算法设计与分析(第2版)-王红梅-胡明-习
题答案
习题1
1. 图论诞生于七桥问题。出生于瑞士的伟大数学家欧拉(Leonhard Euler ,1707—1783)
提出并解决了该问题。七桥问题是这样描述的:一个人是否能在一次步行中穿越哥尼斯堡(现在叫加里宁格勒,在波罗的海南岸)城中全部的七座桥后回到起点,且每座桥只经过一次,
图1.7是这条河以及河上的两个岛和七座桥的
草图。请将该问题的数据模型抽象出来,并判
断此问题是否有解。
七桥问题属于一笔画问题。
输入:一个起点
输出:相同的点
1, 一次步行
2, 经过七座桥,且每次只经历过一次
3, 回到起点
该问题无解:能一笔画的图形只有两类:一类是所有的点都是偶点。另一类是只有二个奇点的图形。
2.在欧几里德提出的欧几里德算法中(即最初的欧几里德算法)用的不是除法而是减
法。请用伪代码描述这个版本的欧几里德算法
1.r=m-n
2.循环直到r=0
2.1 m=n
2.2 n=r
2.3 r=m-n
3 输出m
3.设计算法求数组中相差最小的两个元素(称为最接近数)的差。要求分别给出伪代码和C++描述。
//采用分治法
//对数组先进行快速排序
//在依次比较相邻的差
图1.7 七桥问题
#include
using namespace std;
int partions(int b[],int low,int high)
{
int prvotkey=b[low];
b[0]=b[low];
while (low { while (low --high; b[low]=b[high]; while (low ++low; b[high]=b[low]; } b[low]=b[0]; return low; } void qsort(int l[],int low,int high) { int prvotloc; if(low { prvotloc=partions(l,low,high); //将第一次排序的结果作为枢轴 qsort(l,low,prvotloc-1); //递归调用排序由low 到prvotloc-1 qsort(l,prvotloc+1,high); //递归调用排序由 prvotloc+1到 high } } void quicksort(int l[],int n) { qsort(l,1,n); //第一个作为枢轴,从第一个排到第n个 } int main() { int a[11]={0,2,32,43,23,45,36,57,14,27,39}; int value=0;//将最小差的值赋值给value for (int b=1;b<11;b++) cout< cout< quicksort(a,11); for(int i=0;i!=9;++i) { if( (a[i+1]-a[i])<=(a[i+2]-a[i+1]) ) value=a[i+1]-a[i]; else value=a[i+2]-a[i+1]; } cout< return 0; } 4.设数组a[n]中的元素均不相等,设计算法找出a[n]中一个既不是最大也不是最小的元素,并说明最坏情况下的比较次数。要求分别给出伪代码和C++描述。 #include using namespace std; int main() { int a[]={1,2,3,6,4,9,0}; int mid_value=0;//将“既不是最大也不是最小的元素”的值赋值给它 for(int i=0;i!=4;++i) { if(a[i+1]>a[i]&&a[i+1] { mid_value=a[i+1]; cout< break; } else if(a[i+1]a[i+2]) { mid_value=a[i+1]; cout< break; } }//for } 5. 编写程序,求n至少为多大时,n个“1”组成的整数能被2013整除。 #include using namespace std; int main() { double value=0; for(int n=1;n<=10000 ;++n) { value=value*10+1; if(value%2013==0) { cout<<"n至少为:"< break; } }//for return 0; } 6. 计算π值的问题能精确求解吗?编写程序,求解满足给定精度要求的π值 #include using namespace std; int main () { double a,b; double arctan(double x);//声明 a = 16.0*arctan(1/5.0); b = 4.0*arctan(1/239); cout << "PI=" << a-b << endl; return 0; } double arctan(double x) { int i=0; double r=0,e,f,sqr;//定义四个变量初 e = x; while (e/i>1e-15)//定义精度范围 { f = e/i;//f是每次r需要叠加的方程 r = (i%4==1)?r+f:r-f; e = e*sqr;//e每次乘于x的平方 i+=2;//i每次加2 }//while return r; } 7. 圣经上说:神6天创造天地万有,第7日安歇。为什么是6天呢?任何一个自然数的因数中都有1和它本身,所有小于它本身的因数称为这个数的真因数,如果一个自然数的真因数之和等于它本身,这个自然数称为完美数。例如,6=1+2+3,因此6是完美数。神6天创造世界,暗示着该创造是完美的。设计算法,判断给定的自然数是否是完美数 #include using namespace std; int main() { int value, k=1; cin>>value; for (int i = 2;i!=value;++i) { while (value % i == 0 ) { k+=i;//k为该自然数所有因子之和 value = value/ i; } }//for if(k==value) cout<<"该自然数是完美数"< else cout<<"该自然数不是完美数"< return 0; } 8. 有4个人打算过桥,这个桥每次最多只能有两个人同时通过。他们都在桥的某一端, 并且是在晚上,过桥需要一只手电筒,而他们只有一只手电筒。这就意味着两个人过桥后必须有一个人将手电筒带回来。每个人走路的速度是不同的:甲过桥要用1分钟,乙过桥要用2分钟,丙过桥要用5分钟,丁过桥要用10分钟,显然,两个人走路的速度等于其中较慢那个人的速度,问题是他们全部过桥最少要用多长时间? 由于甲过桥时间最短,那么每次传递手电的工作应有甲完成 甲每次分别带着乙丙丁过桥 例如: 第一趟:甲,乙过桥且甲回来 第二趟:甲,丙过桥且甲回来 第一趟:甲,丁过桥 一共用时19小时 9.欧几里德游戏:开始的时候,白板上有两个不相等的正整数,两个玩家交替行动,每次行动时,当前玩家都必须在白板上写出任意两个已经出现在板上的数字的差,而且这个数字必须是新的,也就是说,和白板上的任何一个已有的数字都不相同,当一方再也写不出新数字时,他就输了。请问,你是选择先行动还是后行动?为什么? 设最初两个数较大的为a, 较小的为b,两个数的最大公约数为factor。 则最终能出现的数包括: factor, factor*2, factor*3, ..., factor*(a/factor)=a. 一共a/factor个。 如果a/factor 是奇数,就选择先行动;否则就后行动。 习题2 1.如果T1(n)=O(f (n)),T2(n)=O(g(n)),解答下列问题: (1)证明加法定理:T1(n)+T2(n)=max{O(f (n)), O(g(n))}; (2)证明乘法定理:T1(n)×T2(n)=O(f (n))×O(g(n)); (3)举例说明在什么情况下应用加法定理和乘法定理。 ,(1) (2) (3)比如在 for(f(n)) { for(g(n)) } 中应该用乘法定理 如果在“讲两个数组合并成一个数组时”,应当用加法定理 2.考虑下面的算法,回答下列问题:算法完成什么功能?算法的基本语句是什么?基本