全国2011年7月高等教育自学考试
线性代数（经管类）试题
课程代码：04184
说明：本卷中，A T 表示方阵A 的转置钜阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 表示单位矩阵，
|A |表示方阵A 的行列式.
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号。错选、多选或未选均无分。
1．设101350041A -??
??=??????
，则T AA =（ ） A ．-49 B ．-7 C ．7
D ．49
2．设A 为3阶方阵，且4A =，则2A -=（ ） A ．-32 B ．-8 C ．8
D ．32
3．设A ，B 为n 阶方阵，且A T =-A ，B T =B ，则下列命题正确的是（ ） A ．（A +B ）T =A +B B ．（AB ）T =-AB C ．A 2是对称矩阵
D ．B 2+A 是对称阵
4．设A ，B ，X ，Y 都是n 阶方阵，则下面等式正确的是（ ） A ．若A 2=0，则A =0 B ．（AB ）2=A 2B 2 C ．若AX =AY ，则X =Y
D ．若A +X =B ，则X =B -A
5．设矩阵A =11
3
10
21400050
000??
??-?
???
??
??
，则秩（A ）=（ ） A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
6．若方程组02020kx z x ky z kx y z +
=??
++=??-+=?
仅有零解，则k ≠（ ）
A ．-2
B ．-1
C ．0
D ．2
7．实数向量空间V={（x 1，x 2，x 3）|x 1 +x 3=0}的维数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
8．若方程组12323232132(3)(4)(2)
x x x x x x x λλλλλλ+-=-??
-=-?
?-=--+-?
有无穷多解，则λ=（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9．设A =100010002??
????????，则下列矩阵中与A 相似的是（ ） A ．100020001?????????? B ．110010002??
???????? C ．100011002??????????
D ．101020001??????????
10．设实二次型22
12323(,,)f x x x x x =-，则f （ ）
A ．正定
B ．不定
C ．负定
D ．半正定
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11．设A =(-1,1,2)T ，B =(0,2,3)T ,则|AB T |=______.
12．设三阶矩阵[]123,,A ααα=，其中(1,2,3)i i α=为A 的列向量，且|A |=2，则
[]122123,,αααααα++-=______.
13．设0100102A a c b ??????
=????????
，且秩(A )=3，则a,b,c 应满足______.
14
．矩阵1212
Q ?-?
?
=???
的逆矩阵是______. 15．三元方程x 1+x 3=1的通解是______. 16．已知A 相似于1002-??
Λ=?
?
??
，则|A -E |=______. 17．矩阵001010100A ????=??????
的特征值是______. 18．与矩阵1221A ??
=?
???
相似的对角矩阵是______. 19．设A 相似于100010001????Λ=-??????
，则A 4______. 20．二次型f (x 1,x 2,x 3)=x 1x 2-x 1x 3+x 2x 3的矩阵是______. 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21．计算4阶行列式D=
1234
2341
34124123
.
22．设A =101020161??????????
，而X 满足AX +E =A 2+X ，求X . 23．求向量组：123412532101,,,327512532341αααα????????
????????--????????
????????====????????----????????????????---????????
的秩，并给出该向量组的一个
极大无关组，同时将其余的向量表示成该极大无关组的线性组合.
24．当λ为何值时，齐次方程组123123123
220
2030x x x x x x x x x λ+-=??
-+=??+-=?有非零解？并求其全部非零解.
25．已知1,1,-1是三阶实对称矩阵A 的三个特征值，向量1(1,1,1)T α=、2(2,2,1)T
α=是A
的对应于121λλ==的特征向量，求A 的属于31λ=-的特征向量. 26．求正交变换Y =PX ，化二次型f (x 1,x 2,x 3)=2x 1x 2+2x 1x 3-2x 2x 3为标准形. 四、证明题（本大题6分）
27．设123ααα，，线性无关，证明1121323ααααα++，，也线性无关.
全国2011年10月高等教育自学考试
线性代数(经管类)试题 课程代码：04184
说明：在本卷中，A T
表示矩阵A 的转置矩阵，A *
表示矩阵A 的伴随矩阵，E 表示单位矩阵。
A 表示方阵A 的行列式，r(A )表示矩阵A 的秩。
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号。错选、多选或未选均无分。 1.设3阶方阵A 的行列式为2，则1
2
A -
=( ) A.-1
B.14
-
C.
14
D.1
2.设2
1
2
()22
2122,323235
x x x f x x x x x x x ---=------则方程()0f x =的根的个数为（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3
3.设A 为n 阶方阵，将A 的第1列与第2列交换得到方阵B ，若,≠A B 则必有（ ）
A.0=A
B. 0+≠A B
C. 0A ≠
D. 0-≠A B
4.设A ,B 是任意的n 阶方阵，下列命题中正确的是（ ） A.2
2
2
()2+=++A B A AB B B.22
()()+-=-A B A B A B C.()()()()-+=+-A E A E A E A E
D.2
2
2
()=AB A B
5.设11121321
222331
32
33,a b a b a b a b a b a b a b a b a b ??
?
= ? ???
A 其中0,0,1,2,3,i i a b i ≠≠=则矩阵A 的秩为（ ） A.0 B.1
C.2
D.3
6.设6阶方阵A 的秩为4，则A 的伴随矩阵A *的秩为（ ） A.0 B.2 C.3 D.4
7.设向量α=（1，-2，3）与β=（2，k ，6）正交，则数k 为（ ） A.-10 B.-4 C.3 D.10
8.已知线性方程组1231231
24
3224
x x x x ax x x ax ++=??
++=??+=?无解，则数a =( )
A.1
2
-
B.0
C.
12
D.1
9.设3阶方阵A 的特征多项式为2(2)(3),λλλ-=++E A 则=A ( )
A.-18
B.-6
C.6
D.18
10.若3阶实对称矩阵()ij a =A 是正定矩阵，则A 的3个特征值可能为（ ） A.-1，-2，-3 B.-1，-2，3 C.-1，2，3 D.1，2，3 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11.设行列式30
4
2
2
2,532
D =-其第3行各元素的代数余子式之和为__________.
12.设,,a a b b a a b b -????==
? ?---????
A B 则=AB __________.
13.设A 是4×3矩阵且103()2,020,103r ??
?
== ? ?-??
A B 则()r =AB __________.
14.向量组（1，2）,（2，3）（3，4）的秩为__________.
15.设线性无关的向量组α1，α2，…，αr 可由向量组β1，β2，…,βs 线性表示，则r 与s 的关系为__________.
16.设方程组12312312
3000
x x x x x x x x x λλλ++=??
++=??++=?有非零解，且数0,λ<则λ=__________.
17.设4元线性方程组x =A b 的三个解α1，α2，α3，已知T
1(1,2,3,4),
=αT 23(3,5,7,9),r() 3.+==A αα则方程组的通解是__________.
18.设3阶方阵A 的秩为2，且2
50,+=A A 则A 的全部特征值为__________.
19.设矩阵21100413a -?? ?= ? ?-??A 有一个特征值2,λ=对应的特征向量为12,2x ?? ?
= ? ???
则数
a =__________.
20.设实二次型T
123(,,),f x x x x x =A 已知A 的特征值为-1，1，2，则该二次型的规形为
__________.
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21.设矩阵2323(,2,3),(,,),αγγβγγ==A B 其中23,,,αβγγ均为3维列向量，且
18, 2.==A B 求.-A B
22.解矩阵方程111011102
21011.1104321--?????? ? ? ?
+= ? ? ? ? ? ?-??????
X 23.设向量组α1=（1，1，1，3）T ，α2=（-1，-3，5，1）T ，α3=（3，2，-1，p+2）T ，α4=
（3，2，-1，p+2）T 问p 为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大无关组.
24.设3元线性方程组1231231
232124551
x x x x x x x x x λλ+-=??
-+=??+-=-?,
（1）确定当λ取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解？
（2）当方程组有无穷多解时，求出该方程组的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）.
25.已知2阶方阵A 的特征值为11λ=及21,3
λ=-方阵2.=B A （1）求B 的特征值； （2）求B 的行列式.
26.用配方法化二次型222
1231231223(,,)22412f x x x x x x x x x x =---+为标准形，并写出所作
的可逆线性变换.
四、证明题(本题6分)
27.设A 是3阶反对称矩阵，证明0.=A
全国2010年7月高等教育自学考试
线性代数（经管类）试题
课程代码：04184
试卷说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵；A *表示A 的伴随矩阵；r (A )表示矩阵A
的秩；| A |表示A 的行列式；E 表示单位矩阵。
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号。错选、多选或未选均无分。
1.设3阶方阵A =（α1，α2，α3），其中αi （i =1,2,3）为A 的列向量，若| B |=|（α1+2α2，
α2，α3）|=6，则| A |=( )
A.-12
B.-6
C.6
D.12
2.计算行列式3
2 3 20 2 0 0 0 5 10 2 0 2 0 3 ----=( )
A.-180
B.-120
C.120
D.180
3.若A 为3阶方阵且| A -1 |=2，则| 2A |=( ) A.2
1 B.2
C.4
D.8
4.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有( ) A.α1，α2，α3，α4线性无关 B.α1，α2，α3，α4线性相关 C.α1可由α2，α3，α4线性表示
D.α1不可由α2，α3，α4线性表示
5.若A 为6阶方阵，齐次线性方程组Ax =0的基础解系中解向量的个数为2，则r (A )=( ) A.2 B.3 C.4
D.5
6.设A 、B 为同阶方阵，且r (A )=r (B )，则( ) A.A 与B 相似 B.| A |=| B | C.A 与B 等价
D.A 与B 合同
7.设A 为3阶方阵，其特征值分别为2,1,0则| A +2E |=( ) A.0 B.2 C.3
D.24
8.若A 、B 相似，则下列说法错误．．的是( ) A.A 与B 等价 B.A 与B 合同
C.| A |=| B |
D.A 与B 有相同特征值
9.若向量α=（1，-2,1）与β=(2，3，t )正交，则t =( ) A.-2 B.0 C.2
D.4
10.设3阶实对称矩阵A 的特征值分别为2,1,0，则( ) A.A 正定 B.A 半正定 C.A 负定 D.A 半负定
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.设A =?
???
?
??-4 21 02 3,B =???
???--0 1 01 1 2，则AB =_________________. 12.设A 为3阶方阵，且| A |=3，则| 3A -1 |=______________. 13.三元方程x 1+x 2+x 3=1的通解是_______________.
14.设α=（-1，2，2），则与α反方向的单位向量是_________________.
15.设A 为5阶方阵，且r (A )=3，则线性空间W ={x | Ax =0}的维数是______________.
16.设A 为3阶方阵，特征值分别为-2，
2
1
，1，则| 5A -1 |=______________. 17.若A 、B 为5阶方阵，且Ax =0只有零解，且r (B )=3，则r (AB )=_________________. 18.实对称矩阵???
?
? ??--1 1 0 1 0 10 1 2 所对应的二次型f (x 1, x 2, x 3)=________________.
19.设3元非齐次线性方程组Ax =b 有解α1=????? ??321，α2=???
?
?
??-3 2 1且r (A )=2，则Ax =b 的通解是
_______________.
20.设α=???
?
?
??321，则A =ααT 的非零特征值是_______________.
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21.计算5阶行列式D =2000102000
02000002010002
22.设矩阵X 满足方程
????? ??-2 0 00 1 00 0 2X ????? ??0 1 01 0 00 0 1=????
? ??---0 2 11 0 23 4 1 求X .
23.求非齐次线性方程组
???
??=--+=+--=--+0
8954433134321
43214321x x x x x x x x x x x x 的通解. 24.求向量组α1=（1,2，-1,4），α2=(9,100,10,4)，α3=（-2，-4,2，-8）的秩和一个极大无关组.
25.已知A =???
?
? ??---2 13 5 2 1 2 b a 的一个特征向量ξ=（1,1，-1）T ，求a ，b 及ξ所对应的特征值，
并写出对应于这个特征值的全部特征向量. 26.设A =???
?
? ??----2 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2a ，试确定a 使r (A )=2.
四、证明题（本大题共1小题，6分）
27.若α1，α2，α3是Ax=b (b ≠0)的线性无关解，证明α2-αl ，α3-αl 是对应齐次线性方程组Ax =0的线性无关解.
全国2009年4月高等教育自学考试
线性代数（经管类）试题
课程代码：04184
说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式，r(A )表示矩阵A 的铁。 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号。错选、多选或未选均无分。
1．3阶行列式j i a =0
1
1
101
1
10
---中元素21a 的代数余了式21A =（ ） A ．-2 B ．-1
C ．1
D ．2
2．设矩阵A =?????
??2221
1211a a a a ，B =????
?
?
?++1211122211
21a a a a a a ，P 1=????? ??0110，P 2=?????
??1101，
则必有（ ） A ．P 1P 2A =B B ．P 2P 1A =B
C ．AP 1P 2=B
D ．AP 2P 1=B
3．设n 阶可逆矩阵A 、B 、C 满足ABC =E ，则B -1=（ ） A ．A -1C -1 B ．C -1A -1 C ．AC D ．CA
4．设3阶矩阵A =?????
??
? ??000100010，则A 2的秩为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
5．设4321,,,αααα是一个4维向量组，若已知4α可以表为321,,ααα的线性组合，且表示法
惟一，则向量组4321,,,αααα的秩为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
6．设向量组4321,,,αααα线性相关，则向量组中（ ）
A ．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合
B ．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合
C ．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合
D ．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合
7．设321,,ααα是齐次线性方程组Ax =0的一个基础解系，则下列解向量组中，可以作为该方程组基础解系的是（ ） A ．2121,,αααα+ B ．133221,,αααααα+++ C ．2121,,αααα-
D ．133221,,αααααα---
8．若2阶矩阵A 相似于矩阵B =???
?
? ??-3202，E 为2阶单位矩阵，则与矩阵E -A 相似的矩阵是
（ ）
A ．?????
??4101
B ．?????
??--4101
C ．????
? ??--4201
D ．????
? ??---4201
9．设实对称矩阵A =?????
??
? ??--12024000
2，则3元二次型f (x 1,x 2,x 3)=x T Ax 的规形为（ ）
A ．2
32221z z z ++ B ．2
32221z z z -+ C ．2221z z +
D ．2221z z -
10．若3阶实对称矩阵A =（ij a ）是正定矩阵，则A 的正惯性指数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11．已知3阶行列式33
32
31
2322
2113121196364232a a a a a a a a a =6，则33
32
31
232221131211a a a a a a a a a =_______________. 12．设3阶行列式D 3的第2列元素分别为1，-2，3，对应的代数余子式分别为-3，2，1，
则D 3=__________________. 13．设A =???
?
? ??-0121，则A 2-2A +E =____________________.
14.设A 为2阶矩阵，将A 的第2列的（-2）倍加到第1列得到矩阵B .若B =???
?
?
??4321，则
A =______________.
15.设3阶矩阵A =?????
??
?
??33
322
0100，则A -1=_________________. 16.设向量组1α=（a ,1,1）,2α=（1,-2,1）, 3α=（1,1,-2）线性相关，则数a =________. 17.已知x 1=(1,0,-1)T , x 2=(3,4,5)T 是3元非齐次线性方程组Ax =b 的两个解向量，则对应齐次线
性方程组Ax =0有一个非零解向量ξ=__________________.
18.设2阶实对称矩阵A 的特征值为1，2，它们对应的特征向量分别为1α=(1，1)T ,
2α=(1，k )T ，则数k=_____________________. 19.已知3阶矩阵A 的特征值为0，-2，3，且矩阵B 与A 相似，则|B +E |=_________. 20.二次型f (x 1,x 2,x 3)=(x 1-x 2)2+(x 2-x 3)2的矩阵A =_____________.
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21.已知3阶行列式ij a =4
1502
31-x
x 中元素12a 的代数余子式A 12=8，求元素21a 的代数余子式
A 21的值.
22.已知矩阵A ?
?
??
? ??--=0111，B =???
?? ??-2011,矩阵X 满足AX +B =X ，求X .
23.求向量组1α=(1,1,1,3)T ，2α=(-1,-3,5,1)T ，3α=(3,2,-1,4)T ，4α=(-2,-6,10,2)T 的一个极大无关组，并将向量组中的其余向量用该极大无关组线性表出.
24.设3元齐次线性方程组?????
????=++=++=++0
00321321321ax x x x ax x x x ax ，
（1）确定当a 为何值时，方程组有非零解；
（2）当方程组有非零解时，求出它的基础解系和全部解.
25.设矩阵B =???????
? ??504313102， （1）判定B 是否可与对角矩阵相似，说明理由；
（2）若B 可与对角矩阵相似，求对角矩阵Λ和可逆矩阵P ，使P -1BP =Λ
26.设3元二次型3221232221
321222),,(x x x x x x x x x x f --++=,求正交变换x =Py ,将二次型化为标准形.
四、证明题（本题6分）
27.已知A 是n 阶矩阵，且满足方程A 2+2A =0,证明A 的特征值只能是0或-2.
全国2008年1月高等教育自学考试
线性代数(经管类)试题 课程代码：04184
试卷说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵；A*表示A 的伴随矩阵；秩（A ）表示矩
阵A 的秩；|A|表示A 的行列式；E 表示单位矩阵。
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号。错选、多选或未选均无分。
1.设A 为三阶方阵且,2-=A 则=A A T 3（ ） A.-108 B.-12 C.12
D.108
2.如果方程组??
?
??=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解,则 k =（ ） A.-2
B.-1
C.1
D.2
3.设A 、B 为同阶方阵，下列等式中恒正确的是（ ） A.AB=BA B.()111
---+=+B A B A C.B A B A +=+
D.()T T T
B A B A +=+
4.设A 为四阶矩阵，且,2=A 则=*A （ ） A.2 B.4 C.8
D.12
5.设β可由向量α1 =（1，0，0）α2 =（0，0，1）线性表示，则下列向量中β只能是
A.（2，1，1）
B.（-3，0，2）
C.（1，1，0）
D.（0,-1,0）
6.向量组α1 ，α2 ，…，αs 的秩不为s(s 2≥)的充分必要条件是（ ） A. α1 ，α2 ，…，αs 全是非零向量 B. α1 ，α2， …，αs 全是零向量
C. α1 ，α2， …，αs 中至少有一个向量可由其它向量线性表出
D. α1 ，α2， …，αs 中至少有一个零向量
7.设A 为m n ?矩阵，方程AX=0仅有零解的充分必要条件是（ ） A.A 的行向量组线性无关 B.A 的行向量组线性相关 C.A 的列向量组线性无关 D.A 的列向量组线性相关 8.设A 与B 是两个相似n 阶矩阵，则下列说法错误．．的是（ ） A.B A =
B.秩（A ）=秩（B ）
C.存在可逆阵P ，使P -1AP=B
D.λE -A =λE -B
9.与矩阵A =???
???????
200010001相似的是（ ）
A.???
???????
100020001 B.???
???????
200010011 C.???
?
??????200011001 D.???
?
??????100020101 10.设有二次型,x x x )x ,x ,x (f 2
32221321+-=则)x ,x ,x (f 321（ ）
A.正定
B.负定
C.不定
D.半正定
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.若
,02
11
=k 则k=___________. 12.设A=???
???????
411023,B=,010201??????则AB=___________. 13.设A =????
??????
220010002,则A -1=
___________.
14.设A 为33?矩阵,且方程组A x =0的基础解系含有两个解向量,则秩(A )= ___________.
15.已知A 有一个特征值-2,则B=A 2+2E 必有一个特征值___________. 16.方程组0x x x 321=-+的通解是___________.
17.向量组α1 =(1,0,0) α2 =(1,1,0), α3 =(-5,2,0)的秩是___________.
18.矩阵A =???
?
??????200020002的全部特征向量是___________.
19.设三阶方阵A 的特征值分别为-2,1,1,且B 与A 相似,则B 2=___________.
20.矩阵A =???
???????-301012121所对应的二次型是___________.
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21.计算四阶行列式
1
002210002100
021的值.
22.设A=????
???
???101111123,求A 1
-.
23.设A=??????????-200200011,B=??????
?
???300220011,且A,B,X 满足(E -B 1-A ).E X B =T T 求X,X .1-
24.求向量组α1 =(1,-1,2,4)α2 =(0,3,1,2), α3 =(3,0,7,14), α4 =(2,1,5,6), α5 =(1,-1,2,0)的一个极
大线性无关组.
25.求非齐次方程组???????=-+-+=+++-=-+++=++++12
x x 3x 3x 4x 523x 6x 2x 2x 2x 3x x x 2x 37x x x x x 5432154325
432154321的通解.
26. 设A=??????????
----020212022,求P 使AP P 1
-为对角矩阵.
四、证明题（本大题共1小题,6分）
27.设α1，α2，α3 是齐次方程组A x =0的基础解系.
证明α1，α1+α2， α1 +α2 +α3也是A x =0的基础解系．