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初中数学竞赛辅导讲义（初三）
第一讲 分式的运算
[知识点击]
1、 分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。
2、 综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。
3、 分式运算：实质就是分式的通分与约分。
[例题选讲]
例1．化简
2312++x x + 6512++x x + 12
712++x x 解：原式= )2)(1(1++x x + )3)(2(1++x x + )
4)(3(1++x x = 11+x - 21+x + 21+x - 31+x + 31+x - 4
1+x =)
4)(1(3++x x 例2． 已知 z z y x -+ = y z y x +- = x z y x ++- ，且xyz ≠0，求分式xyz x z z y y x ))()((+-+的值。
2 / 75 解：易知：z y x + = y z x + = x z y + =ｋ则??
???=+=+=+)3()2()1(kx z y ky z x kz y x （1）+（2）+（3）得：(ｋ-2)(x+y+z)=0 ｋ=2 或 x+y+z=0 若ｋ=2则原式= k 3 = 8若 ｘ+ｙ+ｚ=0，则原式=k 3 =-1
例3．设1
2+-mx x x =1，求 12242+-x m x x 的值。 解：显然X 0≠，由已知x mx x 12+- =1 ，则 x +x 1 = ｍ + 1∴22241x x m x +- = ｘ2 +21x - ｍ2= (x +x
1)2-2 –ｍ2 =(ｍ +1)2-2- ｍ2= 2ｍ -1∴原式=1
21-m 例4．已知多项式3x 3 +ax 2 +3x +1 能被x 2
+1整除，求ａ的值。 解：
3 / 75 13313232+++++x ax x X a
x
1- ａ=0 ∴ａ=1
例5：设ｎ为正整数，求证
311? + 511? + …… +)12)(12(1+-n n ＜ 2
1 证：左边=21（1 - 31 + 31 - 51 + …… + 121-n - 1
21+n ） =
21（1- 1
21+n ） a
a
ax ax x
O x -++++11
33223
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5 ∵n 为正整数，∴1
21+n ＜ 1 ∴1- 121+n ＜ 1 故左边＜ 2
1 [小结归纳]
1、部分分式的通用公式：)(1k x x + = k 1 （x 1 - k
x +1） 2、参数法是解决比例问题特别是连比问题时非常有效的方法，其优点在于设连比值为K ，将连等式化为若干个等式，把各字母用同一字母的解析式表示，从而给解题带来方便。
3、整体代换及倒数法是分式的的求值中常用的方法， 应熟练掌握。