三角函数
第一教时
教材：角的概念的推广
目的：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
过程：一、提出课题：“三角函数”
回忆初中学过的“锐角三角函数”——它是利用直角三角形中两边的比值来定义的。相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用。
二、角的概念的推广
1．回忆：初中是任何定义角的？（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在
于“狭隘”
2．讲解：“旋转”形成角（P4）
突出“旋转”注意：“顶点”“始边”“终边”
“始边”往往合于x轴正半轴
3．“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。
∠可以简记成α
记法：角α或α
4．由于用“旋转”定义角之后，角的围大扩大了。
1?角有正负之分如：α=210?β=-150?γ=-660?
2?角可以任意大
实例：体操动作：旋转2周（360?×2=720?）3周（360?×3=1080?）3?还有零角一条射线，没有旋转
三、关于“象限角”
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角
角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）
例如：30?390?-330?是第Ⅰ象限角300?-60?是第Ⅳ象限角585?1180?是第Ⅲ象限角-2000?是第Ⅱ象限角等
四、关于终边相同的角
1．观察：390?，-330?角，它们的终边都与30?角的终边相同2．终边相同的角都可以表示成一个0?到360?的角与)
k∈个周角的和
(Z
k
390?=30?+360?)1
k
(=
-330?=30?-360?)1
k30?=30?+0×
(-
=
360?)0
k
(=
1470?=30?+4×360?)4
(=
k
-1770?=30?-5×360?)5
=
k
(-
3．所有与α终边相同的角连同α在可以构成一个集合
{}Z
=
=,
|
360
+
k
?
k
S∈
β
β
α
即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和4．例一（P5 略）
五、小结：1?角的概念的推广
用“旋转”定义角角的围的扩大
2?“象限角”与“终边相同的角”
第二教时
教材：弧度制
目的：要求学生掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的
集合与实数集R 一一对应关系的概念。
过程：一、回忆（复习）度量角的大小第一种单位制—角度制的定义。 二、提出课题：弧度制—另一种度量角的单位制 它的单位是rad 读作弧度
定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
如图：∠AOB=1rad
∠AOC=2rad
周角=2πrad
1． 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 2． 角α的弧度数的绝对值 r
l
=
α（l 为弧长，r 为半径） 3．
用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）
用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。 三、角度制与弧度制的换算
o r
C
2rad
1rad r l=2r o A
A
B
抓住：360?=2πrad ∴180?=π rad ∴ 1?=
rad rad 01745.0180
≈π
'185730.571801
=≈??? ??=πrad
例一 把'3067 化成弧度
解：
??
?
??=2167'3067 ∴ rad rad ππ832167180'3067=?=
例二 把rad π53
化成度
解： 1081805
3
53=?=rad π
注意几点：1．度数与弧度数的换算也可借助“计算器”《中学数学用表》进
行；
2．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad ”可以省
略 如：3表示3rad sin π表示πrad 角的正弦
3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住（见课本P9
表）
4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是
弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。
例三 用弧度制表示：1?终边在x 轴上的角的集合 2?终边在y 轴
上的角的集合 3?终边在坐标轴上的角的集合
解：1?终边在x 轴上的角的集合 {}Z k k S ∈==,|1πββ
2?终边在y 轴上的角的集合 ?
??
???∈+==Z k k S ,2|2ππββ
3?终边在坐标轴上的角的集合 ?
?????∈==Z k k S ,2|3πββ 第三教时
教材：弧度制（续）
目的：加深学生对弧度制的理解，逐步习惯在具体应用中运用弧度制解决具体的
问题。
过程：一、复习：弧度制的定义，它与角度制互化的方法。
口答《教学与测试》P101-102练习题 1—5 并注意紧
扣，巩固弧度制的概念，然后再讲P101例二
二、由公式：?=
r l α α?=r l 比相应的公式180
r
n l π=
简单 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 例一 （课本P10例三） 利用弧度制证明扇形面积公式lR S 2
1
=
其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径。
证： 如图：圆心角为1rad 的扇形面积为：221
R ππ
弧长为l 的扇形圆心角为
rad R
l
∴lR R R l S 2
1212=??=ππ 比较这与扇形面积公式 360
2R n S π=扇
要简单 例二 《教学与测试》P101例一 直径为20cm 的圆中，求下列各圆心所
对的弧长 ⑴
3
4π
⑵ 165 解： cm r 10= ⑴： )(3
401034cm r l ππα=?=?= ⑵：rad rad 12
11)(165180
165π
π
=
?=
∴)(6
55101211cm l π
π=?=
o
R S
l
例三 如图，已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形 的中心角是1弧度，求该扇形的面积。 解：设扇形的半径为r ，弧长为l ，则有
??
?==???
???==+22162l r r l l r ∴ 扇形的面积2)(221cm rl S == 例四 计算4sin π
5.1tan
解：∵
454
=π
∴ 2
245sin 4
sin
=
= π
'578595.855.130.571.5rad ==?=?
∴ 12.14'5785tan 5.1tan ==
例五 将下列各角化成0到π2的角加上)(2Z k k ∈π的形式
⑴
π319
⑵ 315- 解：ππ
π63
319+=
ππ
24
36045315-=
-=-
例六 求图中公路弯道处弧AB 的长l （精确到
图中长度单位为：m 解： ∵ 3
60π=
∴ )(471514.3453
m R l ≈?≈?=
?=π
α
三、练习：P11 6、7 《教学与测试》P102 练习6 四、作业： 课本 P11 -12 练习8、9、10
P12-13 习题4.2 5—14 《教学与测试》P102 7、8及思考题
第四教时
教材：任意角的三角函数（定义）
目的：要求学生掌握任意角的三角函数的定义，继而理解α角与β=2k π+α(k ∈Z)
的同名三角函数值相等的道理。 过程：一、提出课题：讲解定义：
1． 设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ） 则P 与原点的距离0222
2
>+=+=y x y
x r （图示见P13略）
2．比值
r y 叫做α的正弦 记作： r y =αsin 比值r x
叫做α的余弦 记作： r x =
αcos 比值x y
叫做α的正切 记作： x
y =
αtan 比值
y x 叫做α的余切 记作： y
x =αcot 比值
x r 叫做α的正割 记作： x r =αsec 比值
y r 叫做α的余割 记作： y
r
=αcsc 注意突出几个问题： ①角是“任意角”，当β=2k π+α(k ∈Z)时，β与α的
同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等。
②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。（下
面有例子说明）
③三角函数是以“比值”为函数值的函数
④0>r ，而x,y 的正负是随象限的变化而不同，故三角函数
的符号应由象限确定（今后将专题研究）
⑤定义域：
αααtan cos sin ===y y y )
(2
Z k k R R ∈+≠π
πα ααα
csc sec cot ===y y y
)
()(2
)
(Z k k Z k k Z k k ∈≠∈+
≠∈≠παπ
παπα
二、例一 已知α的终边经过点P(2,-3)，求α的六个三角函数值
解：13)3(2,3,222=-+=-==r y x
∴sin α=-
13133 cos α=13
13
2 tan α=-2
3 cot α=-32 sec α=213 csc α=-3
13 例二 求下列各角的六个三角函数值 ⑴ 0 ⑵ π ⑶
2
3π
⑷
2
π 解：⑴ ⑵ ⑶的解答见P16-17
⑷ 当α=
2
π
时 r y x ==,0 ∴sin 2π=1 cos 2π=0 tan 2π不存在 cot 2π
=0
sec 2π不存在 csc 2π
=1
例三 《教学与测试》P103 例一 求函数x
x
x
x y tan tan cos cos +
=
的值域 解： 定义域：cosx ≠0 ∴x 的终边不在x 轴上
又∵tanx ≠0 ∴x 的终边不在y 轴上
∴当x 是第Ⅰ象限角时，0,0>>y x cosx=|cosx| tanx=|tanx| ∴y=2