2.4.2抛物线的几何性质(1)
教学过程
一、问题情境
上节课,我们学习了抛物线的定义和标准方程,下面请同学回忆抛物线的定义及其标准方程,以及和方程对应的焦点坐标、准线方程.(板书时,有意识填在表格中)
在研究标准方程的同时得到抛物线的焦半径公式,即抛物线上的任意一点P(x,y)到焦点的距离.(对应填在表格中)
对照前面椭圆和双曲线的研究,下面我们研究什么呢?——抛物线的简单几何性质.(板书)
二、数学建构
1.抛物线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、准线)
标准方
程图形
顶点
坐标
对称
轴
焦点
坐标
准线
方程
y2=2px
(p>0)
(0,0) x轴x=-
y2=-2px
(p>0)
(0,0) x轴x=
x2=2py
(p>0)
(0,0) y轴y=-
x2=-2py
(p>0)
(0,0) y轴y=
注意强调p的几何意义:表示焦点到准线的距离.
经过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且垂直于x轴的直线和抛物线交于M1,M2两
点,线段M1M2叫做抛物线的通径.不难求得抛物线的通径长为2p.
2.与椭圆、双曲线的几何性质比较,抛物线的几何性质有下列特点:
(1)抛物线可以无限延伸,但无渐近线.
(2)抛物线只有一个顶点、一条对称轴;没有对称中心,它不是中心对称图形;离心率为1,
是固定的.
(3)抛物线的开口大小与离心率无关,与p的大小有关,p越大则开口越大,反之则开口越小.
(4)抛物线的焦点与准线分别在顶点的两侧,且它们到顶点的距离相等,均为.
三、数学运用
【例1】过抛物线y2=2mx的焦点F作x轴的垂线交该抛物线于A,B两点,且AB=6,求
m的值.(见学生用书P33) 引导学生通过通径的定义自主解题.
解由题意可知AB为抛物线的通径,且AB=6,
所以2|m|=6,即m=±3.
本例由抛物线的几何性质来求参数的值,其中涉及抛物线的通径,属基础题.
【例2】过抛物线y=4x2的焦点F作直线l交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若y1+y2=5,
求AB的长.(见学生用书P33) 利用抛物线的定义将过焦点的弦进行转化,从而使问题得以解决.
解因为y=4x2,即x2=y,故2p=,即p=.
(例2)
如图,过点A作AA1垂直准线于点A1,过点B作BB1垂直准线于点B1.
于是AB=AF+BF=AA1+BB1=y1++y2+=y1+y2+p=5+=.
凡是求过抛物线焦点的弦的问题,均可利用抛物线的定义进行转化.
【例3】(教材第52页例2)汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线是抛物线,灯口直径为
197 mm,反光曲面的顶点到灯口的距离为69 mm.由抛物线的性质可知,当灯泡安装在抛物线
的焦点处时,经反光曲面反射后的光线是平行光线.为了获得平行光线,应怎样安装灯泡?(结果
精确到1 mm)(见学生用书P34)
引导学生自行读题,分析题设条件,建立适当的坐标系,独立完成问题,旨在培养学生的阅读理解能力和仔细审题的意识.
(例3)
解如图,在车灯的一个轴截面上建立直角坐标系xOy,设抛物线的方程为y2=2px(p>0),灯应安装在其焦点F处.在x轴上取一点C,使OC=69,过C作x轴的垂线,交抛物线于A,B两点,AB就是灯口的直径,即AB=197,所以点A的坐标为.将点A的坐标代入方程y2=2px,解得p≈70.3,它的焦点坐标为(35,0).因此,灯泡应安装在距顶点约35 mm处.
本例是一个有实际意义的抛物线应用问题.解此类问题时,需解决两个问题:(1) 建立适当的坐标系;(2) 将实际问题中的条件借助坐标系用数学语言表示出来.
【例4】已知A,B为抛物线y2=4x上的点,F为抛物线的焦点.若=2,求直线AB的方程.显然,线段AB为过焦点的弦,运用抛物线的定义将AB转化为AM+BN,再根据题设条件求解直角梯形的底角.
解当直线AB的倾斜角为锐角时,设抛物线的准线为l.
因为向量,同向,所以AF=2BF,所以设BF=m,则AF=2m.
作AM⊥l于M,作BN⊥l于N.
(例4)
由抛物线的定义可知,AM=2m,BN=m.
过点B作BC⊥AM于C,在Rt△ABC中,cos∠CAB==,tan∠CAB=2.
由抛物线对称性可知,直线AB的方程是y=±2(x-1),
即2x±y-2=0.
本题借助于抛物线的定义将过焦点的弦长等问题转化到直角梯形中予以解决.抛物线的定义揭示了抛物线上动点到焦点的距离与其到准线距离之间的数量关系.灵活运用定义,往往
可以简化运算.特别是在解决有关焦点弦问题时,其思路简洁、明了,值得关注.
四、课堂练习
1.已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为坐标轴,焦点在直线3x-4y-12=0上,则此抛物线的方程为y2=16x或x2=-12y.
提示若焦点在x轴上,则由解得即焦点坐标为(4,0),此时抛物线的方程为y2=16x;若焦点在y轴上,则由解得即焦点坐标为(0,-3),此时抛物线的方程为x2=-12y.综上,所求抛物线的方程为y2=16x或x2=-12y.
2.已知抛物线型拱桥的拱顶离水面2 m,水面宽4 m.当水面宽4m时,水面下降了2 m.
提示以拱顶为坐标原点,水平直线为x轴,建立直角坐标系.设抛物线的方程为
x2=-2py(p>0),则点(2,-2)在抛物线上,解得p=1,故抛物线的方程为x2=-2y.当x=2时,y=-4,故水面下降了2 m.
3.有一个正三角形的两个顶点在抛物线y2=2x上,另一个顶点是坐标原点,则这个三角形的边长是12.
提示由对称性,设正三角形为△AOB,A(x1,y1),B(x1,-y1).由∠AOx=30°,得=tan30°=,即y1=x1,代入y2=2x得x1=6,所以OA==12.
4.已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在y轴上,抛物线上的点P(-3,m)到焦点的距离为5,求此抛物线的方程.
解设抛物线的方程为x2=2ay(a≠0),
则准线方程为y=-.
由题意得
解得或或
或
即得抛物线的方程为x2=2y,x2=-2y,x2=18y,x2=-18y.
五、课堂小结
1.本节课学习了抛物线的几何性质.
2.借助于抛物线的定义,将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离,从而解决焦点弦等问题.