高一数学选修课系列讲座（一）
-----------------分式函数的图像与性质
一、概念提出
1、分式函数的概念
形如22(,,,,,)ax bx c y a b c d e f R dx ex f ++=∈++的函数称为分式函数。如221x y x x +=+，212x y x +=-，41
3
x y x +=+等。
2、分式复合函数
形如22[()]()(,,,,,)[()]()a f x bf x c y a b c d e f R d f x ef x f ++=∈++的函数称为分式复合函数。如22112x x y +=-，sin 2
3sin 3x y x +=
-，12
3x y x -+=
+等。
二、学习探究 探究任务一：函数(0)b
y ax ab x
=+≠的图像与性质 问题1：(,,,)ax b
y a b c d R cx d
+=
∈+的图像是怎样的？ 例1 画出函数21
1
x y x -=-的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。
小结：(,,,)ax b
y a b c d R cx d
+=
∈+的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”的处理方法。 分式函数(,,,)ax b
y a b c d R cx d
+=
∈+的图像与性质： （1）定义域： ； （2）值域： ；
（3）单调性：单调区间为 ；
（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线 ，对称中心为点 ；
（5）奇偶性：当 时为奇函数； （6）图象：如图所示
x O y
x
O y
问题2：(0)
b
y ax ab
x
=+≠的图像是怎样的？
例2、根据y x
=与
1
y
x
=的函数图像，绘制函数
1
y x
x
=+的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。小结：分式函数(,0)
b
y ax a b
x
=+>的图像与性质：
（1）定义域：；（2）值域：；
（3）奇偶性：；
（4）单调性：在区间上是增函数，
在区间上为减函数；
（5）渐近线：以轴和直线为渐近线；
（6）图象：如右图所示
例3、根据y x
=与
1
y
x
=的函数图像，绘制函数
1
y x
x
=-的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。结合刚才的两个例子，思考
1
y x
x
=--与
1
y x
x
=-的图像又是怎样的呢？
思考
1
2+
y x
x
=与
2
3
y x
x
=-的图像是怎样的呢？(,,0)
b
y ax a b R ab
x
=+∈≠的图像呢？
小结：(,,0)
b
y ax a b R ab
x
=+∈≠的图像如下：
（i）(0,0)
b
y ax a b
=+>>(ii) (0,0)
b
y ax a b
=+><(iii) (0,0)
b
y ax a b
=+<>
(iv) (0,0)
b
y ax a b
x
=+<<
(,,0)b
y ax a b R ab x
=+∈≠的单调性、值域、奇偶性等，可以结合函数的图像研究。
探究任务二：函数22
(,,,,,)ax bx c
y a b c d e f R dx ex f
++=∈++的图像与性质 问题3：例4 函数221
1
x x y x ++=+的图像是怎样的？单调区间如何？
思考：函数2
1
21
x y x x +=
++的性质如何呢？单调区间是怎样的呢？ 小结：对于分式函数22
(,,,,,)ax bx c
y a b c d e f R dx ex f
++=∈++而言，分子次数高于分母时，可以采用问题3中的方法，将函数表达式写成部分分式，再结合函数的图像的平移，由熟悉的四类分式函数的图像得到新的函数图像，再结合函数的图像研究函数的性质。对于分子的次数低于分母的次数的时候，可以考虑分子分母同时除以分子（确保分子不为0），再着力研究分母的性质与图像，间接地研究整个函数的性质。如：
22
111
(1)221212(1)311
x y x x x x x x x x +=
==≠-++++++-++
巩固练习：
1、若,,3,x y R xy y +
∈+=则x y +的最小值是 ；
2、函数2
34
x
y
x =
+的值域是 ； 3、已知[)221
(),1,ax x f x x x
--=
∈+∞单调递减，则实数a 的取值围是 ； 4、不等式2
0x a x
-->的在[]2,1有实数解，则实数a 的取值围是 ； 5、不等式2
0x a x
-
->的在[]2,1恒成立，则实数a 的取值围是 ； 6、已知()a
f x x x
=-+
在区间[2,3)单调递减，求a 的取值围是 ； 7、函数221
x x
y x x -=-+的值域是
8、定义在R 上函数()f x ，集合{A a a =为实数，且对于任意},()x R f x a ∈≥恒成立，且存在常数m A ∈，对于
任意n A ∈，均有m n ≥成立，则称m 为函数()f x 在R 上的“定下界”．若21
()12x x
f x -=+，则函数()f x 在R 上
的“定下界”m =__________．
9、设
(),[0,+)1
a
f x x x x =+
∈∞+． （1）当4a =时，求()f x 的最小值； （2）当(0,1)a ∈时，判断()f x 的单调性，并写出()f x 的最小值。
10、已知函数()2a
f x x x
=+
的定义域为(]0,2（a 为常数）. （1）证明：当8a ≥时，函数()y f x =在定义域上是减函数；
（2）求函数()y f x =在定义域上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x 的值。
11、（1）若函数()log 4,(0,1)a a f x x a a x ??
=+->≠ ???
的定义域为R +，数a 的取值围； （2）若函数()log 4,(0,1)a a f x x a a x ??
=+->≠ ???
的值域为R +，数a 的取值围。
12、已知函数a
y x x
=+
有如下性质：如果常数0a >,那么该函数在上是减函数，
在)+∞上是增函数。
（1）如果函数2b
y x x
=+在(0,4]上是减函数, 在[4,)+∞上是增函数，常数b 的值；
（2）设常数[1,4]c ∈，求函数(12)c
y x x x
=+≤≤的最大值和最小值。
分式函数的图像与性质
一、概念提出
1、分式函数的概念
形如
2
2
(,,,,,)
ax bx c
y a b c d e f R
dx ex f
++
=∈
++
的函数称为分式函数。如
2
21
x
y
x x
+
=
+
，
21
2
x
y
x
+
=
-
，
41
3
x
y
x
+
=
+
等。
2、分式复合函数
形如
2
2
[()]()
(,,,,,)
[()]()
a f x bf x c
y a b c d e f R
d f x ef x f
++
=∈
++
的函数称为分式复合函数。如
2
21
12
x
x
y
+
=
-
，
sin2
3sin3
x
y
x
+
=
-
，y=等。
二、学习探究
探究任务一：函数(0)
b
y ax ab
x
=+≠的图像与性质
问题1：(,,,)
ax b
y a b c d R
cx d
+
=∈
+
的图像是怎样的？
例1、画出函数
21
1
x
y
x
-
=
-
的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。
【分析】
212(1)11
2
111
x x
y
x x x
--+
===+
---
，即函数
21
1
x
y
x
-
=
-
的图像可以经由函数
1
y
x
=的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。如下表所示：
12
111
2
11
y y y
x x x
=??→=??→=+
--
右上
由此可以画出函数
21
1
x
y
x
-
=
-
的图像，如下：
单调减区间：(,1),(1,)
-∞+∞；
值域：(,2)(2,)
-∞+∞；
对称中心：(1,2)。
【反思】(,,,)
ax b
y a b c d R
cx d
+
=∈
+
的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些条件决定？
【小结】(,,,)ax b
y a b c d R cx d
+=
∈+的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”的处理方法。
分式函数(,,,)ax b
y a b c d R cx d
+=∈+的图像与性质 （1）定义域：{|}d
x x c ≠- ；
（2）值域：{|}a
y y c
≠；
（3）单调性：单调区间为(,),(,+)d d
c c
-∞--∞；
（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线,d a x y c c =-=，对称中心为点(,)d a
c c
-；
（5）奇偶性：当0a d ==时为奇函数；
（6）图象：如图所示
问题2：(0)b
y ax ab x
=+
≠的图像是怎样的？ 例2、根据y x =与1y x =的函数图像，绘制函数1
y x x
=+的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。
【分析】画函数图像需要考虑函数的定义域、值域、单调性与单调区间，奇偶性，周期性，凸凹性（此点不作要
求），关键点坐标（最值点、与坐标轴交点）、辅助线（对称轴、渐近线）。绘图过程中需综合考虑以上要素，结合逼近与极限思想开展。
解：函数的定义域为：{|0}x x ≠； 根据单调性定义，可以求出1
y x x
=+的单调区间 增区间：(,1][1,)-∞-+∞ 减区间：[1,0),(0,1]-
函数的值域为：(,2][2,)-∞-+∞ 函数的奇偶性：奇函数
函数图像的渐近线为：,y x =0x = 函数的图像如下：
x O
y
x
O y
【反思】如何绘制陌生函数的图像？研究新函数性质应从哪些方面入手？ 【小结】分式函数(,0)b
y ax a b x
=+
>的图像与性质： （1）定义域：{|0}x x ≠；
（2）值域：{|2,}y y ab y ab ≥≤-或； （3）奇偶性：奇函数； （4）单调性：在区间(,[,+)b b
a a
-∞∞上是增函数， 在区间],[,0)b b
a a
上为减函数； （5）渐近线：以y 轴和直线y ax =为渐近线；
（6）图象：如右图所示
例3、根据y x =与1y x =
的函数图像，绘制函数1
y x x
=-的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。 【分析】结合刚才的绘图经验，不难绘制出1
y x x
=-的图像
解：函数的定义域为：{|0}x x ≠；
根据单调性定义，可以判断出1
y x x
=-的单调性，单调增区间为：(,0),(0,)-∞+∞
函数的值域为：R 函数的奇偶性：奇函数
x
O
y
y x
=x
O y
y x
=1y x
=y ax
=b a
b a
-
2ab
2ab
-x
O
y
函数的图像如下：
【反思】结合刚才的两个例子， 1y x x =--与1y x x =-的图像又是怎样的呢？思考12+y x x =与2
3y x x
=-的图像是怎样的呢？(,,0)b
y ax a b R ab x
=+∈≠的图像呢？ 函数1
y x x
=--
的图像如下，绘制的过程可以根据刚才的绘图经验。 【注】()y x x x x =--=-+，由于()y f x =与()y f x =-的图像关于x 轴对称，所以还可以根据1y x x
=+的图像，对称的画出1y x x =--的图像。同样的道理1y x x =-的图像与1
y x x
=-的图像关于x 轴对称，所以图像
如下：
【小结】(,,0)b
y ax a b R ab x
=+
∈≠的图像如下： x
O
y
x
O y
1y x x
=-
1y x x
=
-x
O y
x
O
y
y x
=1y x
=x
O
y
y x
=-x
O
y
y x
=-1y x
=-
（i ）(0,0)b
y ax a b x
=+
>>
(ii) (0,0)b
y ax a b x
=+
><
(iii) (0,0)b
y ax a b x
=
+<>
(iv) (0,0)b
y ax a b x
=+
<<[来源:学+科+网Z+X+X+K]
(,,0)b
y ax a b R ab x
=+∈≠的单调性、值域、奇偶性等，可以结合函数的图像研究。
探究任务二：函数22
(,,,,,)ax bx c
y a b c d e f R dx ex f
++=∈++的图像与性质 问题3：函数221
1
x x y x ++=+的图像是怎样的？单调区间如何？
【分析】22212(1)3(1)22
2(1)3111
x x x x y x x x x +++-++=
==++-+++ 22y x x =+122(1)1
y x x ??→=++
+左23
211x x y x ++??→=+下 所以2211x x y x ++=+的图像与2
2y x x
=+的图像形状完全相同，只是位置不同。
图像的对称中心为：(1,3)--
单调增区间为：(,2][0,)-∞-+∞ 单调减区间为：[2,1),(1,0]--- 值域：(,7][1,)-∞-+∞
图像如下：
x
O
y 1
2-7
-3-1-x
O
y
y ax
=
【反思】函数2
1
21
x y x x +=
++的性质如何呢？单调区间是怎样的呢？ 【小结】对于分式函数22
(,,,,,)ax bx c
y a b c d e f R dx ex f
++=∈++而言，分子次数高于分母时，可以采用问题3中的方法，将函数表达式写成部分分式，在结合函数的图像的平移，由熟悉的四类分式函数的图像得到新的函数图像，再结合函数的图像研究函数的性质。对于分子的次数低于分母的次数的时候，可以考虑分子分母同时除以分子（确保分子不为0），再着力研究分母的性质与图像，间接地研究整个函数的性质。如：
22
111
(1)221212(1)311
x y x x x x x x x x +=
==≠-++++++-++
例1、若,,3x y R x y xy +∈++=则x y +的最小值是__________．
解：由(1)3x y xy x x y ++=++=，得3
1
x y x -+=+[来源:]
3(1)444
11221111
x x x y x x x x x x x x -+-+++=+=+=+-=++-≥++++
【注】此处可以借助函数4
2(1)y t t x t
=+-=+的图像与性质
【变式】若,,3x y R x y xy ∈++=且，求x y +的取值围.
例2、求函数[]2412
(),2,51
x x f x x x -+=
∈-的值域. 解：22412(1)2(1)99
()=12111x x x x f x x x x x -+---+=
=-+----，令1t x =-，则 9()2,[1,4]f t t t t =+-∈，结合9
y t t
=+图像与性质，可知当[1,3]t ∈时函数单调递减，当[3,4]t ∈时函数单调
递增，又17
(1)8,(3)4,(4)4
f f f ===，所以()[4,8]f x ∈
【注】“换元”后必须注意新元的围。“换元法”是转化思想的一个非常重要的途径。 【变式】求函数[]21
(),2,5412
x f x x x x -=
∈-+的值域.
例3、已知()a
f x x =+
在区间[2,)+∞单调递增，求a 的取值围.
【分析】先定性分析，再定量研究，借助分类讨论思想展开. 解：当0a =时，()f x x =在区间[2,)+∞显然单调递增；
当0a <时，结合()a
f x x x
=+
的图像与性质，可知函数在区间[2,)+∞单调递增 当0a >时()f x 在区间[,)a +∞单调递增，所以2a ≤，所以(0,4]a ∈ 综上所述，实数a 的取值围为(,4]-∞.
【变式】已知()a
f x x x
=-+在区间[2,3)单调递减，求a 的取值围.
1、若,,3,x y R xy y +
∈+=则x y +的最小值是________．
2、函数2
34
x
y
x =
+的值域是________． 3、已知[)221
(),1,ax x f x x x
--=
∈+∞单调递减，数a 的取值围。[来源:学|科|网] 4、（1）若函数()log 4,(0,1)a a f x x a a x ?
?
=+
->≠ ???的定义域为R +，数a 的取值围； （2）若函数()log 4,(0,1)a a f x x a a x ??
=+
->≠ ??
?
的值域为R +，数a 的取值围。 5、设
(),[0,+)1
a
f x x x x =+
∈∞+． （1）当4a =时，求()f x 的最小值；
（2）当(0,1)a ∈时，判断
()f x 的单调性，并写出()f x 的最小值。
2、不等式2
0x a x
-->的在[]2,1有实数解，则实数a 的取值围________． 3、不等式2
0x a x
-
->的在[]2,1恒成立，则实数a 的取值围________． 4、函数221
x x
y x x -=-+的值域是________．
5、定义在R 上函数()f x ，集合{A a a =为实数，且对于任意}
,()x R f x a ∈≥恒成立，且存在常数m A ∈，对于任意n A ∈，均有m n ≥成立，则称m 为函数()f x 在R 上的“定下界”．
若21
()12
x x
f x -=+，则函数()f x 在R 上的“定下界”m =__________．
7、已知函数()2a
f x x x
=+
的定义域为(]0,2（a 为常数）. （1）证明：当8a ≥时，函数()y f x =在定义域上是减函数；
（2）求函数()y f x =在定义域上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x 的值．
8、【06年】已知函数
a
y x x
=+
有如下性质：如果常数0a >,那么该函数在(0,]a 上是减函数, 在[,)a +∞上是增函数. （1）如果函数2b
y x x
=+
在(0,4]上是减函数, 在[4,)+∞上是增函数,常数b 的值；
（2）设常数[1,4]c ∈，求函数(12)c
y x x x =+≤≤的最大值和最小值；
（3）当n 是正整数时, 研究函数(0)n
n c y x c x
=+>的单调性,并说明理由.
9、【08年】已知函数||
1
()22x x f x =-
。
（1）若
()2f x =，求x 的值；
（2）若2
(2)()0t
f t mf t +≥对于[1,2]t ∈恒成立，数m 的取值围。
10、【11年虹口】对于定义域为D 的函数)(x f y =，如果存在区间[,]m n D ?，同时满足：
①
)(x f 在[,]m n 是单调函数；
②当定义域是[,]m n 时，)(x f 的值域也是[,]m n ．则称[,]m n 是该函数的“和谐区间”．
（1）求证：函数
x
x g y 5
3)(-
==不存在“和谐区间”． （2）已知函数x
a x a a y 221
)(-+=（0,≠∈a R a ）有“和谐区间”[,]m n ，当a 变化时，求出m n -的最大值．
（3）易知，函数
x y =是以任一区间[,]m n 为它的“和谐区间”．
试再举一例有“和谐区间”的函数，并写出它的一个“和谐区间”．（不需证明，但不能用本题已讨论过的
x y =及形如ax
c
bx y +=
的函数为例）