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灰色关联度分析

第五章灰色关联度分析

壹、何谓灰色关联度分析 --------------------------------------- 5-2 贰、灰色联度分析实例详说与练习 --------------------------- 5-8

负责组员

工教行政硕士班二年级

周世杰591701017

陶虹沅591701020

林炎莹591701025

第五章灰色关联度分析

壹、何谓灰色关联度分析

一.关联度分析

灰色系统分析方法针对不同问题性质有几种不同做法，灰

色关联度分析(Grey Relational Analysis)是其中的一种。基本

上灰色关联度分析是依据各因素数列曲线形状的接近程度做

发展态势的分析。

灰色系统理论提出了对各子系统进行灰色关联度分析的

概念，意图透过一定的方法，去寻求系统中各子系统(或因素)

之间的数值关系。简言之，灰色关联度分析的意义是指在系统

发展过程中，如果两个因素变化的态势是一致的，即同步变化

程度较高，则可以认为两者关联较大;反之，则两者关联度较

小。因此，灰色关联度分析对于一个系统发展变化态势提供了

量化的度量，非常适合动态(Dynamic)的历程分析。

灰色关联度可分成「局部性灰色关联度」与「整体性灰色

关联度」两类。主要的差别在于「局部性灰色关联度」有一参

考序列，而「整体性灰色关联度」是任一序列均可为参考序列。二.直观分析

依据因素数列绘制曲线图，由曲线图直接观察因素列间的接近程度及数值关系，表一某老师给学生的评分表数据数据为例，绘制曲线图如图一所示，由曲线图大约可直接观察出该老师给分总成绩主要与考试成绩关联度较高。

表一某一老师给学生的评分表单位:分/ %

姓名

周阿舍刘阿华萧阿蔷评分项目

总成绩(X) 100 95 60 0

考试成绩(X) 90 80 50 1

出席率(X) 100% 90% 80% 2

100

909090

85 總成績808080

75考試成績70 出席率60606060

周阿舍劉阿華蕭阿薔

圖一某老師給學生的評分表曲線圖

由曲线图直观分析，是可大略分析因素数列关联度，可看出考试成绩与总成绩曲线形状较接近，故较具关联度，但若

能以量化分析予以左证，将使分析结果更具有说服力。

三.量化分析

量化分析四步曲:

1. 标准化(无量纲化):以参照数列(取最大数的数列)为

基准点，将各数据标准化成介于0至1之间的数据最

佳。

2. 应公式需要值，产生对应差数列表，内容包括:与参

考数列值差(绝对值)、最大差、最小差、ζ(Zeta)

为分辨系数，0,ζ,1，可设ζ = 0.5(采取数字最终

务必使关联系数计算:ξi(k)小于1为原则，至于

分辨系数之设定值对关联度并没影响，请参考p14例)

,,min，,max,(),k3. 关联系数ξ(ik)计算:应用公式 i,oi(k)，,,max

计算比较数列X上各点k与参考数列X参照点的关i0

联系数，最后求各系数的平均值即是X与X的关联i 0

度r。 i

4. 比较各关联度大小，值愈大，关联度越高。

实例参考(一):根据某一老师给学生成绩的数据数据，依灰色关联度分析法，计算出考试成绩及出席率与学生成绩的关联度。设分辨系数:ζ=0.5 表一某一老师成绩表单位:分/%

姓名说明周阿舍刘阿华萧阿蔷评分项目

以周阿舍为总成绩(X) 100 95 60 0

基准点

考试成绩(X) 90 80 50 1

出席率(X) 100% 90% 80% 2

1、标准化

姓名

周阿舍刘阿华萧阿蔷评分项目

总成绩(X) 1 0.95 0.60 0

考试成绩(X) 1 0.89 0.50 1

出席率(X) 1 0.90 0.80 2

2、对应差数列表

姓名 maxmin 萧阿蔷周阿舍刘阿华 kk差值

差式

，，，，|Xk,Xk| 0.06 0.10 0.10 0 0 01

，，，，|Xk,Xk| 0 0.05 0.20 0 0.20 02

3、关联系数计算:ξi(k)ζ=0.5、最大差 0.20、最小差0

(一)、求比较数列X对参考数列X之关联系数ξ(k) 101

,,min，,max0，0.5，0.2,1(1),,,1,01,(1)，,max0，0.5，0.2

,,min，,max0，0.5，0.2,1(2),,,0.625,01,(2)，,max0.06，0.5，0.2

,,min，,max0，0.5，0.2,1(3),,,0.5,01,(3)，,max0.1，0.5，0.2 (二)、求比较数列X对参考数列X之关联系数ξ(k) 202

,,min，,max0，0.5，0.2,2(1),,,1,02,(1)，,max0，0.5，0.2

,,min，,max0，0.5，0.2,(2),,,0.6672,,(2)，,max0.05，0.5，0.202

4、求关联度 :

1即求比较数r,,,，，kii,1

N,,min，,max0，0.5，0.2,(3),,,0.3332,,(3)，,max0.2，0.5，0.202

列所有数关联度的平均值

(一)、比较数列X对参考数列X之关联度 10

311，0.625，0.5

，，r,,,k,,0.70811 k,133

(二)、比较数列X对参考数列X之关联度 20

311，0.667，0.333 ，，r,,,k,,0.66722k,133

r , r21

故该教授给的总成绩主要与考试成绩关联度较高。量化分析公式内容说明: (一)、标准化(无量纲化)

由于系统中各因素列中的数据，可能因计算单位的不

同，不便于比较，或在比较时难以得到正确的结论。因此

在进行灰色关联度分析时，一般都要进行标准化(无量纲

化)的数据处理。

(二)、关联系数:ξ(Xi)

所谓关联程度，实质上是曲线间几何形状的差别程

度。因此曲线间差值大小，可做为关联程度的衡量尺度。对于一个参考数列X 有若干个比较数列X, X,…, X。。012n各比较数列与参考数列在各个时刻(即曲线中的各点)的关联系数ξ(Xi)可由下列公式算出:

其中ζ(Zeta)为分辨系数，0,ζ,1

，，，，minmin|Xk,Xk| 为两层式取绝对差值中最小值0iik

计算，第一层为先分别由各比较数列X曲线上的每一个i

点与参考数列X曲线上的每一个点之绝对差值中取最小0

值，再由这些最小值当中选取最小值。简记为Δmin。

，，，，maxmax|Xk,Xk|为两层式取绝对差值中最大值0iik

计算，第一层为先分别由各比较数列X曲线上的每一个i

点与参考数列X曲线上的每一个点之绝对差值取最大0

值，再由这些最大值当中选取最大值。简记为Δmax。

，，，，|Xk,Xk|为各比较数列X曲线上的每一个点与i0i

参考数列X曲线上的每一个点之绝对差值。记为Δoi(k)。 0

所以关联系数ξ(Xi)也可简化如下列公式:

,min，,,max

,(),k i,oi(k)，,,max(三)、关联度 :r i

因为关联系数是比较数列与参考数列在各个时刻(即

曲线中的各点)的关联程度值，所以它的数不止一个，而

讯息过于分散不便于进行整体性比较。因此有必要将各个时刻(即曲线中的各点)的关联系数集中为一个值，也就是求其平均值，做为比较数列与参考数列间关联程度的数量表示，关联度r公式如下: i

，，r,,,kii ,1kN

貳、灰色联度分析实例详说

如表一某家庭收入来源数据数据为例:

表一某家庭 1998 ~ 2000年收入单位:十万元

年度

1999 2000 1998收入

总收入(X) 20 30 24 0

薪资收入(X)8 10 9 1

投资收入(X) 5 6 7 2

绘制曲线图如图二所示:

總收入3030

24薪資收入2020

投資收入101098765

199819992000

圖二某家庭 1998~ 2000年收入

【关联度分析】

一.标准化(无量纲化) 以1998年收入为基准，将表一进行标准化(无量纲化)处理

后得表二:

表二标准化后的数列表

年度

1998 1999 2000 收入

总收入(X) 1 1.5 1.2 0

薪资收入(X) 1 1.25 1.125 1

投资收入(X) 1 1.2 1.4 2

，，，，maxmax|Xk,Xk|二.求最大差值与最小差值0iik

，，，，minmin|Xk,Xk| 0iik

为求得及值，必须先，，，，，，，，minmin|Xk,Xk|maxmax|Xk,Xk|0i0iikik 求出各比较数列与参考数列之「对应差数列表」如表三:

表三对应差数列表

年度

maxmin 2000 1998 1999差值 kk差式

，，，，|Xk,Xk| 0 0.25 0.075 0 0.25 01

，，，，|Xk,Xk| 0 0.3 0.2 0 0.3 02

由表三对应差数列表得知

各比较数列对参考数列各点对应差值中之最小值:

，，，，minmin|Xk,Xk|,0，即Δmin=0 0iik

各比较数列对参考数列各点对应差值中之最大值:

，，，，maxmax|Xk,Xk|,0.3，即Δmax=0.3 0iik

三.关联系数计算:ξi(k)

设分辨系数:ζ=0.5

(一)、求比较数列X对参考数列X之关联系数ξ(k) 101

,,min，,max0，0.5，0.3,11、 (1),,,1,01,(1)，,max0，0.5，

0.3,,min，,max0，0.5，0.3,2、(2),,,0.375 1,,(2)，,max0.25，0.5，0.301

,,min，,max0，0.5，0.3,(3),,,0.6673、 1,,(3)，,max0.075，0.5，0.301

(二)、求比较数列X对参考数列X之关联系数ξ(k) 202

,,min，,max0，0.5，0.3,21、 (1),,,1,02,(1)，,max0，0.5，0.3

,,min，,max0，0.5，0.3,2、 (2),,,0.3332,,(2)，,max0.3，0.5，0.302 ,,min，,max0，0.5，0.3,3、 (3),,,0.4292,,(3)，,max0.2，0.5，0.302 N1，，r,,,k四.求关联度 : ii,1kN

(一)、比较数列X对参考数列X之关联度 10

311，0.375，0.667，，r,,,k,,0.68 11k,133

(二)、比较数列X对参考数列X之关联度 20

311，0.333，0.429，，r,,,k,,0.587 22k,133

五.结论

由上列运算得知:

r,0.68比较数列X对参考数列X之关联度 101

r,0.587比较数列X对参考数列X之关联度 202

rr, 21

故该家庭总收入主要与薪资收入关联度较高。

六、练习:公路建设招标中取最接近标准者得标，请问何者得标,

设分辨系数:ζ=0.5

标准标,,A厂 , B厂 , C厂 , ,,,厂商及指标

造价(亿) 1.1 1.1 1.2 1.5

建设期限(年) 1.3 1.8 1.5 1.3

车流(百辆) 5 4 3 5 车速(公里/时) 110 80 110 100

解题:

一、标准化

厂商及指标标准标, A厂 , B厂 , C厂 , ,,,,

造价 1 1.00 1.09 1.36

建设期限 1 1.38 1.15 1.00

车流 1 0.80 0 .60 1.00

车速 1 0.73 1.00 0.91 二、对应差数列表maxmin，，，，，，，，，，，，|Xk,Xk||Xk,Xk||Xk,Xk|指标 kk010203 0.36 0.00 0.09 0.36 0.00 造价

0.38 0.15 0.00 0.00 0.38 建设期限

0.20 0.40 0.00 0.00 0.40 车流

0.27 0.00 0.09 0.00 0.27 车速

三、关联系数与关联度

关联系数ξi(k) ξ( k) ξ( k) ξ(k) 123

1.00 0.69 0.35 造价

0.34 0.57 1.00 建设期限

0.50 0.33 1.00 车流

0.42 1.00 0.69 车速

关联度 r i0.57 0.65 0.76 r , r , r 321

答: C 厂得标

, 为暸解分辨系数的设定对关联度是否造成影响,以下将分辨系

数分别以0.2、0.4、0.6、0.8来计算，由以下的结果得知:分辨

系数并不影响关联度的判别，但以分辨系数为 0.2 时关联度曲线

倾斜角最大最具判断性。

(k)r (k) r(k) 分辨系数=0.2 r 123

造价(亿) 1.00 0.47 0.18 建设期限(年) 0.17 0.35 1.00 车流(百辆) 0.29 0.17 1.00 车速(公里/时)0.23 1.00 0.47

0.42 0.50 0.66 分辨系数=0.4 r(k) r (k) r(k) 123

造价(亿) 1.00 0.64 0.31 建设期限(年) 0.30 0.52 1.00 车流(百辆) 0.44 0.29 1.00 车速(公里/时) 0.37 1.00 0.64

0.53 0.61 0.74 分辨系数=0.6 r(k) r (k) r(k) 123

造价(亿) 1.00 0.73 0.40 建设期限(年) 0.39 0.62 1.00

分辨係數1.00=0.20.80车流(百辆) 0.55 r r 0.38 1.00 r123分辨係數0.60分办系数 =0.40.400.42 0.52 0.66 0.2 分辨係數0.20车速(公里/时) 0.47 1.00 0.73 =0.60.53 0.61 0.74 0.000.4 分辨係數r1r2r30.6 0.68 0.78 0.6 =0.8

0.60 0.68 0.78 0.65 0.73 0.81 0.8

分辨系数=0.8 r(k) r(k) r(k) 123

造价(亿) 1.00 0.78 0.47 建设期限(年) 0.46 0.68 1.00 车流(百辆) 0.62 0.44 1.00

车速(公里/时) 0.54 1.00 0.78

0.65 0.73 0.81