第 2 课时角平分线的判定
一、教学目标
（一）知识与技能
1. 了解角的平分线的判定定理；
2. 会利用角的平分线的判定进行证明与计算.
（二）过程与方法
在探究角的平分线的判定定理的过程中, 进一步发展学生的推理证明意识和能力.（三）情感、态度与价值观
在探究作角的平分线的判定定理的过程中, 培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神, 增强解决问题的信心, 获得解决问题的成功体验.二、教学重点、难点
重点：角的平分线的判定定理的证明及应用；难点：角的平分线的判定.
三、教法学法
自主探索, 合作交流的学习方式.
四、教学过程温故知新
1、写出命题“全等三角形的对应边相等”的逆命题.
1、写出命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题.
一）复习、回顾
1. 角平分线的作法（尺规作图）
①以点O 为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB 于C、D 两点；②分别以C、D 为圆心，大于CD 长为半径画弧，两弧交于点P；
③过点P 作射线OP，射线OP 即为所求．
2. 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
①推导
已知：OC 平分∠MON，P是OC 上任意一点，PA⊥OM，PB⊥ON，
垂足分别为点A、点B．求证：PA＝PB．
证明：
在△PAO 和△PBO 中，∴△PAO≌△PBO ∴PA＝PB
②几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）
如图所示，∵ OP 平分∠ MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，
∴PA＝PB．
二）合作探究
角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
①推导
已知：点P是∠MON 内一点，PA⊥OM 于A，PB⊥ ON于B，且PA＝PB．求证：点P在∠MON 的平分线上．
证明：连结OP
在Rt△PAO和Rt△PBO 中，∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）∴∠ 1＝∠ 2 ∴OP 平分∠ MON 即点P 在∠MON 的平分线上．②几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．）
如图所示，∵ PA⊥ OM ，PB⊥ON，PA＝PB
∴∠ 1＝∠ 2（OP 平分∠ MON）
典型例题】
例1. 已知：如图所示，∠ C＝∠ C′＝90°，AC＝AC′ 求证：（1）∠ABC ＝∠ ABC′；
（2）BC＝BC′（要求：不用三角形全等判定）．
分析：由条件∠ C＝∠ C′＝90°，AC＝AC′，可以把点A 看作是
∠CBC′平分线上的点，由此可打开思路．
证明：（1）∵∠ C＝∠ C′＝90°（已知），∴AC⊥BC，AC′⊥BC′（垂直的定义）．又∵ AC＝AC′（已知），
∴点A 在∠ CBC′的角平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．∴∠ ABC＝∠ ABC′．
（2）∵∠ C＝∠ C′，∠ ABC＝∠ ABC′，∴180°－（∠ C＋∠ ABC）＝180°－（∠ C′＋∠ ABC′）即∠ BAC＝∠ BAC′，
∵AC⊥BC，AC′⊥BC′，∴BC＝BC′（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）．
解：AP 平分∠ BAC ． 结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等． 理由：过点 P 分别作 BC ，AC ，AB 的垂线，垂足分别是 E 、F 、D ． ∵BM 是∠ ABC 的角平分线且点 P 在 BM 上， ∴PD ＝PE （角平分线上的点到角的两边的距离相等）．
同理 PF ＝PE ，∴ PD ＝PF ．
∴AP 平分∠ BAC （到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）． （三）巩固训练
四）小结 请你说说本课的收获与困惑 .
五）作业
双基检测
1.如图 4，在 △ABC 中， C 90 ， AD 平分 CAB ， BC 8cm ， BD 5cm ，那么 D 点
到直线 AB 的距离是 cm ．
2. 如图 5，已知在 Rt △ABC 中，∠ C =90° , BD 平分∠ ABC , 交 AC 于 D . （1） 若∠ BAC =30° , 则 AD 与 BD 之间有何数量关系，说明理由 ;
（2） 若 AP 平分∠ BAC ，交 BD 于 P , 求∠ BPA 的度数 .
例 2. 如图所示，已知△ ABC 的角平分线 BM ， CN 相交于点 P ，那么 AP 能否平分∠ BAC ？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？
分析： 由题中条件可知， 本题可以采用角的平分线的性质及判定来解答， 因 此要作出点 P 到三边的垂线段．
A
图4
D
3、如图6，所示，在△ ABC中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点O。求证：AO⊥ BC。
图6
第 2 课时角平分线的判定
1．掌握角平分线的判定定理．（重点）
2．会用角平分线的判定定理解决简单的实际问题．（难点）
、情境导入
中新网和田2015年2月25日电，新疆考古团队近日在斯皮尔古城及周边发现迄今为止最早的园林之城．如图，某考古队为进行研究，寻找一座古城遗址．根据资料记载，该城在森林附近，到两条河岸的距离相等，到古塔的距离是3000m.根据这些资料，考古队很快找
到了这座古城的遗址．你能运用学过的知识在图中合理地标出古城遗址的位置吗？请你试一试．（比例尺为1∶100000）
二、合作探究探究点一：角平分线的判定定理【类型一】角平分线的判定
如图，BE＝CF，DE⊥ AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD 是∠BAC的平分线．
解析：先判定Rt△BDE和Rt △ CDF全等，得出DE＝DF，再由角平分线的判定可知AD是
∠BAC的平分线．
证明：∵DE⊥ AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴∠ BED＝∠ CFD，∴△ BDE与△
CDF BE＝CF，
是直角三角形．在Rt△BDE和Rt △CDF中，∵
BD＝CD，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴DE＝DF，∴ AD是∠ BAC的平分线．方法总结：证明一条射线是角平分线的方法有两种：一是利用三角形全等证明两角相等；二是角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上．
类型二】角平分线性质和判定的综合
如图所示，△ ABC 中， AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线， DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分 别
是 E 、 F ，下面给出四个结论，① AD 平分∠ EDF ；② AE ＝ AF ；③ AD 上的点到 B 、C 两点的距 离相等；④到 AE 、AF 距离相等的点，到 DE 、 DF 的距离也相等．其中正确的结论有 ( ) A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个 解析：由 AD 平分 ∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC 可得 DE ＝DF ，由此易得 △ ADE ≌△ ADF ，故∠ADE ＝ ∠ ADF ，即①AD 平分 ∠EDF 正确；②AE ＝AF 正确；角平分线上的点到角的两边的距离相等， 故③正确；∴④到 AE 、AF 距离相等的点， 到 DE 、DF 的距离也相等正确； ①②③④ 都正确．故 选
D.
方法总结： 运用角平分线的性质或判定时， 可以省去证明三角形全等的过程， 可以直接 得到线段或角相等．
类型三】 添加辅助线解决角平分线的问题
平分线．
解析： 分别过点 D 作 DE 、 DF 、DG 垂直于 AB 、 BC 、 AC ，垂足分别为 E 、F 、G ，然后利用 角平分线上的点到角两边的距离相等可知
DE ＝ DG ，再利用到角两边距离相等的点在角平分 线上证明．
证明：分别过 D 作 DE 、DF 、DG 垂直于 AB 、BC 、AC ，垂足分别为 E 、F 、G ，∵ BD 平分∠ CBE ， DE ⊥BE ，DF ⊥BC ，∴DE ＝DF . 同理 DG ＝DF ，∴DE ＝DG ，∴点 D 在∠ EAG 的平分线上，∴ AD 是 ∠BAC 的平分线．
方法总结： 在遇到角平分线的问题时， 往往过角平分线上的一点作角两边的垂线段， 利 用角平分线的判定或性质解决问题．
探究点二：三角形的内角平分线
【类型一】 利用角平分线的判定求角的度数
在△ ABC 中，点 O 是△ ABC 内一点，且点 O 到△ ABC 三边的距离相等． 若∠ A ＝40 则∠
BOC 的度数为 ( )
A ．110°
B ．120°
C ．130
已知：△ ABC 的∠ ABC 和∠ ACB 的外角平分线交于点 D .求证： AD 是∠ BAC 的
如图，
D．140°
解析：由已知，O到三角形三边的距离相等，所以O是内心，即三条角平分线的交点，AO，
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BO，CO都是角平分线，所以有∠CBO＝∠ABO＝2∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝2∠ACB，∠ABC＋∠ACB ＝180°－40°＝140°，∠ OBC＋∠OCB＝70°，∠ BOC＝180°－70°＝110°，故选A. 方法总结：由已知，O到三角形三边的距离相等，得O是内心，再利用三角形内角和定
理即可求出∠ BOC的度数．
【类型二】三角形内角平分线的应用已知：如图，直线l 1，l 2，l 3 表示三条相互交叉的公路，现要
建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问：
(1) 可选择的地点有几处？
(2) 你能画出塔台的位置吗？
解析：(1) 根据角平分线的性质得出符合条件的点有
4 处．(2) 作出相交组成的角的平分
线，平分线的交点就是所求的点．
解：(1) 可选择的地点有4 处，如图：
P1、P2、P3 、P4，共4 处．
(2) 能，如图，根据角平分线的性质的作三条直线相交的角的平分线，平分线的交点就是所求的点．
方法总结：三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，反过来，到三角形三边距离相等的点，即为三角形内角平分线的交点，这一结论在以后的学习中经常遇到．
三、板书设计
1．角平分线的判定定理．
2．三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等．
本节课借助于直观的模型引导学生进行观察、猜想和验证，从而引导学生在自主探究的基础上，通过与他人的合作交流探究出角平分线的性质定理和逆定理，这样有效地提高了课堂的教学效果，促进了学生对新知识的理解和掌握．不足之处是少数学生在应用角平分线的性质定理和逆定理解题时，容易忽视“角平分线上的点到角两边的距离相等”这一条件，需要在今后的教学和作业中加强巩固和训练．