必考题】高一数学上期末模拟试题附答案
、选择题
1．已知函数 f x 是定义在 R 上的偶函数，且在 0, 上是增函数，若对任意
x 1, ，都有 f
xa f 2x
1 恒成立，则实数 a 的取值范围是 (
)
A
．
2,0
B ．
,8 C ． 2,
D ．
,0
2
．
已知函数 f (x) log 2
2
x ,x 0， 关于 x 的方程 f(x)
m,m R ， 有四个不同的实数
x 2x,x 0.
解 x 1,x 2,x 3,x 4,则 x 1
x 2+x 3 x 4 的取值范围为( )
1
3
A
．
(0,+ )
B ．
0,12
C ．
1,2
D ． (1,+ )
a 2 x,x 2
f
x 1
f x 2 3已知函数 fx
1 x
, 满足对任意的实数 x 1≠x 2 都有
2
< 0
1,x 2
x 1
x 2
2
成立，则实数 a 的取值范围为 ( )
13 13
A ． ( －∞， 2)
B ．
,
C ． ( －∞， 2]
D ． ,2
88
4．对于函数 f(x)，在使 f (x) m 恒成立的式子中，常数 m 的最小值称为函数 f(x)的
3x
3
“上界值”，则函数 f (x) 3x 3 的“上界值”为( )
3x 3
A ．2
B ．－ 2
C ．1
D ．－ 1
5．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染 物总
量的 0.5% .已知在过滤过程中的污染物的残留数量 P (单位：毫克 /升)与过滤时间 t
kt
P P 0
e
( k 为常数， P 0 为原污染物总量) .若前 4
80%，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤 n 小
x
1
1，若关于 x 的方程 f x log a x 1 0( a 0且 a 1)
2
(单位：小时)之间的函数关系为 个小时废气中的污染物被过滤掉了
时，则正整数 n 的最小值为(
参考数据：取 log 5 2 0.43)
A ．8
6．若二次函数
B ． 9
C ． 10
2
x ax x 4对任意的 x 1,x 2 1,
D ．14
，且 x 1 x 2 ，都有
f x 1 f x 2
0，则实数 a 的取值范围为(
)
x 1 x 2
1
1
1 A ． ,0
2 B ． ,
C ．
2
,0 2
D ．
2
x ，恒有 f x x 0 ，当
x 1,0 时， 7．设
x 是 R 上的周期为 2 的函数，且对任意的实
数
恰有五个不相同的实数根，则实数 a 的取值范围是 ( )
x 0 的解集为
D ．
11． 已知 a log 32， b 20.1
，
c sin 789 ，则 a ， b ， c 的大小关系是
A ．
a
bc
B ． a c b
C ． c a b
D
．
bc
a
12． 已知函
数 f(x) g(x) x
，对任意的 x R 总有 f ( x)
f (x)
，且 g( 1) 1，则 g(1) ()
A ． 1
B ． 3
C ．3
D
．
1
、填空题
值范围是
18． 若存在实数 m,n m n ，使得 x m,n 时，函数 f x
m,n ，其中 a 0且 a 1，则实数 t 的取值范围是
A ． 3,5
B ． 3,5
C ． 4,6
D ． 4,6
8． 定义在 7,7 上的奇函数 f x ，当 0 x
7 时， f x 2x
x 6 ，则不等式
A ． 2,7
B ．
2,0 2,7 C ．
2,0 2,
D ．
7,
2,7
9． 已知函数 f(x)＝
log 1 x,x 1,
1
则 f( f (1)))等于( 1, 2
2
2 4x ,x
A ．
B ． －2
C ．
D ．
10． 已知
是定义在 R 上的偶函数，且在区间
,0 上单调递增。若实数 a 满足
A ．
2a 1
，则 B ．
a 的取值范围是 (
,1
2
3
,
2
3 C ． ,
2
13． 若 15a 5b 3c
25， 14． 若函数 f x mx
则
1
a
1 有两个不同的零点，则实
数
m 的取值范围是
15． 若当 0 x
xx
ln2 时，不等式 a e x e x
2x
e
2x
e
0恒成立，则实数 a 的取
16．已知函数 f (x) x 2 ax a 2， g(x) 有两个
非．负．整．数． 解，则实数 a 的取值范围是 __
17． f (x) x 2
1
2x ( x 0 )的反函数 f 1(x)
2x
若关于 x
的不等式 f (x) g(x) 恰 2x
log a a 2x t 的值域也为
x
2x
,0 x 1,
19．已知函数 f (x)
1
则关于 x 的方程 4x f (x) k 0 的所有根的和
f ( x 1),1 x 2
3,
的最大值是 _____ .
20． 定义在 R 上的函数
f x 满足 f x f x 2 ， f x f 2 x ，且当 x 0,1
2
1
时， f x x 2 ，则方程 f x 在 6,10 上所有根的和为 _______________________
x2
三、解答题 21．已知函数 f(x) ln(x 2 ax 3) .
(1)若 f(x)在 ( ,1］上单调递减，求实数 a 的取值范围； (2)当 a 3时，解不等式 f (e x ) x .
数量为 2mg/m 3 ,首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为 1.94mg/m 3 .设改良工艺
前所排放的废气中含有的污染物数量为 r 0 ,首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数 量为 r 1 ,则第 n 次改良后所排放的废气中的污染物数量 r n ,可由函数模型
0.5 n p
r n r 0 r 0 r 1 50.5n p (p R ，n N*) 给出,其中 n 是指改良工艺的次数 . (1)试求改良后所排放的废气中含
有的污染物数量的函数模型
;
(2)依据国家环保要求 ,企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过 0.08mg/m 3 ,试问 至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标 . (参考数据 :取
lg 2 0.3 )
23．科研人员在对某物质的繁殖情况进行调查时发现， 1月、2月、 3月该物质的数量分别
为 3、5、9个单位 .为了预测以后各月该物质的数量，甲选择了模型 y ax 2 bx c ，乙选 择了模型 y pq x r ，其中 y 为该物质的数量， x 为月份数， a ，b ，c ，p ，q ，r 为常数 . (1)若 5 月份检测到该物质有 32个单位，你认为哪个模型较好，请说明理由 .
(2)对于乙选择的模型，试分别计算 4月、 7月和 10月该物质的当月增长量，从计算结
果中你对增长速度的体会是什么？
24． 已知集合 A x 2 x 4 ，函数 f x log 2 3x 1 的定义域为集合 B. (1)求 A B ；
(2)若集合 C x m 2 x m 1 ，且 C A B ，求实数 m 的取值范围 .
25．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某
地上班族 S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当 S 中 x%(0 x 100)的
30，0 x 30
分钟），而公交群体的人均通勤时间不受 x 影响，恒为 40分钟，试根据上述分析结果回答
下列问题：
22．节约资源和保护环境是中国的基本国
策 使排放的废气中含有的污染物数量逐
.某化工企业 ,积极响应国家要求 ,探索改良工
艺
.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物 成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为
x
1800
(单位
2x 90，30 x 100
（1）当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S 的人均通勤时间g x 的表达式；讨论g x 的单调性，并说明其实际意义．
2
26．已知函数f x 2x24x a，g x log a x a 0,a 1 .
（1）若函数f x 在区间1,m 上不具有单调性，求实数m 的取值范围；
1
（2）若f 1 g 1 ，设t1 f x ，t2 g x ，当x 0,1 时，试比较t1，t2的大小.
12
【参考答案】*** 试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据偶函数的性质，可知函数在,0 上是减函数，根据不等式在x 1, 上恒成
立，可得：x a 2x 1 在1, 上恒成立，可得 a 的范围.
【详解】
f x 为偶函数且在0, 上是增函数
f x 在,0 上是减函数
对任意x1,都有f x a f 2x 1 恒成立等价于xa2x 1 2x 1x a 2x 13x 1 a x 1
3x 1 a x 1 min
max min
当x 1 时，取得两个最值
3 1 a 1 1 2 a 0
本题正确选项：A
【点睛】
本题考查函数奇偶性和单调性解抽象函数不等式的问题，关键在于能够通过单调性确定自变量之间的关系，得到关于自变量的不等式.
2．B
解析：B
【解析】
【分析】
由题意作函数 y f(x)与 y m 的图象，从而可得 x 1 x 2
2，0 log 2 x 4 2，
x 3 x 4 1 ，从而得解
【详解】
解：因为 f (x) log 2 2 x ,x 0，
，可作函数图象如下所示：
x 2 2x,x 0.
依题意关于 x 的方程 f (x) m,m R ，有四个不同的实数解
y f (x) 与 y m 的图象有四个不同的交点，由图可知令
x
1 1 x
2 0 x
3 1
x 4 2 ， 则
x 1
x
2
2， log 2
x
3
log 2 x 4 ，即 log 2 x 3 log 2 x 4
，所以 x 3x 4 1，则
1
x 3
x 4 1,2
x
4
1
所以 x 1 x 2 x 3 x 4
2
x
4
， x 4 1,2
x 4
1
5 1
5
因为 y
x ，在 x 1,2 上单调递增，所以 y
2, ，即 x 4
2,
x
2 x
4
2
1
1
x
1 x
2 x
3 x
4 2
x 4 0,
x
4
42
【点睛】 本题考查了数形结合的思想应用及分段函数的应用．属于中档题 3．B
x 1,x 2,x 3,x 4 ,即函数
解析： B 【解析】 【分析】 【详解】
a20
试题分析：由题意有 ,函数 f x 在 R 上为减函数 ,所以有 {
1 2 ,解出 (a 2) 2 ( )2 1 2
13 a
, 选 B.
8
考点：分段函数的单调性 . 【易错点晴】
本题主要考查分段函数的单调性 ,属于易错题 . 从题目中对任意的实数 x 1 x 2，都有
1
2 13
象逐渐下降 ,故在分界点 x 2处,有(a 2) 2 ( )2
1,解出 a . 本题容易出错的地方 28
是容易漏掉分界点 x 2 处的情况 .
4．C
解析： C 【解析】
【分析】 利用换元法求解复合函数的值域即可求得函数的“上界值”. 【详解】 令 t 3x ,t
故选 C
【点睛】 本题背景比较新颖，但其实质是考查复合函数的值域求解问题，属于基础题，解题的关键 是利用复合函数的单调性法则判断其单调性再求值域或 通过换元法求解函数的值域
5．C 解析： C 【解析】 【分析】
4k
1
e 4k ，可得出
5 围，即可得出正整数 n 的最小值 .
f x 1
0成立，得出函数 x 在 R 上为减函数 ,减函数图象特征 : 从左向右看 ,图
x 1
x 2
t3 y t t 33
6
1 t3
故函数 f 的“上界值”是 1；
根据已知条件得出 k ln 45，然后解不等式 e kt 2010 ，解出 t 的取值范
x
【详解】
由题意，前 4个小时消除了 80%的污染物，因为 P P 0 e kt ，所以
1 80% P 0 P 0e 4k ，所以 0.
2 e 4k ，即 4k ln0.2 ln5 ，所以 k 则由 0.5%P 0
P 0e kt ，得 ln 0.005
ln5
t ， 4
所以 t 4ln 200 4log 5200 4log 5 52 23
8 12log 52 13.16 ，
ln5
故正整数 n 的最小值为 14 4 10.
故选： C. 【点睛】
本题考查指数函数模型的应用，涉及指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题
6．A 解析： A 【解析】 【分析】
可求解． 【详解】 本题主要考查了二次函数的性质及函数单调性的定义的简单应用，解题中要注意已知不等 式与单调性相互关系的转化，属于中档题 .
7．D
解析： D 解析】
由 f x f x 0 ，知 f x 是偶函数，当 x 1,0 时， f x
ln 5
由已知可知， f x 在
1，
上单调递减，结合二次函数的开口方向及对称轴的位置即
∵二次函数 f x
2
ax 4对任意的 x 1,x 2 1, ，且 x 1 x 2 ，都有
f x 1 f x 2
0，
x 1 x 2
1，
上单调递减，
∵对称轴 x
1
2a
a0 1 2a
点睛】
1
，解可得 21 a 0，故选 A ．
1，且
f x 是R上的周期为 2 的函数，
作出函数y f x 和y log a x 1 的函数图象，关于x 的方程
f x lo
g a x 1 0( a 0且a 1 )恰有五个不相同的实数根，即为函数y f x 和
y log a x 1 的图象有 5 个交点，
a1
所以log a 3 1 1，解得4 a 6.
log a 5 1 1
故选 D.
点睛：对于方程解的个数( 或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
8．B
解析：B
【解析】
【分析】
当0 x 7时， f (x)为单调增函数，且f(2) 0，则f(x) 0的解集为2,7 ，再结合
f (x) 为奇函数，所以不等式f (x) 0 的解集为( 2,0) (2,7] ．
【详解】
当0 x 7时，f(x) 2x x 6，所以 f (x)在(0,7] 上单调递增，因为
f(2) 222 6 0，所以当0 x 7时，f(x) 0等价于f(x) f (2)，即
2x 7 ，
因为 f (x)是定义在[ 7,7] 上的奇函数，所以7 x 0时，f(x)在[ 7,0)上单调递增，且f ( 2) f (2) 0，所以f (x) 0 等价于f(x) f( 2)，即2 x 0 ，所以不等
式f (x) 0 的解集为( 2,0) (2,7]
【点睛】
本题考查函数的奇偶性，单调性及不等式的解法，属基础题．
间上单调性相同，偶函数在其对称的区间上单调性相反．
9．B
解析： B 【解析】
1 1
2
1
f 2 42 2 2 4 ，则 f f f 4 22
10．D
解析： D
【解析】
3
3 3
由对数函数的性质可知 a log 3 2 log 334 3 3 由指数函数的性质 b 20.1 1，
由三角函数的性质 c sin 7890 sin （2 3600 690）
3
c （ 23,1） ，
所以 a c b ，故选 B.
12．B
解析： B 【解析】
由题意， f （﹣ x ）+f （x ）=0可知 f （ x ）是奇函数， ∵ f x g x x ，g （﹣1）=1， 即 f （﹣ 1） =1+1=2 那么 f （1）=﹣2．
故得 f （ 1） =g （ 1）+1= ﹣ 2， ∴g （1）=﹣3， 故选： B
应注意奇函数在其对称的区 log 1 4 2 ，故选 B.
2
f 2a 1
f 2 f( 2a 1) f( 2) 2a
a1
1
1 1 1 3
a 1 a
, 选 D.
2
2
2 2 2
11．
B
解析： B
【解析】
【分析】
【详解】
1
2 2
a 1
22
sin 690 sin 600 ，所以
二、填空题
13．1【解析】故答案为
解析： 1 【解析】
因为15a 5b 3c 25， a log 15 25,b log 5 25,c log 3 25，
111
log 25 15 log 25 5 log 25 3 log 25 25 1 ，故答案为 1.
abc 14．【解析】【分析】令可得从而将问题转化为和的图象有两个不同交点作出
图形可求出答案【详解】由题意令则则和的图象有两个不同交点作出的图象如 下图是过点的直线当直线斜率时和的图象有两个交点故答案为：【点睛】本 解析： 0,1
【解析】 【分析】
令 f x 0 ，可得 mx x 1 ，从而将问题转化为 y mx 和 y x 1 的图象有两个不同 交点，作出图形，可求出答案 .
【详解】 由题意，令 f x mx x 1 0 ，则 mx x 1 ， 则 y mx 和 y x 1 的图象有两个不同交点， 作出 y x 1 的图象，如下图，
y mx 是过点 O 0,0 的直线，当直线斜率 m 0,1 时， y mx 和 y x 1 的图象有两 个交点 .
本题考查函数零点问题，考查函数图象的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题
15．【解析】【分析】用换元法把不等式转化为二次不等式然后用分离参数法 转化为求函数最值【详解】设是增函数当时不等式化为即不等式在上恒成立时 显然成立对上恒成立由对勾函数性质知在是减函数时
∴即综上故答案为：【
25 解析： [ 25, ） 6
【解析】 【分析】
用换元法把不等式转化为二次不等式．然后用分离参数法转化为求函数最值． 【详解】
t 0 时，显然成立，
【点睛】 本题考查不等式恒成立问题，解题方法是转化与化归，首先用换元法化指数型不等式为一 元二次不等式，再用分离参数法转化为求函数最值． 16．【解析】【分析】由题意可
得 f （x ）g （ x ）的图象均过（﹣
a >0a <0时 f （x ）>g （x ）的整数解情况解不等式即可得到所求范围 由函数可得的图象均过且的对称轴为当时对称轴大于 0 由题 解析： 23 ,130
【解析】
【分析】 由题意可得 f （x ）， g （ x ）的图象均过（﹣ 1， 1），分别讨论 a >0，a <0时， （x ）的整数解情况， 【详解】 a
，当 a 0时，对称轴大于 0.由题意可得 f （x ） g （x ）恰有 0，1两
x
，t
x
ee
1
x
是增函数，当 0 x e
ln2 时， 0 t 32 ，
不等式 a 2x
e
2x
e
2 0 化为 at t 2 2
2 0 ，即 t 2
at 4 0 ，
不等式 t 2
at
0在t
[0, 23] 上恒成立，
3
t (0, 32]， a
4t 对t
3
[0, 23]上恒成立，
由对勾函数性质知
4 3 3 t 在 (0, ] 是减函数， t 3 时， t 2 2 2
5 y min
6 ，
25 a
6 即a
25 6
综上， a 25 6
故答案为：
25 6
）．
11）分别讨论 详解】
f （x ）>g
解不等式即可得到所求范围．
由函数 f ( x) x 2
ax a 2， g(x) 2x 1可得 f(x)， g( x)的图象均过 (
1,1），且
f （ x ） 的对称轴为 x
f （1） g（1） 3 10
个整数解，可得a ；当 a 0时，对称轴小于0. 因为
f （2） g（2） 2 3
f 1
g 1 ,
3 10
由题意不等式恰有-3，-2 两个整数解，不合题意，综上可得 a 的范围是, .
23
3 10
故答案为：3,10.
23
【点睛】本题考查了二次函数的性质与图象，指数函数的图像的应用，属于中档题．17．（）【解析】【分析】设（）求出再求出原函数的值域即得反函数【详解】设（）所以因为x≥0所以所以因为x≥0所以y≥0所以反函数故答案为【点睛】本题主要考查反函数的求法考查函数的值域的求法意在考查学生对解析：x 1 1（x 0 ）【解析】
【分析】
2
设f x y x22x（x 0）,求出x -1+ y 1，再求出原函数的值域即得反函数f1x.
【详解】
设f x y x22x（x 0）,所以x2+2x y 0, x 2 4 4y =-1 y 1，
2
因为x≥0，所以x -1+ y 1 ，所以f 1x x 1 1.
因为x≥0，所以y≥0，所以反函数f 1x x 1 1，（x 0）.
故答案为x 1 1 ，（x 0）
【点睛】本题主要考查反函数的求法，考查函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.
18．【解析】【分析】由已知可构造有两不同实数根利用二次方程解出的范围即可【详解】为增函数且时函数的值域也为相当于方程有两不同实数根有两不同实根即有两解整理得：令有两个不同的正数根只需即可解得故答案为：【
1
解析：0,
4
【解析】
【分析】
2x
由已知可构造log a a2x t x有两不同实数根，利用二次方程解出t 的范围即可.
详解】
2x
f ( x) lo
g a a2 x t 为增函数，
2x
且x m, n 时，函数f x log a a2x t 的值域也为m,n ，
f ( m) m, f (n) n ，
相当于方程f (x) x 有两不同实数根,
2x
log a a t x 有两不同实根，
即a x a2 x t有两解，整理得：a2x a x t 0 ，令m a x, m 0 ，
m 2
m t 0有两个不同的正数根，
1 4t 0
只需t 0即可，
1
解得0 t ，
4
1
故答案为：0,
4
【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性，对数方程，一元二次方程有两正根，属于中档题. 19．5【解析】【分析】将化简为同时设可得的函数解析式可得当k等于8时与的交点的所有根的和的最大可得答案【详解】解：由可得：设由函数的性质与图像可得当k 等于8 时与的交点的所有根的和的最大此时根分别为：当时解析：5
【解析】
【分析】
x 2x ,0 x 1,
2x,0 x 1, 1
将f (x) 1化简为f ( x) 1 2x,1 x 2, 同时设
1f ( x 1),1 x 3, 4 21
1 2x,
2 x 3,
16
4x f (x) g(x) ，可得g (x)的函数解析式，可得当k等于8时与g(x) 的交点的所有根的和的最大，可得答案.
【详解】
2x ,0 x 1,
解：由 f (x) 1 可得： f (x) f ( x 1),1 x 3,
2
8x ,0 x 1,
设4x f(x) g(x)， g(x) 1 8x ,1 x 2,
4
1
x
16 8 ,2 x 3,
1 x 5
当1 x 2时，
8x2 8， x 2
，
43 当2 x 3时， 1 8x3 8，x 3 7 ，
16 3
3 此时所有根的和的最大值为： x 1 x 2 x 3 5 ， 故答案为： 5.
【点睛】 本题主要考查分段函数的图像与性质，注意分段函数需分对分段区间进行讨论，属于中档 题.
20．【解析】【分析】结合题意分析出函数是以为周期的周期函数其图象关于 直线对称由可得出函数的图象关于点对称据此作出函数与函数在区间上的图象
2x ,0 x 1, 1x
2x ,1 x 2, 4 116 2x
,2 x 3,
当 k 等于 8时与 g(x) 的交点的所有根的和的最大，
此时根分别为：当 0 x 1时， 8x1 8 ， x 1 1，
利用对称性可得出方程在上所有根的和【详解】函数满足即则函数是以为周
解析：
16
【解析】
【分析】
f x 是以4 为周期的周期函数；
的图象关于点2,0 成中心对称；
故答案为：16 .
【点睛】
本题考查方程根的和的计算，将问题转化为利用函数图象的对称性求解是解答的关键，在作图
时也要注意推导出函数的一些基本性质，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
、解答题
结合题意分析出函数y f x 是以4 为周期的周期函数，其图象关于直线x 1 对称，由y f x 与函数y
详解】
2 可得出函数y f x 的图象关于点2,0 对称，据此作出函数
1
在区间6,10 上的图象，利用对称性可得出方程
x2
1
在6,10 上所有根的和.
x2
函数 f x 满足f x 2 ，即f x f x 2 f x 4 ，则函数
x f 2 x ，则函数y f x 的图象关于直线x 1 对称；
由f 2 x ，有f 2 x f x 2 ，则函数
1
又函数y 的图象关于点2,0 成中心对称，则函数y f x 与函数y x2
4 对交点关于点2,0 对称，则方程f11在6,10 上所有根的和为4 4 16. x2
在区
2
2
x
21． (1) 2 a 4；(2) x x 0或 x ln3
解析】 分析】
1）根据复合函数单调性的性质 ,结合二次函数性质即可求得 a 的取值范围
2）将 a 3 代入函数解析式 ,结合不等式可变形为关于 e x 的不等式 ,解不等式即可求解
详解】
1） f （x ）在 （ ,1］上单调递减 ,根据复合函数单调性的性质可知 y x 2 ax 3需单调
a
1 2 a30
4.
3代入函数解析式可得 f （x ） ln （ x 2 3x 3）
则由 f (e x ) x ,代入可得 ln e 2 x 3e x 3 x
同取对数可得 e 2x 3e x 3 e 即 (e x )2 4e x 3 0 , 所以 (e x 1) e x 3 0 即 e x 1或 e x 3
x 0 或 x ln 3 ,
所以原不等式的解集为 x x 0或 x ln 3 【点睛】
本题考查了对数型复合函数单调性与二次函数单调性的综合应用 ,对数不等式与指数不等式 的解法 ,属于中档题 .
22． （1） r n 2 0.06 50.5n 0.5 n N * （2）6次
【解析】 【分析】
（1）先阅读题意，再解方程求出函数模型对应的解析式即可； （2）结合题意解指数不等式即可 . 【详解】
解: （ 1）由题意得 r 0 2, r 1 1.94, 所以当 n 1时,r 1 r 0 r 0 r 1 50.5 p , 即1.94 2 （2 1.94） 50.5 p ,解得 p 0.5,
所以 r n 2 0.06 50.5n 0.5（n N*） ,
递减则
解得 2
（2）将 a
0.5 n 0.5 （2）由题意可得,r n 2 0.06 50.5n 0.5 0.08 , 整理得,50.5n 0.5 1.92,即50.5n 0.5 32,
0.06 两边同时取常用对
数,得0.5n 0.5 lg32,
lg5 5lg 2
整理得n 2 1 ,
1 lg 2
将lg 2 0.3 代入,得2 5lg 2 1 30 1 5.3 ,
1 lg
2 7 又因为n N*,所以n 6. 综上,至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.
【点睛】本题考查了函数的应用，重点考查了阅读能力及解决问题的能力，属中档题. 23．（1）乙模型更好，详见解析（2）4月增长量为8，7月增长量为64 ，10月增长量为512 ；越到后面当月增长量快速上升.
【解析】
【分析】
（1）根据题意分别求两个模型的解析式，然后验证当x 5时的函数值，最接近32 的模型好；
（2）第n 月的增长量是fn f n1，由增长量总结结
论
【详解】
a bc3a1
（1）对于甲模型有4a2b c5，解
得：
b1
9a3b c9c3
y x2 x 3 当x 5 时，y 23 .
pq r3p1
对于乙模型有pq2r5，解
得：q 2，
3
pq3r9r1
y 2x 1当x 5时，y33.
因此，乙模型更好；
（2）x 4 时，当月增长量为2412318，
x 7 时，当月增长量为27126164，
x 10 时，当月增长量为2101291512，
【点睛】本题考查函数模型，意在考查对实际问题题型的分析能力和计算能力，属于基础题型，本题的关键是读懂题意.
24．（1）x x 2 ；（2）2,3
故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为rn 2 0.06 50.5n 0.5nN
从结果可以看出，越到后面当月增长量快速上升.（类似结论也给分）
【解析】
【分析】
（1）由对数函数指数函数的性质求出集合 B ，然后由并集定义计算；
（2）在（1）基础上求出A B ，根据子集的定义，列出m 的不等关系得结论．【详解】(1)由
3x10，解得x 0 ，
所以
B x x0.
故A B x x2.
(2)由A B x0 x 4 .
因为C A B
m 2 0,
所以
m 1 4.
所以2 m 3，即m 的取值范围是2,3 .
【点睛】本题考查对数型复合函数的定义域，考查集合的交并集运算，考查集合的包含关系．正确求出函数的定义域是本题的难点．
25．（1）x 45，100 时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题意知求出 f （x）＞40 时x 的取值范围即可；
（2）分段求出g（x）的解析式，判断g（x）的单调性，再说明其实际意义．
【详解】
（1）由题意知，当30 x 100 时，
1800
f x 2x 90 40 ，
x
即x2 65x 900 0 ，
解得x 20或x 45，
∴ x 45，100 时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；
（2）当0 x 30 时，
说明该地上班族 S 中有小于 32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的； 有大于 32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的； 当自驾人数为 32.5% 时，人均通勤时间最少． 【点睛】 本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力． 26． （ 1） 1, ；（ 2） t 1 t 2 【解析】
【分析】 （1）根据二次函数的单调性得到答案 .
（2）计算得到 a 2
2 ，再计算 t 1 x 1 2 0
， t 2 log 2x
0， 得到答案 .
【详解】
（ 1）函数 f x 2
2x 2
4x a 的对称轴为 x
1，
函数 f x 在区间 1,m 上不具有单调性，故 m
1 ， 即m
1,
（2） f 1 g 1 ，即 2 4 a log a 1 0，
故a 2.
当 x 0,1 时， t 1
1
2
f x x 2 x 1 x
2 12
0；t 2
g
x log 2 x 0
2
故 t 1 t 2 【点睛】
本题考查了根据函数的单调性求参数，比较函数值大小，意在考查学生对于函数性质的综 合应用 .
gx
30 x% 40 1 x % 40
10
当 30 x 100 时，
gx 2x
180
90 x% 40 1 x% x 2 13 x 58 ；
50 10
40
∴g
10 x 2 13 x 50 10
58
当0
32.5 时， g x 单调递减；
当 32.5 x 100 时， g x 单调递增；