“鸡兔同笼”问题解法概述
（科目：数学）
四川省会理县太平片区中心小学张廷帆
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“鸡兔同笼”问题是我国民间广为流传的典型数学趣题之一，最早出现在《孙子算经》中。其大意是说：笼子里有鸡和兔若干，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。鸡和兔各有几只？
在小学人教版三、四、五年级的数学教材中就已安排了一些此类应用题，让学生初步感受此类问题的特点，然后在六年级上册数学教材中，专门把“鸡兔同笼”问题作为一个单元来编排，目的在于进一步让学生理解这一类数学问题的结构特点和解题方法，培养学生的逻辑推理能力，充分体会用代数方法解答数学应用题的一般性。教材在编写中充分体现了让学生从猜测到用“假设法”和方程法解决问题的探究过程，表达了解决“鸡兔同笼”问题的不同思路和方法。但教材由于受版面限制，对每种解法的算理未作详细的阐述，而我们教师如果对每种解答方法的思路和算理不能明了于心，在对学生的指导过程中往往会使自己“身陷泥潭”，难以自拔。结合我对“鸡兔同笼”问题的实际教学的反思，在常规算法的基础上，结合我的理解，就小学生能理解的“鸡兔同笼”问题的几种解答方法归纳概述如下。
如教材的编排一样，我们也把例题的数量变小一点：笼子里有鸡和兔
若干，从上面数，有12个头，从下面数，有38只脚。鸡和兔各有几只？
为了便于后面的阐述简洁，以及以后对“鸡兔同笼”变式问题（如植树、租船、知识抢答等）容易理解，我们不妨在指导学生理解题意时，先让学生明确几个名称：每只兔有4只脚，脚只数要多一些，我们把它（兔）定为“多”量（加引号以区别于常说的多与少，下同）；每只鸡只有2只脚，脚只数要少一些，我们把它（鸡）定为“少”量；每只兔比每只鸡多2只脚（4－2），我们把它（4－2）定为“差”。
一、猜测法
先猜测，再验证，逐一排除，这种方法实用性不大。
二、列举法
列举法可一一列举、跳跃列举，也可对半列举，关键在于逐步调整，以达到题意的要求，操作时若数据较大时过程颇为繁琐，比较费时，目的性也不强，在此不加赘述。
三、假设法
假设法也就是先假设全部是其中的某一种（鸡或兔），算出脚的只数，看比实际脚的总只数是多了还是少了，由于一只兔比一只鸡多（4－2）只脚，再用多余或不足的脚只数除以“差”（4－2）就是另一种的只数。具体算法是：
1、假设全部都是“多”量（兔）：
多余的脚只数÷“差”=“少”量（鸡）
例如，假设全部都是兔，就有脚4×12=48（只），比实际脚的总只数多出了48－38=10（只），则鸡有10÷（4－2）=5（只）。兔的只数就是12－5=7（只）。
2、假设全部都是“少”量（鸡）：
不足的脚只数÷“差”=“多”量（兔）
例如，假设全部都是鸡，就有脚2×12=24（只），比实际脚的总只数少了38－24=14（只），则兔有14÷（4－2）=7（只）。鸡的只数就是12－7=5（只）。
四、方程法
方程法是最适用，也是最具一般性的解答方法，这种方法思路清晰，易于理解。具体方法是：设甲有x只，则乙有a－x只。根据等量关系“鸡脚总数＋兔脚总数=脚的总只数”就可列出方程进行解答。
如：
○1、解：设鸡有x只，则兔有12－x只。
2x＋4×（12－x）=38
x =5
兔有12－5=7（只）。
○2、解：设兔有x只，则鸡有12－x只。
4x＋2×（12－x）=38
x =7
鸡有12－7=5（只）。
在方程法中，为了避免像方法○1的解方程过程中出现“2x＋48－4x=38 ”小学生应用现在小学知识还难以理解的知识问题，在帮助学生理解后，可建议学生像方法○2那样设“多”的（兔）为x，就可避免出现像“2x －4x”这样的问题。
五、“抬腿法”（减半法）
“抬腿法”是我们的祖先解决“鸡兔同笼”问题的经典方法，体现了我们祖先的聪明才智。其算理是：假如每只鸡都抬起一条腿（“金鸡独立”），同时每只兔也都抬起两条腿（蹲着），各抬起一半腿，则总腿数减半，此时一只鸡一条腿，而有一只兔就多一条腿，所以
腿总数÷2－头数=“多”量（兔）
如上面例题，38÷2=19（只），19－12=7（只）（兔）。
学生一尝试，可能很快就会发现这种方法最简便、快捷，但在以后的训练中要让学生体会到，“抬腿法”仅适用于典型的“鸡兔同笼”问题（或“龟鹤问题”），而对于植树、租船等“鸡兔同笼”的变式问题并不通用。所以“抬腿法”具有一定的局限性。
六、对半分法
据我对“鸡兔同笼”问题的理解，用“对半分法”来解决“鸡兔同笼”问题也很适用。先假设鸡和兔（即“多”量和“少”量）各占一半，算出此时脚的全部只数，如果超过脚的总只数，说明“多”量（兔）多了，如果不够脚的总只数，说明“多”量（兔）少了；再用超过或不足部分除以脚只数“差”（4－2）就是兔多出或少的只数，然后用“一半”减去或加上多出或少的只数，就是兔的只数。
如上面例题，先假设各有12÷2=6（只），此时共有脚4×6＋2×6=36（只），不足总数38只，说明兔少了，少了（38－36）÷（4－2）=1（只），所以兔有6＋1=7（只）。同理，鸡有6－1=5（只）。
再如前面“鸡兔同笼”的原题：有35个头，共94只脚。先假设各有35÷2=17.5（只），此时共有脚4×17.5＋2×17.5=105（只），超过总数94只，说明兔多了，多了（105－94）÷（4－2）=5.5（只），所以兔有17.5
－5.5=12（只）。同理，鸡有17.5＋5.5=23（只）。
“鸡兔同笼”问题的解题方法有多种，学生进入中学后，随着知识面的扩展，将会学到其它不同的解法。“鸡兔同笼”问题是我国古代劳动人民智慧的结晶，教学中我们要注意引导学生认真体会古人的聪明才智，通过用不同方法解决此类问题的综合对比，理解各种解法的局限性和优越性；通过对方程法（代数方法）解答问题的实用性和一般性的认识，体会时代在发展，科技在发展，数学方法也在不断发展的辨证唯物主义发展观念，同时经历综合运用各种方法解决“鸡兔同笼”问题的实践，充分体验用数学知识解决实际问题的成功感，感受数学的实用价值。
当然，不管学生用哪种方法来解决“鸡兔同笼”问题，都要让他们仔细验证，避免鸡兔混淆，养成认真检查的良好的学习习惯。