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数学思想方法与新题型解析

一. 本周教学内容：

数学思想方法与新题型解析二. 重点、难点：

数学思想反映着数学概念、原理及规律的联系和本质，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活运用数学知识、技能、方法的关键。在解综合题时，尤其需要用数学思想来统帅，分析、探求解题的思路，优化解题的过程，验证所得的结论。在初中数学中常用的数学思想有方程思想、数形结合思想、转化思想和分类讨论思想。

（一）方程思想

在初中数学中，我们学习了许多类型的方程和方程组的解法。例如，一元一次方程、一元二次方程，可化为一元一次方程、一元二次方程的分式方程的解法，二元一次方程组、三元一次方程组的解法，以及二元二次方程组的解法等，所以我们如果能把实际问题或数学问题转化成解上述方程或方程组，问题就容易解决了。

所谓方程思想，就是从分析问题的数量关系入手，通过设定未知数，把问题中的已知量与未知量的数量关系，转化为方程或方程组等数学模型，然后利用方程的理论或方法，使问题得到解决。用方程思想分析、处理问题，思路清晰，灵活、简便。 1. 方程思想的最基本观点——几个未知数，列几个独立的方程

我们知道在一般情况下，几个未知数在几个独立的方程的制约下有确定的解。在涉及数量关系的问题中，用这一基本思想来分析、处理，能较为容易地找到解题途径。

例1. 已知：x x 12、是关于x 的方程x x m 2220++=的两个实数根，且x x 1222

2-=，求m 的值。

分析：本题中涉及三个未知数x x m 12、、，需列出三个方程，题目中已给出了一个关于x x 12、的方程x x 12222-=，

那么只需再找出两个关于x x 12、和m 的方程即可。解法1 依题意，得?=->+=-=-=???

??????4402221

2122

1222m x x x x m

x x ①

②③④

④②，得⑤

②⑤，得把代入②，得÷-=-+=-

x x x x x 12112132

∴==

x x 2

1234

∴=±

=±

=->∴=±m m m

m 32

44032

又当时，为所求

说明：一般地，有几个未知数，则需列几个方程。

例2. 如图，在直角三角形ABC 中，∠=?C 90，AD 是?A B C 的角平分线，DE//CA ，已知CD=12，BD=15，求AE 、BE 的长。

分析：题目要求AE 、BE 这两个未知数的值，由于DE//CA ，并且DC=12，BD=15，容易得到

B E E A

B D D C

==1512

，得到

关于BE 、EA 的一个方程。而题目中有两个未知数，还需要再建立一个关于BE 、EA 的方程。

由条件易知，?ABC 和?EBD 都是直角三角形，由AD 是角平分线和DE//CA 可以证明AE=ED ，这样就把AE 、EB 集中在Rt ?EDB 中，用勾股定理可再列一个方程。解： AD BC 是的角平分线?A

∴∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴=C A D D A B D E C A

A D E C A D A D E D A E D E A E

设AE 为x ，BE 为y ，那么DE x = D E C A //

∴=∴

∠=∴∠=A E B E C D B D x y C E D B o

1215

190

()

∴+=+=BD D E

2252即()

解由、组成的方程组，得()()12 x y x y 11222025

==??

???=-=-??

???（舍去） ∴==AE BE 2025，

2. 方程思想解题的核心——构造方程，沟通已知与未知的联系

用方程思想解题的核心是揭示题目中隐含的等量关系，设未知数、构造方程，沟通已知与未知的联系，从而使问题得到解决。

例 3. 已知：如图，DB 是半圆O 的直径，A 为BD 延长线上一点，AC 与半圆O 相切于点E ，C B A B ⊥，若

A D A E EC ==2621，：：，求⊙O 半径。

分析：题目的条件给我们提供了许多等量关系。已知CB 垂直直径DB ，可知CB 是⊙O 的切线，于是有CE=CB ；由切割线定理得A E A D A B 2=·；在Rt A BC ?中，由勾股定理得AC AB BC 222=+。题目又给出了两条线段的比AE EC ：：=21，则可设未知数，寻找等量关系，构造方程。

若设CE CB x ==，则根据上面的等量关系易得A E x A C x A B x ===2322，，。以A E A D A B 2=·为等量关系构造方程：

()

2262223

4626

x x

x A B D B ==∴==·解得，

∴⊙半径为O 6

解略

问：题目要求⊙O 半径，能否直接设所求量为未知数呢？这时，应以哪个等量关系来构造易解的方程，从而求出半径的长呢？

进一步分析可以看到，由CE CB AE EC ==，：：21，可知CB AC ：：=13，即sin A =13

。连结OE （如图），

则O E A C ⊥。

设，则O E O D m A O m ===+26

在中，R t A E O A O E A O

?sin ==13

，把它作为等量关系构造方程：

m m

2613

解得m =6，从而求出半径长为6。

说明：从本例的两种不同解法可看到，列方程的关键是寻求等量关系。

在几何计算题中，常利用几何中的定理、公式，如勾股定理、切割线定理、相交弦定理、三角函数关系式等作为等量关系来构造方程，或利用图形中某些位置关系所隐含的等量关系（线段和差、面积和差、相似三角形对应边成比例）等构造方程。

下面我们把此例的已知条件稍加变化，分析如何寻找等量关系构造方程求解。

例 4. 如图，DB 是半圆O 的直径，A 为BD 延长线上一点，AC 与半圆O 相切于点E ，C B A B ⊥。若

A E EC D E

B E ：：，=+=+21422，求?A B

C 的面积。

分析：要求?A B C 的面积，只要求出AB 、BC 的长即可。题目中给出了线段比，可利用比值设未知数，把其它线段用此未知数表示出来，寻找等量关系，构造方程。此题解法很多，仅举其中一种解法。简解：可证CB 为半圆O 的切线，CE=CB 设，则CE CB x AE x ===2

由勾股定理得，由切割线定理得A B x A D x ==222

∴=

DB x 2

过作E EF AB ⊥于F ，可得E F x =

在中，····

解得，，R t D EB D E B E EF B D x

B D

D E B E

D E B E D E B E

x x

x A B B C S A B C ??===+=+-∴=+-=∴===223

224222223

4623122

()()()

说明：此例是利用勾股定理作为等量关系构造方程的。

由以上几例可以看出，设未知数一般是所求的量是什么，就设什么为未知数。当所求的量不易直接求出时，要根据题

目的特点，选择便于把条件、结论结合起来的未知量用字母表示为未知数，这样解题比较方便。

例5. 已知：在?A B C 中，AD 为∠BAC 的平分线，以C 为圆心，CD 为半径的半圆交BC 的延长线于点E ，交AD 于点F ，交AE 于点M ，且∠B=∠CAE ，FE ：FD=4：3。（1）求证：AF=DF ；

（2）求∠AED 的余弦值；

（3）如果BD=10，求?A B C 的面积。

图1

分析：（1）略；（2）要求∠AED 的余弦值，首先要使∠AED 为一个直角三角形的内角，所以可连DM ，构造Rt D M E ?，也可过点A 作A N B E ⊥于点N ，构造Rt A N E ?。无论利用哪个直角三角形，都需知该直角三角形中两条边的长。题目给出了线段比，可利用比例设未知数，再把其它线段用此未知数表示出来。这时就需利用几何中的定理或图形的性质为等量关系，构造方程。本题的解法很多，仅举其中四种解法。（3）利用BD=10，可求出所设未知数的值，易求出?A B C 的面积。

（1）证明： AD BAC 平分∠

∴∠=∠∠=∠∴∠+∠=∠+∠∠=∠+∠∴∠=∠∴=B A D D A C B C A E

B A D B D A

C C A E A

E B A D B A D E D A E EA ED

D E C D FE A F D E

是半圆的直径

∴∠=?∴=90

（2）解法一：连结DM （如图2）

DE C 是半圆的直径 ∴∠=?D M E 90

FE FD FE x FD x

：：可设，则=∴==43

由勾股定理，得DE x =5

∴=====A E D E x A F FD x

A F A D A M A E

53，由切割线定理的推论，得··

∴+=3335x x x AM x ()·

∴=

∴=-=-=

A M x

M E A E A M x x x

185518575

在中

R t D M E A E D M E

D E x

x ?cos ∠=

==7

557

图2

解法二：同解法一得，在和中（如图）由勾股定理，得又解联立的方程组，得A E D E x A F D F x R t A M D R t EM D A D A M

D E M E

x x A M

x M E

A M M E A E x

M E x

====-=-∴+-=-+===

5323351521275

??()()()

()

()()

在中，解法三：如图，过点作于在中

：：可设，则R t D M E A ED M E

D E x

x A A N B E N

R t D FE FE FD FE x FD x ??cos ∠===

⊥=∴==7

55725

343

由勾股定理，得，··D E x

A E D E x A F FD x

S A D EF D E A N

A D E =∴=====

55312

∴=∴(+=A D EF D E A N

x x x x A N

····3345)

∴=∴=

∴∠=

==A N x

EN x A ED EN

A E x

x 245

557

由勾股定理，得cos

图3

解法四：同解法三，得AE=DE=5x ，AF=DF=3x

∠=∠∴∴

∴=

A D N E D F R t A D N R t E D F

D N D F A D

E D D N x

x x D N x

??~365185

∴=-=-

∴∠==

∠=∠∠=∠∴EN D E D N x x x

A ED EN A E

C A E B A EC B EA C A E A B E

5185

725

cos ~（）解法一：如图， ??

∴

==A E BE

A E x

x 5

251

∴==BE AE DE 22

∴==∴==∴=

?==B D D E B C D E

x x S S A D EF x

C A E A B E A B C A

E ，，·解法二：如图，在和中

5102323212

1872

????

∠=∠∠=∠∴C A E B A E C B E A C A E A B E

，??~

∴

∴=∴(=+A E B E

C E A E

A E

B E

C E

x x x

510552··

)() 解得x =2

∴=

=+=+

?=∴=

=??=A N x B C B D D C S B C A N A BC 245

485

1052

21512

15485

?·

说明：此例是用方程思想解几何问题的典型题目。第（2）问中解法一是利用切割线定理为等量关系构造方程；解法二是利用勾股定理为等量关系构造方程组；解法三是利用同一三角形面积为等量关系构造方程；解法四是利用相似三角形对应边成比例构造方程。可见，方程思想的运用是解本题的关键。

例6. 如图，AB 为半圆O 的直径，C 为OB 上一点，且OC ：CB=1：3，过C 点作C D A B ⊥交半圆于D 点，过D 点作半圆O 的切线交AB 延长线于E 点，若BE=12

（1）求OB 的长；

（2）在弧BD 上任取一点P （P 与B 、D 不重合），连结EP 并延长与弧AD 交于点F ，设PC=x ，EF=y ，求y 与x 之间的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围。

分析：第（1）问是求线段的长，由于题目中给出了两条线段长度的比，所以可以设未知数，利用图形的几何性质构造方程来求解。第（2）问涉及研究线段与线段函数关系的问题，线段作为变量，解题的关键是用几何定理揭示它们之间的等量关系，列出方程后，再化为函数解析式。实质上还是构造方程，利用方程思想解题。解：（1）连结OD ，设OC=a ，则BC=3a ，OD=OB=4a

D E O O D D E D C A B

R t O C D R t O D E O D O C O E

a a a 为半圆的切线又可得·即·∴⊥⊥∴==+??~()

()

24412

解得，（舍去）（）连结，即·由切割线定理可得·a a B a O F

R t D C E R t O D E D E O E

C E

D E

O E C E

D E PE E F

122

10442==∴==∴===O ?? ~

∴==

PE E F O E C E PE C E

O E FE

··，即

又，即∠=∠∴∴==∴=

C E P FE O C E P FE O

PC O F E C E F x y

y x

??~41560

当取点时，最短，此时当取点时，最长，此时的取值范围是P B PC PC P D PC PC x x ==

∴<<

15315

说明：此例是利用相似三角形对应边成比例的性质为等量关系，列出方程后，再化为函数解析式的。特别要注意用图形的几何性质来确定自变量的取值范围。

方程思想也可解决某些证明题。我们来看下面的例题。

例7. 如图，⊙O 1、⊙O 2交于A 、B 两点，DT 切⊙O 2于T ，交⊙O 1于D 、M ，且M 为DT 的中点。BA 的延长线交DT 于C 。

求证：CT=2CM 。

证明：设CM=a ，CT=x

C T O C A B O C T

C A C B

C A B C M

D O C M C D C A C B

C T

C M C D

M D T C D C M D M C M C M C T C M C T

是⊙的切线，是⊙的割线·、是⊙的割线

···是的中点

222

2∴=∴=∴=∴=+=++=+

∴=+=+--=∴==-∴=C T C M C M C T)

a a x x ax a x a x a C T C M

222220

22(()

即得，（不合题意，舍去）

可以看到，方程思想是初中数学中的一个重要的数学思想，在解题中有广泛的应用。利用方程思想解题，要善于从题目中挖掘等量关系，能够根据题目的特点选择恰当的未知数，注意保证方程的个数与未知数的个数相同。

（二）数形结合思想

数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学。“数”与“形”是数学中的两个最基本的概念，每一个几何图形中都蕴含着一定的数量关系；而数量关系又常常可以通过几何图形做出直观的反映和描述，所以数形结合也就成为研究数学问题的重要思想方法。

数形结合的思想，就是把问题中的数量关系和空间形式结合起来加以考察的思想。在解题方法上，“数”与“形”相互转化，从而使问题化难为易、化繁为简，达到解决问题的目的。

1. 以形助数——通过几何图形，使数量关系直观化、形象化，从而寻找解题的途径

例1. 在正方形ABCD 中，A 、B 、C 的坐标分别是（1，2）、（-2，1）、（-1，-2），求点D 的坐标。

分析：依题意画图，可看到点A 、点C 关于原点O 成中心对称，所以O 应是正方形ABCD 的中心。根据正方形性质可知，点D 应与点B 关于原点O 对称，已知点B 坐标为（-2，1），利用关于坐标原点对称的两点坐标之间关系，可确定点D 坐标（2，-1）。

解略。

说明：平面直角坐标系建立了平面上的点与有序实数对之间的一一对应关系，为数形结合创造了条件。本题就是利用直角坐标系，把“数”转化为“形”，以形助数，由两点之间的特殊位置关系得到两点之间的数量关系。例2. 选择题：若∠A 为锐角，则sinA+cosA 的值（） A. 大于1 B. 等于1 C. 小于1 D. 不能确定

分析：可构造直角三角形，根据锐角三角函数的定义及三角形中边之间的关系进行判断。

构造，（如图），则有应选R t A B C C A A a c b c a b c

a b c

A A A

?∠=?+=

+=++>∴+>901sin cos sin cos

说明：本题是把数量关系通过构造的直角三角形使之明显化，从而得到解题途径。

例3. 二次函数y ax bx c y a x b x c 122221223=-+=+-+++和()()在同一坐标系中的图象如图。（1）哪个函数的图象过B 、C 、D 三点？

（2）若BO=AO ，BC=DC ，且点B 、C 的横坐标分别是1、3，求这两个函数的解析式。

分析：借助函数的图象研究函数的性质，是一种很重要的方法。观察图象，过A 、B 、C 三点的抛物线开口向下，则相应二次函数解析式中二次项系数应小于零，而过B 、C 、D 三点的抛物线开口向上，则相应二次函数解析式中二次项系数应大于零，所以只要判断a 与a+1哪个大于零即可。因为a+1>a ，易得出y 2经过B 、C 、D 三点。利用抛物线的对称性确定y 1的对称轴为x=0，y 2的对称轴经过C 点，则可推出D 点坐标。再利用图象上点的坐标应满足函数解析式，则可构造关于a 、c 的方程组，求出待定系数的值。

解：（1） a a a a +>+11，又由图象可知与异号 ∴+>a 10

∴=+-+++y a x b x c 22

1223()()的图象开口向上 ∴y B C D 2的图象经过、、三点

（）的对称轴（，）、（，）又的对称轴经过点，且（，）

2220

1035012 ||||||||

B O A O y x b a

b B C y B C D C y C D =∴=-

-=∴==∴

将（，）代入，得将（，）代入，得解、得，B y a c D y a c a c y x y x x 100

150258021213131313

1212

+=++==-=?

??∴=-

-+()

()

()()

说明：观察图形主要是观察图形的形状、大小、位置关系等，寻找图形中蕴含的数量关系，运用推理或计算得出结论。

这是数形结合分析、解决问题的一个重要方面。

例4. 设二次函数y x k x k =--++234()的图象与x 轴交于点A （x 10，）、B （x 20，）（x x 12<），P 点在y 轴上（非原点），已知∠PAB 与∠PBA 都是锐角。（1）求k 的取值范围；

（2）比较线段PA 、PB 的长度的大小；

（3）当∠PAB+∠PBA=90o

时，求P 点的坐标（用含k 的式子表示）

分析：（1）解决本题的关键是依据题目的已知条件正确地绘制草图，确定A 、B 两点的大致位置。由P 点在y 轴上，且∠PAB 、∠PBA 都是锐角，确定抛物线与x 轴的两个交点A 、B 必须在原点的两侧（如图），转化为与函数相应的二次方程的两根异号，则

c a

k =+<40。

（2）观察图形，由图形的几何性质知，线段PA 、PB 长度的大小取决于A 、B 两点到O 点距离的大小，则转化为判断相应的二次方程两根中正根的绝对值大还是负根的绝对值大。利用函数所对应的一元二次方程根与系数的关系即可判断出来。

（3）利用R t PA O R t BPO ??~，求出OP 长，即可得出P 点坐标。解：（1） ∠∠PAB PBA P y 与均为锐角，点在轴上

∴∴<>A B x x 、两点必在原点的两侧

·，此时必有1200

∴+<∴<-k k 404

（）设点坐标为（，），即，2030

1212122

P y x x k x x x x PA x y PB x y

PA PB

+=-<∴>>=

+∴>||||

（）39090 ∠+∠=?

∴∠=?

∴PA B PB A A PB A O P PO B

??~

∴=OP OA OB 2

即··点的坐标为（，

）或（，）

x x x x k k y k P k k 2

1212444

0404===+=-+∴=±--∴---

--||||||||()

说明：由本例看到，二次函数解析式中的系数与二次函数图象的形状及在坐标系中的位置相互制约。正确地画出图象，把二次函数的问题转化为二次方程的问题是解决这类问题的典型方法，它体现了数形结合及转化的数学思想。

例5. 已知：关于x 的方程x mx m 2230-+=的两个实数根是x x 12，，且()x x 122

16-=。如果关于x 的另一个方程

x m x m 2

2690-+-=的两个实数根都在

x x 12和之间，求m 的值。

分析：本题是已知一元二次方程的两个实数根所满足的条件，求方程中待定系数的值的题目。常规的解法是由第一个方程两根满足的条件，利用根与系数的关系，建立关于待定系数m 的方程，求出m 的值。再把m 的值代入第二个方程，并求出其根，检验其两根是否都在第一个方程的两根之间，从而确定m 的值。（参看解法一）

我们可以换个角度，以形助数来考虑这个问题。关于x 的方程x m x m 2

2301-+=()有两个不等实数根

x x x x 12122

160、（因为）()

-=≠，即抛物线y x m x m 12

23=-+与x 轴有两个交点，且两交点为A （x 10，）、B

（x 20，），不妨设x x 12<。方程x m x m 226902-+-=()也有两个实数根，对应的抛物线y x m x m 22269=-+-与x 轴也有两个交点或唯一公共点，设两交点为C （x 10'，）、D （x 20'，）。x x 12''≤。我们可以看到，这两条抛物线形状相同，开口方向相同（由于二次项系数相同），且对称轴也相同，都是直线x=m 。由于方程(2)的两根x x 12''、都在x x 12、之间，即抛物线y 2与x 轴的两个交点C 、D （或C 、D 重合）在抛物线y 1与x 轴的两个交点A 、B 之间，以形助

数，在坐标系中画出这两条抛物线的示意图（如图），看到只要满足抛物线y 2的判别式?20≥，且抛物线y 2在y 轴上截距大于抛物线y 1在y 轴上截距即可，很易确定m 的取值。（参看解法二）

解法一： x x x m x m 122

2301、是方程的两个实数根-+=()

∴+==-=x x m x x m x x 1212122

2316

，· ()

∴+-=∴-==-==-()x x x x m m m m I m 122

122

12416

41216141解得，（）当时，

方程为，方程为，、不在和之间不合题意，舍去()()''123031

26902215053533112

1222

12x x x x x m x m x x x x m +-=∴=-=-+-=+-=∴=-=--∴=-

（）当时，方程为，方程为，，即II m x x x x x x x x x x x x =-+=∴==-+=∴==<<<<<<41812026

2815035

23562

122121122

()()''''

∴∴===-=方程的两根都在方程的两根之间综合（）（），解法二：同解法一，得，()()214

12m I II m m m

方程与方程都有两个实数x mx m x mx m 22

230126902-+=-+-=()()根，且方程(2)的两根在方程(1)的两根x 1和x 2之间。

∴=-+=-+-抛物线与轴有两个交点，抛物线y x mx m x y x mx m 12

23269与x 轴有交点

抛物线与形状相同，开口方向同且对称轴也相同

只要y y m m m m m

12222

4469430693∴=--=-≥->??

???()()

解不等式组，得m >3 ∴=取m 4

说明：由以上几例看到，正确地绘图对于题意的理解、思路的探求、方法的选择、结论的判定都有重要的作用，要善于把作图与计算结合起来，充分发挥图形的作用。

2. 以数解形——挖掘几何图形中的数量关系，用代数方法解几何问题

例6. 如图，在矩形ABCD 中，EF 是BD 的垂直平分线，已知BD=20，EF=15，求矩形ABCD 的周长。

分析：要求矩形的周长，则需先求出矩形的长和宽。可把长、宽分别设为两个未知数，根据图形中线段的位置关系，利用相似三角形的性质和勾股定理转化为线段间的数量关系，构造方程组用代数方法求解。解：在矩形ABCD 中，设长AB=x ，宽BC=y ，因为EF 是BD 的垂直平分线根据题意Rt DAB Rt EOB ??~

∴=∴

==+=+===??

???=-=-?????∴A B A D O B O E

y R t A B D A B A D

B D

x y x y x y 20

2152

1202121612161256

222

1122()

()()()在中，由勾股定理可得即解、联立的方程组，得，（舍去）矩形周长为?

例7. 如图，有一块三角形土地，它的底边BC=100米，高AH=80米，某单位要沿着底边BC 修一座底面是矩形DEFG 的大楼。当这个大楼地基面积最大时，这个矩形的长和宽各是多少？

分析：这个实际问题抽象为数学问题后是一个平面几何问题，即求三角形内接矩形面积最大时，矩形的边长。进一步观察图形可以看到，当矩形的长（或宽）变化时，矩形DEFG 的面积也随之而变化，但当内接矩形的长（或宽）一确定，矩形的面积也随之而确定。可见，内接矩形的面积是这个矩形长（或宽）的函数。于是问题就转化为建立函数关

系式并求函数何时取得最值的代数问题。

解：设矩形DEFG 的宽DE 为x 米，则AM x =-()80米

DG BC ADG ABC

//~∴??

∴=∴=

-∴=-

∴==-=-

+<<∴=-

S D E D G x x x x

x x b a

x 100

8080

1005410054

100080240400802

矩形·（）当时（在范围内）

()

S 最大当地基面积最大时，矩形的长为米，宽为米。

=∴0402000

说明：在几何图形中建立函数关系式是数形结合的典型例题。在这类问题中，常运用相似形的性质定理、勾股定理、圆的有关定理、面积关系等建立量与量的函数关系式。

3. 依形判数，以数助形，结合具体问题，灵活进行数形转化

数量关系体现了图形的内在性质，把握数量关系和相应图形的特征是进行数与形相互转化的关键。例8. 如图，AB 是半圆O 的直径，C D B ⊥A 于D ，C 在半圆上，设∠=C O D θ。

求证：tan 22

θ=D B A D

。

分析：解本题的关键是寻找

，表示出tan

。由已知∠COB=θ，且∠COB 为圆周角，要想办法利用这个角。根据

图形的几何性质，连AC 、BC ，圆心角∠A 的度数等于所对弧上圆心角∠COB 度数的一半，所以

∠=

A A

C A C

，tan 。问题就转化为证

BC A C

D B A D

。利用两对直角三角形相似，对应边成比例则很易证得。

证明：连结AC 、BC

A B O A C B C O B A C O B R t A C B A B C A C

是半圆的直径在中，∴∠=?

∠=∴∠=

∠=

∠==

9012

?tan tan

∴=

⊥∴∴

∴==∴=

t a n

~t a n

θθB C A C

C D A B

R t A C D R t A B C

A C A B

A D A C

A C A D A B

B C B D A B B C A C

B D A B A D A B

D B A D

??·同理···，即

例9. 如图，二次函数y x bx c =++2的图象与x 轴只有一个公共点P ，与y 轴交点为Q 。过Q 点的直线y x m =+2与x 轴交于点A ，与这个二次函数的图象交于另一点B 。若S S BPQ A PQ ??=3，求这个二次函数的解析式。

分析：本题为函数与平面几何的综合题，要确定二次函数的解析式，就需要构造关于待定系数b 、c 的方程组，求出b 、c 的值。如何利用题目给出的众多条件呢？

（1）以数助形，求出图象上关键点的坐标。二次函数图象与y 轴交点Q 的坐标为（0，c ）

又直线过点。

联立解得点坐标为（，）

y x m Q m c y x bx c y x c

B b b c =+∴==++=+??

???--+222422

（2）依形判数，利用函数图象，结合几何图形的性质，构建关于b 、c 的方程组。

作轴于，显然有又与等底（）而不等高：：：又：：B C x C B C b c S S S S A PQ PB A P S S B C O Q O Q c c b c c B PQ A PQ A B P A PQ

A P

B A PQ ⊥=-+=∴=∴===>∴-+=42344104241

????????A ()

()

即23401b c +-=()

又抛物线与轴只有一个交点 y x bx c x =++2 ∴=-=?b c 240

2()

（3）数形结合，得出结论解(1)、(2)联立的方程组，可得b b 1243

=-，。但检验知，b 143

时，抛物线顶点在y 轴左侧，不合题意，舍去。

∴=-=∴=-+b c y x x 44

，二次函数解析式为

说明：依形判数，以数助形是解函数型综合题时重要的思想方法。此题用待定系数法求函数解析式时，根据图形的几

何性质寻找待定系数所满足的条件，列方程或方程组来求解。解题时还必须根据题目条件对结果进行检验，舍去不合题意的解，如本例中根据抛物线顶点在y 轴右侧知-

>=><=

b a

a b b 2010043

1，由已知得，所以，因而舍去。

例10. 已知：如图，把矩形纸片OABC 放入直角坐标系xOy 中，使OA 、OC 分别落在x 轴、y 轴的正半轴上，连结AC 。将?A B C 沿AC 翻折，点B 落在该坐标平面内，设这个落点为D ，CD 交x 轴于点E 。如果CE=5，OC 、OE 的长是关于x 的方程x m x 2

1120+-+=()的两个根，并且OC>OE 。（1）求点D 的坐标；

（2）如果点F 是AC 中点，判断点（8，-20）是否在过D 、F 两点的直线上，并说明理由。

几种重要的数学思想方法

几种重要的数学思想方法韩晓荣数学思想方法是数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一，学生只有领会了数学思想方法，才能有效地应用知识，形成能力，从而为解决数学问题、进行数学思维起到很好的促进作用。《数学课程标准》在对初中阶段的教学建议中要求“对于重要的数学思想方法应体现螺旋上升的、不断深化的过程，不宜集中体现”。这就要求我们教师能在实际的教学过程中不断地发现、总结、渗透数学思想方法。一、化归思想，所谓“化归”是指把待解决或未解决的问题，通过转化，归结到已经解决或比较容易解决的问题中去，最终使问题得到解决的一种思想方法。我们也常把它称之为“转化思想”。例如：解分式方程转化为解整式方程，解“二元”方程转化为解“一元”方程，解多边形问题转化为解三角形问题等等。二、数形结合的思想方法数形结合思想是指将数与图形结合起来解决问题的一种思维方式。著名的数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”这就是在强调把数和形结合起来考虑的重要性。在教材《有理数》里面用数轴上的点来表示有理数，就是最简单的数形结合思想的体现。三、分类讨论的思想方法在渗透分类讨论思想的过程中，我认为首要的是分类。比如在《有理数》研究相反数、绝对值、有理数的乘法运算的符号法则等都是按有理数分成正数、负数、零三类分别研究的：在《平面图形的认识》一章中，用分类讨论思想进行了角的分类、点和直线的位置关系的分类、两条直线位置关系的分类。这种思想方法主要可以避免漏解、错解。四、方程思想方程思想指借助解方程来求出未知量的一种解题策略。我们知道方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。所以方程思想实际上就是由实际问题抽象为方程过程的数学建模思想。例如利用一元一次方程,一元二次方程能解决好多实际问题。五、从特殊到一般的思想方法

(推荐)高中数学七大数学基本思想方法

高中数学七大数学基本思想方法第一：函数与方程思想（1）函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用。（2）方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础。考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查。第二：数形结合思想（1）数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面（2）在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系，形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化。第三：分类与整合思想（1）分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法。（2）从具体出发，选取适当的分类标准。（3）划分只是手段，分类研究才是目的。（4）有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性。（5）含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与周密性。第四：化归与转化思想（1）将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决题化归为已解决问题。（2）灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法。（3）高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化。第五：特殊与一般思想（1）通过对个例认识与研究，形成对事物的认识。（2）由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论。（3）由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程。（4）构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程。（5）高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向。第六：有限与无限的思想（1）把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路。（2）积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向。（3）立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用。（4）随着高中课程改革，对新增内容考查深入，必将加强对有限与无限的考查。第七：或然与必然的思想

数学思想与方法形成性考核册答案

、论述题 1. 分别简单叙说算术与代数的解题方法基本思想，并且比较它们的区别。解答：算术解题方法的基本思想：首先要围绕所求的数量，收集和整理各种已知的数据，并依据问题的条件列岀关于这些具体数据的算式，然后通过四则运算求得算式的结果。代数解题方法的基本思想是：首先依据问题的条件组成内含已知数和未知数的代数式，并按等量关系列岀方程，然后通过对方程进行恒等变换求岀未知数的值。它们的区别在于算术解题参与的量必须是已知的量，而代数解题允许未知的量参与运算；算术方法的关键之处是列算式，而代数方法的关键之处是列方程。 2. 比较决定性现象和随机性现象的特点，简单叙说确定数学的局限。解答：人们常常遇到两类截然不同的现象，一类是决定性现象，另一类是随机现象。决定性现象的特点是：在一定的条件下，其结果可以唯一确定。因此决定性现象的条件和结果之间存在着必然的联系，所以事先可以预知结果如何。随机现象的特点是：在一定的条件下，可能发生某种结果，也可能不发生某种结果。对于这类现象，由于条件和结果之间不存在必然性联系。在数学学科中，人们常常把研究决定性现象数量规律的那些数学分支称为确定数学。用这些的分支来定量地描述某些决定性现象的运动和变化过程，从而确定结果。但是由于随机现象条件和结果之间不存在必然性联系，因此不能用确定数学来加以定量描述。同时确定数学也无法定量地揭示大量同类随机现象中所 1. 论述社会科学数学化的主要原因。解答：从整个科学发展趋势来看，社会科学的数学化也是必然的趋势，其主要原因可以归结为有下面四个方面：第一，社会管理需要精确化的定量依据，这是促使社会科学数学化的最根本的因素。第二，社会科学的各分支逐步走向成熟，社会科学理论体系的发展也需要精确化。第三，随着数学的进一步发展，它岀现了一些适合研究社会历史现象的新的数学分支。第四，电子计算机的发展与应用，使非常复杂社会现象经过量化后可以进行数值处理。 2. 论述数学的三次危机对数学发展的作用。解答：第一次数学危机促使人们去认识和理解无理数, 导致了公理几何与逻辑的产生。第二次数学危机促使人们去深入探讨实数理论，导致了分析基础理论的完善和集合论的产生。第三次数学危机促使人们研究和分析数学悖论，导致了数理逻辑和一批现代数学的产生。由此可见，数学危机的解决，往往给数学带来新的内容，新的进展，甚至引起革命性的变革，这也反映岀矛盾斗争是事物发展的历史动力这一基本原理。整个数学的发展史就是矛盾斗争的历史，斗争的结果就是数学领域的发展。三、分析题 1. 分析《几何原本》思想方法的特点，为什么？ (1)封闭的演绎体系因为在《几何原本》中，除了推导时所需要的逻辑规则外，每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过的定理，并且引入的概念(除原蕴涵的规律性。这些是确定数学的局限所在。始概念)也基本上是符合逻辑上

历年中考数学动点问题题型方法归纳

x A O Q P B y 动点问题题型方法归纳动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。一、三角形边上动点 1、（2009年齐齐哈尔市）直线3 64 y x =- +与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动．（1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式；（3）当48 5 S = 时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类；第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。

图（3） A B C O E F A B C O D 图（1） A B O E F C 图（2） y M C D 2、（2009年衡阳市）如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，∠ABC=60o．（1）求⊙O 的直径；（2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切；（3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<

《数学思想方法》课程教学大纲

数学思想方法》课程教学大纲第一部分大纲说明一、课程的地位、性质与任务《数学思想方法》是研究数学思想方法及其教学的一门课程。随着现代科学技术的迅速发展和素质教育的全面实施，对科学思想、科学方法有着全局影响的数学思想方法其重要性日益凸现。鉴于数学思想方法在素质教育中的重要作用，《数学思想方法》被列为中央广播电视大学小学教育专业的一门重要的必修课。通过本课程的学习，使学员比较系统地获得对数学思想方法的认识，掌握实施数学思想方法教学的特点，并能运用这些理论指导小学数学教学实践。通过各个教学环节，逐步培养学员实施数学思想方法教学的能力和综合运用所学知识分析问题、解决有关实际问题的能力，为成为适应新世纪需要的高素质的小学教师打下坚实基础。二、课程主要内容及要求本课程的主要内容包括：数学思想与方法的两个源头、数学思想与方法的几次重要突破、数学的真理性、现代数学的发展趋势、演绎与化归、抽象与概括、猜想与反驳、计算与算法、应用与建模、数学思想与方法与素质教育、数学思想与方法教学、数学思想与方法教学案例。通过本课程的学习，关键在于使学员建构起关于数学思想方法的认知结构，认识数学思想方法的重要性，增强数学思想方法教学的自觉性，提高实施数学思想方法教学的水平和能力。通过“数学思想方法的发展”部分学习，帮助学员了解数学思想方法的源头、几次重要突破和现代数学的发展趋势，并能正确理解数学的真理性，确立动态的、拟经验主义的数学观。通过“数学思想方法例解 " 部分学习，使学员掌握数学教学中常用的数学思想方法及其应用。通过“数学思想方法教学" 部分学习，使学员掌握数学思想方法教学的特点，并能将所学数学思想方法初步应用于小学数学教学。三、教学媒体 1．文字教材：文字教材是学生学习课程的主要用书，是学生获得知识和能力的重要媒体，是教和学的根本依据。文字教材名称：《数学思想与方法》（顾泠沅主编，中央电大出版社出版）。 2．音像教材：《数学思想与方法》录像教材共18 讲，由首都师范大学副教授姚芳主讲。 3. 网上学习资源江苏电大在线中（https://www.doczj.com/doc/5813559011.html, ）教学辅导、实施方案、学习自测等；栏目以及中央电大在线（ https://www.doczj.com/doc/5813559011.html, ）中与本课程有关的学习资源。四、教学环节 1. 理论教学环节（课程的基本知识、理论和方法）（1）自学自学是电大学生获得知识的重要方式 , 自学能力的培养也是远程开放高等教育的目的之一 ,本课程的教学要注意对学生自学能力的培养 . 学生可以通过自学、收

(新)高中数学复习专题一---函数图象问题

专题一函数图象数形结合是中学数学的重要的数学思想方法，尤其是函数的图象更是历年高考的热点.函数图象是函数的一种表达形式，形象的显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题的结果的重要工具. 一、知识方法 1．函数图象作图方法（1）描点法：列表、描点（注意关键点：如图象与x 、y 轴的交点，端点，极值点等））、连线（注意关键线：如；对称轴，渐近线等）（2）利用基本函数图象变换。 2．图象变换（由一个图象得到另一个图象）：平移变换、对称变换和伸缩变换等。（1）平移变换 ① 水平平移：函数()y f x a =+的图象可以把函数()y f x =的图象沿x 轴方向向左 (0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到； ② 竖直平移：函数()y f x a =+的图象可以把函数()y f x =的图象沿y 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到．（2）对称变换 ① 函数()y f x =-的图象可以将函数()y f x =的图象关于y 轴对称即可得到； ② 函数()y f x =-的图象可以将函数()y f x =的图象关于x 轴对称即可得到； ③ 函数()y f x =--的图象可以将函数()y f x =的图象关于原点对称即可得到；（3）翻折变换 ① 函数|()|y f x =的图象可以将函数()y f x =的图象的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到； ② 函数(||)y f x =的图象可以将函数()y f x =的图象右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到．（4）伸缩变换 ① 函数()y af x =(0)a >的图象可以将函数()y f x =的图象中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到； ② 函数()y f ax =(0)a >的图象可以将函数()y f x =的图象中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(01a <<)或压缩(1)a >为原来的 1 a 倍得到． 3．函数图象的对称性：对于函数)(x f y =，若对定义域内的任意x 都有 ①)()(x a f x a f +=-（或))2()(x a f x f -=，则)(x f 的图象关于直线a x =对称； ②b x a f x a f 2)()(=++-（或)2)2()(b x a f x f =-+，，则)(x f 的图象关于点),(b a P 对称. 4、熟练掌握基本初等函数（如正、反比例函数，一次、二次函数，指数、对数函数，幂函数，三角函数）的图象 5、作函数图象的一般步骤：（1）求出函数的定义域；（2）化简函数式；（3）讨论函数的性质（如奇偶性、周期性、单调性）以及图像上的特殊点、线（如极值点、渐近线、对称轴等）；（4）利用基本函数的图像（5）利

数学思想与方法作业答案1234

数学思想与方法作业答案1234 作业1 一、简答题 1、分别简单叙说算术与代数的解题方法基本思想，并且比较它们的区别。答：算术解题方法的基本思想：首先要围绕所求的数量，收集和整理各种已知的数据，并依据问题的条件列出关于这些具体数据的算式，然后通过四则运算求得算式的结果。代数解题方法的基本思想是：首先依据问题的条件组成内含已知数和未知数的代数式，并按等量关系列出方程，然后通过对方程进行恒等变换求出未知数的值。它们的区别在于算术解题参与的量必须是已知的量，而代数解题允许未知的量参与运算；算术方法的关键之处是列算式，而代数方法的关键之处是列方程。 2、比较决定性现象和随机性现象的特点，简单叙说确定数学的局限。答：人们常常遇到两类截然不同的现象，一类是决定性现象，另一类是随机现象。决定性现象的特点是：在一定的条件下，其结果可以唯一确定。因此决定性现象的条件和结果之间存在着必然的联系，所以事先可以预知结果如何。随机现象的特点是：在一定的条件下，可能发生某种结果，也可能不发生某种结果。对于这类现象，由于条件和结果之间不存在必然性联系。在数学学科中，人们常常把研究决定性现象数量规律的那些数学分支称为确定数学。用这些的分支来定量地描述某些决定性现象的运动和变化过程，从而确定结果。但是由于随机现象条件和结果之间不存在必然性联系，因此不能用确定数学来加以定量描述。同时确定数学也无法定量地揭示大量同类随机现象中所蕴涵的规律性。这些是确定数学的局限所在。二、论述题 1、论述社会科学数学化的主要原因。答：从整个科学发展趋势来看，社会科学的数学化也是必然的趋势，其主要原因可以归结为有下面四个方面：第一，社会管理需要精确化的定量依据，这是促使社会科学数学化的最根本的因素。第二，社会科学的各分支逐步走向成熟，社会科学理论体系的发展也需要精确化。第三，随着数学的进一步发展，它出现了一些适合研究社会历史现象的新的数学分支。第四，电子计算机的发展与应用，使非常复杂社会现象经过量化后可以进行数值处理。2、论述数学的三次危机对数学发展的作用。答：第一次数学危机促使人们去认识和理解无理数，导致了公理几何与逻辑的产生。第二次数学危机促使人们去深入探讨实数理论，导致了分析基础理论的完善和集合论的产生。第三次数学危机促使人们研究和分析数学悖论，导致了数理逻辑和一批现代数学的产生。由此可见，数学危机的解决，往往给数学带来新的内容，新的进展，甚至引起革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史动力这一基本原理。整个数学的发展史就是矛盾斗争的历史，斗争的结果就是数学领域的发展。三、分析题 1、分析《几何原本》思想方法的特点，为什么？答：（1）封闭的演绎体系因为在《几何原本》中，除了推导时所需要的逻辑规则外，每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过的定理，并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合逻辑上对概念下定义的要求，原则上不再依赖其它东西。因此《几何原本》是一个封闭的演绎体系。另外，《几何原本》的理论体系回避任何与社会生产现实生活有关的应用问题，因此对于社

数学思想方法及其教学

数学思想方法及其教学数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系，反映到人民的意识中，经过思维活动而产生的结果。它是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识。数学思想方法是对数学的知识、内容和所使用的方法的本质的认识。它是从某些具体数学认识过程中提炼出来的观点，在后继研究和实践中被反复证实其正确性并带有一般意义和相对稳定的特征。数学思想方法是对数学规律的理性认识，它是以数学为工具进行科学研究的方法，中学数学教学中数学思想方法主要有代换、类比、分析、综合、抽象、概括等方法。数学思想与思想方法是数学知识中的“基石”，是学生获得数学能力不可或缺的重要思想，数学思想方法的训练，是把知识型转化为能力型数学的关键。学生通过数学学习，形成一定的数学思想方法是教学的重要目标之一。新课程改革的研究和实践表明：学生的数学学习不只是简单被动的“复制”活动，而是学生认识结构主动建立的过程；不仅是知识传授的过程，更应该是数学思想方法形成的过程。因此，在数学教学中注重分析数学思想方法发展的脉络，促进数学思想方法的形成，便成为构建学生数学认知结构的重要环节。对学生来说，具体的数学知识，可能地随时间的推移而遗忘，但思想方法却能长存，使其受用终生，所以数学思想方法是数学中的精髓。学生数学思想方法的形成是一个循序渐进的过程，是一个多次孕育、适时渗透的过程，在数学教学中应重视将抽象的思想方法逐渐融入具体的实在的数学知识之中，使学生对这些思想方法具有初步的感知。数学新课程的内容是由数学知识与思想方法组成的有机整体，其是知识体系是纵向展开的，而蕴含在知识之中的思想方法是纵横交错、前后联系的。在教学中不能急功近利，略去教学知识发生和发展的过程，而应适时把握好进行数学思想方法渗透的契机。如：概念的形成过程、问题被发现的过程、解题思想探求的过程，均为渗透数学思想方法的大好时机，教师应有“润物细无声”的境界，在知识生长与发展中，让数学思想方法着地、生根、发芽。渗透数学思想方法只是让学生对数学思想方法有初步的理解，而引进数学思想方法，就要求学生知道它的要素、特征及用途。由于同一内容可表示为不同的数学思想方法，而同一数学思想方法又常常分布于许多不同的知识点。因此，在单元小结复习时，就应该整理出数学思想方法系统。也可根据数学思想方法的形成过程，适时开设专题讲座，讲清知识的来龙去脉、内涵外延、作用功能等，这也是数学思想教学方法化隐为显的有效途径。有些基本的数学思想方法，如数形结合、化归、函数与方程等数学思想方法贯穿于整个中学数学，对这些应经常强调并通过“问题解决”使学生灵活运用。要重视提供含有数学思想方法的问题或情景，调动学生积极参与，在会解决问题的情况下，要求能揭示问题中蕴含的数学思想方法和使用价值。对同一问题从不同的角度去审视，根据不同的特征，用不同的数学思想方法解决。

高中数学常用思想方法

高中数学常用的数学思想一、函数与方程思想函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y ＝0。可以说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f-1(x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。例设f(x)＝lg 124 3 ++ x x a ，如果当x∈(-∞,1]时f(x)有意义，求实数a的取值范围。【分析】当x∈(-∞,1]时f(x)＝lg 124 3 ++ x x a 有意义的函数问题，转化为1＋2x＋4x a>0 在x∈(-∞,1]上恒成立的不等式问题。【解】由题设可知，不等式1＋2x＋4x a>0在x∈(-∞,1]上恒成立，即：(1 2 )2x＋( 1 2 )x＋a>0在x∈(-∞,1]上恒成立。设t＝(1 2 )x, 则t≥ 1 2 ，又设g(t)＝t2＋t＋a，其对称轴为t＝－ 1 2

数学思想与方法作业

一、简答题 1、分别简单叙说算术与代数的解题方法基本思想，并且比较它们的区别。答：算术解题方法的基本思想：首先要围绕所求的数量，收集和整理各种已知的数据，并依据问题的条件列出关于这些具体数据的算式，然后通过四则运算求得算式的结果。代数解题方法的基本思想是：首先依据问题的条件组成内含已知数和未知数的代数式，并按等量关系列出方程，然后通过对方程进行恒等变换求出未知数的值。它们的区别在于算术解题参与的量必须是已知的量，而代数解题允许未知的量参与运算；算术方法的关键之处是列算式，而代数方法的关键之处是列方程。 2、比较决定性现象和随机现象的特点，简单叙述确定数学的局限。二、论述题 1．论述社会科学数学化的主要原因。 2、论述数学的三次危机对数学发展的作用。答：第一次数学危机促使人们去认识和理解无理数，导致了公理几何与逻辑的产生。第二次数学危机促使人们去深入探讨实数理论，导致了分析基础理论的完善和集合论的产生。第三次数学危机促使人们研究和分析数学悖论，导致了数理逻辑和一批现代数学的产生。由此可见，数学危机的解决，往往给数学带来新的内容，新的进展，甚至引起革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史动力这一基本原理。整个数学的发展史就是矛盾斗争的历史，斗争的结果就是数学领域的发展。三、分析题 1．分析《几何原本》思想方法的特点，为什么？ 2、分析《九章算术》思想方法的特点，为什么？答：（1）开放的归纳体系从《九章算术》的内容可以看出，它是以应用问题解法集成的体例编纂而成的书，因此它是一个与社会实践紧密联系的开放体系。在《九章算术》中通常是先举出一些问题，从中归纳出某一类问题的一般解法；再把各类算法综合起来，得到解决该领域中各种问题的方法；最后，把解决各领域中问题的数学方法全部综合起来，就得到整个《九章算术》。另外该书还按解决问题的不同数学方法进行归纳，从这些方法中提炼出数学模型，最后再以数学模型立章写入《九章算术》。因此，《九章算术》是一个开放的归纳体系。（2）算法化的内容《九章算术》在每一章内先列举若干个实际问题，并对每个问题都给出答案，然后再给出“术”，作为一类问题的共同解法。因此，内容的算法化是《九章算术》思想方法上的特点之一。（3）模型化的方法《九章算术》各章都是先从相应的社会实践中选择具有典型意义的现实原型，并把它们表述成问题，然后通过“术”使其转化为数学模型。当然有的章采取的是由数学模型到原型的过程，即先给出数学模型，然后再举出可以应用的原型。

数学思想与方法作业1-4参考解答

一、简答题 1. 分别简单叙说算术与代数的解题方法基本思想，并且比较它们的区别。解答：算术解题方法的基本思想：首先要围绕所求的数量，收集和整理各种已知的数据，并依据问题的条件列出关于这些具体数据的算式，然后通过四则运算求得算式的结果。代数解题方法的基本思想是：首先依据问题的条件组成内含已知数和未知数的代数式，并按等量关系列出方程，然后通过对方程进行恒等变换求出未知数的值。它们的区别在于算术解题参与的量必须是已知的量，而代数解题允许未知的量参与运算；算术方法的关键之处是列算式，而代数方法的关键之处是列方程。 2. 比较决定性现象和随机性现象的特点，简单叙说确定数学的局限。解答：人们常常遇到两类截然不同的现象，一类是决定性现象，另一类是随机现象。决定性现象的特点是：在一定的条件下，其结果可以唯一确定。因此决定性现象的条件和结果之间存在着必然的联系，所以事先可以预知结果如何。随机现象的特点是：在一定的条件下，可能发生某种结果，也可能不发生某种结果。对于这类现象，由于条件和结果之间不存在必然性联系。在数学学科中，人们常常把研究决定性现象数量规律的那些数学分支称为确定数学。用这些的分支来定量地描述某些决定性现象的运动和变化过程，从而确定结果。但是由于随机现象条件和结果之间不存在必然性联系，因此不能用确定数学来加以定量描述。同时确定数学也无法定量地揭示大量同类随机现象中所蕴涵的规律性。这些是确定数学的局限所在。二、论述题 1. 论述社会科学数学化的主要原因。解答：从整个科学发展趋势来看，社会科学的数学化也是必然的趋势，其主要原因可以归结为有下面四个方面：第一，社会管理需要精确化的定量依据，这是促使社会科学数学化的最根本的因素。第二，社会科学的各分支逐步走向成熟，社会科学理论体系的发展也需要精确化。第三，随着数学的进一步发展，它出现了一些适合研究社会历史现象的新的数学分支。第四，电子计算机的发展与应用，使非常复杂社会现象经过量化后可以进行数值处理。 2. 论述数学的三次危机对数学发展的作用。解答：第一次数学危机促使人们去认识和理解无理数，导致了公理几何与逻辑的产生。第二次数学危机促使人们去深入探讨实数理论，导致了分析基础理论的完善和集合论的产生。第三次数学危机促使人们研究和分析数学悖论，导致了数理逻辑和一批现代数学的产生。由此可见，数学危机的解决，往往给数学带来新的内容，新的进展，甚至引起革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史动力这一基本原理。整个数学的发展史就是矛盾斗争的历史，斗争的结果就是数学领域的发展。三、分析题 1. 分析《几何原本》思想方法的特点，为什么？（1）封闭的演绎体系因为在《几何原本》中，除了推导时所需要的逻辑规则外，每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过的定理，并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合逻辑上对概念下定义的要求，原则上不再依赖其它东西。因此《几何原本》是一个封闭的演绎体系。另外，《几何原本》的理论体系回避任何与社会生产现实生活有关的应用问题，因此对于社会生活的各个领域来说，它也是封闭的。所以，《几何原本》是一个封闭的演绎体系。（2）抽象化的内容

中考数学动点问题题型方法归纳

x A O Q P B y 图（3） A B C O E F A B C O D 图（1） A B O E F C 图（2）动点问题题型方法归纳动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。一、三角形边上动点 1、（2009年齐齐哈尔市）直线3 64 y x =- +与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动．（1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式；（3）当48 5 S = 时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．解：1、A （8，0） B （0，6） 2、当0＜t ＜3时，S=t 2 当3＜t ＜8时，S=3／8(8-t)t 提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类；第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。 2、（2009年衡阳市）如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ， ∠ABC=60o．（1）求⊙O 的直径；（2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切；（3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<

数学思想方法及其教学建议

摘要：数学思想方法是数学的灵魂，本文论述了数学思想及数学思想方法的概念和特征，并结合《数学课程标准》的要求，通过高考与数学思想方法的内在联系，提出了在数学教学中渗透数学思想方法的建议，从而进一步明确了数学思想方法的本质地位。关键词：数学思想，数学思想方法，数学课程标准，高考数学思想方法是数学的灵魂。引导学生领悟和掌握以数学知识为载体的数学思想方法，是提高学生思维水平，真正知晓数学的价值，建立正确的数学观念，从而发展数学、运用数学的重要保证。一、对数学思想方法的认识数学思想是数学中的理性认识，是数学知识的本质，是数学中的高度抽象、概括的内容，它蕴涵于运用数学方法分析、处理和解决数学问题的过程之中，直接支配着数学的实践活动。数学方法是解决问题的策略与程序，是数学思想具体化的反映。从这一意义上来讲，数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学的行为，数学思想对数学方法起着指导作用，是数学结构中的有力支柱。数学思想方法是对数学知识的本质认识，是从具体的数学内容和对数学的认识过程中抽象、概括、提炼的数学观点，是数学知识的精髓，是知识转化为能力的桥梁，是建立数学和用数学解决问题的指导思想。掌握好数学思想方法能对数学知识本质的认识不断深化，在解决问题过程中减少盲目性，增加针对性，提高分析问题和解决问题能力都具有本质性、概括性和指导性的意义。数学思想方法具有层次性，第一层次是与某些特殊问题联系在一起的方法，通常称为“解题术”；第二层次是解决一类问题时采用的共同方法，称为“解题方法”；第三层次是数学思想，这是人们对数学知识以及数学方法的本质认识；第四层次是数学观念，这是数学思想方法的最高境界，是一种认识客观世界的哲学思想。具体来说，数学思想方法主要表现在以下三个方面：一是常用的数学方法，如配方法，换元法，消元法，待定系数法等；二是常用的数学思想，如集合思想、对应思想、符号化思想、公理化思想、极限思想等。三是数学思想方法，如观察与实验，概括与抽象，类比、归纳和演绎等。数学思想与方法包括数学一般方法、逻辑学中的方法（思维方法）和数学思想方法三类。数学一般方法又包括配方法、换元法、待定系数法、判别式法、割补法等；逻辑学中的方法（思维方法）包括分析法、综合法、归纳法、反证法等；数学思想方法包括函数和方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、化归思想等。二、《数学课程标准》的要求数学思想方法的本质地位，决定了其成为《数学课程标准》的核心。在《数学课程标准》中，一方面在课程的理念、目标中，明确提出了对数学思想方法的要求。另一方面，在课程内容标准中，对数学思想方法的要求几乎渗透到每一个模块和专题中，同时在实施建议部分也作了相应的要求。《全日制义务教育数学课程标准》的总体目标第一条便是：获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以

(完整版)高中数学四大思想方法

高中数学四大思想方法 ————读《什么是数学》笔记《什么是数学》这本书是一本数学经典名著，它收集了许多闪光的数学珍品。它的目标之一是反击这样的思想："数学不是别的东西，而只是从定义和公理推导出来的一组结论，而这些定义和命题除了必须不矛盾外，可以由数学家根据他们的意志随意创造。"简言之，这本书想把真实的意义放回数学中去。但这是与物质现实非常不同的那种意义。数学对象的意义说的是"数学上'不加定义的对象'之间的相互关系以及它们所遵循的运算法则"。数学对象是什么并不重要，重要的是做了什么。这样，数学就艰难地徘徊在现实与非现实之间；它的意义不存在于形式的抽象中，也不存在于具体的实物中。对喜欢梳理概念的哲学家，这可能是个问题，但却是数学的巨大力量所在--我们称它为，所谓的"非现实的现实性"。数学联结了心灵感知的抽象世界和完全没有生命的真实的物质世界。我根据自己在数学方面的兴趣，基于已有的数学背景知识，选取一部分和高中有关的内容进行舒心愉快的阅读。重新总结了高中数学中的数学四大思想方法：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合；函数与方程函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y＝0。可以说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。等价转化等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范

电大数学思想与方法形考作业

第一关题目13 巴比伦人是最早将数学应用于（）的。在现有的泥板中有复利问题及指数方程。选择一项： A. 农业 B. 工程 C. 商业 D. 运输题目2《九章算术》成书于（），它包括了算术、代数、几何的绝大部分初等数学知识。选择一项： A. 战国时期 B. 商朝 C. 汉朝 D. 西汉末年题目3金字塔的四面都正确地指向东南西北，在没有罗盘的四、五千年的古代，方位能如此精确，无疑是使用了（）的方法。选择一项： A. 几何测量 B. 代数计算 C. 天文测量 D. 占卜题目4在丢番图时代(约250)以前的一切代数学都是用（）表示的，甚至在十五世纪以前，西欧的代数学几乎都是用（）表示。选择一项： A. 符号，符号 B. 文字，文字 C. 符号，文字

D. 文字，符号题目5古埃及数学最辉煌的成就可以说是（）的发现。选择一项： A. 四棱锥台体积公式 B. 球体积公式 C. 进位制的发明 D. 圆面积公式题目6《几何原本》中的素材并非是欧几里得所独创，大部分材料来自同他一起学习的（）。选择一项： A. 毕达哥拉斯学派 B. 柏拉图学派 C. 亚历山大学派 D. 爱奥尼亚学派题目7古印度人对时间和空间的看法与现代天文学十分相像，他们认为一劫（“劫”指时间长度）的长度就是（），这个数字和现代人们计算的宇宙年龄十分接近。选择一项： A. 1亿年 B. 10亿年 C. 1000亿年 D. 100亿年题目8根据亚里士多德的想法，一个完整的理论体系应该是一种演绎体系的结构，知识都是从（）中演绎出的结论。选择一项： A. 自然命题 B. 一般原理 C. 最终原理 D. 初始原理

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