空间几何体的表面积与体积专题
一、选择题
1．棱长为2的正四面体的表面积是( C )．
A.3B ．4 C ．43D ．16
解析 每个面的面积为：12×2×2×32
＝ 3.∴正四面体的表面积为：4 3. 2．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的( B )．
A ．2倍
B ．22倍 C.2倍 D.32倍
解析 由题意知球的半径扩大到原来的2倍，则体积V ＝43
πR 3，知体积扩大到原来的22倍． 3．如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，则该多面体的体积为( B )．
A.1423
B.2843
C.2803
D.1403
解析 根据三视图的知识及特点，可画出多面体
的形状，如图所示．这个多面体是由长方体截去
一个正三棱锥而得到的，所以所求多面体的体积
V ＝V 长方体－V 正三棱锥＝4×4×6－13×? ????12×2×2×2＝2843
. 4．某几何体的三视图如下，则它的体积是( A)
A ．8－2π3
B ．8－π3
C ．8－2π D.2π3
解析由三视图可知该几何体是一个边长为2的正方体内部挖去一个底面半径
为1，高为2的圆锥，所以V ＝23－13×π×2＝8－2π3
. 5．已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆的半径为1，则该几何
体的体积为( A)A ．24－32π B．24－π3C ．24－π D．24－π2
据三视图可得几何体为一长方体内挖去一个半圆柱，其中长方体的棱长分
别为：2,3,4，半圆柱的底面半径为1，母线长为3，故其体积V ＝2×3×4－12×π×12×3＝24－3π2
. 6．某品牌香水瓶的三视图如图 (单位：cm)，则该几何体的表面积为( C )
A.? ????95－π2 cm 2
B.?
????94－π2 cm 2 C.? ????94＋π2 cm 2D.?
????95＋π2 cm 2 解析 这个空间几何体上面是一个四棱柱、中间部分是一个圆柱、
下面是一个四棱柱．上面四棱柱的表面积为2×3×3＋12×1－π
4
＝30－π4；中间部分的表面积为2π×12
×1＝π，下面部分的表面积为2×4×4＋16×2－π4＝64－π4.故其表面积是94＋π2
.
7．已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝3，∠ASC ＝∠BSC ＝30°，则棱锥S-ABC 的体积为( C)．
A ．33
B ．2 3 C. 3 D ．1
解析 由题可知AB 一定在与直径SC 垂直的小圆面上，作过AB 的小圆交直径SC 于D ，设SD ＝x ，则DC ＝4－x ，此时所求棱锥即分割成两个棱锥S-ABD 和C-ABD ，在△SAD 和△SBD 中，由已知条件可得AD ＝BD ＝33
x ，又因为SC 为直径，所以∠SBC ＝∠SAC ＝90°，所以∠DCB ＝∠DCA ＝60°，在△BDC 中 ，BD ＝3(4－x )，所以
33x ＝3(4－x )，所以x ＝3，AD ＝BD ＝3，所以三角形ABD 为正三角形，所以V ＝13
S △ABD ×4＝ 3. 二、填空题
8．三棱锥PABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA ＝3，底面ABC 是边长为2的正三角形，则三棱锥PABC 的体积等于__3______．解析 依题意有，三棱锥PABC 的体积V ＝13S △ABC ·|PA |＝13×34
×22×3＝ 3. 9．一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为_3∶2_______．
解析设圆柱的底面半径是r ，则该圆柱的母线长是2r ，圆柱的侧面积是2πr ·2r ＝4πr 2，设球的半径是R ，则球的表面积是4πR 2，根据已知4πR 2＝4πr 2，所以R ＝r .所以圆柱的体积是πr 2·2r
＝2πr 3，球的体积是43πr 3，所以圆柱的体积和球的体积的比是2πr 3
43πr 3
＝3∶2. 10．如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是___26
_____．
解析由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为
3
2
，连
接顶点和底面中心即为高，可求得高为
2
2
，所以体积V＝
1
3
×1×1×
2
2
＝
2
6
.
11．如图，半径为R的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是____2πR2____．
解析由球的半径为R，可知球的表面积为4πR2.设内接圆柱底面半径为r，高为
2h，则h2＋r2＝R2.而圆柱的侧面积为2πr·2h＝4πrh≤4πr2＋h2
2
＝2πR2(当且仅
当r＝h时等号成立)，即内接圆柱的侧面积最大值为2πR2，此时球的表面积与内接圆柱的侧面积之差为2πR2.
12．如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2 cm，高为5 cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A
1
的最短路线的长为___13_____cm. 解析根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为52＋122＝13 (cm)．三、解答题
13．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示，墩的上
半部分是正四棱锥PEFGH，下半部分是长方体ABCDEFGH.图2、图
3分别是该标识墩的正视图和俯视图．
(1)请画出该安全标识墩的侧视图；
(2)求该安全标识墩的体积．
解析(1)侧视图同正视图，如图所示：(2)该安全标识墩的体积为
V＝V
PEFGH ＋V ABCDEFGH＝
1
3
×402×60＋402×20＝64 000(cm3)．
14 .一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为3，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的表面积S.
解析 (1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为3，所以V＝1×1×3＝ 3.
(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，
所以AA1＝2，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形，
S ＝2×(1×1＋1×3＋1×2)＝6＋2 3.
15．已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底
边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为
4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ；(2)求该几何体的侧面积S .
解析 由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h 1的等腰三角形，左、
右侧面均为底边长为6，高为h 2的等腰三角形，如右图所示．
(1)几何体的体积为：V ＝13·S 矩形·h ＝13
×6×8×4＝64. (2)正侧面及相对侧面底边上的高为：h 1＝42＋32＝5.左、右侧面的底边上的高为：h 2＝42＋42＝
4 2.故几何体的侧面面积为：S ＝2×? ??
??12×8×5＋12×6×42＝40＋24 2. 1.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）..
解：设展开图的正方形边长为a ，圆柱的底面半径为r ，则2πr =a ，2a r π
=，底面圆的面积是24a π，于是全面积与侧面积的比是2
221222a a a πππ
++=， 2．在棱长为 1 的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去与8个顶点相关的8个三棱锥后 ，剩下的几何体的体积是（ ）.
2．解：正方体的体积为1，过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体截得的三棱锥的体积是
111111()3222248
????=，于是8个三棱锥的体积是61，剩余部分的体积是65， 3．一个直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）的底面是菱形，对角线长分别是6cm 和8cm ，高是5cm ，则这个直棱柱的全面积是。
3．答案：148cm 2
解：底面菱形中，对角线长分别是6cm 和8cm ，所以底面边长是5cm ，
侧面面积是4×5×5=100cm 2，两个底面面积是48cm 2，
所以棱柱的全面积是148cm 2.
4．已知两个母线长相等的圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1：2，则它们的高之比为。
4．答案：22：5
解：设圆柱的母线长为l ，因为两个圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1：
2，所以它们的展开图即扇形的圆心角分别是23π和43
π， 由圆锥侧面展开图扇形的圆心角的计算公式2r l πθ=，得13l r =，223
l r =，