参考答案】1
[2,]2
-
【试题解析】由于2y x '=，所以抛物线在1x =处的切线方程为
12(1)y x -=-，即21y x =-.画出可行域（如图）. （步骤1）
设2x y z +=，则1122y x z =-
+经过点1
(,0)2
A ，(0,1)
B -时，z 分别取最大值和最小值，此时最大值max 1
2
z =，最小值min 2z =-，故取值范围是
1
[2,]2
-.（步骤2）
2.（13安徽T12）若非负数变量,x y 满足约束条件1
24
x y x y --??+?≥≤，则x y +的最大值为
__________.
【测量目标】二元线性规划求目标函数最值.
【考查方式】结合约束条件，应用数形结合思想画出不等式组所表示的平面区域，求出线性规划目标函数的最大值． 【参考答案】4
【试题解析】先画出可行线，再画目标函数线过原点时的直线，向上平移，寻找满足条件的
最优解，代入即可得所求.第2题图 FGQ28
根据题目中的约束条件画出可行域，注意到,x y 非负,得可行域为如图所示的阴影部分（包括边界）.作直线y x =-，并向上平移，数形结合可知，当直线过点(4,0)A 时，x y +取得最大值，最大值为
4.
3.（13年浙江T15）设z kx y =+，其中实数x 、y 满足2240240x x y x y ??
-+??--?
………，若z 的最大值为
12，则实数k = .
【测量目标】线性规划解最值.
【考查方式】给出约束条件，应用数形结合思想画出不等式组所表示的平面区域，求出线性规划目标函数的最小值. 【参考答案】2
【试题解析】作出不等式组2240240x x y x y ??
-+??--?
………表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，
第3题图 FGQ43
其中A （2，0），B （2，3），C （4，4）（步骤1）
设z =F （x ，y ）=kx y +，将直线l ：z kx y =+进行平移，可得①当k ＜0时，直线l 的斜率
-k ＞0.（步骤2）
由图形可得当l 经过点B （2，3）或C （4，4）时，z 可达最大值，此时，max z =F （2，3）=2k +3或max z =F （4，4）=4k +4. （步骤3）
但由于k ＜0，使得2k +3＜12且4k +4＜12，不能使z 的最大值为12，故此种情况不符合题意. （步骤4）
②当k ≥0时，直线l 的斜率-k ≤0，由图形可得当l 经过点C 时，目标函数z 达到最大值 此时max z =F （4，4）=4k +4=12，解得k =2. 符合题意，综上所述，实数k 的值为2. （步骤5）
4.（13福建T6）若变量y x ,满足约束条件210x y x y +??
???
≤≥≥，则y
x z +=2的最大值和最小值分别为（ ）
A ．4和3
B ．4和2
C ．3和2
D ．2和0 【测量目标】二元线性规划求目标函数最值．
【考查方式】给出不等式组，作出其表示的可行域、再通过平移图象
求最优解． 第4题图
zwh5
【参考答案】B
【试题解析】作出可行域，通过目标函数线的平移寻求最优解．
作出可行域如图阴影部分．（步骤1）
作直线20x y +=，并向右上平移，过点A 时z 取最小值，过点B 时z 取最大值，可求得(1,0),(2,0)A B ，
∴min max 2,4z z ==．（步骤2）
5.（13年全国卷
T15）若x y 、满足约束条件0,
34,34,x x y x y ??
+??+?
………则
z x y =-+的最小值为 .
【测量目标】二元线性规划求目标函数最值.
【考查方式】直接给出函数的约束条件，利用线性规划性质及借助数形结合思想求z 的最小值.
【参考答案】0
【试题解析】作出定义域，借助数形结合寻找最优解.由不等式组作出可行域，如图阴影部分所示()
包括边界，且
()()41,1040,.3A B C ??
???
，，，，由数形结合知，直线y x z =+过点()1,1A 时，min 110.z =-+= GXX3第5题图 6.（13年新课标ⅠT14）设,x y 满足约束条件 13,
10
x x y
??
--?剟剟，则2z x y =-的最大值为
______.
【测量目标】线性规划解最值.
【考查方式】直接给出约束条件，利用线性规划性质求z . 【参考答案】3
【试题解析】作出可行域，进一步探索最大值. 作出可行域如图阴影部分.
CQ09 第6题图
(步骤
1)
作直线20x y -=，并向右平移，当平移至直线过点B 时，2z x y =-取得最大
值.而由3,
0,
x x y =??
-=?得B （3,3）.max 233 3.z ∴=?-=（步骤2）
7．（13年山东T14）在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组2360200x y x y y +-??
+-???
………所表示的
区域上一动点，则直线OM 的最小值为_______
【测量目标】二元线性规划求目标函数的最小值.
【考查方式】给出约束条件，应用数形结合思想画出不等式组所表示的平面区域，求出线性规划目标函数的最小值．
【试题解析】
如图所示，M 为图中阴影部分的一个动点，由于点到直线的距离最短，所以OM 的最小
值
第7题图SFT5
8.（13年四川T8）若变量,x y 满足约束条件8,24,0,0,
x y y x x y +??-?
????…………且5z y x =-的最大值为a ，最
小值为b ，则a b -的值是 （ ）
A ．48 B.30 C.24 D.16 【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.
【考查方式】给出变量约束条件，画图求目标函数的最优解. 【参考答案】C
【试题解析】先将不等式24y x -…转化为24,x y --…画出不等式组表示的平面区域，并
找出目标函数55
x z
y =
+的最优解，进而求得,a b 的值. 8,24,0,0,x y y x x y +??-????? …………8,24,0,0,
x y y x x y +??--?
∴?
???…………由线性约束条件得可行域为如图所示的阴影部分，由5,z y x =-得.55
x z
y =+（步骤1）由图知目标函数55
x z
y =
+，
过
点
()
8,0A 时，
m i n
5
=508=8
z y x =-?--，即8.b =-（步骤2） 目标函数55
x z
y =
+过点B (4，4)时，m a x 55
4416,z y x =-=?-=即16.a = 第8题图 GXX15
()16824,a b ∴-=--=故选C.（步骤3）
9．（13年广东T13）已知变量,x y 满足约束条件30
111x y x y -+??-???
…剟…，则z x y =+的最大值是 ________
【测量目标】线性规划问题的最值求解.
【考查方式】画出线性约束条件表示的平面区域，用图解法求最值. 【参考答案】5
【试题解析】画出平面区域如图阴影部分所示，由z x y =+，得y x z =-+，
z 表示直线y x z =-+在y 轴上的截距，（步骤1）
由图知，当直线y x z =-+经过点(1,4)B 时，目标函数取得最大值，为
145z =+=.（步骤2）
10.（13年湖南T13）若变量,x y 满足约束条件28,04,03x y x y +??
???
…剟剟则x y
+的最大值为______．
【测量目标】线性规划知识求最值． 第10题图hy4 【考查方式】给出约束条件，应用数形结合思想画出不等式组所表示的平面区域，
求出线性
规划目标函数的最大值． 【参考答案】6
【试题解析】根据不等式组出其平面区域，令z x y =+，结合直线z x y =+的特征求解．
如图，画出不等式组表示的平面区域，平行移动z x y =+经过点(4,2)A 时，z 取最大值6． 11.（13年陕西T7）若点()x,y 位于曲线y x =与2y =所围成的封闭区域,则2x y -的最小值为 ( ). A. －6 B. －2 C. 0 D. 2
【测量目标】二元线性规划求目标函数最值.
【考查方式】画出封闭区域，找出最优解，简单的数形结合能力. 【参考答案】A 【试题解析】
曲线2y x ,y ==所围成的封闭区域如图阴影部分所示， 当直线l :2y x =向左平移时，()2x y -的值在逐渐变小，
当l 通过点A (-2,2)时，min (2) 6.x y -=- 第11题图CGC 44
12.（13天津T2）设变量,x y 满足约束条件360,
20,30,x y x y y +-??
--??-?
………则目标函数2z y x =-的最小值
为 （ ） A. 7- B.4- C. 1 D. 2 【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.
【考查方式】给出约束条件，作出可行域，通过平移目标函数，求可行域的最值.
【参考答案】A
【试题解析】作出可行域，平移直线x y 2=，当直线过可行域内的点
)3,5(A 时，Z 有最小值, min 3257Z =-?=-.
第12题图 jxq21
13.（13年新课标ⅡT3）设x ，y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+??
+-???
………，则z =2x -3y 的最小值是
（ ）
A.-7
B.-6
C.-5
D.-3 【测量目标】二元线性规划求目标函数的最小值
.
【考查方式】不等式组给出x ，y 的可行区间，目标函数求
出最小值.
【参考答案】B
【试题解析】本题可先画出可行域，然后根据图象确定出最小值点进行解答.
作出不等式组表示的可行域，如图（阴影部分）.易知直线z=2x -3y 过点C 时，取得最小值. MF28 由3,10,x x y =?
?
-+=?得3,
4,x y =??=?∴min z =2?3-3?4=-6，故选
B. 第13题图
线性规划 教学目标： 1．解线性约束条件、线性目标函数、线性规划概念； 2．在线性约束条件下求线性目标函数的最优解； 3．了解线性规划问题的图解法。 教学重点：线性规划问题。 教学难点：线性规划在实际中的应用。 教学过程： 1．复习回顾： 上一节，我们学习了二元一次不等式表示的平面区域，这一节，我们将应用这一知识来解决线性规划问题．所以，我们来简要回顾一下上一节知识．（略） 2．讲授新课： 例1：设z＝2x＋y，式中变量满足下列条件： ，求z的最大值和最小值. 解：变量x，y所满足的每个不等式都表示一个平面 区域，不等式组则表示这些平面区域的公共 区域．（如右图）． 作一组与l0：2x＋y＝0平行的直线l：2x＋y＝t.t∈Ｒ可知：当l在l0的右上方时，直线l上的点（x，y）满足2x＋y＞0，即t＞0，而且，直线l往右平移时，t随之增大，在经过不等式组①所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A（５，２）的直线l2所对应的t最大，以经过点B （１，１）的直线l1所对应的t最小．所以 zmax＝2×5＋2＝12 zmin＝2×1＋1＝3 说明：例1目的在于给出下列线性规划的基本概念． 线性规划的有关概念： ①线性约束条件： 在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件． ②线性目标函数： 关于x、y的一次式z＝2x＋y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数． ③线性规划问题： 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解： 满足线性约束条件的解（x，y）叫可行解．
求线性目标函数的最值 1．设x ，y 满足约束条件????? 2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0， x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为________． 解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由题 意可知，当直线y ＝－23x ＋53＋z 3 过点A 时，z 取得最小值，联立????? 2x －y ＋1＝0，x －2y －1＝0，解得A (－1，－1)，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10． 答案：－10 求非线性目标函数的最值 2．已知实数x ，y 满足????? x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0， 3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________． 解析：根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则 (x ，y )为阴影区域内的动点．d ＝x 2＋y 2可以看做坐标原点O 与可行 域内的点(x ，y )之间的距离．数形结合，知d 的最大值是OA 的长，d 的最小值是点O 到直线2x ＋y －2＝0的距离．由????? x －2y ＋4＝0，3x －y －3＝0可得A (2,3)， 所以d max ＝22＋32＝13，d min ＝|－2|22＋12＝25 ． 所以d 2的最小值为45 ，最大值为13． 所以x 2＋y 2的取值范围是??? ?45，13． 答案：??? ?45，13 线性规划中的参数问题 3．已知x ，y 满足????? x ≥2，x ＋y ≤4， 2x －y －m ≤0. 若目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为10，则z 的最小 值为________．
解析：画出不等式组表示的区域，如图中阴影部分所示，作 直线l ：3x ＋y ＝0，平移l ，从而可知经过C 点时z 取到最大值， 由????? 3x ＋y ＝10，x ＋y ＝4，解得????? x ＝3，y ＝1， ∴2×3－1－m ＝0，m ＝5． 由图知，平移l 经过B 点时，z 最小， ∴当x ＝2，y ＝2×2－5＝－1时，z 最小，z min ＝3×2－1＝5． 答案：5 [通法在握] 1．求目标函数的最值3步骤 (1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线； (2)平移——将l 平行移动，以确定最优解的对应点的位置； (3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值． 2．常见的3类目标函数 (1)截距型：形如z ＝ax ＋by ． 求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，在通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b >0时，截距z b 取最大值时，z 也取最大值；截距z b 取最小值时，z 也取最小值；当b <0时，截距z b 取最大值时，z 取最小值；截 距z b 取最小值时，z 取最大值． (2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2． (3)斜率型：形如z ＝y －b x －a ． [提醒] 注意转化的等价性及几何意义．
线性规划问题中目标函数常见类型梳理 山东 张吉林 线性规划问题中目标函数的求解是线性规划问题的重点也是难点，对于目标函数的含义学生往往理解的不深不透，只靠死记硬背，生搬硬套，导致思路混乱，解答出错。本文将有关线性规划问题中目标函数的常见类型梳理如下，以期对大家起到一定的帮助。 一 基本类型——直线的截距型（或截距的相反数） 例1.已知实数x 、y 满足约束条件0503x y x y x +≥??-+≥??≤? ，则24z x y =+的最小值为（ ） A ．5 B ．-6 C ．10 D ．-10 分析：将目标函数变形可得124 z y x =-+，所求的目标函数的最小值即一组平行直线12 y x b =-+在经过可行域时在y 轴上的截距的最小值的4倍。 解析：由实数x 、y 满足的约束条件，作可行域如图所示： 当一组平行直线L 经过图中可行域三角形ABC 区域的点C 时，在y 轴上的截距最小，又(3,3)C -，故24z x y =+的最小值为min 234(3)6z =?+?-=-，答案选B 。 点评：深刻地理解目标函数的含义，正确地将其转化为直线的斜率是解决本题的关键。 二 直线的斜率型 例2.已知实数x 、y 满足不等式组2240x y x ?+≤?≥? ,求函数31y z x +=+的值域. 解析：所给的不等式组表示圆22 4x y +=的右半圆(含边界)，
31 y z x +=+可理解为过定点(1,3)P --，斜率为z 的直线族．则问题的几何意义为：求过半圆域224(0)x y x +≤≥上任一点与点(1,3)P --的直线斜率的最大、最小值．由图知，过点P 和点(0,2)A 的直线斜率最大，max 2(3)50(1) z --==--．过点P 所作半圆的切线的斜率最小．设切点为(,)B a b ，则过B 点的切线方程为4ax by +=．又B 在半圆周上，P 在切线上，则有22434 a b a b ?+=?--=?解 得65a b ?=???--?=?? 因 此min z =。综上可知函数的值域 为???? 三 平面内两点间的距离型（或距离的平方型） 例3. 已知实数x 、y 满足10101x y x y y +-≤??-+≥??≥-? ，则22448w x y x y =+--+的最值为___________. 解析：目标函数2222 448(2)(2)w x y x y x y =+--+=-+-，其含义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方。由实数x 、y 所满足的不等式组作可行域如图所示：
课题 线性规划 一、基础知识 1、若点()2,t -在直线2360x y -+=的下方区域，则实数t 的取值X 围是 2、图中的平面区域（阴影部分）用不等式组表示为 3、已知实数x y 、满足2203x y x y y +?? -??? ≥≤≤≤，则2z x y =-的最大值是______． 5、已知实数,x y 满足不等式组001x y x y ≥?? ≥??+≤? ，则2222x y x y +--的最小值为 例题巩固 线性目标函数问题 当目标函数是线性关系式如z ax by c =++（0b ≠）时，可把目标函数变形为 a z c y x b b -=-+，则z c b -可看作在y 在轴上的截距，然后平移直线法是解决此类问题 的常用方法，通过比较目标函数与线性约束条件直线的斜率来寻找最优解.一般步骤如下： 1.做出可行域; 2.平移目标函数的直线系,根据斜率和截距,求出最优解.
8、设,2, , 2,x y x y z y x y -≥=
利用线性规划求最值 陕西宁强县天津高级中学 李红伟 简单线性规划是高中数学教学的新内容之一，是解决一些在线性约束条件下的线性目标函数的最值（最大值或最小值）的问题。简单线性规划的基本思想即在一定的约束条件下，通过数形结合的思想求函数的最值。解决问题时主要是借助平面图形，运用这一思想能够较快的解决一些二次函数的最值问题。现对高中数学中目标函数常见类型的最值问题做一探讨。 一、线性约束条件下线性目标函数的最值（即截距型：c by ax z ++=） 例1．已知实数y x ,满足?? ???≤≥+-≥-+,2, 01,03x y x y x 若y x z +=2，求z 的最大值和最小值。 解析：不等式组 ?? ???≤≥+-≥-+,2, 01,03x y x y x 表示的平面区域如图所示。 图中阴影部分即为可行域。 图示—1 由?? ?=+-=-+,01,03x y x 得???==,2,1y x )2,1(A ∴ 由???=-+=, 03,2y x x 得???==, 1,2y x )1,2(B ∴ 由???=+-=,01,2y x x 得???==,3,2y x )3,2(M ∴ y x z +=2，z x y +-=∴2， 即z 表示直线z x y +-=2在y 轴的截距. 当直线z x y +-=2经过可行域内的点)3,2(M 时，直线在 y 轴的截距最大，z 也最大，此时7322m a x =+?=Z . 当直线z x y +-=2经过可行域内的点)2,1(A 时，直线在y 轴的截距最小，z 也最小，此时4212min =+?=Z . 所以，Z 的最大值为7，Z 最小值为4. 这类问题的解决，关键在于能够正确理解目标函数的几何意义——目标函数的“截距”。 二、线性约束条件下非线性目标函数的最值 1．距离型：22)()(b y a x z -+-= 即z 几何意义为可行域内的动点） （y x ,与定点),(b a 的距离的平方。 例2．同例1，若22y x z +=，求z 的最大值和最小值。 解析：因为目标函数z 表示可行域内的动点） （y x ,到定点）（0,0的距离的平方的最大值与最小值。 因此，过原点）（0,0作直线l 垂直直线03=-+ y x ，垂足为N ，则直线直线l 的方程为x y =， 由???=-+=,03,y x x y 得?????==,2 3,23y x ∴ )23,23(N
线性规划常见题型及解法 由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。 一、求线性目标函数的取值范围 例1、若x、y满足约束条件 2 2 2 x y x y ≤ ? ? ≤ ? ?+≥ ? ，则z=x+2y的取值范围是（） A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选 A 二、求可行域的面积 例2、不等式组 260 30 2 x y x y y +-≥ ? ? +-≤ ? ?≤ ? 表示的平面区域的面积为（） A、4 B、1 C、5 D、无穷大 解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC的面积即可，选 B 三、求可行域中整点个数 例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（） A、9个 B、10个 C、13个 D、14个 解：|x|＋|y|≤2等价于 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥ ? ?-≤≥ ? ? -+≤≥? ?--≤ ? 作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D
四、求线性目标函数中参数的取值范围 例4、已知x、y满足以下约束条件 5 50 3 x y x y x +≥ ? ? -+≤ ? ?≤ ? ，使z=x+ay(a>0) 取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（） A、－3 B、3 C、－1 D、1 解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选 D 五、求非线性目标函数的最值 例5、已知x、y满足以下约束条件 220 240 330 x y x y x y +-≥ ? ? -+≥ ? ?--≤ ? ，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（） A、13，1 B、13，2 C、13，4 5 D 、 5 解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方， 即为4 5 ，选 C 六、求约束条件中参数的取值范围 例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是（） A、（-3,6） B、（0,6） C、（0,3） D、（-3,3） 解：|2x－y＋m|＜3等价于 230 230 x y m x y m -++>? ? -+- ? ? -< ? ,故0＜m＜3，选 C 七、比值问题
简单的线性规划问题 [学习目标] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题． 知识点一 线性规划中的基本概念 知识点二 1．目标函数的最值 线性目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)对应的斜截式直线方程是y ＝－a b x ＋z b ，在y 轴上的截距是z b ，当z 变化时，方程表 示一组互相平行的直线． 当b >0，截距最大时，z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值； 当b <0，截距最大时，z 取得最小值，截距最小时，z 取得最大值． 2．解决简单线性规划问题的一般步骤 在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即， (1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域． (2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解． (3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值． (4)答：写出答案． 知识点三 简单线性规划问题的实际应用 1．线性规划的实际问题的类型 (1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大； (2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小． 常见问题有： ①物资调动问题 例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？
特别解析线性规划求最 值 Document number：BGCG-0857-BTDO-0089-2022
特别解析：线性规划求最值一、目标函数线的平移法：利用直线的截距解决最值问题 例1 已知点() P x y ，在不等式组 20 10 220 x y x y - ? ? - ? ?+- ? ， ， ≤ ≤ ≥ 表示的平面区域上运动，则 z x y =-的取值范围是（）． （A）［－2，－1］（B）［－2，1］ （C）［－1，2］（D）［1，2］ 解析：由线性约束条件画出可行域，考虑z x y =-， 变形为y x z =-，这是斜率为1且随z变化的一族平行 直线．z-是直线在y轴上的截距．当直线满足约束条件且经过点（2，0）时，目标函数z x y =-取得最大值为2；直线经过点（0，1）时，目标函数z x y =-取得最小值为－1．故选（C）． 注：本题用“交点法”求出三个交点坐标分别为（0，1），（2，1），（2，0），然后再一一代入目标函数求出z=x-y的取值范围为 ［-1，2］更为简单． 例2 已知实数x、y满足约束条件 50 3 x y x y x +≥ ? ? -+≥ ? ?≤ ? ，则24 z x y =+的最小值为 （） 分析：将目标函数变形可得 1 24 z y x =-+，所求的目标函数的最小值 即一组平行直 1 2 y x b =-+在经过可行域时在y轴上的截距的最小值的4 倍。
解析：由实数x 、y 满足的约束条件，作可行域如图所示： 当一组平行直线L 经过图中可行域三角形ABC 区域的点C 时，在y 轴上的截距最小，又(3,3)C -，故24z x y =+的最小值为 min 234(3)6z =?+?-=-。 二、数行结合，构造斜率法：利用直线的斜率解决最值问题 例3 设实数x y ，满足20240230x y xc y y --?? +-??-? ， ，， ≤≥≤，则y z x =的最大值是__________． 解析：画出不等式组所确定的三角形区域ABC （如图2）， y y z x x -= = -表示两点(00)()O P x y ，，，确定的直线的斜率，要求z 的最大值，即求可行域内的点与原点连线的斜率的最大值．由图2可以看出直线OP 的斜率最大，故P 为240x y +-=与230y -=的交点，即A 点． ∴31 2P ?? ??? ，．故答案为32 ． 注：解决本题的关键是理解目标函数0 y y z x x -== -的 几何意义，当然本题也可设 y t x =，则y tx =，即为求 y tx =的斜率的最大值．由图2可知，y tx =过点A 时， t 最大．代入y tx =，求出32 t =， 即得到的最大值是32 ． -5 3 O x y C A B L
线性规划问题中目标函数常见类型梳理 线性规划问题中目标函数的求解是线性规划问题的重点也是难点，对于目标函数的含义学生往往理解的不深不透，只靠死记硬背，生搬硬套，导致思路混乱，解答出错。本文将有关线性规划问题中目标函数的常见类型梳理如下，以期对大家起到一定的帮助。 一 基本类型——直线的截距型（或截距的相反数） 由于线性规划的目标函数：z ax by b =+≠()0可变形为y a b x z b =-+， 则z b 为直线y a b x z b =-+的纵截距，那么我们在用线性规划求最值时便可以得到如下结论： （1）当b >0时，直线y a b x z b =- +所经过可行域上的点使其纵截距最大时，便是z 取得最大值的点；反之，使纵截距取得最小值的点，就是z 取得最小值的点。 （2）当b <0时，与b >0时情形正好相反，直线y a b x z b =- +所经过可行域上的点使其纵截距最大时，是z 取得最小值的点；使纵截距取得最小值的点，便是z 取得最大值的点。 例1.已知实数x 、y 满足约束条件0 503x y x y x +≥?? -+≥??≤? ，则24z x y =+的最小值为（ ） A ．5 B ．-6 C ．10 D ．-10 分析：将目标函数变形可得124z y x =- +，所求的目标函数的最小值即一组平行直线1 2 y x b =-+在经过可行域时在y 轴上的截距的最小值的4倍。 解析：由实数x 、y 满足的约束条件，作可行域如图1所示： 当一组平行直线L 经过图中可行域三角形ABC 区域的点C 时，在y 轴上的截距最小，又(3,3)C -，故24z x y =+的最小值为min 234(3)6z =?+?-=-，答案选B 。
线性目标函数问题 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT
课 题 线性规划 一、基础知识 1、若点()2,t -在直线2360x y -+=的下方区域，则实数t 的取值范围是 2、图中的平面区域（阴影部分）用不等式组表示为 3、已知实数x y 、满足2203x y x y y +??-??? ≥≤≤≤，则2z x y =-的最大值是______． 5、已知实数,x y 满足不等式组001x y x y ≥??≥??+≤? ，则2222x y x y +--的最小值为 例题巩固 线性目标函数问题 当目标函数是线性关系式如z ax by c =++（0b ≠）时，可把目标函数变形为 a z c y x b b -=-+，则z c b -可看作在y 在轴上的截距，然后平移直线法是解决此类问题的常用方法，通过比较目标函数与线性约束条件直线的斜率来寻找最优解.一般步骤如下：1.做出可行域;2.平移目标函数的直线系,根据斜率和截距,求出最优解. 8、设,2,,2,x y x y z y x y -≥=
当目标函数形如y a z x b -=-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。 2.距离问题 当目标函数形如22()()z x a y b =-+-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q a b 距离的平方，这样目标函数的最值就转化为PQ 距离平方的最值。 3．截距问题 例4 不等式组x+y 00x y x a ≥??-≥??≤? 表示的平面区域面积为81，则2x y +的最小值为_____ 解析 令2z x y =+，则此式变形为2y x z =-+，z 可看作是动 抛物线2y x z =-+在y 轴上的截距，当此抛物线与y x =-相切 时，z 最小，故答案为14 - 4．向量问题 已知平面直角坐标系xoy 上的区域D 由不等式组0222x y x y ?≤≤?≤??≤?给定。若(,)M x y 为D 上的 动点，点A 的坐标为() 2,1，则z OM OA =?的最大值为 线性表示 例1 设等差数列{n a }的前n 项和为S n ，若1≤a 5≤4，2≤a 6≤3，则S 6的取值范围是 ． 教师导言：（1）如何解的（预期回答：线性规化） （2）能否由两式直接“加工”而得—— 线性表示更好：S 6 x a 5 y a 6 ，简记：③ ①×x ②×y ． （3）（类比）设实数x ，y 满足2 38xy ≤≤，2 49x y ≤≤，则34x y 的最大值是 ．
简单的线性(整数)规划问题 一.知识要点： 1.线性规划的基础概念 (1)线性约束条件 约束条件都是关于x, y的一次整式不等式. (2)目标函数 待求最值(最大值或最小值)的函数. (3)线性目标函数 目标函数是关于变量x, y的一次解析式(整式). (4)线性规划 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值的问题, 其中在限定变量为整数的时候, 对应的线性规划问题, 也称为整数规划问题. (5)可行解 满足全部约束条件的解(x, y). (6)可行域 全部可行解构成的集合称为线性规划问题的可行域. (7)最优解 使目标函数取到最大值或最小值的可行解. 注意: ①线性约束条件即可用二元一次不等式表示, 也可以用二元一次方程表示.
②最优解如果存在(当然, 最优解有不存在的情况), 其个数并不一定是唯一的, 可能有多个最优解, 也可能存在无数个最优解. ③目标函数z ax by =+取到最优解(最大或最小值)的点, 往往出现在可行域的顶点或边界上. ④对于整数规划问题(, x y ゥ), 最优解未必在边界或顶点处取 ∈∈ 得, 往往要在可行域的顶点或边界附近寻找. ⑤寻找最优解的前提是尽量准确画出可行域的草图, 从而有助于我们发现最优解. 二. 解题思路: 解决线性规划问题, 先要准确作出可行域, 且明白目标函数表示的几何意义, 通过数形结合找到目标函数取到最值时可行域的顶点(或边界上的点). 而对于整数规划问题, 则应该进一步验证解决, 边界点或顶点可能不在是最优点, 而是在它们的临近区域的整点. 三．求解步骤 ①在平面直角坐标系中画出可行域(对于应用问题, 则要先正确写出 规划模型及满足的约束条件, 再画出可行域). ②结合目标函数的几何意义, 将目标函数变形写成直线的方程形式或写成一次函数的形式. ③确定最优点: 在可行域平行移动目标函数变形后的直线, 从而找到最优点.
考点70 线性目标函数的最值问题 1．（2020浙江3）若实数,x y 满足约束条件310 30x y x y -+≤??+-≥? ，则2z x y =+的取值范围是( ) A ．(],4-∞ B ．[)4,+∞ C ．[)5,+∞ D ．(),-∞+∞ 【答案】B 【解析】画出可行域如图中阴影部分所示，作出直线20x y +=，平移该直线，易知当直线经过点()2,1A 时，z 取得最小值，min 2214z =+?=，再数形结合可得2z x y =+的取值范围是[)4,+∞． 2．（2017?新课标Ⅱ文5）设,x y 满足约束条件?? ? ??≥+≥+-≤-+0303320332y y x y x ，则2z x y =+的最小值是 （ ） A ．15- B ．9- C ．1 D ．9 【答案】A 【解析】作出可行域如图所示，2z x y =+ 经过可行域的A 时，目标函数取得最小值， 由32330y x y =-??-+=? 解得(6,3)A --，则2z x y =+ 的最小值是15-，故选A ．
3．（2017?新课标Ⅰ，文7）设x ，y 满足约束条件3310x y x y y +≤?? -≥??≥? ，则z x y =+的最大值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】D 【解析】作出可行域如图所示，则z x y =+经过可行域的A 时，目标函数取得最大值，由0 33y x y =?? +=? 解得(3,0)A ，所以z x y =+ 的最大值为3，故选D ． 4．（2017?新课标Ⅲ，文5）设x ，y 满足约束条件3260 00x y x y +-?? ??? 则z x y =-的取值范围是( ) A ．[3-，0] B ．[3-，2] C ．[0，2] D ．[0，3] 【答案】B 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z x y =-，经过可行域的A ，B 时，目标函数取得最值，由03260x x y =??+-=?解得(0,3)A ，由0 3260y x y =??+-=? 解得(2,0)B ，目标函 数的最大值为：2，最小值为：3-，目标函数的取值范围：[3-，2]，故选B ．
1.（13年江苏T9）抛物线2 y x =在1x =处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D （包含三角形内部和边界） .若点(,)P x y 是区域D 内的任意一点，则2x y +的取值范围是 . 【测量目标】导数的几何意义、直线方程以及线性规划问题. 【考查方式】给定函数和切点横坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，然后得到可行域，再利用线性规划问题的一般解法求解最值范围. 【参考答案】1 [2,]2 - 【试题解析】由于2y x '=，所以抛物线在1x =处的切线方程为 12(1)y x -=-，即21y x =-.画出可行域（如图）. （步骤1） 设2x y z +=，则1122y x z =- +经过点1 (,0)2 A ，(0,1) B -时，z 分别取最大值和最小值，此时最大值max 1 2 z =，最小值min 2z =-，故取值范围是 1 [2,]2 -.（步骤2） 2.（13安徽T12）若非负数变量,x y 满足约束条件1 24 x y x y --??+?≥≤，则x y +的最大值为 __________. 【测量目标】二元线性规划求目标函数最值. 【考查方式】结合约束条件，应用数形结合思想画出不等式组所表示的平面区域，求出线性规划目标函数的最大值． 【参考答案】4 【试题解析】先画出可行线，再画目标函数线过原点时的直线，向上平移，寻找满足条件的 最优解，代入即可得所求.第2题图 FGQ28 根据题目中的约束条件画出可行域，注意到,x y 非负,得可行域为如图所示的阴影部分（包括边界）.作直线y x =-，并向上平移，数形结合可知，当直线过点(4,0)A 时，x y +取得最大值，最大值为 4.
线性规划求最值问题 角度(一) 截距型 1．(2017·全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件???? ? 3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是 ( ) A ．[－3,0] B ．[－3,2] C ．[0,2] D ．[0,3] 2．(2017·全国卷Ⅰ)设x ，y 满足约束条件???? ? x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值为 ________． 角度(二) 求非线性目标函数的最值 一、距离型 3．(2018·太原模拟)已知实数x ，y 满足约束条件???? ? 3x ＋y ＋3≥0，2x －y ＋2≤0，x ＋2y －4≤0，则z ＝x 2＋y 2的取值范 围为( ) A ．[1,13] B ．[1,4] 二、斜率型 4．(2018·成都一诊)若实数x ，y 满足约束条件????? 2x ＋y －4≤0，x －2y －2≤0，x －1≥0，则y －1 x 的最小值为 ________． 变式训练 1、若x ，y 满足约束条件????? x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则y x 的最大值为________．
[题型技法] 常见的2种非线性目标函数及其意义 (1)点到点的距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2，表示区域内的动点(x ，y )与定点(a ，b )的距离的平方； (2)斜率型：形如z ＝y －b x －a ，表示区域内的动点(x ，y )与定点(a ，b )连线的斜率． 角度(三) 线性规划中的参数问题 5．(2018·郑州质检)已知x ，y 满足约束条件???? ? x ≥2，x ＋y ≤4，2x －y －m ≤0.若目标函数z ＝3x ＋y 的最 大值为10，则z 的最小值为________． 变式训练 2.(2018·惠州调研)已知实数x ，y 满足：???? ? x ＋3y ＋5≥0，x ＋y －1≤0，x ＋a ≥0，若z ＝x ＋2y 的最小值为－4，则实 数a 的值为________． [题型技法] 求解线性规划中含参问题的基本方法 (1)把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围． (2)先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数． 作业： 1．变量x ，y 满足???? ? x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1. (1)设z 1＝4x －3y ，求z 1的最大值； (2)设z 2＝y x ，求z 2的最小值； (3)设z 3＝x 2＋y 2，求z 3的取值范围．
线性规划求最值问题 一、与直线的截距有关的最值问题 例1 已知点()P x y ，在不等式组2010220x y x y -??-??+-? ，，≤≤≥表示的平面区域上运动，则z x y =-的 取值范围是（ ）． （A ）［－2，－1］ （B ）［－2，1］ （C ）［－1，2］ （D ）［1，2］ 解析：由线性约束条件画出可行域如图1，考虑z x y =-， 把它变形为y x z =-，这是斜率为1且随z 变化的一族平行 直线．z -是直线在y 轴上的截距．当直线满足约束条件且 经过点（2，0）时，目标函数z x y =-取得最大值为2； 直线经过点（0，1）时，目标函数z x y =-取得最小值为－1．故选（C ）． 注：本题用“交点法”求出三个交点坐标分别为（0，1），（2，1），（2，0），然后再一一代入目标函数求出z=x-y 的取值范围为［-1，2］更为简单．这需要有最值在边界点取得的特殊值意识． 二、与直线的斜率有关的最值问题 例2 设实数x y ，满足20240230x y xc y y --??+-??-? ，，，≤≥≤，则y z x =的最大值是__________． 解析：画出不等式组所确定的三角形区域ABC （如图2），00y y z x x -==-表示两点(00)()O P x y ，，，确定的直线的斜率，要求z 的最大值，即求可行域内的点与原点连线的斜率的最大值．由图2可以看出直线OP 的斜率最大，故P 为240x y +-=与230y -=的交点，即A 点． ∴312P ?? ???，．故答案为32 ． 注：解决本题的关键是理解目标函数00y y z x x -= =-的 几何意义，当然本题也可设y t x =，则y tx =，即为求 y tx =的斜率的最大值．由图2可知，y tx =过点A 时， t 最大．代入y tx =，求出32 t =， 即得到的最大值是32 ． 三、与距离有关的最值问题
线性规划中最值问题的一种改进解法 摘 要：本文主要是讨论如何利用目标函数的斜率来求最值。首先，分析通用解法步骤以及其存在的一些缺点，引出寻求新解法的必要；其次，对于原解法进行改进，主要是对比等值线的斜率与已知约束条件所对应直线的斜率，确定表示可行域的各条直线和等值线的相对位置；最后，通过实例应用来具体理解。 关键词：目标函数；斜率；等值线；最值 一、引言 在解决线性规划问题时，我们常常会遇到以下三个问题：（1）如何快速有效的检验结果是否正确；（2）约束条件中不等式的数字较大或对应直线与坐标轴的交点不是整点时，画可行域不精确，是否会对结果造成影响；（3）由于精确画图所需时间较多，能不能通过草图解决问题呢？为了解决这三个问题，通过对目标函数的斜率的研究，进而可以得到解决。 二、归纳总结，改进方法 对于线性规划问题，图解法的一般步骤是：（1）作出可行域；（2）作出目标函数对应的等值线；（3）在可行域内平移等值线找到最值点，从而求出最优解。而在这个过程中，第 （2）步最易出错，且第（1）步因为要求精确作图，也容易出现误差，导致结果出现偏差。针对这个问题，提出以下改进步骤： 1、作出可行域，不必精确作图，只需根据各直线的斜率和在坐标轴上的截距来确定它们之间的位置关系，作出其草图，找到可行域，但各直线的位置关系一定要正确； 2、作目标函数()0,≠+=b a by ax Z 的等值线x b a y - =，它的关键点是根据可行域所在直线的斜率和等值线的斜率b a -来确定等值线的相对位置，做出草图； 3、得到结果，在可行域内平移等值线即可。 说明：根据斜率关系确定两直线位置的方法：记两直线21l l 、的斜率分别为21k k 、，倾斜角为21αα、。若21k k 、一正一负，则两直线的位置关系明显可以确定；若21k k 、同正或同 负，则有：（1）021>>k k ，由于2211tan ,tan αα==k k ，正切函数在?? ? ??2,0π内递增，则21αα>，即1l 比2l 更倾斜；（2）021< 9.2.5.2 相关函数介绍 fmincon函数 功能：求多变量有约束非线性函数的最小值。 数学模型： 其中，x, b, beq, lb,和ub为向量，A和Aeq为矩阵，c(x)和ceq(x)为函数，返回 标量。f(x), c(x), 和ceq(x)可以是非线性函数。 语法： x = fmincon(fun,x0,A,b) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options,P1,P2, ...) [x,fval] = fmincon(...) [x,fval,exitflag] = fmincon(...) [x,fval,exitflag,output] = fmincon(...) [x,fval,exitflag,output,lambda] = fmincon(...) [x,fval,exitflag,output,lambda,grad] = fmincon(...) [x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian] = fmincon(...)描述： fmincon 求多变量有约束非线性函数的最小值。该函数常用于有约束非线性优化 问题。 x = fmincon(fun,x0,A,b) 给定初值x0，求解fun函数的最小值x。fun函数的约束 条件为A*x <= b，x0可以是标量、向量或矩阵。 x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq) 最小化fun函数，约束条件为Aeq*x = beq 和 A*x <= b。若没有不等式存在，则设置A=[]、b=[]。 x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub) 定义设计变量x的下界lb和上界ub，使得 总是有lb <= x <= ub。若无等式存在，则令Aeq=[]、beq=[]。 x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon) 在上面的基础上，在nonlcon参数 中提供非线性不等式c(x)或等式ceq(x)。fmincon函数要求c(x) <= 0且ceq(x) = 0。当无边界存在时，令lb=[]和（或）ub=[]。 x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options) 用optiions参数指定的参数 进行最小化。 x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options,P1,P2,...) 将问题参数P1, P2 线性规划中目标函数的几何意义 课例名称：《线性规划中目标函数的几何意义》 授课教师：梁耀冬（罗定实验中学） 课型：高三复习 【教学设计】 一、教材分析 1 ．教学背景分析 简单的线性规划是高中数学知识的重要内容,也是高考的主要考点之一，而且对线性规划的要求也越来越灵活，以考查线性目标函数的最值为重点,兼顾考查代数式的几何意义(如斜率、距离、面积等).多以选择题、填空题出现, 它是本质是“以形助数”即主要利用形的直观性来解决问题．具有应用的多样性.其中也对学生的数形结合思想进行全方位考查. 所以我们要认真研究目标函数的几何意义，使目标函数具体化和明朗化．下面笔者对平时教学中出现的线性规划问题进行分类与剖析,旨在拓展学生思维同时,教给学生掌握一些解题的方法与技巧. 2 ．教学目标 知识与技能目标： （ 1 ）能正确理解目标函数所表示的几何意义 （ 2 ）能运用数形结合的数学思想解决线性规划中目标函数的几种基本的类型 过程与方法目标： （ 1 ）培养学生的数学意识，增强学生数形结合的思想； （ 2 ）理解数学的转化思想，提高分析问题、解决问题的能力。 情感态度与价值观目标： （ 1 ）通过学生的主动参与、学生的合作交流，培养学生的探索方法与精神； （ 2 ）体会数形结合的美。 3 ．教学重、难点 重点：数形结合； 难点：能运用数形结合的思想方法解决目标函数中的几何意义问题。 二、教法、学法设计 1 ．教法设计 本节课的教学通过具体实例采用了启发引导，讲练结合的教学方法，注重学生数学思维方法以及研究问题方法的渗透。 2 ．学法设计 在学习中，让其以主体的态度，而不是被动的接受。经历知识的形成和发展过程，通过观察、归纳、思考、探索、交流、反思参与学习，认识和理解数学知识，学会学习，发展能力。求多变量有约束非线性函数的最小值
线性规划中目标函数的几何意义
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