1 B ．2x>1 C ．2x 2≠1 D ．2<1x 2．判断正误： （1）12 x+3>-5是一元一次不等式 （ ） （2）x+2y ≤0是一元一次不等式 （ ） （3）1x >-8不是一元一次不等式 （ ） 3．方程26-8x=0的解是______，不等式26-8x>0的解集是______，不等式26-8x高中数学必修五基本不等式学案
高中数学必修五基本不等式：ab≤a＋b 2（学案） 学习目标：1.了解基本不等式的证明过程.2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小(重点、难点).3.熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题(重点)． [自主预习·探新知] 1．重要不等式 如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)． 思考：如果a>0，b>0，用a，b分别代替不等式a2＋b2≥2ab中的a，b，可得到怎样的不等式？ [提示]a＋b≥2ab. 2．基本不等式：ab≤a＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a，b均为正实数； (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 思考：不等式a2＋b2≥2ab与ab≤a＋b 2成立的条件相同吗？如果不同各是 什么？ [提示]不同，a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；ab≤a＋b 2成立的条件 是a，b均为正实数． 3．算术平均数与几何平均数 (1)设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为a＋b 2，几何平均数为 (2)基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 思考：a＋b 2≥ab与? ? ? ? ? a＋b 2 2 ≥ab是等价的吗？ [提示]不等价，前者条件是a>0，b>0，后者是a，b∈R. 4．用基本不等式求最值的结论 (1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y＝s 2时，积xy有最
小值为2xy . (2)设x ，y 为正实数，若xy ＝p (积p 为定值)，则当x ＝y ＝p 时，和x ＋y 有最大值为(x ＋y )2 4. 5．基本不等式求最值的条件 (1)x ，y 必须是正数． (2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值． (3)等号成立的条件是否满足． 思考：利用基本不等式求最值时应注意哪几个条件？若求和(积)的最值时，一般要确定哪个量为定值？ [提示] 三个条件是：一正，二定，三相等．求和的最小值，要确定积为定值；求积的最大值，要确定和为定值． [基础自测] 1．思考辨析 (1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立．( ) (2)对任意的a ，b ∈R ，若a 与b 的和为定值，则ab 有最大值．( ) (3)若xy ＝4，则x ＋y 的最小值为4.( ) (4)函数f (x )＝x 2 ＋2 x 2＋1 的最小值为22－1.( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2．设x ，y 满足x ＋y ＝40，且x ，y 都是正数，则xy 的最大值为________. 400 [因为x ，y 都是正数， 且x ＋y ＝40，所以xy ≤? ???? x ＋y 22 ＝400，当且仅当x ＝y ＝20时取等号．] 3．把总长为16 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2. 16 [设一边长为x m ，则另一边长可表示为(8－x )m ，则面积S ＝x (8－x )≤? ???? x ＋8－x 22 ＝16，当且仅当x ＝4时取等号，故当矩形的长与宽相等，都为4 m 时面积取到最大值16 m 2.]
人教a版数学必修5第三章不等式教学案
人教A版数学必修5第三章不等式教学案 课题：§ 3.1不等式与不等关系 第1课时 授课类型：新授课 【教学目标】 1 ?知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质； 2 ?过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法； 3 ?情态与价值：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。 【教学重点】 用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。 【教学难点】 用不等式（组）正确表示出不等关系。 【教学过程】 1. 课题导入 在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。在数学中，我们用不 等式来表示不等关系。 下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。 2. 讲授新课 1）用不等式表示不等关系 引例1:限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h, 写成不等式就是：v乞40 引例2:某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于 2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%，写成不等式组就是用不等式组来表示 问题1:设点A与平面:-的距离为d,B为平面〉上的任意一点，贝U d -| AB |。 问题2:某种杂志原以每本 2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提 高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等
一元一次方程导学案
一元一次方程导学案 【学习目标】 1、知道什么是方程，会判断一个数学式子是算式还是方程； 2、能根据简单的实际问题列一元一次方程，并了解其步骤； 3、会判断方程的解。 【学习重点】一元一次方程的含义。 【学习难点】根据简单的实际问题列一元一次方程。 课前自主学习(查阅教材和相关资料,完成下列内容) 考点一.方程的概念 1、含有的等式叫方程。 考点二.一元一次方程的概念 1.只含有个未知数，未知数的次数都是次的方程，叫做一元一次方程。 考点三.列方程 遇到实际问题时,要先设字母表示 ,然后根据问题中的 ,最后写出含有未知数的 ,就能列出方程. 归纳:列方程解实际问题的步骤:第一步: ,第二步: ,第三步: . 考点四.解方程及方程的解的含义 解方程就是求出使方程中等号左右两边的的值,这个值就是方程的 . 【重要思想】 1.类比思想:算式与方程的对比 2.转化思想:把实际问题转化为数学问题,特别是方程问题. 学练提升 问题1:判断下列数学式子 X+1, 0.5x-x, 2x-3=7, 3x+2=2x-5 , 2x2+3x-8=0,x+2y=7. 是方程有 ,是一元一次方程有 【规律总结】 【同步测控】 1.自己编造两个方程: , . 2.自己编造两个一元一次方程: , . 问题2.根据问题列方程: 1.用一根长24cm的铁丝未成一个正方形,正方形的变长是多少? 2.一台计算机已使用1700小时,预计每月再使用150小时,经过多少月这台计算机的使用时间他到规定的检修时间2450小时? 【规律总结】
【同步测控】 根据下列问题,设未知数,列出方程 1.环形跑道一周长400m,沿跑道跑多少周,可以跑3000m? 2.甲种铅笔每只0.3元,乙种铅笔铅笔每只0.6元,用9元钱买了两种铅笔共20支,两种铅笔各买了多少支? 【规律总结】 【同步测控】 1.一个梯形的下底比上底多2cm,高是5cm,面积是40cm2,求上底. 2.x的2倍于10的和等于18; 3.比b的一半小7的数等于a与b的和; 4.把1400元奖学金按照两种奖项将给22名学生,其中一等奖每人200元,二等奖每人50元,获得一等奖的学生多少人? 问题三、判断方程的根 1.判断下列各数X=1,x=2,x=-1,x=0.5. 那个是方程2x+3=5x-3的解? 2.当x= 时,方程3x-5=1 两边相等?
【新教材】 新人教A版必修一 基本不等式 教案
基本不等式 1．了解基本不等式的证明过程，理解基本不等式及等号成立的条件． 2．会用基本不等式证明简单的不等式及解决简单的最大（小)值问题． 知识梳理 1．基本不等式错误!≥错误! （1）基本不等式成立的条件：a〉0,b〉0 . (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时不等式取等号． 2．几个重要不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)； (2）错误!＋错误!≥ 2 （a,b同号）； (3）ab≤（错误!）2(a,b∈R）； （4)错误!≥（错误!）2。 3．基本不等式求最值 （1）两个正数的和为定值，当且仅当它们相等时，其积最大． （2）两个正数的积为定值，当且仅当它们相等时，其和最小． 利用这两个结论可以求某些函数的最值,求最值时，要注意“一正、二定、三相等”的条件． 热身练习 1．若a，b∈R，且ab〉0,则下列不等式中,恒成立的是(D） A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2错误! C。错误!＋错误!〉错误! D。错误!＋错误!≥2 A、C中，a＝b时不成立，B中，当a与b均为负数时不成立，而对于D,利用基本不等式x＋y≥2错误!(x>0，y〉0）成立，故选D. 2．已知a,b为正数，则下列不等式中不成立的是(D) A．ab≤错误! B．ab≤（错误!）2 C。错误!≥错误! D。错误!≥错误! 易知A,B成立，
对于C ，因为a 2＋b 2≥2ab ,所以2（a 2＋b 2)≥(a ＋b )2, 所以错误!≥(错误!）2，所以错误!≥错误!，故C 成立． 对于D,取a ＝4，b ＝1，代入可知，不等式不成立，故D 不成立． 由以上分析可知，应选D. 3．周长为60的矩形面积的最大值为（A) A ．225 B ．450 C ．500 D ．900 设矩形的长为x ,宽为y ， 则2（x ＋y )＝60，所以x ＋y ＝30, 所以S ＝xy ≤(x ＋y 2)2 ＝225，即S max ＝225. 当且仅当x ＝y ＝15时取“＝",故选A 。 4．设函数f (x )＝2x ＋错误!－1（x <0)，则f (x ）（A) A ．有最大值 B ．有最小值 C ．是增函数 D ．是减函数 f (x ）＝－[(－2x ）＋（－错误!）］－1≤－2错误!－1， 当且仅当x ＝－错误!时，等号成立， 所以函数f （x )有最大值，所以选A 。 5．（2017·山东卷)若直线x a ＋错误!＝1(a >0，b 〉0)过点（1，2）,则2a ＋b 的最小值为 8 。 因为直线错误!＋错误!＝1(a >0，b 〉0)过点(1,2）， 所以1a ＋错误!＝1， 所以2a ＋b ＝（2a ＋b ）(错误!＋错误!)＝4＋错误!＋错误!≥4＋2错误!＝8， 当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝2,b ＝4时,等号成立． 故2a ＋b 的最小值为8. 利用基本不等式判断大小关系 下列不等式一定成立的是
高中不等式的基本知识点和练习题(含答案)
不等式的基本知识 （一）不等式与不等关系 1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>；d b c a d c b a +>+?>>,(同向可加) (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向同正可乘) (5)倒数法则：b a a b b a 1 10,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论） 3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()0002 2 ≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42 -=?，则不等式的解的各种情况 如下表： 2、简单的一元高次不等式的解法： 标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿偶不穿；（3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集。()()()如：x x x +--<11202 3 3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 ()()0() () 0()()0;0()0 () ()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥?? ≠? 4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < ()f x
高中数学第三章不等式3.4基本不等式：√ab≤(a+b)2(二)学案新人教A版必修5
3.4 基本不等式：√ab≤（a+b）2（二） [学习目标] 1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题． 知识点一基本不等式求最值 1．理论依据： (1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y时，积xy有最大值，且这个值 为s2 4 . (2)设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值)，则当x＝y时，和x＋y有最小值，且这个值为2p. 2．基本不等式求最值的条件： (1)x，y必须是正数； (2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值． (3)等号成立的条件是否满足． 3．利用基本不等式求最值需注意的问题： (1)各数(或式)均为正． (2)和或积为定值． (3)判断等号能否成立，“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可． (4)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性． 知识点二基本不等式在实际中的应用 基本不等式在实际中的应用是指利用基本不等式解决生产、科研和日常生活中的问题．解答不等式的应用题一般可分为四步：(1)阅读并理解材料；(2)建立数学模型；(3)讨论不等关系； (4)作出结论．
题型一 利用基本不等式求最值 例1 (1)已知x ≥52，则f (x )＝x 2 －4x ＋5 2x －4有( ) A ．最大值54 B ．最小值5 4 C ．最大值1 D ．最小值1 (2)已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1 t 的最小值为____． (3)已知x ，y ∈R ＋ ，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为____． 答案 (1)D (2)－2 (3)3 解析 (1)f (x )＝x 2－4x ＋52x －4＝（x －2）2＋1 2（x －2） ＝12??? ???（x －2）＋1x －2≥1. 当且仅当x －2＝ 1 x －2 ，即x ＝3时，等号成立． (2)y ＝t 2＋1－4t t ＝t ＋1t －4≥2－4＝－2， 当且仅当t ＝1 t ，即t ＝1或t ＝－1(舍)时，等号成立， ∴y 的最小值为－2. (3)xy ＝12·? ?? ?? x 3·y 4≤12·? ?? ???x 3＋y 422 ＝12·? ?? ??122 ＝3， 当且仅当x 3＝y 4＝12，即x ＝3 2 ，y ＝2时，等号成立， ∴xy 的最大值为3. 反思与感悟 在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件．
约束优化问题的极值条件
等式约束优化问题的极值条件 求解等式约束优化问题 )(m i n x f ..t s ()0=x h k ()m k ,,2,1???= 需要导出极值存在的条件，对这一问题有两种处理方法：消元法和拉格朗日乘子法（升维法） 一、消元法（降维法） 1.对于二元函数 ),(min 21x x f ..t s ()0,21=x x h ， 根据等式约束条件，将一个变量1x 表示成另一个变量2x 的函数关系()21x x ?=，然后将这一函数关系代入到目标函数()21,x x f 中消去1x 变成一元函数()2x F 2.对于n 维情况 ()n x x x f ,,,min 21???..t s ()0,,,21=???n k x x x h ),,2,1(l k ???= 由l 个约束方程将n 个变量中的前l 个变量用其余的l n -个变量表示： ()n l l x x x x ,,,2111???=++? ()n l l x x x x ,,,2122???=++? ... ()n l l l l x x x x ,,,21???=++? 将这些函数关系代入到目标函数中，得到()n l l x x x F ,,,21???++ 二、拉格朗日乘子法（升维法） 设T n x x x x ),,,(21???=，目标函数是()x f ，约束条件()0=x h k ),,2,1(l k ???=的l 个等式约束方程。为了求出()x f 的可能极值点T n x x x x ),,,(**2*1*???=，引入拉格朗日乘子k λ),,2,1(l k ???=，并构成一个新的目标函数 ()()x h x f x F l k k k ∑=+=1),(λλ 把()λ,x F 作为新的无约束条件的目标函数来求解它的极值点，满足约束条件 ()0=x h k ),,2,1(l k ???=的原目标函数()x f 的极值点。 ()λ,x F 具有极值的必要条件 ),,2,1(0n i x F i ???==?? ，),,2,1(0l k F k ???==??λ可得n l +
新人教版高中数学《基本不等式》导学案
基本不等式 1.掌握基本不等式,能借助几何图形说明基本不等式的意义. 2.能够利用基本不等式求最大(小)值. 3.利用基本不等式求最值时要注意“一正二定三相等”. 下图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客.在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形,设直角三角形的两条直角边 长分别为a,b,那么正方形的边长为. 问题1:上述情境中,正方形的面积为,4个直角三角形的面积的和,由于4个直角三角形的面积之和不大于正方形的面积,于是就可以得到一个不等式:,我们称之为重要不等式,即对于任意实数a,b,都有,当且仅当时,等号成立. 我们也可以通过作差法来证明:- =(a-b)2≥0, 所以,当且仅当a=b时取等号. 问题2:基本不等式 若a,b∈(0,+∞),则,当且仅当时,等号成立. 问题3:对于基本不等式,请尝试从其他角度予以解释. (1)基本不等式的几何解释: 在直角三角形中,直角三角形斜边上的斜边上的.在圆中,半径不小于半弦长. (2)如果把看作正数a、b的,看作正数a、b 的,那么该定理可以叙述为:两个正数的不小于它们的. (3)在数学中,我们称为a、b的,称为a、b 的.因此,两个正数的不小于它们的.
问题4:由基本不等式我们可以得出求最值的结论: (1)已知x,y∈(0,+∞),若积x·y=p(定值),则和x+y有最 值,当且仅当x=y时,取“=”. (2)已知x,y∈(0,+∞),若和x+y=s(定值),则积x·y有最 值,当且仅当x=y时,取“=”. 即“积为常数,;和为常数,”. 概括为:一正二定三相等四最值. 利用基本不等式求最值 的最小值. (1)已知x>,求函数y=4x-2+ - (2)已知正数a,b满足ab=a+b+3,求ab的取值范围. 利用基本不等式证明不等式 已知x、y都是正数,求证:(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3. 单调性与基本不等式 设函数f(x)=x+,x∈[0,+∞). (1)当a=2时,求函数f(x)的最小值; (2)当02)在x=a处取最小值,则实数a的值为(). -
29基本不等式学案
3.4．1基本不等式：2 b a a b +≤ 学案作者：张春燕 一、教学目标 1. 使学生了解基本不等式的代数、几何背景及基本不等式的证明. 2. 感知与基本不等式相近的一些不等式的证明和几何背景. 3. 初步了解用分析法证明不等式，培养学生分析问题能力和逻辑思维能力. 二、教学重点，难点 重点：理解掌握基本不等式，并能借助几何图形说明基本不等式的意义. 难点：利用基本不等式推导一些与其相似的不等式，关键是对基本不等式的理解与掌握. 三、问题导学 问题1：我们把“风车”造型抽象成图3.4-2，在正方形ABCD 中有四个全等的直角三角形，设直角三角形边长为a ，b ，则正方形的边长为_____________面积为_____________. 问题2：那四个直角三角形的面积和为_____________. 问题3：根据四个三角形的面积和正方形的面积，可得到一个不等式：2 2 b a +_____ab 2， 什么时候这两部分面积相等呢？ 问题4：证明不等式：2 2b a +≥ab 2. 问题5：特别地，如果a>0, b>0, 则b a +≥ab 2 ， 2b a ab +≤，其中2 b a +叫正数a, b 的算术平均数，ab 叫正数a, b 的几何平均数. 问题6：课本98P 探究给出基本不等式的几何解释. 四、探究交流（基本不等式的应用） 已知x, y 都是正数，求证： ① 如果积xy 是定值P ，那么当x=y 时，和x+y 有最小值P 2. ② 如果和x+y 是定值S ，那么当x=y 时，积xy 有最大值24 1S . 证明： 总结：“和定积最大，积定和最小”. 注：应用基本不等式须注意三点： ① 各项或各因式为正. ② 和或积为定值.
高中数学第三章不等式3.1不等关系与不等式学案含解析新人教A
3.1不等关系与不等式 [提出问题] 在日常生活中，我们经常看到下列标志： 问题1：你知道各图中的标志有何作用吗？其含义是什么？ 提示：①最低限速：限制行驶时速v不得低于50公里； ②限制重量：装载总重量G不得超过10 t； ③限制高度：装载高度h不得超过3.5 m； ④限制宽度：装载宽度a不得超过3 m； ⑤时间范围：t∈[7.5,10]． 问题2：你能用一个数学式子表示上述关系吗？如何表示？ 提示：①v≥50；②G≤10；③h≤3.5；④a≤3；⑤7.5≤t≤10. [导入新知] 不等式的概念 我们用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”或“≤”连接两个数或两个代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式． [化解疑难] 1．不等关系强调的是关系，可用符号“＞”“＜”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式则是表示两者的不等关系，可用“a＞b”“a＜b”“a≠b”“a≥b”“a≤b”等式子表示，不等关系是可以通过不等式来体现的． 2．不等式中文字语言与符号语言之间的转换
[提出问题] 实数可以用数轴上的点表示，数轴上的每个点都表示一个实数，且右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大． 问题1：怎样判断两个实数a，b的大小？ 提示：若a－b是正数，则a＞b；若a－b是负数， 则ab，b>c，则a>c，对吗？为什么？ 提示：正确．∵a>b，b>c， ∴a－b>0，b－c>0. ∴(a－b)＋(b－c)>0，即a－c>0. ∴a>c. 问题2：若a＞b，则a＋c＞b＋c，对吗？为什么？ 提示：正确．∵a＞b， ∴a－b＞0， ∴a＋c－b－c＞0，
一次函数与一元一次不等式学案
一次函数与一元一次不等式 【问题】 神州行推出了一种新的轻松卡，其资费标准如下：无月租，0接听，拨打0.25元/分钟。小明购买了此卡，并充值50元。 （1）请写出使用此卡后余额y（元）与通话时间x（分）之间的函数关系式。 （2）请画出此函数的图像。 （3）50元钱够打多少分钟？ 当y=0时，x的取值为多少？ 当y>0时，x的取值范围是多少？ 当y<0时，x的取值范围是多少？ 【探究活动一】 点来解不等式？
【例题】用画函数图像的方法解不等式5x+4＜2x+10 【归纳】 对于任何一元一次不等式都可以化为一般形式 ax+b ＞0或ax+b ＜0 (a 、b 为常数，a ≠0) 从“函数值”的角度看： 从“函数图像”的角度看 【探究活动二】 右图是一次函数y 1=5x+4和y 2 =2x+10的图像，请根据图像思考下列问题： （1）当x 取何值时，y 1=y 2 ？ （2）当x 满足什么条件时，y 1>y 2 ？ （3）当x 满足什么条件时，y 10的解集吗？ （2）不等式kx+b>mx 的解集呢？ （3）不等式组kx+b>mx>0的解集呢？ y 2y 1= 5x+4 解一元一次不等式 ax+b ＞0或ax+b ＜0 当一次函数y=ax+b 的函数值y>0（或y<0）时，求相应___________的取值范围。 解一元一次不等式 ax+b ＞0或ax+b ＜0 确定直线y=ax+b 在x 轴___________方部分所有点的___________所构成的集合。
基本不等式公开课教案
基本不等式 2 a b + 授课人:祁玉瑞授课类型：新授课 一、知识与技能： 使学生了解基本不等式的代数、几何背景，学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学会应用基本不等式解决简单的数学问题。 过程与方法： 通过探索基本不等式的过程，让学生体会研究数学问题的基本思想方法，学会学习，学会探究。 情感态度与价值观： 在探索过程中，鼓励学生大胆尝试，大胆猜想，并能对猜想进行证明，增强学生的信心，获得探索问题的成功情感体验。逐步养成学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。同时通过本节内容的学习，让学生体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣。 二、重点及难点 重点：应用数形结合的思想理解不等式，2a b +≤ 的证明过程。 难点：2a b +≤ 等号成立条件。 三、教学过程
1.课题导入 2a b ab +≤的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。 2.讲授新课 1．探究图形中的不等关系 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角 形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为22a b +。这样，4个直角三角形的面积的和 是2ab ，正方形的面积为22a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就 得到了一个不等式：222a b ab +≥。 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。 2．得到结论：一般的，如果 ) ""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为222)(2b a ab b a -=-+
第三章不等式教案全套
课题: §3.1.1不等式与不等关系(1) 授课类型：新授课 【教学目标】 1．通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质； 2．通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法； 3．通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯． 【教学重点】 用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题．理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值． 【教学难点】 用不等式（组）正确表示出不等关系． 【教学过程】 1.课题导入 在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系．如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等．人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系．在数学中，我们用不等式来表示不等关系． 下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系． 2.讲授新课 1）用不等式表示不等关系 引例1：限速40km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40km/h ，写成不等式就是：40v ≤ 引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示 2.5% 2.3%f p ≤?? ≥? 问题1：设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点，则||d AB ≤． 问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提 高0.1元，销售量就可能相应减少2000本．若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？ 解：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为 2.5 (80.2)0.1 x x -- ? 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式 2.5 (80.2)200.1 x x -- ?≥ 问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种．按照生产的要求，600mm 的数量不能超过500mm 钢管的3倍．怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？ 解：假设截得500 mm 的钢管 x 根，截得600mm 的钢管y 根．根据题意，应有如下的不等关系： （1）截得两种钢管的总长度不超过4000mm ； （2）截得600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管数量的3倍； （3）截得两种钢管的数量都不能为负．
浙江省杭州市三墩中学八年级数学《一元一次不等式》学案(无答案) 人教新课标版
【学习目标】 1、 理解不等式（组）有关概念，掌握不等式性质。 2、 能熟练的解，并能用不等式（组）解决简单实际问题。 3、 一元一次不等式（组）与一次函数，函数图像的联系，数形结合。 【重点难点】 1、一元一次不等式（组）解决实际问题 2、数形结合的思想使一元一次不等式（组），一次函数及其图像联系。 【课前自学 课中交流】 1.不等式（组）的有关概念： 用符号________连接而成的数学式子,叫做不等式. 不等号的两边都是 ，而且只含有 ，未知数的最高次数是 ，这样的不等式叫做一元一次不等式。 类似于方程组，把两个含有相同未知数的 合起来，就组成了一元一次不等式组。 2.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解， 一元一次不等式的解集：只含有一个未知数的不等式的所有解 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分 具体四种情况：若a.>b ,请写出以下不等式组的解集 1)???>>b x a x ,2)???<b x a x ,4)???> D 、bc ac < 2）若不等式a x a ->-1)1(的解集为1-+3122423x x x x 的自然数解 类型四：一元一次不等式（组）解的应用 1）不等式64-x ≥157-x 的正整数解是 . 2）不等式－1≤x 2 3-＜6的所有整数解的和是 。 3）已知不等式a x -3≤0的正整数解只有1、2、3，那么a 的取值范围是 。 4）若不等式组? ??<<2x m x 的解为2人教版高中数学必修五学案6：3.4 基本不等式：√ab≤(a b)_2(一)
3.4 基本不等式:2a b ab +≤ (一) 学习目标: 1.了解代数与几何两方面背景,用数形结合的思想理解基本不等式. 2.掌握从不同角度探索基本不等式的方法. 3.从基本不等式的证明过程中进一步体会不等式证明的常用思路. 合作学习 一、设计问题,创设情境 第24届国际数学家大会于2002年在北京召开,右面是大会的会标,其中的图案大家见过吗?在此图中有哪些几何图形?你能发现图形中隐含的不等关系吗?若我们设图中直角三角形的直角边分别为x ,y ,你能用x ,y 表示四个直角三角形的面积和吗?你能用x ,y 表示大正方形的面积吗?根据图形,比较四个直角三角形的面积和与大正方形的面积的不等关系,写出不等式. 二、信息交流,揭示规律 问题1:当四个直角三角形边长可以变化时,四个直角三角形的面积和与大正方形的面积有没有可能相等?相等时,图形产生了怎样的变化? x ,y 有什么关系? 问题2:以上结论我们是在几何图形中的面积关系获得的.同学们能否运用代数的方法对这个结论进行证明?
问题3:同学们对结论中的“当且仅当”如何理解?如果我们使用两个正数a,b分别代替x2,y2,那么,以上结论我们可以写成什么形式? 问题4:对这个结论,我们能否进行证明? 问题5:结论(1)我们是在赵爽弦图中发现的,那么,我们能不能找到结论(2)的几何解释呢?同学们来看这个问题:如图AB是圆O的直径,点C是线段AB(除A、B外)上任意一点,过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD,BD.试以a,b表示CD,OD的长度并比较两者的大小. 问题6:什么时候等号成立?做出怎样的解释呢? 问题7:对于一个公式,我们首先要观察结构、进行记忆。同学们观察基本不等式两边,你想到了原来学过的哪些知识? 三、运用规律,解决问题
基本不等式导学案
基本不等式导学案 教学目标：（1）学会推导不等式2 a b ab +≤ ，理解不等式的几何意义。 （2）知道算术平均数、几何平均数的概念 （3）会用不等式求一些简单的最值问题 教学重点：基本不等式2 a b ab +≤ 的推导及应用。 教学难点：理解“当且仅当a b =时取等号” 的意义。 教学过程： 如图所示，这时我国古代数学家赵爽的弦图。在北京召开的24届国际数学家大会上 作为会标。你知道这其中含有哪些数学因素吗？ 设小直角三角形的两条直角边为、a b ， 则正方形的边长为 ，正方形的面积为 。 四个直角三角形的面积和为 。 4正方形三角形S S ?> ,我们用、a b 分别代替a,b ,可得 。 我们通常把上式写成2 a b ab +≤ (00a ,b >>) 第一个不等式我们是通过几何的面积关系得到的,那么第二个不等式我们能不能直接利用不等式的性质来推导呢? 证明过程: 要证 2 a b ab +≥ ① 只需证 ≥ ② (同时平方) 要证②只需证 ≥0 ③ (右边的项移到左侧) 要证③只需证 2(__________)0-≥ ④ 显然④成立.当且仅当a b =时,等号成立. a,b , 概念扩展: 回忆数列中的等差中项和等比中项的概念。若两个数a,b , 且00a ,b >>, 2 a b +是a,b 的 ，叫做a,b 的算术平均数， ab 是叫做a,b 的 ，叫做a,b 的几何平均数， 由基本不等式可得：a,b 的等差中项 a,b 的等比中项（,≥≤）， 特别的，当a b =时，a,b 的等差中项等于a,b 的等比中项。 应用一： （1）用篱笆围一个面积为1002m 的矩形菜园，问这个矩形的长和宽各是多少所用篱笆最短？ 设菜园的长为x ，宽为y ，则xy = ，篱笆的总长度表示为 ， 由 2 a b ab +≥ 可得x y +≥ ，当等号成立时，所用篱笆最短，此时___,___.x y == （2）一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长和宽各是多少面积最大？ 设菜园的长为x ，宽为y ，则x y += ，篱笆的面积表示为 ， 由 2 a b ab +≥可得xy ≤ ，当等号成立时，面积最大，此时_____,_____.x y == 总结：两个实数0,0,a b >> 若它们的积为定值，则它们的和有最 值，当且仅当a b =成立。 若它们的和为定值，则它们的和有最 值，当且仅当a b =成立。 应用二：某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为4800m 3,深为3m.如果池底每平方米的造价为 150元,池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少? 巩固练习 1 直角三角形的面积为50，两条直角边各为多少时，两直角边的和最小？最小值为多少？ 2 用20cm 长的历铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？ 3 把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？ 4 把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？ 自助提升： （1）设2 3 0<
