模型二 鸟头模型
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．
如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上如图 2)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△
E
D
C
B
A
E
D
C
B A
图⑴ 图⑵
【例 1】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方
厘米，求ABC △的面积．
E
D
C
B
A
E
D
C
B
A
【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===??△△，
::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===??△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =??△△，设8ADE S =△份，
则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的
面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．
【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那
三角形等高模型与鸟头模型
么三角形ABC 的面积是多少？
E
D
C B A
A B C D
E
【解析】 连接BE ．
∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S = 又∵5AB AD =
∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷，∴1515ABC ADE S S ==．
【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面
积是甲部分面积的几倍？
乙
甲
E D
C
B
A
A B
C
D
E
甲
乙
【解析】 连接AD ．
∵3BE =，6AE =
∴3AB BE =，3ABD BDE S S = 又∵4BD DC ==，
∴2ABC ABD S S =，∴6ABC BDE S S =，5S S =乙甲．
【例 2】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，
:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．
E
D
C
B
A E
D
C
B
A
【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===??△△
[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=?+?△△，
所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =??+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到
一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比
【例 3】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的面
积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？
【解析】 连接FB ．三角形AFB 面积是三角形CFB 面积的2倍，而三角形AFB 面积是三角形AEF 面积的2
倍，所以三角形ABC 面积是三角形AEF 面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC 面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE 面积的326?=（）倍．因此，平行四边形的面积为8648?=(平方厘米)．
【例 4】 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．
F
E
D C
B
A
【解析】 :():()(11):(23)1:6BDE ABC
S S BD BE BA BC =??=??=△△，
:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =??=??=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =??=??=△△
设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米
【例 5】 如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积
是多少？
A
B E
C D
D
C E
B A
【解析】 由于180ABC DBE ?∠+∠=，所以可以用共角定理，设2AB =份，3BC =份，则5BE =份，
325BD =+=份，由共角定理:():()(23):(55)6:25ABC BDE S S AB BC BE BD =??=??=△△，设
6ABC S =△份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是250.512.5?=平方厘米，三角
形BDE 的面积是12.5平方厘米
【例 6】 (2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，13AE AC =
，1
3
CF BC =．三角形DEF 的面积为_______平方厘米．
A
【解析】 由题意知13AE AC =、13CF BC =，可得2
3
CE AC =．根据”共角定理”可得，
():():()12:(33)2:9CEF ABC S S CF CE CB AC =??=??=△△；而66218ABC S =?÷=△；所以4CEF S =△；
同理得，:2:3CDE ACD S S =△△;，183212CDE S =÷?=△，6CDF S =△ 故412610DEF CEF DEC DFC S S S S =+-=+-=△△△△(平方厘米)．
【例 7】 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长
CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．
F E
D
C
B A
A
B
C
D
E
F
【解析】 (法1)本题是性质的反复使用．
连接AE 、CD ． ∵1
1
ABC DBC S S =，1ABC S =， ∴S 1DBC =．
同理可得其它，最后三角形DEF 的面积18=．
(法2)用共角定理∵在ABC 和CFE 中，ACB ∠与FCE ∠互补， ∴111428ABC FCE S AC BC S FC CE ??===??． 又1ABC
S
=，所以8FCE
S
=．
同理可得6ADF
S =，3BDE
S
=．
所以186318DEF
ABC
FCE
ADF
BDE
S
S S
S S
=+++=+++=．
【例 8】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的
面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．
H
G
A
B C
D E
F
H
G
A B C
D E
F
【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理
∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，
∴111133
ABC FBE S AB BC S BE BF ??===??△△． 又1ABC S =△，所以3FBE S =△．
同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．
所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△．
所以213618
ABCD EFGH S S ==．
【例 9】 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，
求四边形ABCD 的面积．
H G
F
E
D C
B A A B C
D
E
F
G
H
【解析】 连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =??=△△，即2CGF CDB S S =△△
同理:1:2ABD AHE S S =△△，即2AHE ABD S S =△△ 所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形 连接AC ，同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形
5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形
所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米
【例 10】 如图，将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ，若
四边形ABCD 的面积为5，则四边形EFGH 的面积是 ．
A B C
D E F G
H
A B C
D E
F G
H
【解析】 连接AC 、BD ．
由于2BE AB =，2BF BC =，于是4BEF ABC S S ??=，同理4HDG ADC S S ??=．
于是444BEF HDG ABC ADC ABCD S S S S S ????+=+=．
再由于3AE AB =，3AH AD =，于是9AEH ABD S S ??=，同理9CFG CBD S S ??=． 于是999AEH CFG ABD CBD ABCD S S S S S ????+=+=．
那么491260EFGH BEF HDG AEH CFG ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S S S S ????=+++-=+-==．
【例 11】
如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使1
2
CE BC =
，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？
A B
C
D
E
F
【解析】 ∵在ABC △和CFE △中，ACB ∠与FCE ∠互补，
∴224111
ABC FCE S AC BC S FC CE ??===??△△． 又2ABC
S
=，所以0.5FCE
S
=．
同理可得2ADF S =△，3BDE S =△．
所以20.532 3.5DEF ABC CEF DEB ADF S S S S S =++-=++-=△△△△△
【例 12】
如图，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGS
S
．
S
G
F E D
C
B
A
【解析】 本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有
一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况．
最后求得FGS S △的面积为432111
5432210
FGS S =????=△．
【例 13】 如图所示，正方形ABCD 边长为8厘米，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，G 是BF 的中点，
三角形ABG 的面积是多少平方厘米？
A
B
C
D E
F G
A
B
C
D
E
F G
【解析】 连接AF 、EG ．
因为21
8164
BCF CDE S S ==?=△△，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积
比等于夹这个角的两边长度的乘积比”8AEF S =，8EFG S =，再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到16BFC
S =，32ABFE S =，
24ABF
S
=，所以12ABG
S
=平方厘米．
【例 14】
四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．
【解析】 如图，将原图扩展成一个大正三角形DEF ，则AGF ?与CEH ?都是正三角形．
假设正六边形的边长为为a ，则AGF ?与CEH ?的边长都是4a ，所以大正三角形DEF 的边长为4217?-=，那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍．而一个正六边形是由6个单位小正三角
形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为16，三角形DEF 的面积为49
6
．
由于4FA a =，3FB a =，所以AFB ?与三角形DEF 的面积之比为4312
7749
?=．
同理可知BDC ?、AEC ?与三角形DEF 的面积之比都为12
49
，所以ABC ?的面积占三角形DEF 面积
的1213134949-?=，所以ABC ?的面积的面积为4913136496
?=．
【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1，则图中虚线围成的五边形ABCDE 的面积是 ．
B D
C
E
A
【解析】 从图中可以看出，虚线AB 和虚线CD 外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六
边形的面积；虚线BC 和虚线DE 外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正
六边形的面积；虚线AE外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边
形面积的1
6
，所以虚线外图形的面积等于
11
1323
63
?+?=，所以五边形的面积是
12
1036
33
-=．