2017学年高二第1次月考------理科数学
一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求．
1．已知集合{}21≤≤-=x x A ，{}
1B <=x x ，则R A
C B =（ ）
A. {}1x x <
B. {}11x x -≤<
C. {}11x x -≤≤
D. {}
12x x ≤≤ 2．抛物线2
4y x =的焦点坐标是（ ）
A. (0, 2)
B. (0, 1)
C. (1, 0)
D. (2, 0) 3．为了得到函数sin(2)3
y x π
=-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象 （ ）
A. 向左平移
3π个单位长度 B. 向右平移3π
个单位长度 C. 向左平移6π个单位长度 D. 向右平移6
π
个单位长度
4．函数()ln f x x x =的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
5．已知向量a 与b 的夹角为30°，且3,2a b ==，则b a
-2等于（ ）
A ．4
B ．2
C ．13
D ．72
6．已知直线l 过圆()2
2
34x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则直线l 的方程为（ ）
A ．20x y +-=
B ．20x y -+=
C ．30x y +-=
D ．30x y -+= 7．在等差数列{}n a 中，18153120a a a ++=，则9113a a -的值为( ) A. 6 B. 12 C. 24 D. 48
8．函数86)(2
+-=x x x f ，[]5,5x ∈-，在定义域内任取一点o x ，使()0o f x ≤的概率是（ ）
A.
110 B. 5
1 C.310 D.4
5 9．直线1:(1)30l kx k y +--=和2:(1)(23)20l k x k y -++-=互相垂直，则k =( ) A. 1 B. -3 C. -3或1 D. 5
4
-
10．一个机器零件的三视图如图所示，其中侧视图是一个半圆与边长为2的正方形，俯视图是一个半圆内切于边长为2的正方形，则该机器零件的体积为（ ） A. 83
π
+ B. 4
8π
+
C. 348π+
D. 3
4π+
11．若实数,x y 满足约束条件220,
240,2,
x y x y y --≤??
+-≥??≤?
则x y 的取值范围是( )
A. 2,23??????
B.13,22??????
C.3,22
?????? D.[]1,2
12．若实数x a x x x f cos 2sin 6
1
)(-+=在[]44，
-单调递增，则a 的取值范围是（ ） A.??????-3232， B.??????-3131， C.??
?
???-6161， D.[]22，-
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分 13．定积分dx e x x
?
-1
)2(的值为____________
14．函数x
x
x f ln )(=
的单调增区间 15．已知()1cos 3θ+π=-
，则sin 22θπ?
?+= ??
? ．
16．设(),()f x g x 分别是R 上的奇函数和偶函数, 当0x 时,0)()()()(>'+'x g x f x g x f ,且
0)3(=-g ，则不等式()()
0f x g x 解集是
C
B
A
M
三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．(本小题满分10分)
求这个函数的极值。
处的切线方程求这个函数在点已知函数)2(;))1(,1()1(.
12)(3f x x x f -=
18．(本小题满分12分)
已知等差数列{}n a 的公差2d =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 满足11b a =，24b a =，313b a =。 （1）求n a ，n b ； （2）记数列1n S ??
????
的前n 项和为n T ，求n T ．
19．（本小题满分12分）
在ABC ?中，点M 是BC 上的一点，3BM ，210AC =，
45B ∠=，310
cos 10
BAM ∠=
． （1）求线段AM 的长度； （2）求线段MC 的长度．
20.(本小题满分12分)
如图，在三棱柱111C B A ABC -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，12AB AC AA ==，120BAC ∠=，
1D D ， 分别是线段11,BC B C 的中点，过线段AD 的中点P 作BC 的平行线，分别交AB ，AC 于点
M ，N ．
（1）证明：MN ⊥平面11ADD A ； （2）求二面角1A A M N --的余弦值．
A
B
C
D
P
M
N C 1
D 1
21.（本小题满分12分）
已知椭圆C ： 22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦距为4，且经过点(2,2)P ．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）A 、B 是椭圆C 上两点，线段AB 的垂直平分线 l 经过(0,1)M ，求OAB ?面积的最大值 （O 为坐标原点）．
22．（本小题满分12分）
设函数2
()(1)2ln(1).f x x x =+-+
（1）求函数()f x 的单调区间；
（2）当]1,11[--e e
时,()f x m 不等式<恒成立，求实数m 的取值范围；
（3）若关于x 的方程2
()f x x x a =++在0,2上恰有两个相异实根，求实数a 的取值范围．
2017学年高二第1次月考------数学（理科）答案
一、选择题：本大题共
l2小题，每小题5分，满分60分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
D C D A B D D B C A B A
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分
13、e -2 14、),0(e 15、9
7
- 16、)3,0()3,( --∞
三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17、
18、（1）由题意知
，又等差数列
的公差
.........10分
所以，即，解得，
所以
，
设等比数列的公比为，则，所以． （2）由（1）得，
所以，
因此
．
19．【解析】（1）∵310
cos 10
BAM ∠=
，(0,180)BAM ∠∈， ∴2
10
sin 1cos 10
BAM BAM ∠=-∠=
．………2分 ∵2sin 2ABM ∠=
，3BM ，sin sin BM AM BAM B
=∠∠，………4分 ∴2
3sin 235sin 1010
BM B
AM BAM
?
?∠=
=
=∠．………6分 （2）cos cos()AMC BAM B ∠=∠+∠cos cos sin sin BAM B BAM B =∠∠-∠∠
cos cos sin sin BAM B BAM B =∠∠-∠∠31021025
1021025
=
?-?=，………8分 ∵210AC =，222
2cos AC MC AM MC AM AMC =+-??∠，………10分
∴222
5(210)(35)2355
MC MC =+-??， ∴2
650MC MC -+=，
∴1MC =，或5MC =．………12分
.........3分
.........5分 .........7分
.........8分
.........12分
.........10分
20.（Ⅰ）证明：因为AB AC =,D 是BC 的中点,所以,BC AD ⊥.
因为M ，N 分别为AB ，AC 的中点，所以MN BC ．
所以MN AD ⊥.
因为1AA ⊥平面ABC ,MN ?平面ABC ，所以1AA ⊥MN . 又因为1,AD AA 在平面11ADD A 内,且AD 与1AA 相交, 所以MN ⊥平面11ADD A .
（Ⅱ）解法一:连接1A P ,过A 作1AE A P ⊥于E ,
过E 作1EF A M ⊥于F ,连接AF . 由（Ⅰ）知,MN ⊥平面1AEA , 所以平面1AEA ⊥平面1A MN . 所以AE ⊥平面1A MN ,则1A M AE ⊥. 所以1A M ⊥平面AEF ,则1A M ⊥AF .
故AFE ∠为二面角1A A M N --的平面角(设为θ)．
设11AA =,则由12AB AC AA ==,120BAC ∠=,有60BAD ∠=,2,1AB AD ==. 又P 为AD 的中点，则M 为AB 的中点，所以1
,12
AP AM =
=. 在1Rt AA P ，15
2
A P =
，在1Rt A AM 中，12AM =. 从而1155
AA AP AE A P =
=,112
2AA AM AF A M ==
． 所以10
sin 5
AE AF θ=
=. 因为AFE ∠为锐角，
所以2
2
1015cos 1sin 155θθ??=-=-= ? ???
． A B
C
D
P M N
A 1
B 1
C 1
D 1
F E A
B
C
D
P M
N C 1
y
z
故二面角1A A M N --的余弦值为
155
. 解法二: 设11AA =.如图,过1A 作1A E 平行于11B C ,以1A 为坐标原点,分别以111,AE AD ,1A A 的方向为x 轴,y 轴,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系O xyz -(点O 与点1A 重合)． 则()10,0,0A ,()0,0,1A .
因为P 为AD 的中点,所以,M N 分别为,AB AC 的中点,
故3131,,1,,,12222M N ????
-
? ? ? ?????
, 所以131,,122A M ??= ? ???
,()10,0,1A A =,(
)
3,0,0NM =
．
设平面1AA M 的法向量为()1111,,x y z =n ，
则1111,,A M A A ?⊥??⊥??n n 即11110,0,
A M A A ??=???=??n n 故有()()()11111131,,,,10,22,,0,0,10.x y z x y z ???
?=? ? ??????=? 从而111131
0,22
0.x y z z ?++=?
??=?
取11x =,则13y =-, 所以()
11,3,0=-n 是平面1AA M 的一个法向量． 设平面1A MN 的法向量为()2222,,x y z =n ,
则212,,A M NM ?⊥??⊥??n n 即2120,0,
A M NM ??=???=??n n 故有()()()
222222
31,,,,10,22,,3,0,00.x y z x y z ???
?=?
? ???????=?? 从而2
22231
0,22
30.x y z x ?++=???=?
取22y =,则21z =-, 所以()20,2,1=-n 是平面1A MN 的一个法向量． 设二面角1A A M N --的平面角为θ,又θ为锐角， 则12
12
cos θ?=
?n n n n
()
()1,3,00,2,115
5
25
-?-=
=
?. 故二面角1A A M N --的余弦值为155
.
21．【解析】（1）依题意，42=c ，椭圆∑的焦点为1(2,0)F -，2(2,0)F ，………………1分
2222122||||(22)(2)(22)(2)42a PF PF =+=+++-+=，………………2分
∴2
2
2
4b a c =-=，椭圆∑的方程为22
184
x y +=．………………3分 （2）根据椭圆的对称性，直线AB 与x 轴不垂直， 设直线AB ：m kx y +=，
由??
???+==+m kx y y x 1482
2，得0824)12(2
22=-+++m kmx x k ，………………4分 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122421km
x x k +=-+，21222821m x x k -?=+，………………5分
222
2
122
211682||1||21
k k m AB k x x k ++-=+-=+，………………6分 O 到直线AB 的距离2
||1m d k
=
+， ………………7分
OAB ?的面积2222
2(84)1
||221
m k m S AB d k +-=??=+．………………8分 依题意，||||BM AM =，2222
1122(1)(1)x y x y +-=+-，………………9分
0)2)(())((21212121=-+-++-y y y y x x x x ， 0]22)([)(212
12
121=-++--+
+m x x k x x y y x x ，
0)22())(1(212=-+++m k x x k ，
代入整理得，0)12(2
=++m k k ，………………10分 若0=k ，则22)4(222≤-=
m m S ，
等号当且仅当2-=m 时成立．………………11分 若0≠k ，则0122
=++m k ，22)4(22≤--=m m S ，
等号当且仅当2-=m ，2
2
±
=k 时成立． 综上所述，OAB ?面积的最大值为22．………………12分
-+∞
22．解：（2）函数的定义域为(1,).
.........10分
.........11分
.........12分