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第一讲集合的概念与运算技巧

【命题趋向】

1．高考试题通过选择题和填空题，以及大题的解集，全面考查集合与简易逻辑的知识，题型新，分值稳定．一般占5---10分．

2．简易逻辑一部分的内容在近两年的高考试题有所出现，应引起注意．【考点透视】

1．理解集合、子集、补集、交集、并集的概念. 2．了解空集和全集的意义.

3．了解属于、包含、相等关系的意义.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． 4．解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x |x ∈P },要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质P ；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题.

5．注意空集?的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A ?B ,则有A =?或A ≠?两种可能，此时应分类讨论. 【例题解析】

题型1．正确理解和运用集合概念

理解集合的概念,正确应用集合的性质是解此类题目的关键.

例1.已知集合M={y|y=x 2

＋1,x∈R},N={y|y=x＋1,x∈R}，则M∩N=（）

A ．（0，1），（1，2）

B ．{（0，1），（1，2）}

C ．{y|y=1,或y=2}

D ．{y|y≥1}

思路启迪：集合M 、N 是用描述法表示的，元素是实数y 而不是实数对(x,y)，因此M 、N 分别表示函数y=x 2

＋1(x∈R)，y=x ＋1(x∈R)的值域，求M∩N 即求两函数值域的交集．解：M={y|y=x 2

＋1,x ∈R}={y|y ≥1}， N={y|y=x ＋1,x ∈R}={y|y ∈R}．

∴M∩N={y|y≥1}∩{y|y∈R}={y|y≥1},∴应选D ．

点评：①本题求M∩N，经常发生解方程组21,1.y x y x ?=+?

=+?0,1,x y =??=?得 1,2.

x y =??=?或从而选B 的错误，这是由于在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M 、N 的元素是数而不是点，因此M 、N 是数集而不是点集．②集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x 2

＋1}、{y|y=x 2

＋1,x∈R}、{(x,y)|y=x 2

＋1,x∈R}，这三个集合是不同的．

例2.若P={y|y=x 2

,x∈R}，Q={y|y=x 2

＋1,x∈R}，则P∩Q 等于（） A ．P B ．Q C ． D ．不知道

思路启迪：类似上题知P 集合是y=x 2（x∈R）的值域集合，同样Q 集合是y= x 2

＋1（x∈R）的值域集合，这样P∩Q 意义就明确了．

解：事实上，P 、Q 中的代表元素都是y ，它们分别表示函数y=x 2

,y= x 2

＋1的值域，由P={y|y ≥0},Q={y|y

≥1}，知Q P ，即P ∩Q=Q ．∴应选B ．

例3. 若P={y|y=x 2

,x∈R}，Q={(x ，y)|y=x 2

,x∈R}，则必有（） A ．P∩Q=? B ．P

Q C ．P=Q D ．P

思路启迪：有的同学一接触此题马上得到结论P=Q ，这是由于他们仅仅看到两集合中的y=x 2

,x ∈R 相同，而没有注意到构成两个集合的元素是不同的，P 集合是函数值域集合，Q 集合是y=x 2

,x ∈R 上的点的集合，

代表元素根本不是同一类事物．

解：正确解法应为： P 表示函数y=x 2

的值域，Q 表示抛物线y=x 2

上的点组成的点集，因此P ∩Q=?．∴应

选A ．

例4（2007年安徽卷文）若}032|{}1|{22=--===x x x B x x A ，，则B A ?= （）

A ．{3}

B ．{1}

C ．?

D ．{－1}

思路启迪：{}{|1,1}{|1,3},1.A x x x B x x x A B ==-===-=∴?=- ，解：应选D ．

点评：解此类题应先确定已知集合．题型2．集合元素的互异性

集合元素的互异性，是集合的重要属性，教学实践告诉我们，集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略，从而导致解题的失败，下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的认识．

例5. 若A={2，4, a 3

－2a 2

－a ＋7},B={1, a ＋1, a 2

－2a ＋2,－12

(a 2

－3a －8), a 3

＋a 2

＋3a ＋7}，且

A ∩B={2，5}，则实数a 的值是________．

解答启迪：∵A ∩B={2，5}，∴a 3

－2a 2

－a ＋7=5,由此求得a =2或a =±1． A={2,4,5}，集合B 中的元素

是什么，它是否满足元素的互异性，有待于进一步考查．

当a =1时，a 2

－2a ＋2=1，与元素的互异性相违背，故应舍去a =1．当a =－1时，B={1,0,5,2,4}，与A∩B={2，5}相矛盾，故又舍去a =－1．当a =2时，A={2，4，5},B={1,3,2,5,25}，此时A∩B={2，5}，满足题设．故a =2为所求．

例6. 已知集合A={a ,a ＋b, a ＋2b}，B={a ,a c, a c 2

}．若A=B ，则c 的值是______．思路启迪：要解决c 的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．

解：分两种情况进行讨论．

（1）若a＋b=a c且a＋2b=a c2，消去b得：a＋a c2－2a c=0，

a=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0．

∴c2－2c＋1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解．

（2）若a＋b=a c2且a＋2b=a c，消去b得：2a c2－a c－a=0，

∵a≠0，∴2c2－c－1=0，即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故c=－1

．

点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验和修正．

例7.已知集合A={x|x2－3x＋2=0},B={x|x2－a x＋a－1=0}，且A∪B=A，则a的值为______．

思路启迪：由A∪B=A B A

??而推出B有四种可能，进而求出a的值．

解：∵ A∪B=A，,

∴?

B A

∵ A={1，2}，∴ B=?或B={1}或B={2}或B={1，2}．

若B=?，则令△<0得a∈?；

若B={1}，则令△=0得a=2，此时1是方程的根；

若B={2}，则令△=0得a=2，此时2不是方程的根，∴a∈?；

若B={1，2}则令△>0得a∈R且a≠2，把x=1代入方程得a∈R，把x=2代入方程得a=3．

综上a的值为2或3．

点评：本题不能直接写出B={1，a－1}，因为a－1可能等于1，与集合元素的互异性矛盾，另外还要考虑到集合B有可能是空集，还有可能是单元素集的情况．

题型3．要注意掌握好证明、判断两集合关系的方法

集合与集合之间的关系问题，是我们解答数学问题过程中经常遇到，并且必须解决的问题，因此应予以重视．反映集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来定义的．因此，在证明（判断）两集合的关系时，应回到元素与集合的关系中去．

例8.设集合A={a|a=3n＋2,n∈Z}，集合B={b|b=3k－1,k∈Z}，则集合A、B的关系是________．

解：任设a∈A，则a=3n＋2=3(n＋1)－1(n∈Z)，

∴ n∈Z,∴n＋1∈Z.∴ a∈B,故A B

?．①

又任设b∈B，则 b=3k－1=3(k－1)＋2(k∈Z),

∵ k∈Z,∴k－1∈Z.∴ b∈A，故B A

?②

由①、②知A=B．

点评：这里说明a∈B或b∈A的过程中，关键是先要变（或凑）出形式，然后再推理．

例9（2006年江苏卷）若A、B、C为三个集合，C

?，则一定有（）

A . C A ?

B .A

C ? C .C A ≠

D . A =? [考查目的]本题主要考查集合间关系的运算.

解：由A B B C = 知，,A B B A B C A B C ??∴?? ，故选A.

（2007年福建卷文）已知全集{}12345U =，，，，，且{}234A =，，，{}12B =，，则B C A U ?等于（ C ）

A ．{2}

B ．{5}

C ．{3，4}

D ．{2，3，4，5}

例10．（2006年辽宁卷）设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B ?=的集合B 的个数是（）

A . 1

B .3

C .4

D . 8

[考查目的] 本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题，同时考查了等价转化思想.

解：{1,2}A =，{1,2,3}A B ?=，则集合B 中必含有元素3，即此题可转化为求集合{1,2}A =的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B 共有224=个.故选C. 例11．（2007年北京卷文）

记关于x 的不等式01

x a x -<+的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q ．

（I ）若3a =，求P ；

（II ）若Q P ?，求正数a 的取值范围．思路启迪：先解不等式求得集合P 和Q ．解：（I ）由301

x x -<+，得{}13P x x =-<<．

（II ）{}{}1102Q x x x x =-=≤≤≤．

由0a >，得{}1P x x a =-<<，又Q P ?，所以0a >，即a 的取值范围是(2)+∞，．

题型4. 要注意空集的特殊性和特殊作用

空集是一个特殊的重要集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．显然，空集与任何集合的交集为空集，与任何集合的并集仍等于这个集合．当题设中隐含有空集参与的集合关系时，其特殊性很容易被忽视的，从而引发解题失误．

例12. 已知A={x|x 2

－3x ＋2=0},B={x|a x －2=0}且A∪B=A，则实数a 组成的集合C 是________．解：由x 2

－3x ＋2=0得x=1或2．当x=1时，a =2，当x=2时，a =1．

这个结果是不完整的，上述解答只注意了B 为非空集合，实际上，B=?时，仍满足A∪B=A，当a =0时，B=?，符合题设，应补上，故正确答案为C={0，1，2}．

例13．（2007年北京卷理）已知集合{}|1A x x a =-≤，{}

2540B x x x =-+≥．若A B =? ，则实数a 的取

值范围是．

思路启迪：先确定已知集合A 和B ．

解：{}{}|111,A x x a x a x a =-=-≤≤≤+{}

{}25404,1.B x x x x x x =-+=≤≥≥ 14,1 1.2 3.a a x ∴+<->∴<<故实数a 的取值范围是(23)，

．例14. 已知集合A={x|x 2

＋(m ＋2)x ＋1=0,x∈R}，若A∩R *=?，则实数m 的取值范围是_________．思路启迪：从方程观点看，集合A 是关于x 的实系数一元二次方程x 2

＋(m ＋2)x ＋1=0的解集，而x=0不是方程的解，所以由A∩R *=?可知该方程只有两个负根或无实数根，从而分别由判别式转化为关于m 的不等式，并解出m 的范围．

解：由A∩R *=?又方程x 2

＋(m ＋2)x ＋1=0无零根，所以该方程只有两个负根或无实数根，

()()2

240,20,

m m ??=+-≥??-+－4．点评：此题容易发生的错误是由A∩R *=?只片面地推出方程只有两个负根（因为两根之积为1，因为方程无零根），而把A=?漏掉，因此要全面准确理解和识别集合语言．例15.已知集合A={x|x 2

－3x －10≤0}，集合B={x|p ＋1≤x ≤2p －1}．若B

A ，则实数p 的取值范

围是________．

解：由x 2

－3x －10≤0得－2≤x≤5．欲使B

A ，只须213 3.215

p p p -≤+??-≤≤?

-≤?∴ p 的取值范围是－3≤p≤3．上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论，即B=?时，符合题设．应有：①当B≠?时，即p ＋1≤2p－1p≥2．

由B

A 得：－2≤p＋1且2p －1≤5．由－3≤p≤3．∴ 2≤p≤3.

②当B=?时，即p ＋1>2p －1p ＜2．

由①、②得：p≤3．

点评：从以上解答应看到：解决有关A ∩B=?、A ∪B=?，A B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，

这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．题型5．要注意利用数形结合解集合问题

集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解．

例16.设全集U={x|0

}，若A∩B={3}，A∩C U B={1，5，7}，C U A∩C U B={9}，则集合A 、B 是________．

思路启迪：本题用推理的方法求解不如先画出文氏图，用填图的方法来得简捷，由图不难看出．

解：A={1，3，5，7}，B={2，3，4，6，8}．

例17.集合A={x|x2＋5x－6≤0},B={x|x2＋3x>0}，求A∪B和A∩B．

解：∵ A={x|x2－5x－6≤0}={x|－6≤x≤1}，

B={x|x2＋3x>0}={x|x<－3，或x>0}．如图所示，

∴ A∪B={x|－6≤x≤1}∪{x|x<－3，或x>0}=R．

A∩B={x|－6≤x≤1}∩{x|x<－3，或x>0}={x|－6≤x＜－3，或0

点评：本题采用数轴表示法，根据数轴表示的范围，可直观、准确的写出问题的结果．

例18.设A={x|－21}，B={x|x2＋a x＋b≤0}，已知A∪B={x|x>－2}，A∩B={x|1

求a、b的值．

思路启迪：可在数轴上画出图形，利用图形分析解答．

解：如图所示，设想集合B所表示的范围在数轴上移动，

显然当且仅当B覆盖住集合{x|－1－2}，且A∩B={x|1

根据二次不等式与二次方程的关系，可知－1与3是方程x2＋a x＋b=0的两根，

∴ a=－(－1＋3)=－2， b=(－1)×3=－3．

点评：类似本题多个集合问题，借助于数轴上的区间图形表示进行处理，采用数形结合的方法，会得到直观、明了的解题效果．

【专题训练与高考预测】

一.选择题:

1．设M={x|x2+x+2=0}，a=lg(lg10)，则{a}与M的关系是（）

A、{a}=M

B、M≠?{a}

C、{a}≠?M

D、M?{a}

2．已知全集U=R，A={x|x-a|<2}，B={x|x-1|≥3}，且A∩B=?，则a的取值范围是（）

A、[0，2]

B、（-2，2）

C、（0，2]

D、（0，2）

3．已知集合M={x|x=a2-3a+2，a∈R}，N={x|x=b2-b，b∈R}，则M，N的关系是（）

A、M≠?N

B、M≠?N

C、M=N

D、不确定

4．设集合A={x|x∈Z且-10≤x≤-1}，B={x|x∈Z，且|x|≤5}，则A∪B中的元素个数是（）

A 、11

B 、10

C 、16

D 、15 5．集合M={1，2，3，4，5}的子集是（）

A 、15

B 、16

C 、31

D 、32 6 集合M ={x |x =42π+kx ,k ∈Z },N ={x |x =42

k ππ+,k ∈Z },则( )

A M =N

B M N

C M N

D M ∩N =?

7. 已知集合A={x|x 2

－4mx ＋2m ＋6=0,x∈R}，若A∩R －

≠?，求实数m 的取值范围．

8．命题甲：方程x 2＋mx ＋1=0有两个相异负根；命题乙：方程4x 2

＋4(m －2)x ＋1=0无实根，这两个命题有且只有一个成立，求m 的取值范围．

9 已知集合A ={x |－2≤x ≤7},B ={x |m +1

A －3≤m ≤4

B －3

C 2

D 2

10．集合M={}220,x x x a x R +-=∈，且M ??≠.则实数a 的取值范围是( )

A. a ≤-1

B. a ≤1

C. a ≥-1

D.a ≥1

11．满足｛a ，b ｝U M=｛a ，b ，c ，d ｝的所有集合M 的个数是（） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 12．若命题P ：x ∈A B ，

?P 是（）

A. x ?A B

B. x ?A 或x ?B

C. x ?A 且x ?B

D. x ∈A B

13．已知集合M=｛2

a ,a ｝.P=｛-a ,2a -1｝；若card(M P)=3，则M P= ( ) A.｛-1｝ B.｛1｝ C.｛0｝ D.｛3｝

14．设集合P=｛3,4,5｝.Q=｛4,5,6,7｝.令P*Q=(){},,a b a p b Q ∈∈，则P*Q 中元素的个数是 ( ) A. 3 B. 7 C. 10 D. 12 二．填空题：

15．已知M={Z 2

4m |m ∈-}，N={x|}N 2

3x ∈+，则M ∩N=__________.

16．非空集合p 满足下列两个条件：（1）p ≠?{1，2，3，4，5}，（2）若元素a ∈p ，则6-a ∈p ，则集合p 个数是__________.

17．设A=｛1，2｝，B=｛x ｜x ?A ｝若用列举法表示，则集合B 是 .

18．含有三个实数的集合可表示为{}2,,1,,0b a a a b a ??=+????

，则20072008a b

+= ．三．解答题：

19．设集合A={(x ，y)|y=a x+1}，B={(x ，y)|y=|x|}，若A ∩B 是单元素集合，求a 取值范围.

20.设A={x|x 2

+px+q=0}≠?，M={1，3，5，7，9}，N={1，4，7，10}，若A ∩M=?，A ∩N=A ，求p 、q 的值. 21．已知集合M={y|y=x 2

+1，x ∈R}，N={y|y=x+1，x ∈R}，求M ∩N ．

22．已知集合A={x|x 2-3x+2=0}，B={x|x 2

-mx+2=0}，且A ∩B=B ，求实数m 范围． 23．已知全集U =R ，且{}{}

22120,450A x x x B x x x =--≤=-->，求()()U U C A C B . 24．已知集合{}{}

22230,0A x x x B x x ax b =-->=++≤,

且{},34A B R A B x x =<≤ ，{},34A B R A B x x ==<≤ ，求a ,b 的值.

【参考答案】

1． C 2. A 3. C 4. C 5. D

6. C 解析对M 将k 分成两类 k =2n 或k =2n +1(n ∈Z ), M ={x |x =n π+4π,n ∈Z }∪{x |x =n π+4

3π,n ∈Z },

对N 将k 分成四类，k =4n 或k =4n +1,k =4n +2,k =4n +3(n ∈Z ),

N ={x |x =n π+2π,n ∈Z }∪{x |x =n π+4

3π,n ∈Z }∪{x |x =n π+π,n ∈Z }∪{x |x =n π+4

5π,n ∈Z }

7．解：设全集U ={m|△=(－4m)2

－4(2m ＋6)≥0}={m|m≤－1或m≥32

}．

若方程x 2

－4mx ＋2m ＋6=0的二根为x 1、x 2均非负，

1212

340,226

m U x x m m x x m ∈?

+=≥?≥??=+?则

因此，{m|m≥32

}关于U 补集{m|m≤－1}即为所求． 8．解：使命题甲成立的条件是：

2112

40,

2.0m m x x m ??=->?>?

+=-2}．使命题乙成立的条件是：△2=16(m －2)2

－16<0，∴1＜m ＜3．∴ 集合B={m|1

若为（1），则有：A∩C R B={m|m>2}∩{m|m≤1或m≥3}={m|m≥3}；若为（2），则有：B∩C R A={m|1

∴??

??-<+≤--≥+1217122

1m m m m ，即

2＜m ≤4

10.C 11.D 12.B 13.D 14.B 二.填空题:

15. ?； 16. 7 ； 17. {,{1},{2},{1,2}}?； 18.-1. 三.解答题:

19. a ≥1或a ≤-1，提示：画图.

20．8,16,

p q =-??=?或20,10,

p q =-??

=?或14,40.

p q =-??

=? 21．解：在集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的特征．M 、N 均为数集，不能误认为是点集，从而解方程组。其次要化简集合，或者说使集合的特征明朗化．M={y|y=x 2

+1，x ∈R}={y|y ≥1}，N={y|y=x+1，x ∈R}={y|y ∈R}．∴ M ∩N=M={y|y ≥1}． 22．解：化简条件得A={1，2}，A ∩B=B ?B ?A ．

根据集合中元素个数集合B 分类讨论，B=?，B={1}或{2}，B={1，2}．当B=?时，△=m 2

-8<0．∴ 22m 22

<<-．

当B={1}或{2}时，??

?=+-=+-=?0

2m 2402m 10或，m 无解．

当B={1，2}时，12,12 2.

m +=??

?=?∴ m=3．综上所述，m=3或22m 22<<-．

{}{}{}{}{}:34,1,

34,15,()()45.

U U U U A x x B x x C A x x x C B x x C A C B x x =-≤≤=<-∴=<->=-≤≤∴=<≤ 23.解或>5或

24. 解：{}13A x x x =<>或， ∵A B R = . ∴{}13x x -≤≤中元素必是B 的元素. 又∵{}34A B x x =<≤ , ∴{}34x x <≤中的元素属于B, 故{}{}133414B x x x x x =-≤≤<≤=-≤≤或.

而{}

20B x x ax b =++≤. ∴-1,4是方程20x ax b ++=的两根， ∴a=-3,b=-4.

高三一轮复习1.1集合的概念与运算教案

§集合的概念与运算【2014高考会这样考】 1.考查集合中元素的互异性，以集合中含参数的元素为背景，探求参数的值；2.求几个集合的交、并、补集；3.通过集合中的新定义问题考查创新能力．【复习备考要这样做】 1.注意分类讨论，重视空集的特殊性；2.会利用Venn图、数轴等工具对集合进行运算；3.重视对集合中新定义问题的理解． 1．集合与元素 (1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或?表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 2.

(1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A?B(或B?A)． (2)真子集：若A?B，且A≠B，则A?B(或B?A)． (3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即??A，??B(B≠?)． (4)若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有2n－1个． (5)集合相等：若A?B，且B?A，则A＝B. 3．集合的运算 4. 并集的性质：A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A. 交集的性质：A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B. 补集的性质：A∪(?U A)＝U；A∩(?U A)＝?；?U(?U A)＝A. [难点正本疑点清源] 1．正确理解集合的概念正确理解集合的有关概念，特别是集合中元素的三个特征，尤其是“确定性和互异性”在解题中要注意运用．在解决含参数问题时，要注意检验，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误． 2．注意空集的特殊性空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A?B，则需考虑A＝?和A≠?两种可能的情况． 3．正确区分?，{0}，{?} ?是不含任何元素的集合，即空集．{0}是含有一个元素0的集合，它不是空集，因为它有一个元素，这个元素是0.{?}是含有一个元素?的集合．??{0}，??{?}，?∈{?}，{0}∩{?}＝?.

集合的概念与运算例题及答案

1 集合的概念与运算（一）目标： 1.理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题 2.理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性质， 3.能利用数轴或文氏图进行集合的运算,掌握集合问题的常规处理方法．重点： 1.集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、集合思想的运用; 2.交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用．基本知识点：知识点1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素知识点2、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{}Λ,2,1,0=N （2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N * 或N + {}Λ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合记作Z , {}Λ，，，210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {} 整数与分数=Q （5）实数集：全体实数的集合记作R {} 数数轴上所有点所对应的=R 注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0 （2）非负整数集内排除0的集记作N * 或N + Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z * 知识点3、元素与集合关系（隶属）（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A （2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ? 注意：“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写知识点4、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）

集合的概念与运算教学讲义

集合的概念与运算教学讲义 1．集合与元素一组对象的全体构成一个集合． (1)集合中元素的三大特征：确定性、互异性、无序性． (2)集合中元素与集合的关系：对于元素a与集合A，__a∈A__或__a?A__，二者必居其一． (3)常见集合的符号表示. 数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*Z Q R (4)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图法、区间表示法． (5)集合的分类：集合按元素个数的多少分为有限集、无限集，有限集常用列举法表示，无限集常用描述法表示． 2．集合之间的基本关系关系定义表示相等集合A与集合B中的所有元素都__相同__A__＝__B 子集A中的任意一个元素都是__B中的元素__A__?__B 真子集A是B的子集，且B中至少有一个元素__不属于A__A____B 注意：(1)空集用__?__表示． (2)若集合A中含有n个元素，则其子集个数为__2n__，真子集个数为__2n－1__，非空真子集的个数为__2n－2__. (3)空集是任何集合的子集，是任何__非空集合__的真子集． (4)若A?B，B?C，则A__?__C． 3．集合的基本运算符号交集A∩B并集A∪B补集?U A 语言图形语言意义A∩B＝{x|x∈A且x∈A∪B＝{x|x∈A或x∈?U A＝{x|x∈U且x?A}

B}B} 1．A∩A＝A，A∩?＝?. 2．A∪A＝A，A∪?＝A． 3．A∩(?U A)＝?，A∪(?U A)＝U，?U(?U A)＝A． 4．A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??U A??U B?A∩(?U B)＝?. 1．已知集合A＝{x∈N|0≤x≤4}，则下列表述正确的是(D) A．0?A B．1?A C．2?A D．3∈A [解析]集合A＝{x∈N|0≤x≤4}，所以0∈A,1∈A，2?A,3∈A． 2．若A＝{x|x＝4k－1，k∈Z}，B＝{x＝2k－1，k∈Z}，则集合A与B的关系是(B) A．A＝B B．A B C．A B D．A?B [解析]因为集合B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，A＝{x|x＝4k－1，k∈Z}＝{x|x＝2(2k)－1，k∈Z}，集合B表示2与整数的积减1的集合，集合A表示2与偶数的积减1的集合，所以A B，故选B． 3．设集合M＝{2,4,6,8}，N＝{1,2,3,5,6,7}，则M∩N的子集的个数为(B) A．2B．4 C．7D．128 [解析]∵M＝{2,4,6,8}，N＝{1,2,3,5,6,7}，∴M∩N＝{2,6}，即M∩N中元素的个数为2，子集22＝4个，故选B． 4．已知集合A＝{x|x>0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B＝(A) A．{x|x≥－1}B．{x|x≤2} C．{x|0

集合的概念与运算练习题

集合的概念与运算训练一、选择题 1．（07浙江）设全集U ={1，3，5，6，8}，A ={1，6}，B ={5，6，8}，则(C U A )∩B =( ) A ．｛6｝ B ．{5，8} C ．{6，8} D ．{3，5，6，8} 2．（09山东）集合{0,2,}A a =,2{1,}B a =,若{0,1,2,4,16}A B = ,则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 3．（10湖北）设集合M ={1,2,4,8}，N ={x |x 是2的倍数}，则M ∩N =( ) A ．{2,4} B ．{1,2,4} C ．{2,4,8} D ．{1,2,8} 4．（08安徽）若A 为全体正实数的集合，{2,1,1,2}B =--则下列结论中正确的是（） A ．{2,1}A B =-- B ．()(,0)R C A B =-∞ C ．(0,)A B =+∞ D ．(){2,1}R C A B =-- 5．（06陕西）已知集合P ={x ∈N |1≤x ≤10},集合Q ={x ∈R |x 2+x -6=0}, 则P ∩Q 等于( ) A ． {2} B ．{1,2} C ．{2,3} D ．{1,2,3} 6．（07安徽）若22 {|1},{|230}A x x B x x x ===--=，则A B ＝( ) A ．{3} B ．{1} C ．? D ．{1}- 7．（08辽宁）已知集合{31}M x x =-<<，{3}N x x =≤-，则M N = （） A ．? B ．{3}x x ≥- C ．{1}x x ≥ D ．{1}x x < 8．（06全国Ⅱ）已知集合2{|3},{|log 1}M x x N x x =<=>，则M N = ( ) A ．? B ．{|03}x x << C ．{|13}x x << D ．{|23}x x << 9．（09陕西）设不等式20x x -≤的解集为M ，函数()ln(1||)f x x =-的定义域为N ，则M N 为（） A ．[0，1） B ．（0，1） C ．[0，1] D ．（-1，0] 10．（07山东）已知集合11{11}| 242x M N x x +??=-=<<∈????Z ，，，，则M N = （） A ．{11}-， B ．{0} C ．{1}- D ．{10}-， 11．（11江西）已知集合{}? ?????≤-=≤+≤-=02,3121x x x B x x A ，则B A 等于（） A ．{10}x x -≤< B ．{01}x x <≤ C ．{02}x x ≤≤ D ．{01}x x ≤≤ 12．（07广东）已知集合1{10{0}1M x x N x x =+>=>-，，则M N = （） A ．{11}x x -<≤ B ．{1}x x > C ．{11}x x -<< D ．{1}x x -≥ 13．（08广东）届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（） A. A B ? B. B C ? C. B ∪C = A D. A∩B = C 14．（09广东）已知全集U =R ，则正确表示集合M = {-1，0，1}和N = {x |x 2+x =0}关系的韦恩（Venn ）图是（） A ． B ． C ． D ．

第一章 1.1集合的概念与运算

§1.1集合的概念与运算

1．集合与元素 (1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系有属于或不属于两种，用符号∈或?表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 A B(或 B A) 3. (1)若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为2n个，非空子集个数为2n－1个，真子集有2n－1个． (2)A?B?A∩B＝A?A∪B＝B.

【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(×) (2)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.(×) (3)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)?(A∪B)恒成立．(√) (4)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(×) (5)已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{2,3}，则M∩N＝N.(√) (6)若全集U＝{－1,0,1,2}，P＝{x∈Z|x2<4}，则?U P＝{2}．(√) 1．(2014·课标全国Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x<2}，则A∩B等于() A．[－2，－1]B．[－1,2) C．[－1,1]D．[1,2) 答案 A 解析∵A＝{x|x≥3或x≤－1}，B＝{x|－2≤x<2}， ∴A∩B＝{x|－2≤x≤－1}＝[－2，－1]，故选A. 2．(2014·四川)已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B等于() A．{－1,0,1,2} B．{－2，－1,0,1} C．{0,1} D．{－1,0} 答案 A 解析因为A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，又因为集合B为整数集，所以集合A∩B ＝{－1,0,1,2}，故选A. 3．(2013·山东)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是() A．1 B．3 C．5 D．9 答案 C

集合的概念及其运算

第一节集合一．考试要求：理解集合，子集，补集，交集，并集的概念，了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，掌握有关的术语和符号，并用它们正确表示一些简单的集合。二．基本概念和性质 1．集合的基本概念：某些指定的对象集在一起成为一个集合。其中每一个对象叫做集合的_______,集合中的元素具有________、_________、________三个特性。 2．集合的三种表示方法：_________、________、_________，它们各有优点，用什么方法来表示集合要具体问题具体分析。 3．集合中元素与集合的关系分为__________或_________,它们用符号___或____表示。 4．集合间的关系及运算子集：___________________________________称A 为B 的子集，记作为_____; 真子集：___________________________________称A 为B 的真子集，记为_____; 空集：____________________,记为_____ 补集：如果已知全集U ，集合A U ?，则U C A =_________________; 交集：A B =___________________;并集：A B =_____________________ 5.集合中常用运算性质若,A B B A ??则______，若,A B B C ??则_______, ___A ?, 若,A ≠?则___A ?，___,__,__,__A A A A A A =?==?= __U A C A = __,()__,()__U U U A C A C A B C A B === ____A B A B A B ??=?= 6．熟练掌握描述法表示集合的方法，理解下列五个常见集合： {}{}{}{}{}(1)|()0,:______________(2)|()0,:_________________ (3)|():____________________(4)|(),:________________(5)(,)|(),:__________________________ x f x x R x f x x R x y f x y y f x x M x y y f x x M =∈>∈==∈=∈ 7．特别注意：（1）空集和全集是集合中的特殊集合，应引起重视，特别是空集，避免误解或漏解。（2）为了直观表示集合之间的关系，常用韦恩图来解决问题，另外要充分利用数轴和平面直角坐标系来反映集合及其关系。（3）解决有关集合问题，关键在于集合语言的转化。三、例题选讲

第01讲集合的概念与运算(原卷版)

第 1 讲：集合的概念与运算一、课程标准 1、通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系． 2、.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．了解全集与空集的含义． 3、.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集． 4、.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．二、基础知识回顾 1、元素与集合 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。 (2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和?。 2、集合间的基本关系 (1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A?B或B?A。 (2)真子集：若A?B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则A B或B A。 (3)相等：若A?B，且B?A，则A＝B。 (4)空集的性质：?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 3、集合的基本运算 (1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}． (2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}． (3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作?U A，即?U A＝{x|x∈U，且x?A}． 4、集合的运算性质 (1)A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A。 (2)A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A。A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??U A??U B (3)A∩(?U A)＝?，A∪(?U A)＝U，?U(?U A)＝A。（4）?U(A∩B)＝(?U A)∪(?U B)，?U(A∪B)＝(?U A)∩(?U B)。

2019-2020学年高中数学 1.1 集合的概念与运算教案新人教版必修1.doc

2019-2020学年高中数学 1.1 集合的概念与运算教案新人教版必修1 【考点透视】 1．理解集合、子集、补集、交集、并集的概念. 2．了解空集和全集的意义. 3．了解属于、包含、相等关系的意义.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． 4．解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题. 5．注意空集?的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如 A?B,则有A=?或A≠?两种可能，此时应分类讨论. 【例题解析】题型1．正确理解和运用集合概念理解集合的概念,正确应用集合的性质是解此类题目的关键. 例1.已知集合M={y|y=x2＋1,x∈R},N={y|y=x＋1,x∈R}，则M∩N=（） A．（0，1），（1，2） B．{（0，1），（1，2）}C．{y|y=1,或y=2} D．{y|y≥1} 思路启迪：集合M、N是用描述法表示的，元素是实数y而不是实数对(x,y)，因此M、N分别表示函数y=x2＋1(x∈R)，y=x＋1(x∈R)的值域，求M∩N即求两函数值域的交集．解：M={y|y=x2＋1,x∈R}={y|y≥1}， N={y|y=x＋1,x∈R}={y|y∈R}． ∴M∩N={y|y≥1}∩{y|y∈R}={y|y≥1},∴应选D．点评：①本题求M∩N，经常发生解方程组 21, 1. y x y x ?=+ ? =+ ? 0, 1, x y = ? ? = ? 得 1, 2. x y = ? ? = ? 或从而选B的错误，这是由于在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M、N的元素是数而不是点，因此M、N是数集而不是点集．②集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x2＋1}、{y|y=x2＋1,x ∈R}、{(x,y)|y=x2＋1,x∈R}，这三个集合是不同的．例2.若P={y|y=x2,x∈R}，Q={y|y=x2＋1,x∈R}，则P∩Q等于（） A．P B．Q C． D．不知道思路启迪：类似上题知P集合是y=x2（x∈R）的值域集合，同样Q集合是y= x2＋1（x∈R）的值域集合，这样P∩Q意义就明确了．解：事实上，P、Q中的代表元素都是y，它们分别表示函数y=x2,y= x2＋1的值域，由P={y|y ≥0},Q={y|y≥1}，知Q P，即P∩Q=Q．∴应选B．例3. 若P={y|y=x2,x∈R}，Q={(x，y)|y=x2,x∈R}，则必有（） A．P∩Q=? B．P Q C．P=Q D．P Q

高三一轮复习1.1集合的概念与运算教案(教师版)电子教案

§1.1集合的概念与运算【2014高考会这样考】 1.考查集合中元素的互异性，以集合中含参数的元素为背景，探求参数的值；2.求几个集合的交、并、补集；3.通过集合中的新定义问题考查创新能力．【复习备考要这样做】 1.注意分类讨论，重视空集的特殊性；2.会利用Venn图、数轴等工具对集合进行运算；3.重视对集合中新定义问题的理解．

1．集合与元素 (1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或?表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 2. (1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A?B(或B?A)． (2)真子集：若A?B，且A≠B，则A?B(或B?A)． (3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即??A，??B(B≠?)． (4)若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有2n－1个． (5)集合相等：若A?B，且B?A，则A＝B. 3．集合的运算 4. 并集的性质：A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A.

交集的性质：A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B. 补集的性质：A∪(?U A)＝U；A∩(?U A)＝?；?U(?U A)＝A. [难点正本疑点清源] 1．正确理解集合的概念正确理解集合的有关概念，特别是集合中元素的三个特征，尤其是“确定性和互异性”在解题中要注意运用．在解决含参数问题时，要注意检验，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误． 2．注意空集的特殊性空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A?B，则需考虑A＝?和A≠?两种可能的情况． 3．正确区分?，{0}，{?} ?是不含任何元素的集合，即空集．{0}是含有一个元素0的集合，它不是空集，因为它有一个元素，这个元素是0.{?}是含有一个元素?的集合．??{0}，??{?}，?∈{?}，{0}∩{?}＝?. 题型一集合的基本概念例1(1)下列集合中表示同一集合的是(B)

第1讲集合的概念与运算

第1讲集合的概念与运算一、知识梳理 1．集合与元素 (1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或?表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R [注意]N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0. 2．集合间的基本关系表示关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B) A?B(或B?A) 真子集集合A是集合B的子集，且集合B 中至少有一个元素不在集合A中 A B(或 B A) 集合相等集合A，B中元素相同A＝B 集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A∪B＝{x|x∈A或x∈B}A∩B＝{x|x∈A且x∈}B ?U A＝{x|x∈U且x?A}

常用结论|三种集合运用的性质 (1)并集的性质：A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A． (2)交集的性质：A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B． (3)补集的性质：A∪(?U A)＝U；A∩(?U A)＝?；?U(?U A)＝A；?U(A∩B)＝(?U A)∪(?U B)；?U(A∪B)＝(?U A)∩(?U B)．二、教材衍化 1．若集合P＝{x∈N|x≤ 2 021}，a＝22，则() A．a∈P B．{a}∈P C．{a}?P D．a?P 解析：选D．因为a＝22不是自然数，而集合P是不大于 2 021的自然数构成的集合，所以a?P.故选D． 2．设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是() A．3 B．4 C．5 D．6 解析：选C．A中包含的整数元素有－2，－1，0，1，2，共5个，所以A∩Z中的元素个数为5. 一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A，B，C表示同一个集合．() (2)若a在集合A中，则可用符号表示为a?A．() (3)若A B，则A?B且A≠B．() (4)N*N Z.() (5)若A∩B＝A∩C，则B＝C．() 答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)× 二、易错纠偏常见误区|(1)忽视集合中元素的互异性致错； (2)集合运算中端点取值致错； (3)忘记空集的情况导致出错．

专题1.1 集合的概念与运算(解析版)

第一篇集合与常用逻辑用语专题1.1 集合的概念与运算【考纲要求】 1. 了解集合的含义、元素与集合的属于关系． 2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题． 3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． 4．在具体情境中，了解全集与空集的含义． 5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集． 6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． 7．能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算. 【命题趋势】 1. 利用集合的含义与表示求集合的元素或元素的个数． 2．根据集合间的关系求集合子集的个数、参数的取值或范围． 3．考查数集的交集、并集、补集的基本运算． 4．常运用数轴或韦恩图及数形结合思想来求解含未知参数的集合问题． 5．以集合为载体结合其他数学知识考查新概念、新性质、新法则的创新问题的应用.1.元素与集合【核心素养】本讲内容主要考查数学抽象和数学运算的核心素养. 【素养清单?基础知识】 1．集合的有关概念 (1) 集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中． (2) 集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． (3) 元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为?. (4) 五个特定的集合及其关系图： N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．2．集合间的基本关系

(1) 子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ?B (或B ?A )． (2) 真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作A ?B 或B ùA . A ? B ? ? ???? A ? B ， A ≠ B .既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中存在一个元素不属于A . (3) 集合相等：如果A ?B ，并且B ?A ，则A ＝B . 两集合相等：A ＝B ?? ??? ? A ? B ，A ?B .A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性． (4) 空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作?. ?∈{?}，??{?}，0??，0?{?},0∈{0}，??{0}． 3．集合间的基本运算 (1) 交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A ∩B ，即A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }． (2) 并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A ∪B ，即A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }． (3) 补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作?U A ，即?U A ＝{x |x ∈U ，且x ?A }．求集合A 的补集的前提是“A 是全集U 的子集”，集合A 其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A 的全部元素，剩下的元素构成的集合即为?U A . 【素养清单?常用结论】 (1) 子集的性质：A ?A ，??A ，A ∩B ?A ，A ∩B ?B . (2) 交集的性质：A ∩A ＝A ，A ∩?＝?，A ∩B ＝B ∩A . (3) 并集的性质：A ∪B ＝B ∪A ，A ∪B ?A ，A ∪B ?B ，A ∪A ＝A ，A ∪?＝?∪A ＝A . (4) 补集的性质：A ∪?U A ＝U ，A ∩?U A ＝?，?U (?U A )＝A ，?A A ＝?，?A ?＝A . (5) 含有n 个元素的集合共有2n 个子集，其中有2n －1个真子集，2n －1个非空子集． (6) 等价关系：A ∩B ＝A ?A ?B ；A ∪B ＝A ?A ?B . 【真题体验】

集合的概念与运算教案

集合的概念与运算适用学科咼中数学适用年级高中一年级适用区域通用课时（分钟）2课时知识点集合的概念，兀素与集合的关系及表示，集合的表示方法相等关系，包含关系，不包含关系教学目标了解集合的含义，体会兀素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体冋题；理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义?教学重点兀素与集合的关系，集合兀素的特性；集合之间包含与相等的含义教学难点集合之间包含与相等的含义，集合兀素的特性主要以一元二次不等式，函数的定义域（特别是对数函数的定义域与带根号的函数的定义域）与值域为背景进行考察，求解时，掌握一元二次不等式的解法及函数定义域值域的求法时正确求解的关键（2 ）本部分在高考中的题型以选择题为主，几乎历年一道必考送分，各位同学要抓住这个'相关知识集合 q概念、一组对象的全体? x^A,x老A。兀素特点：互异性、无序性、确定性。关系子集x^A= B二A匸B。0匸A; A匸B, BG C= AG C n个兀素集合子集数2n。真子集x^ Aa x E B, Ex。E B,x o 更A二 A U B 相等A匸B,B匸A二A = B 运算交集 A"B ={x|x^ A,且B}C U（A U B）=（C U A）D（C U B） C U（A D B）=（C U A）U（C U B） C u （C U A） = A 并集 AUB ={x|x^ A,或B} 补集 Cu A = {x|x^U 且x 更A 三、知识讲解 1?集合的含义集合的交并补运算在高考中几乎是每年必考,

2013高考数学一轮复习第一篇集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念与运算教案理.doc

第1讲集合的概念与运算【2013年高考会这样考】 1．考查集合中元素的互异性． 2．求几个集合的交、并、补集． 3．通过给的新材料考查阅读理解能力和创新解题的能力．【复习指导】 1．主要掌握集合的含义、集合间的关系、集合的基本运算，立足基础，抓好双基． 2．练习题的难度多数控制在低中档即可，适当增加一些情境新颖的实际应用问题或新定义题目，但数量不宜过多．基础梳理 1．集合与元素 (1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或?表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法． (4)常用数集：自然数集N；正整数集N*(或N＋)；整数集Z；有理数集Q；实数集R. (5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集． 2．集合间的基本关系 (1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A?B(或B?A)． (2)真子集：若A?B，且A≠B，则A B(或B A)． (3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即??A，?B(B≠?)． (4)若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有2n－1个． (5)集合相等：若A?B，且B?A，则A＝B. 3．集合的基本运算 (1)并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}． (2)交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}． (3)补集：?U A＝{x|x∈U，且x?A}． (4)集合的运算性质 ①A∪B＝A?B?A，A∩B＝A?A?B； ②A∩A＝A，A∩?＝?； ③A∪A＝A，A∪?＝A； ④A∩?U A＝?，A∪?U A＝U，?U(?U A)＝A.

集合的概念与运算复习资料

集合与常用逻辑用语 §1.1 集合的概念与运算 1.集合与元素 (1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或?表示. (3)集合的表示法：列举法、描述法. (4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号 N N ＋(或N *) Z Q R 2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言 Venn 图子集集合A 中所有元素都在集合B 中(即若x ∈A ，则x ∈B ) A ?B (或 B=A ) 真子集集合A 是集合B 的子集，且集合B 中至少有一个元素不在集合A 中 A ?B 集合相等集合A ，B 中元素相同或集合A ，B 互为子集 A ＝B 3.集合的运算集合的并集集合的交集集合的补集图形符号 A ∪ B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B } A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B } ?U A ＝{x |x ∈U ，且x ?A } (1)若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集个数为2n 个，非空子集个数为2n －1个，真子集有2n －1个. (2)A ?B ?A ∩B ＝A ?A ∪B ＝B . 易错警示系列 1.遗忘空集致误＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }.若B ?A ，则实数a 的取值范围是________. 易错分析集合B 为方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的实数根所构成的集合，由B ?A ，可知集合B 中的元素都在集合A 中，在解题中容易忽视方程无解，即B ＝?的情况，导致漏解. 解析因为A ＝{0，－4}，所以B ?A 分以下三种情况： ①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得 ??? Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)>0，－2(a ＋1)＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1； ②当B ≠?且B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}，

高三数学：集合的概念与运算技巧教学设计

新修订高中阶段原创精品配套教材集合的概念与运算技巧教材定制 / 提高课堂效率 /内容可修改 Collection concepts and calculation skills 教师：风老师风顺第二中学编订：FoonShion教育

集合的概念与运算技巧【命题趋向】 1.高考试题通过选择题和填空题,以及大题的解集,全面考查集合与简易逻辑的知识,题型新,分值稳定.一般占5---10分. 2.简易逻辑一部分的内容在近两年的高考试题有所出现,应引起注意. 【考点透视】 1.理解集合、子集、补集、交集、并集的概念. 2.了解空集和全集的意义. 3.了解属于、包含、相等关系的意义.掌握有关的术语和符号,并会用它们正确表示一些简单的集合. 4.解答集合问题,首先要正确理解集合有关概念,特别是集合中元素的三要素;对于用描述法给出的集合{x|x∈p},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质p;要重视发挥图示法的作用,通过数形结合直观地解决问题. 5.注意空集的特殊性,在解题中,若未能指明集合非

空时,要考虑到空集的可能性,如a b,则有a= 或a≠ 两种可能,此时应分类讨论. 【例题解析】题型1. 正确理解和运用集合概念理解集合的概念,正确应用集合的性质是解此类题目的关键. 例 1.已知集合m={y|y=x2 1,x∈r},n={y|y=x 1,x∈r},则m∩n=( ) a.(0,1),(1,2) b.{(0,1),(1,2)} c.{y|y=1,或y=2} d.{y|y≥1} 思路启迪:集合m、n是用描述法表示的,元素是实数y而不是实数对(x,y),因此m、n分别表示函数y=x2 1(x∈r),y=x 1(x∈r)的值域,求m∩n即求两函数值域的交集. 解:m={y|y=x2 1,x∈r}={y|y≥1}, n={y|y=x 1,x∈r}={y|y∈r}. ∈m∩n={y|y≥1}∩{y|y∈r}={y|y≥1},∈应选d. 点评:①本题求m∩n,经常发生解方程组从而选b的错误,这是由于在集合概念的理解上,仅注意了构成集合元素的共同属性,而忽视了集合的元素是什么.事实上m、n的元素是数而不是点,因此m、n是数集而不是点集.②集合是由元素构成的,认识集合要从认识元素开始,要注意区分{x|y=x2 1}、{y|y=x2 1,x∈r}、{(x,y)|y=x2 1,x∈r},这三个集合是不同的.

1.1集合的概念与运算

§1.1集合的概念与运算 1．集合与元素 (1)集合元素的三个特征：＿，＿，＿ (2)元素与集合的关系是＿或＿关系，用符号或表示． (3)集合的表示法：、 (4)常见数集的记法 (1)子集：． (2)真子集： (3)空集

(4)若A含有n个元素，则A的子集有个，A的非空子集有个． (5)集合相等：若A?B，且B?A，则 3．集合的运算并集的性质： A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?. 交集的性质： A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A? 补集的性质： A∪(?U A)＝；A∩(?U A)＝；?U(?U A)＝ 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)A＝{x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．() (2){1,2,3}＝{3,2,1}．() (3)?＝{0} () (4)若A∩B＝A∩C，则B＝C. () (5)已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{2,3}，则M∩N＝N. () (6)若全集U＝{－1,0,1,2}，P＝{x∈Z|x2<4}，则?U P＝{2}．() 2．(2013·北京)已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x<1}，则A∩B等于 () A．{0} B．{－1,0} C．{0,1} D．{－1,0,1} 3．(2013·山东)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是()

A ．1 B ．3 C ．5 D ．9 4． (2013·课标全国Ⅱ)已知集合M ＝{x |(x －1)2<4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N 等于( ) A ．{0,1,2} B ．{－1,0,1,2} C ．{－1,0,2,3} D ．{0,1,2,3} 5．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，集合B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a >0}．若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是________．题型一集合的基本概念例1 (1)已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为 ( ) A ．3 B ．6 C ．8 D ．10 (2)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝? ?? ? ??0，b a ，b ，则b －a ＝________. 思维启迪解决集合问题首先要理解集合的含义，明确元素的特征，抓住集合的“三性”．思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合；(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思

1 集合的概念与运算(练习+详细答案)

提能拔高限时训练1 集合的概念与运算一、选择题 1.若集合M＝{0,1,2},N＝{(x,y)|x-2y+1≥0且x-2y-1≤0,x,y∈M},则N中元素的个数为( ) A.9 B.6 C.4 D.2 解析：由x-2y+1≥0且x-2y-1≤0,得2y-1≤x≤2y+1,于是集合{(x,y)|x,y∈M}中共有4个元素,分别为(0,0)、(1,0)、(1,1)、(2,1). 答案：C 2.若A、B、C为三个集合,A∪B＝B∩C,则一定有…( ) A.A?C B.C?A C.A≠C D.A＝?解析：由A∪B＝B∩C,知A∪B?B,A∪B?C, ∴A?B?C.故选A. 答案：A 3.设P、Q为两个非空实数集合,定义集合P+Q＝{a+b|a∈P,b∈Q},若P＝{0,2,5},Q＝{1,2,6},则P+Q中元素的个数是( ) A.9 B.8 C.7 D.6 解析：本题考查集合的表示及元素的互异性.P+Q中元素分别是1,2,6,3,4,8,7,11. 答案：B 4.若集合A＝{1,2,x,4},B＝{x2,1},A∩B＝{1,4},则满足条件的实数x的值为（） A.4 B.2或-2 C.-2 D.2 解析：由A∩B＝{1,4},B＝{x2,1},得x2＝4,得x＝±2. 又由于集合元素互异，∴x＝-2. 答案：C 5.设集合S＝{-2，-1，0，1，2}，T＝{x∈R|x+1≤2},则(S∩T)等于（） A.? B.{2} C.{1,2} D.{0,1,2} 解析：由题意,知T＝{x|x≤1},∴S∩T＝{-2,-1,0,1}. ∴(S∩T)＝{2}. 答案：B 6设U为全集，M、P是U的两个子集，且（M）∩P＝P,则M∩P等于（） A.M B.P C.P D.? 解析：由（M）∩P＝P,知P?M,于是P∩M＝?.故选D. 答案：D 7.设集合M＝{x|x∈R且-1＜x＜2},N＝{x|x∈R且|x|≥a,a＞0}.若M∩N＝?,那么实数a的取值范围是（） A.a＜1 B.a≤-1 C.a＞2 D.a≥2 解析：M＝{x|-1＜x＜2},N＝{x|x≤-a或x≥a}. 若M∩N＝?,则-a≤-1且a≥2,即a≥1且a≥2. 综上a≥2. 答案：D

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第一讲 集合的概念与运算技巧