关于高等数学期末复习
资料归纳大全
Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】
《高等数学复习》教程
第一讲函数、连续与极限
一、理论要求
1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）
几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）
2.极限极限存在性与左右极限之间的关系
夹逼定理和单调有界定理
会用等价无穷小和罗必达法则求极限
3.连续函数连续（左、右连续）与间断
理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）
二、题型与解法
A.极限的求法（1）用定义求
（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）
（3）变量替换法
（4）两个重要极限法
（5）用夹逼定理和单调有界定理求
（6）等价无穷小量替换法
（7）洛必达法则与Taylor级数法
（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）
1.61
2arctan lim )21ln(arctan lim
3030-=-=+->->-x x x x x x x x （等价小量与洛必达）
2.已知2030)
(6lim
0)(6sin lim
x x f x x xf x x x +=+>->-，求 解：
2
0303')(6cos 6lim )(6sin lim x xy x f x x x xf x x x ++=+>->-
36272
2''lim 2'lim )(6lim
0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达）
3.1
21)12(lim ->-+x x
x x x （重要极限）
4.已知a 、b 为正常数，x
x x x b a 3
0)2(lim +>-求
解：令]
2ln )[ln(3
ln ,)2(3
-+=+=x x x x x b a x t b a t
2
/300)()ln(23)ln ln (3lim ln lim ab t ab b b a a b a t x
x x x x x =∴=++=>->-（变量替
换）
5.)
1ln(1
2
)(cos lim x
x x +>-
解：令
)
ln(cos )1ln(1
ln ,)
(cos 2)
1ln(1
2x x t x t x +=
=+
2
/100
21
2tan lim
ln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换）
6.设
)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求
1
)()(lim
2
2
=?
?
>-x
x x dt
t f x
dt
t f
（洛必达与微积分性质）
7.已知??
?=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a
解：令
2
/1/)ln(cos lim 20
-==>-x x a x （连续性的概念）
三、补充习题（作业）
1.
3
cos 11lim
-=---->-x
x x e x x （洛必达）
2.
)
1
sin 1(
lim 0
x x ctgx x ->- （洛必达或Taylor ）
3.
1
1
lim
2
2
=
--
-
>
-
?
x
x t
x e
dt
e
x
（洛必达与微积分性质）
第二讲导数、微分及其应用
一、理论要求
1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义
会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导）
会求平面曲线的切线与法线方程
2.微分中值定理理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理
会用定理证明相关问题
3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图
会计算曲率（半径）
二、题型与解法
A.导数微分的计算基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导
1.
?
?
?
=
+
-
=
=
5
2
arctan
)
(2t
e
ty
y
t
x
x
y
y由
决定，求
dx
dy
2.
x
y
x
y
x
x
y
y sin
)
ln(
)
(3
2+
=
+
=由
决定，求
1
|
=
=x
dx
dy
解：两边微分得x=0时
y
x
y
y=
=cos
'
，将x=0代入等式得y=1
3.
y
x
x
y
y xy+
=
=2
)
(由
决定，则
dx
dy
x
)1
2
(ln
|
-
=
=
B.曲线切法线问题
4.求对数螺线
)2/
,2/π
θ
ρ
ρπ
θe
e（
）
，
在（=
=
处切线的直角坐标方程。
解：
1
|'
),
,0(
|)
,
(,
sin
cos
2/
2/
2/
-
=
=
??
?
?
?
=
=
=
=π
θ
π
π
θ
θ
θ
θ
θ
y
e
y
x
e
y
e
x
(x)为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。
解：需求
)1('
),1(
)6('
),6(f
f
f
f或
，等式取x->0的极限有：f(1)=0
C.导数应用问题
6.已知
x
e
x
f
x
x
xf
x
x
f
y-
-
=
+
=1
)]
('
[
2
)
(''
)
(2
满足
对一切
，)0
(0
)
('
0 0≠
=x
x
f
若
，求
)
,
(
y
x
点的性质。
解：令
?
?
?
<
>
>
>
=
=
=
-
,0
,0
)
(''
1
x
x
x
e
e
x
f
x
x
x
x
代入，
，故为极小值点。
7.
2
3
)1
(-
=
x
x
y
，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。
解：定义域
)
,1(
)1,
(+∞
-∞
∈
x
8.求函数
x
e
x
y arctan
2/
)1
(+
-
=π
的单调性与极值、渐进线。
解：
1
1
'arctan
2/
2
2
-
=
=
?
+
+
=+x
x
e
x
x
x
y x与
驻点
π
，
2
)2
(-
=
-
=x
y
x
e
y与
渐：π
D.幂级数展开问题
9.
?=
-
x
x
dt
t
x
dx
d
2
2sin
)
sin(
或：
2
2
02
sin
sin
)
(
sin x
du
u
dx
d
du
u
dx
d
u
t
x x
x
=
=
-
?
=
-?
?
10.求
)0(
)
1
ln(
)
()(
2n
f
n
x
x
x
x
f阶导数
处的
在=
+
=
解：)(2)1(32()1ln(22
1322
2
---+--+???-+-=+n n n x o n x x x x x x x
=)(2)1(321543
n n
n x o n x x x x +--+???-+-- 2!)1()0(1)(--=∴-n n f n n E.不等式的证明
11.设)1,0(∈x ，21
1)1ln(112ln 1)1(ln )122<
-+<-<++x x x x x ，求证（ 证：1）令
0)0(,)1(ln )1()(2
2=-++=g x x x x g
2）令
单调下降，得证。
,0)('),1,0(,1
)1ln(1)(<∈-+=
x h x x x x h
F.中值定理问题
12.设函数
]11[)(，在-x f 具有三阶连续导数，且1)1(,0)1(==-f f ，
0)0('=f ，求证：在（-1，1）上存在一点3)('''=ξξf ，使
证：32)('''!31
)0(''!21)0(')0()(x f x f x f f x f η++
+=
其中
]1,1[),,0(-∈∈x x η
将x=1，x=-1代入有)
('''61
)0(''21)0()1(1)('''61
)0(''21)0()1(021ηηf f f f f f f f ++==-+
=-=
两式相减：
6)(''')('''21=+ηηf f
13.2
e b a e <<<，求证：
)(4
ln ln 222a b e a b ->
-
证：
)
(')
()(:
ξf a b a f b f Lagrange =--
令
ξ
ξ
ln 2ln ln ,ln )(222
=
--=a b a b x x f
令
2
2
22ln )()(0ln 1)(',ln )(e e t t t t t t >∴>∴<-==
ξξ?ξ???
)(4
ln ln 222a b e a b ->
- （关键：构造函数）
三、补充习题（作业）
1.
23
)0('',11ln
)(2
-
=+-=y x x x f 求 2.曲线012)1,0(2cos 2sin =-+?????==x y t e y t
e x t
t
处切线为在
3.
e x y x x e x y 1)0)(1ln(+
=>+=的渐进线方程为 4.证明x>0时22)1(ln )1(-≥-x x x
证：令322
2
)
1(2)('''),(''),(',)1(ln )1()(x x x g x g x g x x x x g -=
---=
第三讲 不定积分与定积分 一、理论要求 1.不定积分 掌握不定积分的概念、性质（线性、与微分的关系）
会求不定积分（基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部） 2.定积分
理解定积分的概念与性质
理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法 会求定积分、广义积分
会用定积分求几何问题（长、面、体）
会用定积分求物理问题（功、引力、压力）及函数平均值
二、题型与解法 A.积分计算
1.
?
?
+-=--=-C x x dx x x dx 2
2
arcsin
)2(4)
4(2
2.?
??+=+=+C
x e xdx e xdx e dx x e x x x x
tan tan 2sec )1(tan 222222
3.设
x x x f )
1ln()(ln +=
，求?dx x f )(
解：??+=dx e e dx x f x x )
1ln()( 4.??∞∞>-∞
+=+-+-=112122ln 214)11(lim |arctan 1arctan b b dx x x x x x dx x x π
B.积分性质
5.)(x f 连续，?=1
0)()(dt xt f x ?,且A x x f x =>-)(lim 0
，求)(x ?并讨论)('x ?在0=x 的连续性。
解：
x
dy y f x xt y f x
?=
?===0
)()(,0)0()0(??
??---=-x x x t d t x f dx d dt t x tf dx d 02
222022)()(2)(C.积分的应用
三、补充习题（作业）
1.?+
-
-
-
=C
x
x
x
x
dx
x
x
cot
2
sin
ln
cot
sin
sin
ln
2
2.?
+
-
+
dx
x
x
x
13
6
5
2
3.?dx
x
x arcsin
第四讲向量代数、多元函数微分与空间解析几何
一、理论要求
1.向量代数理解向量的概念（单位向量、方向余弦、模）
了解两个向量平行、垂直的条件
向量计算的几何意义与坐标表示
2.多元函数微分理解二元函数的几何意义、连续、极限概念，闭域性质
理解偏导数、全微分概念
能熟练求偏导数、全微分
熟练掌握复合函数与隐函数求导法
3.多元微分应用理解多元函数极值的求法，会用Lagrange乘数法求极值
4.空间解析几何掌握曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法
会求平面、直线方程与点线距离、点面距离
二、题型与解法
A.求偏导、全微分
1.
)
(x
f
有二阶连续偏导，
)
sin
(y
e
f
z x
=
满足
z
e
z
z x
yy
xx
2
''
''=
+
，求
)
(x
f
解：
u
u e
c
e
c
u
f
f
f-
+
=
?
=
-
2
1
)
(
''
2.
y
x
z
y
x
y
xy
f
x
z
?
?
?
+
+
=
2
)
(
)
(
1
，求
?
3.
决定
由0
)
,
,
(
),
(
)
(
),
(=
+
=
=
=z
y
x
F
y
x
xf
z
x
z
z
x
y
y
，求
dx
dz/
B.空间几何问题
4.求
a
z
y
x=
+
+
上任意点的切平面与三个坐标轴的截距之和。
解：
a
d
a
z
z
y
y
x
x=
?
=
+
+
/
/
/
5.曲面
21
3
22
2
2=
+
+z
y
x
在点
)2,2
,1(-
处的法线方程。
C.极值问题
6.设
)
,
(y
x
z
z=
是由
18
2
10
62
2
2=
+
-
-
+
-z
yz
y
xy
x
确定的函数，求)
,
(y
x
z
z=
的极值点与极值。
三、补充习题（作业）
1.
y
x
z
x
y
g
y
x
xy
f
z
?
?
?
+
=
2
),
(
)
,
(求
2.
x
z
x
y
g
y
x
xy
f
z
?
?
+
=求
)),
(
,
(
3.
dz
x
y
y
x
u
u
z求
,
arctan
,
ln
,2
2=
+
=
=?
?
第五讲多元函数的积分
一、理论要求
1.重积分熟悉二、三重积分的计算方法（直角、极、柱、球）
会用重积分解决简单几何物理问题（体积、曲面面积、重心、转动惯量）
2.曲线积分 理解两类曲线积分的概念、性质、关系，掌握两类曲线积分的计算方法 熟悉Green 公式，会用平面曲线积分与路径无关的条件
3.曲面积分 理解两类曲面积分的概念（质量、通量）、关系 熟悉Gauss 与Stokes 公式，会计算两类曲面积分
二、题型与解法 A.重积分计算
1.Ω+=???Ω,)(22dV y x I 为平面曲线?
??==022x z y 绕z 轴旋转一周与z=8的围域。
解：
3
1024)(20
220
80
2228
22
π
θπ=
=+=?
?????≤+z
z
y x rdr r d dz dxdy y x dz I
2.
??
--+=D
D
dxdy y
x a y x I ,42
2
2
22为
)0(2
2>-+-=a x a a y 与x y -=围域。（
)2116(
2
2
-=πa I
3.
??
?≤≤≤≤=其他,00,21,),(2x
y x y x y x f ，
求
??≥+D
x
y x D dxdy y x f 2:,),(22 (49/20)
B.曲线、曲面积分
4.
?-++-=L
x x dy ax y e dx y x b y e I )cos ())(sin (
解：令
A y O L 至沿从01=
5.
?
+-=L y x ydx xdy I 2
24,
为半径的圆周正向为中心，为以)1()0,1(>R L 。
解：取包含(0,0)的正向
??
?==θθsin cos 2:1r y r x L ， 6.对空间x>0内任意光滑有向闭曲面S ，
)()(2=--??
S
x zdxdy e dzdx x xyf dydz x xf ，且
)(x f 在x>0有连续一阶
导数，
1
)(lim 0=+
>-x f x ,求
)(x f 。
解：
????????Ω
Ω
--+=??=?=s
x dV
e x x
f x xf x f dV F S d F ))()(')((02
第六讲 常微分方程 一、理论要求 1.一阶方程 熟练掌握可分离变量、齐次、一阶线性、伯努利方程求法
2.高阶方程 会求
))(')(',('')),(')(',(''),()(y p y y y f y x p y y x f y x f y n ===== 3.二阶线性常系数
???
??+=→±=+=→=+=→≠?=++?=++)sin cos ()(0
0'''2112112121121221x c x c e y i e x c c y e c e c y q p q py y x x
x x βββαλλλλλλλαλλλ(齐次)
??
?
??=→==→==→≠?=x n x
n x n x
n e x x Q y and xe x Q y or e x Q y e x P x f ααααλλαλλαλα22212212)()()()()((非齐次)
?????=+=→=±+=→≠±?+=),max((sin )(cos )((sin )(cos )(()
sin )(cos )(()(22j i n x x r x x q xe y i x x r x x q e y i x x p x x p e x f n n x
n n x
j i x ββλβαββλβαββααα(非齐
次)
二、题型与解法 A.微分方程求解
1.求
0)2()23(222=-+-+dy xy x dx y xy x 通解。（
)322c x y x xy =-- 2.利用代换
x u
y cos =
化简x
e x y x y x y =+-cos 3sin '2cos ''并求通解。
（
x e x c x x c y e u u x
x
cos 5sin 2cos 2cos ,4''21+
+==+）
3.设)(x y y =是上凸连续曲线，),(y x 处曲率为
2
'11
y +，且过
)1,0(处切线
方程为y=x+1，求
)(x y y =及其极值。
解：2
ln 21
1,2ln 211|)4cos(|ln 01'''max 2+=++-=?=++y x y y y π
三、补充习题（作业）
1.已知函数
)(x y y =在任意点处的增量
)1(,)0(),(12y y x o x x y y 求π=?++?=
?。(4
π
πe ）
2.求x
e y y 24''=-的通解。（
x
x x xe e c e c y 2222141+
+=-）
3.求0)1(),0(0)(22
=>=-++y x xdy dx y x y 的通解。（)
1(21
2-=x y ）
4.求
1)0(')0(,0'2''2===--y y e
y y x
的特解。（
x e x y 2)23(41
41++=
第七讲 无穷级数 一、理论要求 1.收敛性判别
级数敛散性质与必要条件
常数项级数、几何级数、p 级数敛散条件 正项级数的比较、比值、根式判别法 交错级数判别法
2.幂级数
幂级数收敛半径、收敛区间与收敛域的求法
幂级数在收敛区间的基本性质（和函数连续、逐项微积分） Taylor 与Maclaulin 展开
级数
了解Fourier 级数概念与Dirichlet 收敛定理 会求
],[l l -的Fourier 级数与],0[l 正余弦级数
第八讲 线性代数
一、理论要求
1.行列式会用按行（列）展开计算行列式
2.矩阵几种矩阵（单位、数量、对角、三角、对称、反对称、逆、伴随）
矩阵加减、数乘、乘法、转置，方阵的幂、方阵乘积的行列式
矩阵可逆的充要条件，会用伴随矩阵求逆
矩阵初等变换、初等矩阵、矩阵等价
用初等变换求矩阵的秩与逆
理解并会计算矩阵的特征值与特征向量
理解相似矩阵的概念、性质及矩阵对角化的冲要条件
掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法
掌握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质
3.向量理解n维向量、向量的线性组合与线性表示
掌握线性相关、线性无关的判别
理解并向量组的极大线性无关组和向量组的秩
了解基变换与坐标变换公式、过渡矩阵、施密特方法
了解规范正交基、正交矩阵的概念与性质
4.线性方程组理解齐次线性方程组有非零解与非齐次线性方程组有解条件
理解齐次、非齐次线性方程组的基础解系及通解
掌握用初等行变换求解线性方程组的方法
5.二次型二次型及其矩阵表示，合同矩阵与合同变换
二次型的标准形、规范形及惯性定理
掌握用正交变换、配方法化二次型为标准形的方法
了解二次型的对应矩阵的正定性及其判别法
第九讲概率统计初步
一、理论要求
1.随机事件与概率了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的关系与运算
会计算古典型概率与几何型概率
掌握概率的加减、乘、全概率与贝叶斯公式
2.随机变量与分布理解随机变量与分布的概念
理解分布函数、离散型随机变量、连续型变量的概率密度
掌握0-1、二项、超几何、泊松、均匀、正态、指数分布，会求分布函数3.二维随机变量理解二维离散、连续型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布
理解随机变量的独立性及不相关概念
掌握二维均匀分布、了解二维正态分布的概率密度
会求两个随机变量简单函数的分布
4.数字特征理解期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数的概念
掌握常用分布函数的数字特征，会求随机变量的数学期望
5.大数定理了解切比雪夫不等式，了解切比雪夫、伯努利、辛钦大数定理
了解隶莫弗-Laplace定理与列维-林德伯格定理
6.数理统计概念理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩
了解
2
χ
分布、t分布、F分布的概念和性质，了解分位数的概念
了解正态分布的常用抽样分布
7.参数估计掌握矩估计与极大似然估计法
了解无偏性、有效性与一致性的概念，会验证估计量的无偏性
会求单个正态总体的均值和方差的置信区间
8.假设检验掌握假设检验的基本步骤
了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验
第十讲总结
1.极限求解
变量替换（
∞
1作对数替换），洛必达法则，其他（重要极限，微积分性质，级
数，等价小量替换）
1.
2
)
)1
(
(
...
)
2
(
)
[(
1
lim
a
x
n
a
n
x
n
a
x
n
a
x
n
n
+
=
-
+
+
+
+
+
+
∞
>
- (几何级数)
2.
2/
/1
)
arccos
2
(
limπ
π
-
>
-
=e
x x
x (对数替换)
3.
2
tan
1
)
2(
lim
x x
x
π
-
>
-
4.
2
1
)
6
3
(
lim
-∞
>
-+
+x x x
x
5.
2
1
)
(
)
(
)
(
lim
a
x
a
x
na
a
x n
n
n
a
x-
-
-
--
>
-
6.
?
?
?
?
?
?
?
?
?
>
=
<
-
=
?
)0
(
cos
,4
,
2
cos
1
)
(
2
x
x
tdt
x
x
x
x
x
f
x
，求
)
(
lim
x
f
x>
-
2.导数与微分复合函数、隐函数、参数方程求导
1.
]'
)
(
)
(
)
[(b
a
x
a
x
x
b
b
a
2.
)
sin(
arctan=
-
-
+y
x
x
x
y
，求dy/dx
3.??
?
?
?
=
=
t
e
y
t
e
x
t
t
sin
cos
决定函数
)
(x
y
y=
，求dy
4.已知
1
ln
22=
-y
y
x
，验证
'
)1
2(
42
2=
-
+y
y
x
xy
5.
bx
x
v
v
u
e
y u sin
,
ln
3
1
,3
2=
=
=
,求x
y'
3.一元函数积分
1.求函数
?
+
-
+
=x dt
t
t
t
x
I
021
1
3
)
(
在区间
]1,0[
上的最小值。（0）
2.?-
-
-
2
2
2
|1
|
1
dx
x
x
3.?-
1
2/3
2)
1dx
x
（
4.?
+
dx
x
x)
1(
1
5.?
-1
2
t
t
dt
6.?
-
+
dx
x
x
2
4
1
4
1
4.多元函数微分
1.
)
,
(
2
xy
e
y
x
f
z=
，求y
x
z
z','
2.
)
,
(y
x
z
z=
由
)
,
(=
+
+
x
z
y
y
z
x
F
给出，求证：
xy
z
yz
xz
y
x
-
=
+'
'
3.求
xy
y
x
y
x
u2
)
,
(2
2+
-
=
在O(0,0),A(1,1),B(4,2)的梯度。
4.
)
ln(
sin y
x
x
u+
=
，求
y
x
u
?
?
?2
6.证明
)
(
2
x
y
f
x
z n
=
满足
nz
yz
xz
y
x
=
+'
2
'
7.求
18
:
4
4
)
,
(2
2
2
2≤
+
-
-
-
=y
x
D
y
x
y
x
y
x
f在
内的最值。
5.多元函数积分
1.求证：
b
rot
a
a
rot
b
b
a
div
-
=
?)
(
2.
??≤
+
-
-
=
D
y
y
x
D
dxdy
y
x
I2
:
,
)
4(2
2
3.
??≤
+
+
=
D
y
y
x
D
dxdy
y
x
I2
:
,
)
(2
2
4.改变积分次序
?
?+
-
2
2
1
)
,
(
x
dy
y
x
f
dx
5.
??=
=
=
=
D
xy
x
y
x
D
dxdy
y
x
I1
,
2
,2
:
,
)
(2
围域。
6.常微分方程
1.求
1
ln
12
2=
+
+
+
+dx
y
dy
xdx
y
通解。
2.求
x
e
y
y
y3
2
5
'
2
''=
+
+
通解。
3.求
x
e
y
y
y2
6
5
'
2
''=
-
-
通解。
4.求
)
(
)
(2
2=
+
+
-dy
x
xy
dx
y
y
x
通解。
5.求
)0(
)0('
),
2
cos
(
2
1
4
''=
=
-
=
+y
y
x
x
y
y
特解。
6.求
1
)0('
,,0
)0(
,
4
''=
=
=
-y
y
xe
y
y x
特解。
《高等数学考研题型分析》
填空题：极限（指数变换，罗必达）、求导（隐函数，切法线）、不定积分、二重积分、变上限定积分
选择题：等价小量概念，导数应用，函数性质，函数图形，多元极限
计算题：中值定理或不等式，定积分几何应用，偏导数及几何应用，常微分方程及应用
高等数学必背公式 说明：这里有你想要的东西，高等数学必备公式一应俱全。 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
高数常用公式 平方立方： 22222222 332233223223332233222(1)()()(2)2()(3)2()(4)()()(5)()()(6)33()(7)33()(8)222(a b a b a b a ab b a b a ab b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a a b ab b a b a a b ab b a b a b c ab bc ca -=+-++=+-+=-+=+-+-=-+++++=+-+-=-+++++= 21221)(9)()(),(2) n n n n n n a b c a b a b a a b ab b n ----++-=-++++≥ 三角函数公式大全 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π -a) 半角公式 sin( 2A )=2cos 1A - cos( 2A )=2cos 1A + tan( 2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a -
第1章函数 §1 函数的概念 一、区间、邻域 自然数集N整数集Z有理数集Q实数集R 建立数轴后： 建立某一实数集A与数轴上某一区间对应 区间：设有数a,b,a a称为N(a,δ)的中心，δ>0称为邻域N(a,δ)的半径。 去心邻域：把N(a,δ)的中心点a去掉，称为点a的去心邻域，记为N(a^,δ)={x|0<|x?a|<δ}=N(a,δ)?{a} 注：其中，?{a}表示去掉由a这一个数组成的数集。 二、函数概念 例1. 设圆的半径为x(x>0)，它的面积A=πx2，当x在(0,+∞)内任取一个数值（记为?x∈(0,+∞)）时，由关系式A=πx2就可以确定A的对应数值。 文章来源：https://www.doczj.com/doc/5c16267262.html,/ 例2. 设有半径为r的圆，作圆的内接正n边形，每一边对应的圆心角α=2πn，周长S n=n?2r sinπn，当边数n在自然数 集N(n≥3)任取一个数，通过关系式S n=2nr sinπn就有一个S n对应确定数值。 函数定义：设有数集X,Y，f是一个确定的对应法则，对?x∈X，通过对应法则f都有唯一的y∈Y与x对应，记为x→f y，或f(x)=y，则称f为定义在X上的函数。 其中X称为f的定义域，常记为D f。 X——自变量，Y——因变量。 当X遍取X中的一切数时，那么与之对应的y值构成一个数集V f={y|y=f(x),x∈X}，称V f为函数f的值域。 文章来源：https://www.doczj.com/doc/5c16267262.html,/ 注意： （1）一个函数是由x,y的对应法则f与x的取值范围X所确定的。把“对应法则f”、“定义域”称为函数定义的两个要素。 例如，y=arcsin(x2+2)这个式子，由于x2+2>2，而只有当|x2+2|≤1时，arcsin才有意义，因此这个式子不构成函数关系。又例如，y=ln x2与y=2ln x不是同一个函数，因为定义域不同。而y=ln x2与y=2ln|x|是同一个函数，因为定义域相同。（2）函数的值域是定义域和对应法则共同确定的。 （3）确定函数定义域时，注意：若函数有实际意义，需依据实际问题是否有意义来确定。 若函数不表示某实际问题，则定义域为自变量所能取得的使函数y=f(x)成立的一切实数所组成的数值。 函数的几何意义：设函数y=f(x)定义域为D f，?x∈D f，对应函数值y=f(x)在XOY平面上得到点(x,y)，当x遍取D f中一切实数时，就得到点集P={(x,y)|y=f(x),x∈D f}。点集P称为函数y=f(x)的图形。 文章来源：https://www.doczj.com/doc/5c16267262.html,/ 三、函数的几个简单性质 1. 函数的有界性 若?M>0,s.t.|f(x)|≤M,x∈I，则称y=f(x)在区间I上有界。否则称f(x)在I上无界。 注：s.t.是“使得，满足于”的意思，I表示某个区间。 大学高等数学公式 考前必备 平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) 积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα 倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, 两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) 辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 三倍角公式 sin(3α)=3sinα-4sin^3(α) cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα 半角公式： sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 降幂公式 sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 万能公式： sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 第一章 代数运算与自然数 主要内容： 1、集合与映射的概念 2、映射及其运算 3、代数系统 4、自然数及其他相关定义 5、归纳法原理与反归纳法的运用 重点掌握 1、由A →B 的单映射σ的定义为：设2121,,,:a a A a A a B A ≠∈∈→若由σ，就推出)()21a a σσ≠（，则称σ为从A 到B 的单映射。 2、由A →B 的满映射σ的定义为：设B ran B A =→)(,:σσ若，则称σ为从A 到B 的满映射。 3、给出一个由整数集合Z 到自然数集合N 的双射：可考虑分段映射，即将定义域分为小于0、等于0、大于0的整数三部分分别给出其象 4、若集合|A|=n ，则集合A →A 的映射共有n n 种。 5、皮阿罗公理中没有前元的元素为1。 6、自然数a 与b 加法的定义中两个条件为①：'1a a =+②：)'('b a b a +=+. 7、自然数a 与b 相乘的定义中两个条件为: ①：a a =?1;②：a b a b a +?=?' 8、自然数a>b 的定义为:如果给定的两个自然数a 与b 存在一个数k,使得a=b+k ，则称a 大于b,b 小于a,记为a>b 或b 12、若A 是有限集合，则A →A 的不同映射个数为：||||A A 。 13、从整数集合Z 到自然数集合N 存在一个单映射。 14、若A 是有限集合，则不存在A 到其真子集合的单映射。 15、若A 为无限集合，则存在A 的真子集合B 使其与A 等价。 16、存在从自然数集合N 到整数集合Z 的一个满映射，但不是单映射。 可考虑将定义域分成奇数、偶数两部分，定义一个与n )1(-有关的映射 17、存在从自然数N 到整数集合Z 的双射。 可考虑分段映射 18、代数系统(+R ,?)与代数系统(R,+)是同构的，其中+R 表示正实数集合，R 表示实数集合，?与+就是通常的实数乘法与加法。 根据同构定义，只需找到一个从(+R ,?)到(R,+)的一一映射，例如lgx 就可以证明上述论述。 19、令+Q 为正有理数集合，若规定 2 b a b a +=⊕，ab b a =? 则： （1）{+Q ,⊕}构成代数体系，但不满足结合律。 （2）{+Q ,?}不构成代数体系，但满足结合律。 根据代数体系和结合律的定义可得上述论述成立。 20、若在实数集合中规定b a ⊕=a+b-a ×b ，其中+与×是通常的加法与乘法，则⊕满足结合律。 只需证明等式（b a ⊕）⊕c=)(c b a ⊕⊕成立 21、分别利用归纳法与反归纳法可以证明n 个数的算术平均值大于等于这n 个数的几何平均值。 归纳法根据定义易证，在运用反归纳法证明时可先证n=2,4,…,n 2都成立，假设命题对n=k 成立，令,...21k a a a S k k +++= 1 ...1211-+++=--k a a a S k k ，利用12111...---≥k k k a a a S 证之成立 常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +? ＝ 1ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ+?＝1 1() (1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +?＝ 2 1(ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2 d x x ax b +? ＝ 22 311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ??+-++++???? 5．d () x x ax b +? ＝1ln ax b C b x +-+ 6．2 d () x x ax b +? ＝2 1ln a ax b C bx b x +- ++ 7．2 d () x x ax b +? ＝2 1(ln )b ax b C a ax b ++ ++ 8．2 2 d () x x ax b +? ＝ 2 3 1(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+- ++ 9．2 d () x x ax b +? ＝ 2 11ln () ax b C b ax b b x +- ++ 的积分 10．x ? ＝ C 11．x ?＝2 2(3215ax b C a -+ 12．x x ?＝ 2 2 2 3 2(15128105a x abx b C a -+ 13．x ? ＝ 2 2(23ax b C a -+ 14 ．2 x ? ＝ 222 3 2(34815a x abx b C a -+ 15 ．? (0) (0) C b C b ?+>?的积分 22．2 d x ax b +? ＝(0) (0) C b C b ? +>? ? ?+< 23．2 d x x ax b +? ＝ 2 1 ln 2ax b C a ++ 学姐偷懒直接从网上下了一份公式总结，然后按照咱们的考试要求改了一下，特别诡异的那些公式我都删掉了，剩下的都是可能会出现的，哪些必须记哪些可以记也都写在后面了，有的出题形式我也加在知识点后面了，可以做个参考。这上面的知识点不很全，但应付考试差不多了，上面没有的学霸们可以自己再看看书哈。重点关注黑体字！！！电子版已发各部长，可以找部长要。祝大家都能考个好成绩~ ——魏亚杰 高等数学（一）上 公式总结 第一章 一元函数的极限与连续 1、一些初等函数公式：（孩子们。没办法，背吧） sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan cot cot 1cot()cot cot αβαβαβ αβαβαβαβ αβαβ αβαββα±=±±=±±= ??±=±和差角公式： sin sin 2sin cos 22 sin sin 2cos sin 22 cos cos 2cos cos 22 cos cos 2sin sin 22 αβ αβ αβαβαβ αβαβαβαβαβαβαβ+-+=+--=+-+=+--=和差化积公式： 1 sin cos [sin()sin()] 21 cos sin [sin()sin()] 21 cos cos [cos()cos()] 21 sin sin [cos()cos()] 2 αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ=++-=+--=++-=+--积化和差公式： 222222sin 22sin cos cos 22cos 1 12sin cos sin 2tan tan 21tan cot 1 cot 22cot αααααααα α ααααα ==-=-=-= --= 倍角公式： 高等代数 高等数学公式·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) 类型课程学习名称：高等数学 1 时间：2006.7.7 体裁：说明文 知识内容与结构备注一.课程目录 1函数 2极限和连续 3一元函数的导数和微分 4微分中值定理和导数的应用 5一元函数积分学 6多元函数微积分 二.知识层次分解2.3说明： 函数 1.预备知识 1)集合及其运算 1>概念 集合： 元素 2>绝对值及其基本性质 >区间和邻域 2.函数 3.基本特性 4.反函数 5.复合函数 6.初等数学 7.简单函数关系的建立 极限和连续 1数列极限 2数列级数的基本概念 3函数的极限 4极限的运算法则 5无穷小（量）和无穷大（量）6两个重要的极限 7函数的连续性和连续函数 8函数的间断点 一元函数的导数和微分 1导数的概念 2求导法则 基本求导公式 4高阶导数 5函数的微分 6导数和微分在经济学中的简单应用 微分中值定理和导数的应用 1微分中值定理 2洛必达法则 3 函数的单调性 4 曲线的凹凸性和拐点 5函数的极值与最值 一元函数积分学 1原函数和不定积分的概念 2基本积分公式 3换元积分法 4分部积分法 5微分方程初步 6定积分的概念及其基本性质 7 微积分基本公式 8 定积分的换元积分法和分部积分法 9 无穷限反常积分 10 定积分的应用 1空间解析几何 2多元函数的基本概念 3偏导数 4全微分 5多元复合函数的求导法则 6隐函数及其求导法则 7二元函数的极值 8二重积分 注： 1标识符：红色已领会理解橙色已弄懂粉色已记住绿色已会用蓝色已掌握 黑色增删修内容 2 说明：凡属课程都属说明文。要掌握其整体结构和层次内容和最后一层次 的说明内容的意思 3 步骤：1 填写结构 2 对照课程阅读，理解弄懂 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= ' 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππx x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x ++=+-==+= -= ----1ln(:2 :2:22） 双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x x x x x x 高数公式大全 1.基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππx x arthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x -+=-+±=++=+-==+= -=----11ln 21)1ln(1ln(:2 :2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x x x x x x 高等数学读书笔记 ——定积分与不定积分 马燕妮 四川农业大学 经济学院 经济学 中国成都 611130 【摘要】本文首先介绍了不定积分与定积分的基本定义，而后主要探究几种比较重要的积分法。定积分是微积分学中的主要概念之一，它是从各种各样的积累中抽象出来的数学概念，它是函数的一种特定结构和式的极限。不定积分又与定积分进行对比记忆，对不定积分的计算进行系统整理。 【关键字】定积分；不定积分；面积；凑微分法；分部积分法；换元积分法；有理函数不定积分 【Abstract 】 This paper first introduces the basic definition of indefinite integral and defin ite integral, and then explores several of the more important integral method. D efinite integral is one of the major concepts of calculus, it comes from the a ccumulation of various of abstracting mathematical concept, it is the function of the limit of a particular structure with type. Comparing the indefinite integra l and definite integral memory, calculation of indefinite integral system. 【Key words 】Definite integral ；Indefinite integral ；Area ；differentiation division integral method ；Integral method in yuan ；The indefinite integral rational function 一、不定积分与定积分的定义 （一）、定积分的定义： 设f 是定义在[a,b]上的一个函数，对于[a,b]的一个分割T={ 1,? 2?……n ?}，任 常用公式表（一） 1。乘法公式 ()()22212a b a ab b +=++ ()()2 2222a b a ab b -=-+ ()()()223a b a b a b -=+- ()()()33224a b a b a ab b +=+-+ ()()()33225a b a b a ab b -=-++ 2、指数公式： ()()0 110a a =≠ ()12p p a a -= ()3m n a = ()4m n m n a a a += ()5m m n m n n a a a a a -÷= = ()() 6n m m n a a = ()() 7n n n ab a b = ()8n n n a a b b ?? = ??? ()2 9a = (10a = () 1 111a a -= (1 2 12a = 3、指数与对数关系： （1）若N a b =，则 N b a log = （2）若N b =10 ，则N b lg = （3）若N e b =，则N b ln = 4、对数公式： （1） b a b a =log , ln b e b = (2)log 10,ln 10a == （3）N a aN =log ，ln N e N = ()ln 4log ln a N N a = （5）a b b e a ln = （6）N M MN ln ln ln += ()7ln ln ln M M N N =- （8） M n M n ln ln = ()1 9ln ln M n = 5、三角恒等式： （1）22sin cos 1α α+= （2）2 2 1tan sec αα += （3）221cot csc αα+= () sin 4tan cos αα α = () cos 5cot sin αα α = ()1 6cot tan α α = ()17csc sin α α = ()18sec cos αα = 6.倍角公式： （1）α ααcos sin 22sin = ()2 2tan 2tan 21tan αα α = - （3）α αααα2 2 2 2 sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= 7.半角公式（降幂公式）： ()2 1cos 1sin 22 α α -= ()2 1cos 2cos 2 2 α α += ()1cos sin 3tan 2 sin 1cos α ααα α -= = + 高数常用公式 平方立方： 三角函数公式大全 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2 - Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π -a) 半角公式 sin( 2 A )=2cos 1A - cos( 2 A )=2cos 1A + tan( 2 A )=A A cos 1cos 1+- cot(2 A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2 b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos ) sin(+ 积化和差 sinasinb = -21 [cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21 [cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21 [sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1 [sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2π -a) = cosa cos(2π -a) = sina sin(2π +a) = cosa cos(2 π +a) = -sina sin(π-a) = sina c os(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA = a a cos sin 万能公式 目录 第一讲极限 一极限定义 (3) 二极限性质 (4) 三函数极限基本计算 (8) 四综合计算 (11) 五数列极限计算 (14) 六函数连续与间断 (16) 第二讲一元函数微积分 一概念 (17) 1. 导数 (18) 2. 微分 (20) 3. 不定积分 (21) 4. 定积分 (23) 5. 变限积分 (28) 6. 反常积分 (29) 二计算 (29) 1. 求导 (29) 2. 求积 (33) 三应用 (40) 1. 微分应用 (40) 2. 积分应用 (43) 四逻辑推理 (43) 1. 中值定理 (49) 2. 等式证明 (50) 3. 不等式证明 (51) 第三讲多元函数的微分学（公共部分） 一概念 (51) 1. 极限的存在性 (51) 2. 极限的连续性 (52) 3. 偏导数的存在性 (52) 4. 可微性 (53) 5. 偏导数的连续性 (54) 二计算 (54) 三应用 (56) 第四讲二重积分（公共部分） 一概念与性质 (59) 二计算 (60) 1. 基础题 (60) 2. 技术题 (61) 三综合计算 (62) 第五讲微分方程 一概念及其应用 (63) 二一阶方程的求解 (64) 三高阶方程的求解 (66) 第六讲无穷级数 一数项级数的判敛 (67) 二幂级数求收敛域 (69) 三展开与求和 (69) 四傅里叶级数 (71) 第七讲多元函数微分学 一基础知识 (73) 二应用 (75) 第八讲多元函数积分学 一三重积分 (76) 二第一型曲线、曲面积分 (78) 1. 一线 (78) 2. 一面 (79) 三第二型曲线、曲面积分 (80) 1. 二线 (81) 2. 二面 (83) 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1． d x ax b +?＝1 ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ +? ＝ 11 ()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3． d x x ax b +?＝21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +? ＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5． d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6． 2 d () x x ax b +? ＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7． 2 d ()x x ax b +?＝21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22 d ()x x ax b +?＝2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9． 2 d () x x ax b +? ＝211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10 ． x ? C + 11 ．x ? ＝2 2 (3215ax b C a - 12 ．x x ? ＝2223 2(15128105a x abx b C a -++ 13 ． x ? ＝22 (23ax b C a - 14 ． 2x ? ＝222 3 2(34815a x abx b C a -++ 15 ．? (0) (0) C b C b ?+>< 16 ． ? ＝2a bx b -- 17 ． x ? ＝b ?18． 2d x x ? ＝2a + （三）含有2 2 x a ±的积分 19． 22d x x a +?=1arctan x C a a + 高等数学重要公式（必记） 一、导数公式： 二、基本积分表： 三、三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222?????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 2 2)ln(221 cos sin 22 2222 2222222 22222 2 22 2 π π 第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ?? ?∈∈=2 1) ()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1 (y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f -1 (x), D(f -1 )=Y, Z(f -1 )=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )； 若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( )； 若f(x 1)＜f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调增加( )； 若f(x 1)＞f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=x n , (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x大学高数公式(考前必备)
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