第二章控制系统的数学模型
2-1 什么是系统的数学模型？大致可以分为哪些类型？
答定量地表达系统各变量之间关系的表达式，称工矿企业数学模型。从不同的角度，可以对数学模型进行大致的分类，例如：用来描述各变量间动态关系的数学模型为动态模型，用来描述各变量间稳态关系有数学模型为静态模型；数学模型中各变量与几何位置无关的称为集中参数模型，反之与几何位置有关的称为分布参数模型；变量间关系表现为线性的称为线性模型，反之非线性模型；模型参数与时间有关的称为时变模型，与时间无关的称为时不变或定常模型；以系统的输入、输出变量这种外部特征来描述系统特性的数学模型称为输入输出模型，而以系统内部状态变量描述的数学模型称为状态空间模型；等等。
2-2 系统数学模型的获取有哪几种方法？
答获取系统数学模型的方法主要有机理分析法和实验测试法。
机理分析法是通过对系统内部机理的分析，根据一些基本的物理或化学变化的规律而导出支配系统运动规律的数学模型，这样得到的模型称为机理模型。
实验测试法是通过对实际系统的实验测试，然后根据测试数据，经过一定的数据处理而获得系统的数学模型，这样得到的模型可称为实测模型或经验模型。
如果将上述两种方法结合起来，即通过机理分析的方法预先得到数学模型的结构或函数形式，然后对其中的某些参数用实验辨识的方法来确定，这样得到的数学模型可称为混合模型。这是介于上述两种方法之间的一种比较切合实际的应用较为普遍的方法。
2-3 通过机理分析法建立对象微分方程数学模型的主要步骤有哪些？
答主要步骤有：
⑴根据系统的控制方案和对象的特性，确定对象的输入变量和输出变量。一般来说，对象的输出变量为系统的被控变量，输入变量为作用于对象的操纵变量或干扰变量。
⑵根据对象的工艺机理，进行合理的假设和简化，突出主要因素，忽略次要因素。
⑶根据对象的工艺机理，从基本的物理、化学等定律出了，列写描述对象运动规律的原始微分方程式（或方程式组）。
⑷消去中间变量，推导出描述对象输入变量与输出变量之间关系的方程式。
⑸根据要求，对上述方程式进行增量化、线性化和无因次化的处理，最后得出无因次的、能够描述对象输入变量与输出变量的增量之间关系的线性微分方程式（对于严重非线性的对象，可进行分段线性化处理或直接导出非线性微分方程式）。
2-4 试述传递函数的定义。如何由描述对象动态特性的微分方程式得到相应的传递函数？并写出传递函数的一般形式。
答对于线性定常系统、对象或环节的传递函数的定义可以表述为：当初始条件为零时，系统、对象或环节输出变量的拉氏变换式与输入变量的拉氏变换式之比。
如果已知系统、对象或环节的动态数学模型用下述线性常系数微分方程式来描述：
式中y 为输出变量， x为输入变量，表示y(t) 的n 阶导数，表示x(t) 的 m阶导数。对于一般实际的物理系统，。
假定初始条件为零，对上式的等号两边进行拉氏变换，得
式中Y(s)是y(t) 的拉氏变换， X(s)是x(t) 的拉氏变换，于是可得传递函数：
上式就是传递函数的一般形式。由此可见，传递函数一般可以表示为两个的多项式之比，而且分母多项式的阶次总是大于或等于分子多项式的阶次。
2-5 试分别写出下述典型环节的时域和复域的输入输出模型：放大环节、一阶惯性环节、积分环节、二阶振荡环节、超前-滞后环节、微分环节、纯滞后环节、PID环节。
答环节的输入输出模型可以用微分方程和传递函数来表示。前者是它的时域形式，后者是它的复域形式。
下面列表2-1说明各典型环节的输入输出模型（以y(t) 表示输出， x(t)表示输入）。
表2-1 典型环节的输入输出模型
2-6 什么是控制系统的方块图？如何利用方块图来进行控制系统的建模？
答方块图是控制系统中各个环节（元件）的功能和信号流向的图解表示。根据各环节的信号流向，用带有箭头的信号线依次将各函数方块连接起来便可以得到系统的方块图。
利用方块图来进行控制系统建模的主要步骤如下：
⑴绘制控制系统控制流程图。
⑵根据控制系统功能，将控制系统划分为若干个环节，例如被控对象、控制器、测量变送环节、执行机构（控制阀）等等。
⑶列写各环节的微分方程或传递函数，即分别对各个环节建模，并将建模结果（传递函数）填入各相应的方块中。
⑷根据控制系统的信号走向（各输入输出通道）关系将各方块用信号线连接起来，便得到控制
系统的方块图。
⑸根据控制系统的类型和功能，确定控制系统的输入输出变量。
⑹利用方块图的简化规则来求出等效传递函数，或借助于信号流图中的梅逊（Mason）增益公式来求出信号流图的总增益，于是便可以得到控制系统的输入输出数学模型。
2-7 在方块图中，方块之间的基本连接形式有哪几种？从这几种基本连接形式出了，可归纳出哪些方块图的基本运算法则？
答方块图的基本连接形式有串联、并联和反馈三种，下面分别介绍它们的连接形式与相应的基本运算法则。
⑴串联图2-1表示三个环节串联。
图2-1 方块的串联
若干个环节串联时，总的传递函数等于各方块传递函数的乘积。相应于图2-1，则有：
⑵并联图2-2表示三个环节关联。
若干个环节并联时，总的传递函数等于各方块传递函数之代数和。相应于图2-2，则有：
图2-2 方块的并联图2-3 负反馈连
接图2-4 正反馈连接
⑶反馈图2-3表示负反馈连接，图2-4表示正反馈连接。
负反馈连接时，其闭环传递函数为：
式中G(s)称为前向通道传递函数，H(s)称为反馈通道传递函数， G(s)H(s)称为开环传递函数。
当反馈通道传递函数H(s)=1时，称为单位反馈系统，此时有：
正反馈连接时，如图2-4所示，则有：
2-8 方块图的等效变换有哪些基本运算规则？
答系统的方块图有时不一定只是环节串联、并联和反馈三种基本连接的简单组合，而可能具有较复杂的连接方式，这时可以通过方块图的等效变换，将方块图逐步简化为上述三种基本连接关系，然后再运用其相应的传递函数求得整个系统的传递函数，从而建立系统的复域模型。方块图等效变换的基本运算规则列表2-2如下。
表2-2 方块图等效变换的基本运算规则
2-9 试说明信号流图的基本构成，并回答信号流图的基本运算规则有哪些？
答信号流图是类似于方块图的又一种表示变量之间关系的图示建模法。在信号流图中，有以下一些基本构成及相应的术语。
⑴节点用来表示变量的点。此变量等于所有进入该节点的信号代数和，从节点流出的信号值都等于这个变量值。
⑵支路连接两节点间的有向线段。
⑶输入节点或源点只有输出支路的节点称为输入节点或源点，它对应于输入变量。在画信号流图时，一般将其放在左面。
⑷输出节点或阱点只有输入支路的节点称为输出节点或阱点，它对应于输入变量。在画信号流图时，一般将其放在信号流图的最右面。
⑸混合节点既具有输入支路又具有输出支路的节点称为混合节点。
⑹传输两个节点间的增益称为传输。在信号流图中，输入节点与输出节点之间的传输称为信号流图的总传输。
⑺通路沿支路箭头方向而穿过各相连支路的途径称为通路。如果通路与任一节点相交不多于一次的称为开通路；如果通路又回到了起点，并且与其他节点相交不多于一次，就称为闭通路或回路；如果从输入节点到输出节点的通路上，通过任何节点不多于一次，则该通路称为前向通路。
⑻不接触回路如果一个（或一些）回路与另一个（或另一些）回路，它们没有任何的公共节点，就称它们为不接触回路。
信号流图的基本连接形式及其运算规则如表2-3所示。
表2-3 信号流图的基本运算规则
2-10 试简述梅逊公式及其应用。
答梅逊增益公式为：
式中 p----信号流图的输入节点与输出节点之间的总增益；
----第k条前向通道的总增益；
----第k条前向通道特征式的余因子，即与第k条前向通道不相接触的回路的信号流图的特征式；
----信号流图的特征式，可写为：
其中 ----所有不同回路的增益之和；
----每两个互不接触回路增益乘积之和；
----第三个互不接触回路增益乘积之和。
在建立复杂系统的数学模型时，可以通过变量置换、消去中间变量的方法来建立系统的输入-输出模型，亦可以通过方块图的等效变换来建立系统的复域数学模型。但是，借助于信号流图，特别是梅逊公式，可以更加方便地求出信号流图的总传输，从而得到系统的等交往传递函数或输入-输出模型。
在运用梅逊公式时应注意，梅逊公式只能用于输入节点和输出节点之间，而不适用于任意两个混合节点之间。
2-11 试简述数学模型各种表达式之间的对应关系。
答线性定常系统的数学模型主要有微分方程、传递函数和状态方程三种形式，这三种形式之间存在着内在的联系，相互之间在一定条件下可以转化，下面简述微分方程与传递函数之间转化的方法。
微分方程与传递函数之间的转化是通过位氏变换与拉氏反变换来实现的。
例已知微分方程为：
在初始条件为0时，对上式两端取拉氏变换，则有：
所以，相应的传递函数模型为：
显然，如果已知系统的传递函数，只要通过拉氏反变换，就可以得到描述系统输入输出之间关系的微分方程式。
2-12 试分析几种简单系统（对象）的数学模型，以说明它们之间的相似性。
⑴水力系统；⑵电系统；
⑶机械系统；⑷传热系统；
⑸气动阻容组件；⑹溶液制备系统。
解⑴图2-9表示一个水槽，假定水槽的截面积为A ，输出阀的线性阻力系数为R ，则根据物料平衡有：
式中V 表示水槽内水的蓄存量，。另外，经过线性化后与h 成线性关系，即
，将 v与代入原始方程并整理后有：
令T=RA,K=R，则有：
其相应的传递函数为：
图2-9 水槽图2-10 RC电路图2-11 弹簧阻尼器系统
⑵图2-10是一电路，根据基本电路定律有：
两式联立，可得：
令T=RC ，则上式可写为：
其相应的传递函数为：
⑶图2-11所示这一弹簧阻尼器系统。在弹簧的上端有一位多，其下端就会有一位移。
由于弹簧所受的力与变形成正比，故有：F=k(x-y)
式中F为力，为弹簧的刚度。
对于阻尼器来说，假设其产生的摩擦力与运动速度成正比，有：
式中为阻尼器的粘性摩擦系数。
由于作用在阻尼器上的力与作用在弹簧上的力是相等的，所以有：
可写成：
其相应的传递函数为
如果令，则：
⑷图2-12所示为一水银温度计。为了建立温度计的测量值与被测温度之间的数学模型，我们忽略温度计玻璃本身的热容，只考虑温度计内水银的热容。水银具有的热量Q为：Q=McT 式中 M——水银的重量；
c——水银的比热容。
单位时间由周围环境（温度为）传给水银温度计的热量应该等水银内蓄存热量的变化率，因此可写成下列式子：
式中 a——水银温度计的等效导热系数；
F——水银温度计的外表面积。
上述方程式可改写为：
如令，则有：
其相应有传递函数G(s)为：
图2-12 水银温度计
⑸图2-13所示为一气动阻容组件，由一个气阻R与一个气容C组成。当输入压力增加时，气体将通过气阻慢慢进入气室，使气室内的压力也逐渐增加，直至为止。
当气压变化不大，气流气量不大时，通过气阻的气流量将与气阻两端的压差成正比，即：
式中 R——气阻值；图2-13 气动阻容组件
G——通过气阻的气体质量流
由于气体进入气室，将使气室中的气体密度增加，根据物料平衡，单位时间进入气容的气体量应该等于气室中气体蓄存量的变化率，即：
（2-2）
式中 V——气室体积；
P——气室内气体密度。
因为气体压力不高，气室中的气体可近似看做理想气体，故符合理想气体状态方程，即：
（2-3）
式中 n——气室中气体分子的摩尔数；
——通过气体常数；
——气室中气体的绝对温度；
——气室中气体的绝对压力。
气室中气体密度等于单位体积中的气体质量，即：
式中 M——气室中气体的平均分子量。
将式（2-3）代入上式并求导得：
（2-4）
将式（2-4）和式（2-1）同时代入式（2-2），可得：
或
令，则有：（2-5）
式中T ——时间常数。
⑹图2-14所示为一溶液制备槽。 x为单位时间加入的溶质量， q为单位时间加入的溶剂量。槽中溶液由溢流管引出，因此槽中的溶液体积为一常数。考虑到加入的溶擀很少，故流出量等于溶
剂的加入量由于搅拌均匀，故流出液的浓度等于槽中溶液浓度c ，而流入液的浓度假设为0。根据物料平衡，单位时间进入槽中的溶质量减去单位时间流出槽的溶质量应该等于槽中溶质蓄存量的变化率，因此有：
（2-6）
如果流入流出量 q为一常数，且令：
则有：
式中 T——时间常数；
K——放大系数。
图2-14 溶液制备槽
以上通过机理推导的方法分别建立了六个系统（或对象）的数学模型。尽管这些系统的物理过程很不相同，但导得的数学模型却是惊人的相似。如果以 x表示输入的变化量，y 表示输出的变化量，则描述x,y 之间的关系的都是一阶微分方程式，即：
其传递函数亦具有相同的形式，即：
这是一个典型的一阶惯性环节。
由于各种物理过程的相似性，所以给系统的模拟与仿真提供了方便与可能。同时，通过建立数学模型，也有得于进行系统的研究和分析。
2-13 图2-16是一个有源四端网络，试建立网络的下列形式的数学模型。
⑴微分方程式；
⑵传递函数；
图2-16 有源四端网络
解：⑴要建立该网络的微分方程数学模型，一般应按下列步骤进行。
①根据题意，确定模型输入、输出变量。本例可选为输入变量，电阻R上的压降作为
输出变量，目的是要建立起能够描述变化时，是如何变化的数学模型。
②根据基本的物理、化学规律列写原始方程式。本列中可根据电路基本规律列写下列方程：
（2-12）
（2-13）
（2-14）
③消去中间变量，使方程式中只含输入变量与输出变量。本例中就要设法消去中间变量
，使方程式中只含与，消中间变量的步骤可以这样进行，先由式（2-12）、式（2-13）消去得：
（2-16）
由式（2-13）求导，可得：
将式（2-14）代入上式可得
求导可得：（2-17）
将式（2-17）代入（2-16），可得
将式（2-15）代入上式并整理可得：
（2-18）
式（2-18）就是描述与关系的微分方程式。
⑵为了求得输入输出之间的传递函数，可以将式（2-18）在零初始条件下两取拉氏变换，可得：
式中分别为的位氏变换。于是可得传递函数为：
（2-19）
为了避免推导微分方程式中消去中间变量的繁琐过程，可以通过画方块图的方法直接求出输入输出之间的传递函数，为此，将四个原始方程式（2-12）、式（2-13）、式（2-14）、式（2-15）分别在零初始条件下取拉氏变换，得：
（2-20）
（2-21）
（2-22）
（2-23）
根据上述四个方程，可以分别画出其方块图如图2-17（a）、(b)、(c)、(d)所示。然后根据信号的传递关系将图2-17中的各方块用信号线连接起来，便成为整个网络的方块图，如图2-18
图2-17 方块图
图2-18 整个网络的方块图
为了求得与之间的传递函数，可以通过方块图等效变换，先将两个相加点的次序交换，然后求出内回路的传递函数为：
于是方块图就可以简化为图2-19所示。
进一步简化方块图，可画为图2-20所示。
整个网络的传递函数为：
图2-19 方块图
图2-20 方块图
由此可见，通过画方块图，可以比较方便地得到与式（2-19）相同的结果。
由图2-18，也可以直接运用梅逊公式，得出系统的总增益。由图可见，共有两个回路，且互相接触，其增益分别为：
系统只有一条前向通道，且与两个回路均接触，故有：
根据梅逊公式，可得总增益：
此结果也与式（2-19）相同。
2-14 试求图2-25所示方块图的传递函数。
解由于考虑的是单输入单输出系统的传递函数，所以在输入为X(s) 时，则假定F(s)=0 ；在输入为F(s) 时，则假定X(s)=0 。
图2-25经适当变换后，分别如图2-26(a)、（b）、(c)、(d)、(e)、(f)所示。
注意在上述变换过程中，运用了线路中的负号可在线路上前后移动，并可超过函数方块的规则。经过上述变换后，根据反馈连接传递函数的计算方法，分别由图2-26的(a)、（b）、(c)、(d)、(e)、(f)很容易写出下述传递函数：
图2-25 方块图
图2-26 方块图
对于和，由于此时 E(s)和Z(s) 不是输入节点，系统并没有构成闭环，故：
注意此时由于方块图的单向性，与不是简单的倒数关系。
2-15 已知系统的方块图如图2-27所示。
图2-27 方块图
⑴试通过方块图的等效变换，求出；
⑵试画出相应的信号流图，并运用梅逊公式，求得。
解⑴这是一个多回路的方块图，且在、、之间有相加点和分支点的交叉。为了从内回路到外回路逐步化简，首先要消除交叉连接。方法之一是将之后的相加点前移至之前，然后两相加点交换，将图2-27等效变换为图2-28(a)。
然后对图2-28(a)中的由、、组成的简单反馈系统进行化简，可得到图2-28(b)。进一步对内回路进行化简，便可得到图2-28(c)。经过简单运算和化简，最后便可得到一个简单的反馈控制系统，如图2-28(d)所示。
图2-28 方块图
由图2-28(d)便可计算得：
（2-43）
方法之二是将前的相加点后移至之后，然后相加点交换，便可得到如图2-29所示的等效方块图，然后对内回路逐个化简，便可得到式（2-43）相同的传递函数。
图2-29 等效方块图
方法之三是将之后的分支点移至之后，然后分支点交换，便可得到如图2-30所示的等效方块图，然后对内回路逐个化简，也可得到式（2-43）所表示的传递函数。
图2-30 等效方块图值得注意的是在方块图中，一条线路上的相加点与分支点的前后次序是不能任意交换的。对于
图2-27所示的方块图，如将前的相加点后移，然后与分支点交换，就会得到与图2-27不等效的方块图，如图2-31所示。
图2-31 方块图
贴图产2-31导得的传递函数为：
该结果与式（2-43）不相同，显然是错误的。
⑵将图2-27所示的方块图画成信号流图，如图2-32所示。
根据梅逊公式：
可以求得总增益p ，即为该系统的。
图2-32 信号流图该信号流图中共有三个回路，且均互相接触，其增益分别为：
图中仅有一条前向通路，其增
该信号流图的特征式为
由于前向通道 p1与三个回路均接触，故其余因式。
因此，该信号流图的总增益为：
此结果与式（2-43）的结果完全相同。
2-16系统的方块图如图2-33所示。
图2-33 方块图
⑴通过方块图等效变换，求出；
⑵画出该系统的信号流图，由梅逊公式求出系统总增益p 。
解⑴由于该方块图中存在相加点、分支点交叉，所以首先要消除交叉连接。为此，可以将与之间的相加点与分支点分别前移与后移，得到如图2-34所示的等效方块图。
图2-34 等效方块图
由该图，运用串联、并联和反馈连接的方块图传递函数运算法则，就可得到：
经过逐步化简，可得：
（2-44）
⑵将图2-33所示的方块图转化为信号流图，如图2-35所示。
在该信号流图中，共有五个互不接触的回路，其增益分别为：
故信号流图的特征式为：
信号流图中共有二条前向通道，且均与各回路有接触，因此有：
根据梅逊公式，则有：
上述结果结果式（2-44）完全相同。
图2-35 信号流图
2-17 系统的方块图如图2-36所示，试画出相应的信号流图，并运用梅逊公式求出系统的总增益
。
解画出相应的信号流图如图2-37所示。
值得指出的是：信号流图中节点的输出信号等于输入该节点诸信号的叠加，所以在由方块图转化为信号流图时，要注意分支点与相加点的画法。例如在图2-36中，环节后的分支点与相加点在信号流图中不能用一个节点来表示，否则通过反馈的信号就不只是的输入信号，还包含了反馈的信号。所以在图2-37的信号流图中，用了两个节点，中间用传输为1的线连了起来。但是在环节前的相加点与分支点却可以在信号流图中用一个节点表示，说明
与的输出信号叠加后同时作为与的输入信号。
学生做题前请先回答以下问题 问题1：应用题的一般处理思路是什么？ 问题2：应用题中建立数学模型常见的关键词和隐含数学关系有哪些？ 数学模型应用问题（三） 一、单选题(共5道，每道20分) 1.今年我市水果大丰收，A，B两个水果基地分别收获水果380箱、320箱，现需把这些水果全部运往甲、乙两销售点，从A基地运往甲、乙两销售点的费用分别为每箱40元和20元，从B基地运往甲、乙两销售点的费用分别为每箱15元和30元，现甲销售点需要水果400箱，乙销售点需要水果300箱． （1）设从A基地运往甲销售点x箱水果，总运费为W元，请用含x的代数式表示W，并写出x的取值范围．( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：一次函数的应用 2.（上接第1题）若总运费不超过18300元，且A地运往甲销售点的水果不低于200箱，试求出最低运费．( ) A.6000 B.7600 C.18200 D.11200 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：一次函数的应用 3.在“十一”期间，某公司组织318名员工外出旅游，旅行社承诺每辆车安排有一名随团导游，并为此次旅行安排8名导游，现打算同时租用甲、乙两种客车，其中甲种客车每辆载客45人，乙种客车每辆载客30人． （1）旅行社的租车方案有( ) A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：一元一次不等式组的应用 4.（上接第3题）（2）若甲种客车租金为800元/辆，乙种客车租金为600元/辆，则在租车方案中最少的租金为( ) A.5800元 B.6000元 C.6200元 D.3400元 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：一次函数的应用 5.（上接第3，4题）（3）旅行前，一名导游由于有特殊情况，旅行社只能安排7名导游随团导游，为保证所租的每辆车安排有一名导游，租车方案调整为：同时租65座、45座和30座的大小三种客车，出发时，所租的三种客车恰好坐满，则旅行社的租车方案是( ) A.65座的1辆，45座的5辆，30座的1辆 B.65座的2辆，45座的3辆，30座的2辆 C.65座的3辆，45座的1辆，30座的3辆 D.65座的1辆，45座的4辆，30座的2辆 答案：B 解题思路：
第二章 控制系统的数学模型 2—1 数字模型 在控制系统的分析和设计中，首先要建立系统的数学模型。 自动控制系统： 相同的数学模型进行描述，研究自动控制系统 其内在共性运动规律。 系统的数学模型，是描述系统内部各物理量之间动态关系的数学表达式。 常用的数学模型有： 数学模型 的建立方法 一般应尽可能采用线性定常数学模型描述控制系统。 如果描述系统的数学模型是线性微分方程，则称该系统为线性系统，若方程中的系数是常数，则称其为线性定常系统。线性系统的最重要特性是可以应用叠加原理，在动态研究中，如果系统在多个输入作用下的输出等于各输入单独作用下的输出和(可加性)，而且当输入增大倍数时，输出相应增大同样倍数(均匀性)，就满足叠加原理，因而系统可以看成线性系统。如果描述系统的数学模型是非线性微分方程，则相应系统称为非线性系统，其特性是不能应用叠加原理。 建立系统数学模型的主要目的，是为了分析系统的性能。由数学模型求取系统性能指标的主要途径如图2—1所示。由图可见，傅里叶变换和拉普拉斯变换是分析和设计线性定常连续控制系统的主要数学工具。 电气的、 机械的、 液压的 气动的等 微(差)分方程 传递函数(脉冲传递函数研究线性离散系统的数学模型) 经典控制理论 频率特性(在频域中研究线性控制系统的数学模型) 状态空间表达式(现代控制理论研究多输入—多输出控制系统) 结构图和信号流图，数学表达式的数学模型图示型式 解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律， 列写出各变量之间的数学关系式 实验法：对系统施加典型信号(脉冲、阶跃或正弦)，记录系统的时间响应 曲线或频率响应曲线，从而获得系统的传递函数或频率特性。 图2-1 求取性能指标的主要途径
浅谈数学模型在各个领域中的应用 发表时间：2018-05-02T11:10:12.163Z 来源：《科技中国》2017年11期作者：丁文[导读] 摘要：当今数学在各个领域蓬勃发展，应用广泛。数学模型是将数学知识应用于实际问题的重要纽带，它将实际问题抽象、简化，使人们利用数学理论和方法简单快速的解决实际问题。建立数学模型并且进行求解、检验、分析的全过程就是数学建模。如今数学模型在社会发展与生活中应用广泛。本文主要介绍了数学模型及其在医学、生物、经济、金融等相关领域的应用。 摘要：当今数学在各个领域蓬勃发展，应用广泛。数学模型是将数学知识应用于实际问题的重要纽带，它将实际问题抽象、简化，使人们利用数学理论和方法简单快速的解决实际问题。建立数学模型并且进行求解、检验、分析的全过程就是数学建模。如今数学模型在社会发展与生活中应用广泛。本文主要介绍了数学模型及其在医学、生物、经济、金融等相关领域的应用。 关键词：数学模型；数学建模；应用引言 数学是一种研究空间形式和数量关系的科学，它学科历史悠久，文化底蕴博大精深，如今发展迅速，在生产生活中发挥着重要的作用。然而，当今社会对数学的需求不只局限在数学理论，而更多是要求数学在实际应用中的作用，数学模型正是将理论知识与实践应用联系起来的桥梁。数学模型是通过运用数学理论和适当的数学工具、将复杂的实际问题不断简化的解题工具。数学建模的主要手段便是通过数学模型这一工具来快速解决实际问题。如今数学模型被应用于医学、生物、经济、金融等各个领域，取得了较好的经济效益和社会效益。 1.数学模型简介 1.1数学模型的定义 数学模型（Mathematical Model）是一种以解决实际问题为目的，运用数学语言和数学方法刻画出的数学结构。它利用数学的理论和方法分析和研究实际问题，并对实际的研究对象进行抽象、简化，进而利用数学知识解决现实生活中的问题。从另一种意义上来讲，它是一种将理论与实践紧密结合、并借此来解决各种复杂问题的最便捷的工具，对社会各个领域的发展都有重要意义。图1为数学建模流程图。 图1 数学建模流程 1.2模型分类 由于数学应用广泛，各领域对数学模型的要求各不相同，可根据不同的分类方法将数学模型分作许多种类。根据系统各量是否随时间的变化而变化可分为静态模型和动态模型，前者一般用代数方程式表达，后者则采用微分方程。分布参数模型和集中参数模型均用来描述动态特性，前者主要用偏微分方程表达，后者通过常微分方程来表达。上述各类用微分方程描述的模型都是连续时间模型，即模型中的时间变量是在一定区间内连续变化，与之相对的是离散时间模型，这是一种用差分方程描述的将时间变量离散化的数学模型。此外，还有根据变量间的关系是否确定区分的随机性模型和确定性模型；根据是否含有参数区分的参数模型和非参数模型；根据变量间的关系是否满足线性关系，是否满足叠加原理区分的线性模型和非线性模型，其中非线性模型中各量之间的关系不是线性的，不满足叠加原理，在某种情况下可转化为线性模型。 1.3数学建模 将实际问题进行抽象、简化，得到数学模型，然后对模型进行求解，再对模型的合理性进行分析、检验，最后将合理的模型应用到实际问题中，这便是数学建模。建立数学模型的过程，大体分为分析问题构建模型、运用数学方法数学工具求解、根据实际问题代入检验、应用于解决实际问题四个步骤，其中由于种种原因前三个步骤常常多次重复已求得最优解决方案。如今数学建模的应用很广，无论是在医学、军事、交通、经济、金融等较大课题，还是在日常计划、工作规划等较小事物中，都取得了较大的成就。 2.数学模型在各领域的应用 2.1数学模型在医学领域的应用
控制系统的数学模型 在控制系统的分析和设计中，首先要建立系统的数学模型。自动控制系统的组成可以是电气的、机械的、液压的或气动的，然而描述这些系统的数学模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研究自动控制系统，可以摆脱各种不同类型的外部特征，研究其内在的共性运动规律。 通过本章的学习，我们要掌握三种数学模型：微分方程、传递函数、动态结构图的建立方法。熟练掌握自动控制系统传递函数的求取方法。 §2—1 列写微分方程的一般方法 微分方程是描述控制系统动态性能的一种数学模型。建立系统或元件微分方程的一般步骤如下： （1） 根据实际工作情况，确定系统和各元件的输入量和输出量； （2） 根据物理或化学定律，列写系统各组成元件的原始方程； （3） 在可能条件下，对各元件的原始方程进行适当简化，略去一些次要因素或进行线 性化处理； （4） 消去中间变量，得出描述输出量和输入量（包括干扰）关系的微分方程，即元件 的微分方程； （5） 对求出的系统微分方程标准化。即将与输出有关的各项放在等号左侧；而将与输 入有关的各项置于等号右侧，等号左右侧各项均按降幂形式排列。 例：列写下图所示RC 网络的微分方程。 解：1、明确输入、输出量 输入量：RC 网络的电压u r ； 输出量：u c 2、建立输入、输出量的动态联系 根据电路理论的基尔霍夫电压定律，任意时刻，网络的输入电压等于各支路的电压降和，即 u u c r Ri += (1) dt d C i u c = ………（2）（i 为网络电流，是一个中间变量） 3、消除中间变量 -+ -
将（2）式代入（1）式得 u u u c c r dt d RC += 4、系统的微分方程的标准化 u u u r c c dt d RC =+ 例2：列写下图所示RLC 网络的微分方程。（零初始条件） 解：1、明确输入、输出量 输入量：u i ； 输出量：u c 2、列写个组件的原始方程 ??? ? ? ???? ==++=) 3()2() 1( dt d C i dt di L iR u u u u u c L c L i （i 为网络电流，是一个中间变量） 3、消除中间变量 将（3）分别代入（1）、（2）则得 ??? ? ?? ? =++=) 5() 4(22 t u d u u u u u d LC dt d RC c L c L c i 将（5）代入（4）则得 u t u d u u c c c i d LC dt d RC ++=2 2 4、系统的微分方程的标准化 u u u t u d i c c c dt d RC d LC =+++2 2 即为所求的微分方程 例3：列写下图所示RL 网络的微分方程。（零初始条件） 1、明确输入、输出量 输入量：u r ； + - c + -
实验一 控制系统的数学模型 一 实验目的 1、学习用MATLAB 创建各种控制系统模型。 2、掌握传递函数模型、零-极点增益模型以及连续系统模型与离散系统模型之间的转化，模型的简化。 二 相关理论 1传递函数描述 (1)连续系统的传递函数模型 连续系统的传递函数如下： ? 对线性定常系统，式中s 的系数均为常数，且a1不等于零，这时系统在MATLAB 中 可以方便地由分子和分母系数构成的两个向量唯一地确定出来，这两个向量分别用num 和den 表示。 num=[b1,b2,…,bm,bm+1] den=[a1,a2,…,an,an+1] 注意：它们都是按s 的降幂进行排列的。 tf （）函数可以表示传递函数模型：G=tf(num, den) 举例： num=[12,24,0,20];den=[2 4 6 2 2]; G=tf(num, den) (2)零极点增益模型 ? 零极点模型实际上是传递函数模型的另一种表现形式，其原理是分别对原系统传递 函数的分子、分母进行分解因式处理，以获得系统的零点和极点的表示形式。 K 为系统增益，zi 为零点，pj 为极点 在MATLAB 中零极点增益模型用[z,p,K]矢量组表示。即： z=[z1,z2,…,zm] p=[p1,p2,...,pn] K=[k] zpk （）函数可以表示零极点增益模型：G=zpk(z,p,k) (3)部分分式展开 ? 控制系统常用到并联系统，这时就要对系统函数进行分解，使其表现为一些基本控 制单元的和的形式。 ? 函数[r,p,k]=residue(b,a)对两个多项式的比进行部分展开，以及把传函分解为微 分单元的形式。 ? 向量b 和a 是按s 的降幂排列的多项式系数。部分分式展开后，余数返回到向量r ， 极点返回到列向量p ，常数项返回到k 。 ? [b,a]=residue(r,p,k)可以将部分分式转化为多项式比p(s)/q(s)。 11 211121......)()()(+-+-++++++++==n n n n m n m m a s a s a s a b s b s b s b s R s C s G ))...()(())...()(()(2121n m p s p s p s z s z s z s K s G ------=22642202412)(23423++++++=s s s s s s s G
第二章自动控制系统的数学模型 教学目的： （1）建立动态模拟的概念，能编写系统的微分方程。 （2）掌握传递函数的概念及求法。 （3）通过本课学习掌握电路或系统动态结构图的求法，并能应用各环节的传递函数，求系统的动态结构图。 （4）通过本课学习掌握电路或自动控制系统动态结构图的求法，并对系统结构图进行变换。 （5）掌握信号流图的概念，会用梅逊公式求系统闭环传递函数。 （6）通过本次课学习，使学生加深对以前所学的知识的理解，培养学生分析问题的能力 教学要求： （1）正确理解数学模型的特点； （2）了解动态微分方程建立的一般步骤和方法； （3）牢固掌握传递函数的定义和性质，掌握典型环节及传递函数； （4）掌握系统结构图的建立、等效变换及其系统开环、闭环传递函数的求取，并对重要的传递函数如：控制输入下的闭环传递函数、扰动输入 下的闭环传递函数、误差传递函数，能够熟练的掌握； （5）掌握运用梅逊公式求闭环传递函数的方法； （6）掌握结构图和信号流图的定义和组成方法，熟练掌握等效变换代数法则，简化图形结构，掌握从其它不同形式的数学模型求取系统传递函 数的方法。 教学重点： 有源网络和无源网络微分方程的编写；有源网络和无源网络求传递函数；传递函数的概念及求法；由各环节的传递函数，求系统的动态结构图；由各环节的传递函数对系统的动态结构图进行变换；梅逊增益公式的应用。 教学难点：举典型例题说明微分方程建立的方法；求高阶系统响应；求复杂系统的动态结构图；对复杂系统的动态结构图进行变换；求第K条前向通道特记式 的余子式 。 k 教学方法：讲授 本章学时：10学时 主要内容： 2.0 引言 2.1 动态微分方程的建立 2.2 线性系统的传递函数 2.3 典型环节及其传递函数 2.4系统的结构图 2.5 信号流图及梅逊公式
数学模型应用问题（讲义） ? 课前预习 1. 填写下列表格，并回忆相关概 念． 2. 解下列方程 [](10)38010(12)1750x x ---= 10(8)200106400.5x x -?? --?= ??? ? 知识点睛 应用题的处理思路 1. 理解题意，梳理信息 通过列表或画线段图等方式，对信息分类整理． 2. 辨识类型，建立模型 根据所属类型，围绕关键词、隐含的数学关系，建立数学
类型常考虑： ①所属的数学模型（方程不等式问题、函数问题、测量问题）； ②实际生活的背景（工程问题、行程问题、经济问题）． 常见关键词： ①共需、同时、刚好、恰好、相同……，考虑方程； ②不超过、不多于、少于、至少……，考虑不等式（组）； ③最大利润、最省钱、运费最少、尽可能少、最小值……，考虑函数（一次函数、二次函数）， 根据函数性质求取最值． 隐含的数学关系： ①原材料供应型（使用量≤供应量） ②容器容量型（载重量≥货物量） 3.求解验证，回归实际 ①结果是否符合题目要求； ②结果是否符合实际意义． ?精讲精练 1.某次地震后，政府为安置灾民，准备从某厂调拨用于搭建帐篷的帆布5 600 m2和撑杆2 210 m． （1）该厂现有帆布4 600 m2和撑杆810 m，不足部分计划安排110人进行生产．若每人每天能生产帆布50 m2或撑杆 40 m，则应分别安排多少人生产帆布和撑杆，才能确保同时完成各自的生产任务？ （2）计划用这些材料在某安置点搭建甲、乙两种规格的帐篷共100顶，若搭建一顶甲型帐篷和一顶乙型帐篷所需帆布与撑杆的数量及安置人数如下表所示，则这100顶帐篷最多能安置多少灾
第二章控制系统的数学模型 2-1 什么是系统的数学模型？大致可以分为哪些类型？ 答定量地表达系统各变量之间关系的表达式，称工矿企业数学模型。从不同的角度，可以对数学模型进行大致的分类，例如：用来描述各变量间动态关系的数学模型为动态模型，用来描述各变量间稳态关系有数学模型为静态模型；数学模型中各变量与几何位置无关的称为集中参数模型，反之与几何位置有关的称为分布参数模型；变量间关系表现为线性的称为线性模型，反之非线性模型；模型参数与时间有关的称为时变模型，与时间无关的称为时不变或定常模型；以系统的输入、输出变量这种外部特征来描述系统特性的数学模型称为输入输出模型，而以系统部状态变量描述的数学模型称为状态空间模型；等等。 2-2 系统数学模型的获取有哪几种方法？ 答获取系统数学模型的方法主要有机理分析法和实验测试法。 机理分析法是通过对系统部机理的分析，根据一些基本的物理或化学变化的规律而导出支配系统运动规律的数学模型，这样得到的模型称为机理模型。 实验测试法是通过对实际系统的实验测试，然后根据测试数据，经过一定的数据处理而获得系统的数学模型，这样得到的模型可称为实测模型或经验模型。 如果将上述两种方法结合起来，即通过机理分析的方法预先得到数学模型的结构或函数形式，然后对其中的某些参数用实验辨识的方法来确定，这样得到的数学模型可称为混合模型。这是介于上述两种方法之间的一种比较切合实际的应用较为普遍的方法。 2-3 通过机理分析法建立对象微分方程数学模型的主要步骤有哪些？ 答主要步骤有： ⑴根据系统的控制方案和对象的特性，确定对象的输入变量和输出变量。一般来说，对象的输出变量为系统的被控变量，输入变量为作用于对象的操纵变量或干扰变量。 ⑵根据对象的工艺机理，进行合理的假设和简化，突出主要因素，忽略次要因素。 ⑶根据对象的工艺机理，从基本的物理、化学等定律出了，列写描述对象运动规律的原始微分方程式（或方程式组）。 ⑷消去中间变量，推导出描述对象输入变量与输出变量之间关系的方程式。 ⑸根据要求，对上述方程式进行增量化、线性化和无因次化的处理，最后得出无因次的、能够描述对象输入变量与输出变量的增量之间关系的线性微分方程式（对于严重非线性的对象，可进行分段线性化处理或直接导出非线性微分方程式）。 2-4 试述传递函数的定义。如何由描述对象动态特性的微分方程式得到相应的传递函数？并写出传递函数的一般形式。 答对于线性定常系统、对象或环节的传递函数的定义可以表述为：当初始条件为零时，系统、对象或环节输出变量的拉氏变换式与输入变量的拉氏变换式之比。 如果已知系统、对象或环节的动态数学模型用下述线性常系数微分方程式来描述： 式中y 为输出变量， x为输入变量，表示y(t) 的n 阶导数，表示x(t) 的 m阶导数。对于一般实际的物理系统，。 假定初始条件为零，对上式的等号两边进行拉氏变换，得 式中Y(s)是y(t) 的拉氏变换， X(s)是x(t) 的拉氏变换，于是可得传递函数：
控制系统数字仿真题库 一、填空题 1. 定义一个系统时，首先要确定系统的边界；边界确定了系统的范围，边界以外对系统的作用称为系统的输入，系统对边界以为环境的作用称为系统的输出。2．系统的三大要素为：实体、属性和活动。 3．人们描述系统的常见术语为：实体、属性、事件和活动。 4．人们经常把系统分成四类，它们分别为：连续系统、离散系统、采样数据系统和离散-连续系统。 5、根据系统的属性可以将系统分成两大类：工程系统和非工程系统。 6．根据描述方法不同，离散系统可以分为：离散时间系统和离散事件系统。7. 系统是指相互联系又相互作用的实体的有机组合。 8．根据模型的表达形式，模型可以分为物理模型和数学模型二大类，其中数学模型根据数学表达形式的不同可分为二种，分别为：静态模型和动态模型。 9、采用一定比例按照真实系统的样子制作的模型称为物理模型，用数学表达式来描述 系统内在规律的模型称为数学模型。 10．静态模型的数学表达形式一般是代数方程和逻辑关系表达式等，而动态模型的数学表达形式一般是微分方程和差分方程。 11．系统模型根据描述变量的函数关系可以分类为线性模型和非线性模型。12 仿真模型的校核是指检验数字仿真模型和数学模型是否一致。 13．仿真模型的验证是指检验数字仿真模型和实际系统是否一致。 14．计算机仿真的三个要素为：系统、模型与计算机。 15．系统仿真的三个基本活动是系统建模、仿真建模和仿真试验。 16．系统仿真根据模型种类的不同可分为：物理仿真、数学仿真和数学-物理混合仿真。17．根据仿真应用目的的不同，人们经常把计算机仿真应用分为四类，分别为： 系统分析、系统设计、理论验证和人员训练。18．计算机仿真是指将模型在计算机上进行实验的过程。 19. 仿真依据的基本原则是:相似原理。 20. 连续系统仿真中常见的一对矛盾为计算速度和计算精度。 21．保持器是一种将离散时间信号恢复成连续信号的装置。 22．零阶保持器能较好地再现阶跃信号。 23. 一阶保持器能较好地再现斜坡信号。 24. 二阶龙格-库塔法的局部截断误差为O()。 25．三阶隐式阿达姆斯算法的截断误差为:O()。 26．四阶龙格-库塔法的局部截断误差为O()。 27．根据计算稳定性对步长h是否有限制，数值积分算法可以分为二类，分别是：条
数学模型应用题 一．选择题（共14小题） 1．（2011?恩施州）小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻12：0013：0014：30 碑上的数是一个两位数，数字 之和为6 十位及个位数字及12：00时所看 到的正好颠倒了 比12：00时看到的两位数 中间多了个0 则12：00时看到的两位数是（） A．24B．42C．51D．15 2．（2012?百色）某县政府2011年投资0.5亿元用于保障性房建设，计划到2013年投资保障性房建设的资金为0.98亿元．如果从2011年到2013年投资此项目资金的年增长率相同，那么年增长率是（） A．30%B．40%C．50%D．60% 3．（2011?台湾）如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为平方公分，则此方格纸的面积为多少平方公分？（） A．11B．12C．13D．14 4．（2013?资阳）在芦山地震抢险时，太平镇部分村庄需8组战士步行运送物资，要求每组分配的人数相同，若按每组人数比预定人数多分配1人，则总数会超过100人；若按每组人数比预定人数少分配1人，则总数不够90人，那么预定每组分配的人数是
A．10人B．11人C．12人D．13人 5．（2013?潍坊）对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.2]=1，[3]=3，[﹣2.5]=﹣3，若[]=5，则x的取值可以是（） A．40B．45C．51D．56 6．（2012?武汉）甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）及乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论：①a=8；②b=92；③c=123．其中正确的是（） A．①②③B．仅有①②C．仅有①③D．仅有②③7．（2012?牡丹江）已知等腰三角形周长为20，则底边长y关于腰长x的函数图象是（） A．B．C．D． 8．（2013?绍兴）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）及开机后用时（min）
数学建模在生活中的应用 【摘要】 本文通过数学模型在实际生活中应用的讨论，阐述数学建模理论的重要性，研究其在实践中的重要价值，并把抽象的数学知识放到大家看得见、摸得着、听得到的生活情境中，从而让人们感受到生活中处处有数学，生活中处处要用数学。 【关键词】数学建模；生活；应用；重要性 最早的数学建模教材出现在公元1世纪我国古代的《九章算术》一书中，由此可见，数学建模是人才培养和社会发展的需要。同时，数学建模也是教育改革的需要，现代数学教育改革中越来越强调“问题解决”，而“问题解决”恰恰体现了数学在实际生活应用的重要性，由于数学建模是问题解决的主要形式，所以数学建模在实际生活中发挥着重要的作用。 一、数学建模 数学建模是指根据具体问题，在一定的假设下找出解决这个问题的数学框架，求出模型的解，并对它进行验证的全过程。由此可见，数学建模是一个“迭代”的过程，此过程我们可以用下图表示： 二、生活中的数学建模实例 赶火车的策略 现有12名旅客要赶往40千米远的一个火车站去乘火车，离开车时间只有3小时了，他们步行的速度为每小时4千米，靠步行是来不及了，唯一可以用的交通工具是一辆小汽车，但这辆小汽车连司机在内至多只能乘坐5人，汽车的速度为每小时60千米。问这12名旅客能赶上火车吗？ 【分析】 题中没有规定汽车载客的方法，因此针对不同的搭乘方法，答案会不一样，一般有三种情况：（1）不能赶上；（2）勉强赶上；（3）最快赶上 模型准备 模型假设 模型求解 模型建立 模型分析 模型验证 模型应用
方案1 不能赶上 用汽车来回送12名旅客要分3趟，汽车往返就是3+2=5趟，汽车走的总路程为 5×40=200（千米）， 所需的时间为 200÷60=10/3（小时）>3（小时） 因此，单靠汽车来回接送旅客是无法让12名旅客全部赶上火车的。 方案2 勉强赶上的方案 如果汽车来回接送一趟旅客的同时，让其他旅客先步行，则可以节省一点时间。 第一趟，设汽车来回共用了X小时，这时汽车和其他旅客的总路程为一个来回，所以 4X+60X=40×2 解得X=1.25（小时）。此时，剩下的8名旅客与车站的距离为 40-1.25×4=35（千米） 第二趟，设汽车来回共用了Y小时，那么 4Y+60Y=35×2 解得Y=35/32≈1.09（小时） 此时剩下的4名旅客与车站的距离为 35-35/32×4=245/8≈30.63（千米） 第三趟，汽车用了30.63÷60~0.51（小时） 因此，总共需要的时间约为 1.25+1.09+0.51= 2.85（小时） 用这种方法，在最后4名旅客赶到火车站时离开车还有9分钟的时间，从理论上说，可以赶得上。但是，我们在计算时忽略了旅客上下车以及汽车调头等所用的时间，因此，赶上火车是很勉强的。 方案3 最快方案 先让汽车把4名旅客送到中途某处，再让这4名旅客步行（此时其他8名旅客也在步行）；接着汽车回来再送4名旅客，追上前面的4名旅客后也让他们下车一起步行，最后回来接剩下的4名旅客到火车站，为了省时，必须适当选取第一批旅客的下车地点，使得送最后一批旅客的汽车与前面8名旅客同时到达火车站。 解法1 设汽车送第一批旅客行驶X千米后让他们下车步行，此时其他旅客步行的路程为 4×X/60=X/15（千米） 在以后的时间里，由于步行旅客的速度都一样，所以两批步行旅客之间始终相差14/15X千米，而汽车要在这段时间里来回行驶两趟，每来回一趟所用的时间为 由于汽车来回两趟所用的时间恰好是第一批旅客步行（40-X）千米的时间， 故 2×X/32=40-X/4 解得X=32（千米） 所需的总时间为 32/60+（40-32）/4≈2.53（小时） 这个方案可以挤出大约28分钟的空余时间，足以弥补我们计算时间所忽略的一些时间。
中考数学模型的常见类型及其应用 史承灼 【摘要】“联系实际，加强应用”已经成为数学教育改革的一个重要方面，以应用数学的理论和方法解决实际问题的能 力为目标的“问题解决”亦已成为中考一大热点．而“数学模 型”或“数学建模”则是实现“数学问题解决”的基本手段和 主要内容．初中阶段常见的数学模型大致有：数与式、方程、 不等式、函数、三角、几何和统计模型等． 【关键词】初中数学问题解决构建数学模型随着数学教育改革的不断发展和深入，“联系实际，加强应用”已经成为数学 教育改革的一个重要方面，在基础教育中以培养应用数学的理论和方法解决实际问题的能力为目标的“问题解决”越来越引起人们的高度关注，亦已成为国际数学教育的一大热点．而“数学模型”或“数学建模”则是实现“数学问题解决”的基本手段和主要内容．掌握常见的“数学模型”和“数学建模”的方法，将会激发学生的创造能力，有助于应用数学知识解决实际问题能力的提高，从而达到加强“数学问题解决”教育的目的． 在数学的“问题解决”中，应用数学知识去解决实际问题，首先要把实际问题中的数学问题明确地表述出来，也就是说，要通过对实际问题的分析、归纳给出以描述这个问题的数学提法；然后才能使用数学的理论和方法进行分析，得出结论；最后再返回去解决现实的实际问题．由于实际问题的复杂性，往往很难把现成的数学理论直接套用到这些实际问题上，这就必须要在数学理论和所要解决的实际问题之间构建一个桥梁来加以沟通，以便把实际问题中的数学结构明确地表示出来，这个桥梁就是“数学模型”，这个桥梁的构建过程就是“数学建模”．一般说来，所谓数学模型是指通过抽象和简化，使用数学语言对实际现象的一个近似的刻画，以便于人们更深刻地认识所研究的对象．而“数学建模”的过程 考数学试题中，常见的应用问题按解决问题时建立数学模型所用数学知识和方法的
数学建模 数模作业（第一章） P21 第一章 6、利用1.5节药物中毒施救模型确定对于孩子(血液容量为2000ml)以及成人(血液容量为 4000ml)服用氨茶碱能引起严重中毒和致命的最小剂量。 解：设孩子服用氨茶碱能引起严重中毒的最小剂量为1A ，则由1.5节中的药物中毒施救模型可知: 在胃肠道中药物的量为 .138 1()t x t A e -=，而在血液系统中药物的量为 0.11550.13861()6() t t y t A e e --=-，再令0.1155 1() ()/6()t t y t y t A e e --==-再做出 ()y t 的图像如下： 由图可知()y t 具有最大值，设在这个最大值max ()y t 在孩子血液中容量的比例为严重中毒的比例100/g ml μ以及致命的比例200/g ml μ即为孩子服用氨茶碱的最小剂量。于是可以去求这个最小剂量。由上图可知最大值位于8t h =左右, 利用Mathematics 去找出这个最大值。求得max ()=0.0669y t ，而7.892t h =。于是孩子服用氨茶碱引起严重中毒的最小剂量1A 有式子1max 6()/2000100/A y t ml g ml μ=，从而得此时1498256.1A g μ=同理可以求的孩子服用氨茶碱致命的最小剂量为996512.2g μ。而成人服用氨茶碱严重中毒与致命的 5101520 0.01 0.020.030.040.050.06
最小剂量分别为996512.21993024.4g g μμ、。 7、对于1.5节的模型，如果采用的是体外血液透析的办法，求解药物中毒施救模型的血液中药量的变化并作图。 解：由题可算得： t=0:2:20 y=275*exp(-0.1386*t)+112.3*exp(-0.6930*t) plot(t,y,'b:') 第二章 3、根据2.5节中的流量数据(表2)和(2)式作插值的数值积分，按照连续模型考虑均流池的容量(用到微积分的极值条件)。 解：可以将表2中的数据建立散点图以及平均值，如下： h=0:1:23 y=[150.12,115.56,84.96,66.60,68.04,71.64,82.08,132.84,185.04,226.80,246.60,250.92,261.00,271.44,273.96,279,291.60,302.04,310.68,290.52,281.16,248.40,210.24,186.84] x1=0:0.01:23; t=sum(y)/24; plot(h,y,'-',x1,t) hold on plot(h,y,x1,'b.') 02468101214161820 50100150200250300350 400
几种数学模型在管理决策中的简单应用 由管理决策学理论的发展历程，我们可以知道，数学是推动决策理论发展的重要支柱。并且，合适数学模型的建立是合理解决现实决策问题之关键。通过数学模型，能较准确地测定该模型各要素之间的数量关系，以供人们做出分析、预报、决策或者控制。本文通过列举数学模型在管理决策领域中几个方面的应用，意在引起大家对数学模型的重视，以便保证最优地解决经济管理领域中所反映的问题，做出较好的决策，创造出最大的经济效益。 一、模型介绍 （一）、利用期望值解决风险型决策问题 处理风险型决策问题，简易可行的方法是利用期望收益最大的原则进行方案 选择。即进行备选方案的收益（或损失）比较，选择收益（或损失）最大（最小） 的方案。实例如下， E(B)=0*0.3 +30000*0.7=0 +21000=21000
所以，我们根据期望收益最大原则选择方案B （二）、利用极值存在条件求最大利润的产出水平 生产经营者要根据成本情况和销售情况确定最佳产量，取得最大利润。因此, 选取简单易行的数学模型就显得很有必要。而利用极值存在的必要条件和充分条 件求解最大利润的产量则是一个常用的方法。 实例如下， 设某一产商生产某产品的固定成本几乎可以忽略不计，边际成本与边际收益 函数分别为： MC Q2Q 20 MR 50 14Q 又极值存在的必要条件，可知MC=MR，解得Q i 15, Q2 2， 所以取Q2 2 （三）、利用shapley值法建立收益合理分配模型 n个人从事某项经济活动，对于他们之中若干人组合的每一种合作，都会得到一定的效益。当人们之间的利益是非对抗性时，合作中人数的增加不会引起效益的减少。这样，全体n个人的合作将带来最大效益，n个人的集体及各种合作的效益就构成n个合作对策。Shapley值是分配这个最大效益的一种方案。 1、shapley值定理的描述。
黄淮学院电子科学与工程系 自动控制原理课程验证性实验报告 实验名称 用MATLAB 建立系统数学模型 实验时间 2012 年10月11日 学生姓名 实验地点 同组人员 专业班级 1、实验目的 1）熟悉MATLAB 实验环境，掌握MATLAB 命令窗口的基本操作。 2）掌握MATLAB 建立控制系统数学模型的命令及模型相互转换的方法。 3）掌握使用MATLAB 命令化简模型基本连接的方法。 4）学会使用Simulink 模型结构图化简复杂控制系统模型的方法。 2、实验主要仪器设备和材料： MATLAB 软件 3、实验内容和原理：（1）控制系统模型的建立 控制系统常用的数学模型有四种：传递函数模型（tf 对象）、零极点增益模型（zpk 对象）、结构框图模型和状态空间模型（ss 对象）。经典控制理论中数学模型一般使用前三种模型，状态空间模型属于现代控制理论范畴。 1）传递函数模型（也称为多项式模型）。连续系统的传递函数模型为 101101() ()() m m m n n n b s b s b num s G s n m a s a s a den s --++ += =≥++ +， 在MATLAB 中用分子、分母多项式系数按s 的降幂次序构成两个向量： 0101[] []m n num b b b den a a a ==，，，，，，，。 用函数tf( )来建立控制系统的传递函数模型，用函数printsys( )来输出控制系统的函数，其命令调用格式为 ()int ()sys tf num den pr sys num den =，，， Tips ：对于已知的多项式模型传递函数，其分子、分母多项式系数两个向量可分别用 .{1}sys num 与.{1}sys den 命令求出。这在MATLAB 程序设计中非常有用。 2）零极点增益模型。零极点模型是传递函数模型的另一种表现形式，其原理是分别对原传递函数的分子、分母进行因式分解，以获得系统的零点和极点的表示形式。 1212()()() ()()()() m n K s z s z s z G s s p s p s p ---= ---，式中，K 为系统增益；12m z z z ， ，为系统零点；12m p p p ，，为系统极点。在MATLAB 中，用向量z p k ，，构成矢量组[]z p k ，，表示系统。
第二章控制系统的数学模型 1．本章的教学要求 1）使学生了解控制系统建立数学模型的方法和步骤； 2）使学生掌握传递函数的定义、性质及传递函数的求取方法； 3）掌握典型环节及其传递函数； 4）掌握用方框图等效变换的基本法则求系统传递函数的方法。 2．本章讲授的重点 本章讲授的重点是传递函数的定义、性质；用方框图等效变换的基本法则求系统传递函数的方法。 3．本章的教学安排 本课程预计讲授10个学时
第一讲 2.1 线性系统的微分方程 1．主要内容： 本讲介绍数学模型定义、特点、种类；主要介绍控制系统最基本的数学模型——微分方程，通过举例说明列写物理系统微分方程的基本方法和步骤。 2．讲授方法及讲授重点： 本讲首先给出数学模型定义，说明为什么建立数学模型；介绍建立数学模型的依据；介绍数学模型特点，重点说明相似系统的概念、模拟的概念，由此引出今后研究控制系统问题都是在典型数学模型基础上进行的；介绍数学模型种类，说明本课程主要介绍微分方程、传递函数、频率特性形式数学模型。 其次，本讲主要以电气系统为例介绍列写物理系统微分方程的方法和步骤，通过例题的详细讲解，使学生了解微分方程是描述控制系统动态性能的数学模型，熟悉在分析具体的物理系统过程中，要综合应用所学过的物理、力学、机械等学科的知识。 3．教学手段： Powerpoint课件与黑板讲授相结合。 4．注意事项： 在讲授本讲时，应说明列写物理系统微分方程的依据是系统本身的物理特性，本课程主要讲授物理系统微分方程列写的方法和步骤。 5．课时安排：1学时。 6．作业：p47 2-1 7．思考题：复习拉普拉斯(Laplace)变换
反馈控制系统的数学模型及设计工具 反馈系统的数学模型在系统分析和设计中起着很重要的作用，基于系统的数学模型,就可以用比较系统的方法对之进行分析，同时，一些系统的方法也是基于数学模型的，这就使得控制系统的模型问题显得十分重要。 1数学模型的表示方法 线性时不变(LTI)系统模型包括传递函数模型( tf )，零极点增益模型( zpk )，状态空间模型( ss )和频率响应数据模型 ( frd ) 传递函数模型 线性系统的传递函数模型可以表示成复数变量s 的有理函数式: n n n n n m m m m a s a s a s a s b s b s b s b s G +++++++++=---+-122111121)( 调用格式： G =tf (num, den) 其中][num 121+=m m b b b b ,]1[den 121n n a a a a -= 分别是传递函数分子和分母多项式的系数向量,按照s 的降幂排列.返回值G 是一个tf 对象，该对象包含了传递函数的分子和分母信息。 例1 一个传递函数模型 5 43232)(2342++++++=s s s s s s s G 可以由下面命令输入到MATLAB 工作空间去. >> num=[1 2 3]；den=[1 2 3 4 5];G=tf(num,den) Transfer function: s^2 + 2 s + 3 ---------------------------------- s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + 4 s + 5 对于传递函数的分母或分子有多项式相乘的情况, MATLAB 提供了求两个向量的卷积函数—conv( )函数求多项式相乘来解决分母或分子多项式的输入。conv( )函数允许任意地多层嵌套，从而表示复杂的计算.应该注意括号要匹配，否则会得出错误的信息与结果。 例2 一个较复杂传递函数模型 ) 432)(6()1()3)(2(2)(2342+++++++=s s s s s s s s G 该传递函数模型可以通过下面的语句输入到MATLAB 工作空间去。 >> num=2*conv([1 2],[1 3]); den=conv(conv(conv([1 1],[1 1]),[1 6]),[1 2 3 4]);
数学建模在医疗的应用 10级康本二班张超凡数学模型在药物动力学上的应用。药物动力学是定量研究药物在生物体内吸收、分布、排泄和代谢随时间变化的过程的一门学科，它的发展对药物评价，新药设计，药物剂型改进，临床指导合理用药，以及优化给药方案等具有重大的实用价值。药物动力学模型是为了定量研究药物体内过程的速度规律而建立的模拟数学模型，常用的有房室模型和生理药动学模型。通过房室模型可以分析药物在人身体的运行情况，得到药物在血液中的浓度变化（即血药浓度），从而给出最佳给药方式及血药浓度的峰值时间。这样就可以选择最佳治疗方案。而生理药动学模型则主要用于预测药物在器官组织中药物浓度及代谢产物的经时过程和药物处置在动物间的外推。 数学在心血管生理病理方面的应用。通过对血管分支建立数学模型，为求出血管的条数和分支数，讨论血管的总长度提供了理论依据，从而可计算出药物流遍全身、药物发生作用的时间，为药理学上提供较高的参考价值。而血液粘度测量数学模型的建立能够准确地反映体内新鲜血液的力学特征血液粘度是表征人体血液流变特性的重要参数之一，许多疾病如高血压、脑中风、心肌梗塞等都表现为血液粘度值的改变，因此测量血液粘度对研究这些疾病的形成、发展及预防有着极其重要的生理和病理意义。此外血管中的血液流动问题是心血管系统中极为重要的研究课题，血管的血流有障碍则会造成心血管系统生理异常，严重的话会导致生命危险。目前我们已经建立了入口
效应问题、锥角度效应问题和留固耦合效应问题的数学模型，这有助于深化人们对心血管系统的运动规律、正常的生理功能、异常的疾病机理等的认识。此外可以运用数理统计方法研究了高血压、糖尿病等一些疾病的血液流变特性，从而为疾病的诊断提供新的依据。 模糊数学在医学领域的应用。模糊数学用确定的数字来表述不确定的现象，依据统计学的数据，运用模糊逻辑的思维方式，就可建立起模糊关系矩阵，再采用模糊数学的运算法则便可得到精确的结论。这就是模糊数学应用在医学领域方面的基本原理。模糊数学方法有不要求病情相互独立的优点，因而其应用限制较少。如模糊综合评价应用模糊数学的理论，将模糊信息通过模糊判断的手段，从而求得明确评价结果。这种评价方法广泛应用于卫生事业管理工作中，如医院营理质量的好坏，疾病治疗质量的好坏等等。 然而艾滋病是全世界都关注的病，下面说下艾滋病的有关内容。 艾滋病的临床症状多种多样，一般初期的开始症状像伤风、流感、全身疲劳无力、食欲减退、发热、体重减少、随着病情的加重，症状日见增多，如皮肤、黏膜出现白色念球菌感染，单纯疱疹、带状疱疹、紫斑、血肿、血疱、滞血斑、皮肤容易损伤，伤后出血不止等；以后渐渐侵犯内脏器官，不断出现原因不明的持续性发热，可长达3-4个月；还可出现咳嗽、气短、持续性腹泻便血、肝脾肿大、并发恶性肿瘤、呼吸困难等。由于症状复杂多变，每个患者并非上述所有症状全都出现。一般常见一、二种