常见不等式的解法(教师版)
一、一元一次不等式 解下列关于x 的不等式
1、2x+3>5
2、-2x+5<6
3、ax>1
4、不等式3(x +1)≥5x -9的正整数解是_________
5、已知关于x 的不等式(3a -2)x +2<3的解集是41
-
>x ,则a =______.
二、一元二次不等式
1、2
2x ≥ 2、2(1)2x -< 3、x 2+x -2≤4 4、若0＜a ＜1，则不等式(x -a )(x -a 1)＜0的解是______.a ＜x ＜a 1
5、已知不等式022>++bx ax 的解集为???
?
??<<-3121 x x ，则b a +的值为______.-14
6、不等式2x 2-3|x |-35>0的解为______..x <-5或x >5
7、方程实数根，有两个不相等的 0122
=+++m x m mx )(则实数m 的取值范围是______.0
41
≠->m m 且
8、不等式02
≤++n mx x 的解集是{}32≤≤-x x |，则m = __，n = __.-1;-6
9、函数的定义域为22--=
x x x f )(______________{2≥x x 或}1-≤x
10、对于任意实数x ，一元二次不等式(2m -1)x 2+(m +1)x +(m -4)＞0恒成立，则实数m 的取值范围是______. m ＞5
11、函数()f x =R ，则a 的取值范围是_________ 【0,8】
1）标准化：移项通分化为
()
()
f x
g x
>(或
()
()
f x
g x
<)；
()
()
f x
g x
≥(或
()
()
f x
g x
≤)的形式，
2）转化为整式不等式（组）
()()0 ()()
0()()00
()0 ()()
f x
g x
f x f x
f x
g x
g x
g x g x
≥
?
>?>≥??
≠
?
；
1. 不等式
2
2
231
372
x x
x x
++
>
-+
的解集是 2. 不等式
31
1
3
x
x
+
>-
-
的解集是
3. 不等式
2
2
237
1
2
x x
x x
+-
≥
--
的解集是 4. 不等式
11
11
x x
x x
-+
<
+-
的解集是
5. 不等式
2
29
1
52
x x
x
--
<
+
的解集是 6. 不等式
2
2
32
712
x x
x x
-+
>
-+
的解集是
7. 不等式
2
1
21
x x
x
+
≤
+
的解集是 8. 不等式
21
1
2
x
x
-
>
-+
的解集是
9. 不等式23
2
34
x
x
-
≤
-
的解集是 10. 不等式
2
2
1
2
(1)(1)
x
x x
-
<
+-
的解集是
答案
1. 2. (-2，3)3. 4.
5. 6. 7. 8. (1，2)
9. 10.
无理不等式一般是指在根号下含有未知数的不等式，今天我们主要研究在二次根号下含有未知数的简单的无理不等式的解法。
题型Ⅰ：??
???>??
??
≥≥?>
)()(0)()0)(()()(x g x f x g x f x g x f 定义域
型 例一 解不等式0343>---x x
解：移项：343->-x x ???
?
???
>≥≥??????->-≥-≥-?2133
43430
3043x x x x x x x ∴3≥x ∴不等式的解集是：{3|≥x x } 练习一：解不等式⑴0231≤---x x ⑵125->-x x
解：⑴移项：231-≤-x x
∴??
???≥≤????-≥-≥-43112301x x x x x ∴143≤≤x ∴原不等式的解集为??????≤≤143|x x ⑵?
?
?<≥???
?->-≥-21
12501x x x x x ∴21<≤x ∴原不等式的解集为{21|<≤x x } 例二 解不等式 125->-x x
解：原不等式的解集等价于下面两个不等式组解集的并集：
Ⅰ：??
???->-≥-≥-2
)1(250
10
25x x x x 或 Ⅱ：???<-≥-010
25x x 解Ⅰ：???
????
<<-≥≤22125x x x 解Ⅱ：?????<≤
125x x
即：21<≤x 或 1 ???<≥?? ? ??>≥≥?>0)(0)()] ([)(0)(0 )()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或型 练习二：解不等式x x x 211322 +>+- 解：原不等式的解集等价于下面两个不等式组解集的并集： Ⅰ：??? ??+>+-≥+≥+-2 22)21(1320210 132x x x x x x 或 Ⅱ：???<+≥+-02101322x x x 解Ⅰ：??? ?????? <<--≥≤≥0 2 721211x x x x 或 解Ⅱ：??????-<≤≥21211x x x 或 即：021<≤- x 或 2 1 - 四、含绝对值的不等式的解法 (一)、公式法：即利用 a x >与a x <的解集求解。 a x >与a x <型的不等式的解法。 当0>a 时，不等式 >x 的解集是__________________ 当0的解集是________________ 不等式 a x <的解集是________________ 不等式a x <的解集是________________ 例1 解不等式 32<-x 答案为{}51<<-x x 。 (二)、定义法:即利用(0), 0(0),(0).a a a a a a >?? ==??- 去掉绝对值再解。 例2.解不等式 22 x x x x > ++。 解:原不等式等价于 2 x x +＜0?x(x+2)＜0?-2＜x ＜0。 (三)、平方法:解()()f x g x >型不等式。 例3、解不等式123x x ->-。 解:原不等式?2 2 (1)(23)x x ->-?2 2 (23)(1)0x x --- 23 x <<。 (四)、零点分段法：即通过合理分类去绝对值后再求解。 例4 .解不等式125x x -++<。 解:当x ＜-2时，得2 (1)(2)5 x x x <-?? ---+ 解得：23-<<-x 当-2≤x ≤1时，得21, (1)(2)5x x x -≤≤??--++ 解得：12≤≤-x 当1>x 时，得1, (1)(2) 5. x x x >?? -++ 综上，原不等式的解集为 {}23<<-x x 。 (五)、几何法：即转化为几何知识求解。 例5 对任何实数x ，若不等式12x x k +-->恒成立，则实数k 的取值范围为 ( ) (A)k<3 (B)k<-3 (C)k ≤3 (D) k ≤-3 分析:设12y x x =+--，则原式对任意实数x 恒成立的充要条件是min k y <，于是题转化为求y 的最小值。 解:1x +、2x -的几何意义分别为数轴上点x 到-1和2的距离1x +-2x -的几何意义为数轴上点x 到-1与2的距离之差，如图可得其最小值为-3，故选（B ）。 （六）、巩固练习 1、设函数 )2(,312)(-++-=f x x x f 则＝ ;若2)(≤x f ，则x 的取值范围是 . 2、不等式 12 1 ≥++x x 的实数解为 ． 3、若不等式 62<+ax 的解集为()1,2-，则实数a 等于 （ ） .A 8 .B 2 .C 4- .D 8- 4、()1对任意实数x ，|1||2|x x a ++->恒成立，则a 的取值范围是 ； ()2对任意实数x ，|1||3|x x a --+<恒成立，则a 的取值范围是 ； ()3若关于x 的不等式|4||3|x x a -++<的解集不是空集，则a 的取值范围是 ； 5、不等式 x x 3102≤-的解集为（ ） .A {|2x x ≤≤ .B {}|25x x -≤≤ .C {}|25x x ≤≤ .D {}| 5 x x ≤≤ 6、解不等式：221>-+-x x 7、方程 x x x x x x 32322 2++=++的解集为 ，不等式x x x x ->-22的解集是 ； 8、不等式 x 0)21(>-x 的解集是（ ） .A )21,(-∞ .B )21,0()0,( -∞ .C ),21(+∞ .D )2 1,0( 9、不等式1|1|3x <+<的解集为（ ）. .A (0,2) .B (2,0)(- .C (4,0)- .D (4,2)(0,2)-- （参考答案） 1、 6 ； ? ； 2、)2 3 ,2()2,(- ---∞ 3、C 4、⑴ 3a ； ⑶ 7>a ； 5、C 6、? ?? ? ??><2521x a x x 或 7、 {}023>≤<-x x x 或；{}02<>x x x 或 8、C 9、D 常见不等式的解法(学生版) 一、一元一次不等式 解下列关于x 的不等式 1、2x+3>5 2、-2x+5<6 3、ax>1 4、不等式3(x +1)≥5x -9的正整数解是_________ 5、已知关于x 的不等式(3a -2)x +2<3的解集是41 - >x ,则a =______. 二、一元二次不等式 1、2 2x ≥ 2、2(1)2x -< 3、x 2+x -2≤4 4、若0＜a ＜1，则不等式(x -a )(x -a 1 )＜0的解是______. 5、已知不等式022>++bx ax 的解集为???? ??<<-3121 x x ，则b a +的值为______. 6、不等式2x 2-3|x |-35>0的解为______. 7、方程实数根，有两个不相等的 0122 =+++m x m mx )(则实数m 的取值范围是______. 8、不等式02 ≤++n mx x 的解集是{}32≤≤-x x |，则m = __，n = __. 9、函数的定义域为22--=x x x f )(______________ 10、对于任意实数x ，一元二次不等式(2m -1)x 2+(m +1)x +(m -4)＞0恒成立，则实数m 的取值范围是______. 11、函数()f x =R ，则a 的取值范围是_________ 1. 不等式 2 2 231 372 x x x x ++ > -+ 的解集是 2. 不等式 31 1 3 x x + >- - 的解集是 3. 不等式 2 2 237 1 2 x x x x +- ≥ -- 的解集是 4. 不等式 11 11 x x x x -+ < +- 的解集是 5. 不等式 2 29 1 52 x x x -- < + 的解集是 6. 不等式 2 2 32 712 x x x x -+ > -+ 的解集是 1. 2. (-2，3)3. 4. 5. 6. 无理不等式一般是指在根号下含有未知数的不等式，今天我们主要研究在二次根号下含有未知数的简单的无理不等式的解法。 题型Ⅰ：?? ???>?? ?? ≥≥?> )()(0)()0)(()()(x g x f x g x f x g x f 定义域 型 例一 解不等式0343>---x x 练习一：解不等式⑴0231≤---x x ⑵125->-x x 题型Ⅱ： ? ??<≥?? ? ??>≥≥?>0)(0)()]([)(0)(0 )()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或型 例二 解不等式 125->-x x 练习二：解不等式x x x 211322 +>+- 题型Ⅰ练习一(1)? ?? ? ??≤≤143| x x (2) 21|<≤x x 题型Ⅱ 0| 四、含绝对值的不等式的解法 (一)、公式法：即利用 a x >与a x <的解集求解。 a x >与a x <型的不等式的解法。 当0>a 时，不等式 >x 的解集是__________________ 当0的解集是________________ 不等式 a x <的解集是________________ 不等式a x <的解集是________________ 例1 解不等式32<-x (二)、定义法:即利用(0), 0(0),(0).a a a a a a >?? ==??- 去掉绝对值再解。 例2.解不等式 22 x x x x > ++。 (三)、平方法:解()()f x g x >型不等式。 例3、解不等式123x x ->-。 (四)、零点分段法：即通过合理分类去绝对值后再求解。 例4 .解不等式125x x -++<。 (五)、几何法：即转化为几何知识求解。 例5 对任何实数x ，若不等式12x x k +-->恒成立，则实数k 的取值范围为 ( ) (A)k<3 (B)k<-3 (C)k ≤3 (D) k ≤-3 （六）、巩固练习 1、设函数 )2(,312)(-++-=f x x x f 则＝ ;若2)(≤x f ，则x 的取值范围是 . 2、不等式 12 1 ≥++x x 的实数解为 ． 3、若不等式 62<+ax 的解集为()1,2-，则实数a 等于 （ ） .A 8 .B 2 .C 4- .D 8- 4、()1对任意实数x ，|1||2|x x a ++->恒成立，则a 的取值范围是 ； ()2对任意实数x ，|1||3|x x a --+<恒成立，则a 的取值范围是 ； ()3若关于x 的不等式|4||3|x x a -++<的解集不是空集，则a 的取值范围是 ； 5、不等式 x x 3102≤-的解集为（ ） .A {|2x x ≤≤ .B {}|25x x -≤≤ .C {}|25x x ≤≤ . D {}| 5 x x ≤≤ 6、解不等式：221>-+-x x 7、方程 x x x x x x 32322 2++=++的解集为 ，不等式x x x x ->-22的解集是 ； 8、不等式 x 0)21(>-x 的解集是（ ） . A )21,(-∞ . B )21,0()0,( -∞ . C ),21(+∞ . D )2 1,0( 9、不等式1|1|3x <+<的解集为（ ）. .A (0,2) .B (2,0)(- .C (4,0)- .D (4,2)(0,2)-- （参考答案） 1、 6 ； ? ； 2、)2 3 ,2()2,(----∞ 3、C 4、⑴ 3a ； ⑶ 7>a ； 5、C 6、???? ?? ><2521x a x x 或 7、 {}023>≤<-x x x 或；{}02<>x x x 或 8、C 9、D 主 题 其他不等式的解法 教学内容 1. 掌握分式不等式的解法； 2. 掌握含绝对值不等式的解法。 一、分式不等式： 解一元二次不等式0)1)(4(<-+x x ，我们还可以用分类讨论的思想来求解 因为满足不等式组???<->+0104x x 或???>-<+0 104x x 的x 都能使原不等式0)1)(4(<-+x x 成立，且反过来也是对的，故原不等式的解集是两个一元二次不等式组解集的并集． 试着用这种方法解下列三个不等式，你发现和我们用图像解的答案一样吗？ （1）0)3)(2(>-+x x （2）0)2(<-x x （3）)(0))((b a b x a x >>-- 让学生说说是怎么讨论的，最终大家会发现，无论是哪种理解方法，最终的结论是一样的，当二次项系数为正时，小于零是两根之间，大于零是两根之外。 （1） ()()303202 x x x x ->-->-与解集是否相同，为什么？ （2）()()303202x x x x -≥--≥-与解集是否相同，为什么？ 通过转化为一元一次不等式组，进而进行比较。会发现（1）的解集是相同的，（2）的解集是不同的，由于分母不能为零，分式的不等式端点2不能取等。 练习：解不等式 （1） 073<+-x x （2）025152≤+-x x 解：（1）07 3<+-x x 与(3)(7)0x x -+<的解集相同， 解(3)(7)0x x -+<得：73x -<< 所以原不等式解集为：(7,3)- （2）025152≤+-x x 与(215)(52)0520x x x -+≤??+≠? 的解集相同 解(215)(52)0520x x x -+≤?? +≠? 得：51522x -<≤ 二、绝对值不等式： 1. a x >与a x <型的不等式的解法。 当0>a 时，不等式x a >的解集是 {},x x a x a ><-或 不等式a x <的解集是 {}x a x a -<<； 引导学生结合绝对值的几何意义，通过数轴求解 当0的解集是 R 不等式 a x <的解集是 ； φ 用绝对值的非负性很容易理解 2. c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。 把 b ax + 看作一个整体时，可化为a x <与a x >型的不等式来求解。 当0>c 时，不等式c b ax >+的解集是{}c b ax c b ax x -<+>+或, 不等式c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-; 当0 考试内容： 不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式． 考试要求： （1）理解不等式的性质及其证明． （2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用． （3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （4）掌握简单不等式的解法． （5）理解不等式│a │-│b │≤│a+b │≤│a │+│b │ §06. 不 等 式 知识要点 1. 不等式的基本概念 （1） 不等（等）号的定义：.0;0;0b a b a b a b a b a b a ?>- （2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3） 同向不等式与异向不等式. （4） 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 （1）a b b a （对称性） （2）c a c b b a >?>>,（传递性） （3）c b c a b a +>+?>（加法单调性） （4）d b c a d c b a +>+?>>,（同向不等式相加） （5）d b c a d c b a ->-?<>,（异向不等式相减） （6）bc ac c b a >?>>0,. （7）bc ac c b a 0,（乘法单调性） （8）bd ac d c b a >?>>>>0,0（同向不等式相乘） (9)0,0a b a b c d c d >><（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b >>? <（倒数关系） （11）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（平方法则） （12）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（开方法则） 3.几个重要不等式 （1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若 （2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号） （3）如果a ,b 都是正数，那么 .2 a b +≤（当仅当a=b 时取等号） 极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则： ○ 1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等. 常见不等式通用解法总结 一、基础的一元二次不等式，可化为类似一元二次不等式的不等式 ①基础一元二次不等式 如2260x x --<，2210x x -->，对于这样能够直接配方或者因式分解的基础一元二次不等式，重点关注解区间的“形状”。 当二次项系数大于0，不等号为小于（或小于等于号）时，解区间为两根的中间。 2260x x --<的解为3 (,2)2 - 当二次项系数大于0，不等号为大于（或大于等于号）时，解区间为两根的两边。 2210x x --> 的解为(,1(1)-∞?+∞ 当二次项系数小于0时，化成二次项系数大于0的情况考虑。 ②可化为类似一元二次不等式的不等式（换元） 如1392x x +->，令3x t =，原不等式就变为2320t t -+<，再算出t 的范围，进而算出x 的范围 又如243 2 x ax >+ ，令2t x =，再对a 进行分类讨论来确定不等式的解集 ③含参数的一元二次不等式 解法步骤总结： 如不等式210x ax ++>，首先发现二次项系数大于0，而且此不等式无法直接看出两根，所以，讨论24a ?=-的正负性即可。 此不等式的解集为0,0,{|}20,()R a x R x ? ??-∞?+∞? 又如不等式223()0x a a x a -++>，发现其可以通过因式分解化为2()()0x a x a -->，所 以只需要判定2a 和a 的大小即可。 此不等式的解集为22 01,{|}01,(,)(,)01,(,)(,) a or a x R x a a a a a or a a a ==∈≠?? <<-∞?+∞??<>-∞?+∞? 含参不等式专题（淮阳中学） 编写：孙宜俊 当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型（即是那一种不等式）的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。解参数不等式一直是高考所考查的重点内容，也是同学们在学习中经常遇到但又难以顺利解决的问题。下面举例说明，以供同学们学习。 解含参的一元二次方程的解法，在具体问题里面，按分类的需要有讨论如下四种情况： （1） 二次项的系数；（2）判别式；（3）不等号方向（4）根的大小。 一、含参数的一元二次不等式的解法： 1．二次项系数为常数（能分解因式先分解因式，不能得先考虑0≥?） 例1、解关于x 的不等式0)1(2>++-a x a x 。 解：0)1)((2>--x a x 1,0)1)((==?=--x a x x a x 令 为方程的两个根 （因为a 与1的大小关系不知，所以要分类讨论） （1）当1或 （2）当1>a 时，不等式的解集为}1|{<>x a x x 或 （3）当1=a 时，不等式的解集为}1|{≠x x 综上所述： （1）当1或 （2）当1>a 时，不等式的解集为}1|{<>x a x x 或 （3）当1=a 时，不等式的解集为}1|{≠x x 变题1、解不等式0)1(2>++-a x a x ； 2、解不等式0)(322>++-a x a a x 。 专题：基本不等式求最值的类型及方法 一、几个重要的基本不等式： ①，、)(2 22 22 2 R b a b a a b ab b a ∈+≤ ?≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②， 、)(222 + ∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③， 、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； ④)(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链： b a 11 2 +2 a b +≤≤≤2 2 2b a +。 二、函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+=b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ； ②单调递增区间：(,-∞ ，)+∞ ；单调递减区间：(0, ，[0). 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。 例1、求函数2 1 (1)2(1) y x x x =+ >-的最小值。 解析：21(1)2(1)y x x x =+ >-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2 111 1(1)222(1)x x x x --=+++>- 1≥312≥+52=， 当且仅当 2 11 (1) 22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52。 评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。 类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值： ①2 3 (32)(0)2 y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<< 解析：① 3 0,3202 x x <<->∴， ∴2 3(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=??-3(32)[ ]13 x x x ++-≤=， 当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1。 ② 0,sin 0,cos 02 x x x π << >>∴，则0y >，欲求y 的最大值，可先求2y 的最大值。 2 4 2 sin cos y x x =?2 2 2 sin sin cos x x x =??222 1(sin sin 2cos )2x x x =??22231sin sin 2cos 4( )2327 x x x ++≤?=, 当且仅当22 sin 2cos x x =(0)2 x π < < tan x ?=tan x arc =时 “=”号成立，故 评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要 通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。 类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立。 例3、若x 、y + ∈R ，求4 ()f x x x =+ )10(≤ 4 1)(x+1)(x-1)(x-2)>0 2)(-x-1)(x-1)(x-2)<0 三、分式不等式与高次不等式的解法 1.分式不等式解法 2.高次不等式解法：数轴标根法（奇穿偶切） 典型例题 例 1 解下列不等式 x － 3 2 （1） x ＋ 7 <0 （2）3＋ x <0 3） x －3 2－x > 3－x －3 3 4) x > 1 【例题讲解】 1.解下列不等式： （1）2x 2 3x 20 (2)9x 2 6x 1 0 (3)4x 2 x 5 (4)2x 2 x 1 0 2.解不等式组 3x 2 7x 10 0 2 x 2x 30 （1） 2 （2） 2 2x 2 5x 20 5 x 4x 3.若不等式 ax 2 bx c 0的解集为 （-2,3）, 求不等式 2 cx ax b 0的解集. 2 3 4.当 k 为何值时，不等式 2kx 2 kx 38 0对于一切实数 x 都成立？ 不等式解法举例 ?教学重点：不等式求解． ?教学难点：将已知不等式等价转化成合理变形式子． ?教学方法：创造教学法 为使问题得到解决，关键在于合理地将已知不等式变形，变形的过程也是一个创造的过程，只有这一过程完成好，本节课的难点也就突破． ?教学过程： 一、课题导入 1、由一元一次不等式、一元二次不等式、和简单的绝对值不等式式子，导出其不等式 解法． 2、一元二次不等式的解法． 3、数形结合思想运用． 二、新课讲授 例1：解不等式|x2-5x+5|<1 分析：不等式|x| x 2-5x +5>-1 ② 解不等式①由 x 2-5x +5< 1 得 (x -1)(x -4)< 0 解集为{x |1 基本不等式 一、知识梳理 二、极值定理 （1）两个正数的和为常数时，它们的积有 ； 若0,0,a b a b M >>+=，M 为常数，则ab ≤ ；当且仅当 ，等号成立.简述为，当0,0,a b a b M >>+= ，M 为常数，max ()ab = . （2）两个正数的积为常数时，它们的和有 ； 若0,0,a b ab P >>=，P 为常数，则a b +≥ ；当且仅当 ，等号成立.简述为，当0,0,a b ab P >>= ，M 为常数，min ()a b += . (,)2 a b a b R ++≤ ∈，求最值时应注意以下三个条件： 应用基本不等式的经典方法 方法一、直接利用基本不等式解题 例1、（1）若0,0,4a b a b >>+=，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．1 1 2ab > B ．1 1 1a b +≤ C 2≥ D. 2211+8a b ≤ （2）不等式2162a b x x b a +<+对任意(),0,a b ∈+∞ 恒成立，则实数x 的取值范围是（ ） A ．(2,0)? B ．(,2)(0,)?∞?+∞ C ．(4,2)? D ．(,4)(2,)?∞?+∞ （3）设,,1,1x y R a b ∈>>，若3,x y a b a b +，则11 x y +的最大值为 ( ) A ．2 B ．32 C ．1 D ．12 方法二：凑项（增减项）与凑系数（利用均值不等式做题时，条件不满足时关键在于构造条件，通过乘或除常数、拆因式、平方等方式进行构造） 例2、（1）已知54x <，求函数1 445y x x =+?的最大值； （2）已知，则的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 方法三：“1”的巧妙代换 命题点1、“1”的整体代换 例3、（1）若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是( ) A ．245 B ．285 C ．5 D ．6 （2）已知0,0,x y >>且21x y +=,求1 1 x y +的最小值. 0,2b a ab >>=2 2 a b a b +?(],4?∞?(),4?∞?(],2?∞?(),2?∞? 不等式的解法·典型例题 【例1】?(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0． 【例2】?解下列不等式： 【例3】?解下列不等式 【例4】?解下列不等式： 【例5】?|x 2-4|＜x+2． 【例6】?解不等式1)123(log 2122<-+-x x x ． 不等式·典型例题参考答案 【例1】?(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0． 【分析】?如果多项式f(x)可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞0(或f(x)＜0)可用“区间法”求解，但要注意处理好有重根的情况． 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3＞0 ∴原不等式解集为｛x|x ＜-5或-5＜x ＜-4或x ＞2｝． 【说明】?用“穿针引线法”解不等式时应注意： ①各一次项中x 的系数必为正； ②但注意“奇穿偶不穿”．其法如图(5－2)． 【例2】?解下列不等式： 解：(1)原不等式等价于 用“穿针引线法” ∴原不等式解集为(-∞，-2)∪〔-1，2)∪〔6，+∞)． （2） 【例3】?解下列不等式 解：(1)原不等式等价于 ∴原不等式解集为｛x|x ≥5｝． (2)原不等式等价于 【说明】?解无理不等式需从两方面考虑：一是要使根式有意义，即偶次根号下被开数大于或等于零；二是要注意只有两边都是非负时，两边同时平方后不等号方向才不变． 【例4】?解下列不等式： 解：(1)原不等式等价于 令2x =t(t ＞0)，则原不等式可化为 (2)原不等式等价于 ∴原不等式解集为(-1，2〕∪〔3，6)． 【例5】?|x 2-4|＜x+2． 解：原不等式等价于-(x+2)＜x 2-4＜x+2． 故原不等式解集为(1，3)． 这是解含绝对值不等式常用方法． 【例6】?解不等式1)123(log 2122<-+-x x x ． 解：原不等式等价于 (1)当a ＞1时，①式等价于 ② (2)当0＜a ＜1时，②等价于 ③ 高中数学不等式的分 类、解法 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 高中数学简单不等式的分类、解法 一、知识点回顾 1.简单不等式类型：一元一次、二次不等式， 分式不等式，高次不等式，指数、对数不等 式，三角不等式，含参不等式，函数不等式， 绝对值不等式。 2.一元二次不等式的解法 解二次不等式时，将二次不等式整理成首 项系数大于0的一般形式，再求根、结合图像 写出解集 3三个二次之间的关系： 二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系(见复习教材P228) 二次函数的零点---对应二次方程的实根----对应二次不等式解集区间的端点 4.分式不等式的解法 法一：转化为不等式组；法二：化为整式不等式；法三：数轴标根法 5.高次不等式解法 法一：转化为不等式组；法二：数轴标根法 6.指数与对数不等式解法 a>1时)()()()(x g x f a a x g x f >?>； 0)()()(log )(log >>?>x g x f x g x f a a 0 高二数学课件:《不等式的解法举例》 过去的一切会离你越来越远，直到淡出人们的视野，而空白却会越放越大，直至铺成一段苍白的人生。下面为您推荐高二数学课件:《不等式的解法举例》。 （1）能熟练运用不等式的基本性质来解不等式； （2）在巩固一元一次不等式和一元一次不等式组、一元二次不等式的解法基础上，掌握分式不等式、高次不等式的解法； （3）能将较复杂的绝对值不等式转化为简单的绝对值不等式、一元二次不等式（组）来解； （4）通过解不等式，要向学生渗透转化、数形结合、换元、分类讨论等数学思想； （5）通过解各种类型的不等式，培养学生的观察、比较及概括能力，培养学生的勇于探索、敢于创新的精神，培养学生的学习兴趣.【教学建议】一、知识结构 本节内容是在高一研究了一元一次不等式，一元二次不等式，简单的绝对值不等式及分式不等式的解法基础上，进一步深入研究较为复杂的绝对值不等式及分式不等式的解法.求解的基本思路是运用不等式的性质和有关定理、法则，将这些不等式等价转化为一次不等式（组）或二次不等式的求解，具体地说就是含有绝对值符号的不等式去掉绝对值符号，无理不等式有理化，分式不等式整式化，高次不等式一次化.其基本模式为： ； ； ； 二、重点、难点分析 本节的重点和一个难点是不等式的等价转化.解不等式与解方程有类似之处，但其二者的区别更要加以重视.解方程所产生的增根是可以通过检验加以排除的，由于不等式的解集一般都是无限集，如果产生了增根却是无法检验加以排除的，所以解不等式的过程一定要保证同解，所涉及的变换一定是等价变换.在学生学习过程中另一个难点是不等式的求解.这个不等式其实是一个不等式组的简化形式，当为一元一次式时，可直接解这个不等式组，但当为一元二次式时，就必须将其改写成两个一元二次不等式的形式，分别求解在求交集. 三、教学建议 （1）在学习新课之前一定要复习旧知识，包括一元二次不等式的解法，简单的绝对值不等式的解法，简单的分式不等式的解法，不等式的性质，实数运算的符号法则等.特别是对于基础比较差的学生，这一环节不可忽视. （2）在研究不等式的解法之前，应先复习解不等式组的基本思路以及不等式的解法，然后提出如何求不等式的解集，启发学生运用换元思想将替换成，从而转化一元二次不等式组的求解. （3）在教学中一定让学生充分讨论，明确不等式组中的两个不等式的解集间的交并关系，两个不等式的解集间的交并关系. （4）建议表述解不等式的过程中运用符号 . （5）建议在研究分式不等式的解法之前，先研究简单高次不等式（一端为0，另一端是若干个一次因式乘积形式的整式）的解法.可由学生讨论不同解法，师生共同比较诸法的优劣，最后落实到区间法. （6）分式不等式与高次不等式的等价原因，可以认为是不等式两端同乘 常见不等式的解法归纳总结 知识点精讲 一．一元一次不等式（ax b >） （1）若0a >，解集为|b x x a ??> ????. (2) 若0a <，解集为|b x x a ??< ??? ? （3）若0a =，当0b ≥时，解集为?；当0b <时，解集为R 二、一元一次不等式组（αβ<） （1）x x αβ>??>?，解集为{}|x x β>.（2）x x αβ?? ??≠，其中24b ac ?=-，12,x x 是方程2 0(0)ax bx c a ++>≠的两个根，且12x x < （1）当0a >时，二次函数图象开口向上. （2）①若0?>，解集为{} 21|x x x x x ><或. ②若0?=，解集为|2b x x R x a ??∈≠- ???? 且. ③若0?<，解集为R . (2) 当0a <时，二次函数图象开口向下. ①若0?>，解集为{}12|x x x x << ②若0?≤，解集为? 四、简单的一元高次不等式的解法 简单的一元高次不等式常用“穿根法”求解，其具体步骤如下. 例如，解一元高次不等式()0f x > （1）将()f x 最高次项系数化为正数 （2）将()f x 分解为若干个一次因式或二次不可分因式（0?<） （3）将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根情况，偶次方根切而不过，奇次方根既穿又过，简称“奇穿偶切”）. 高中数学常见题型解法归纳 不等式的解法 【知识要点】 一、一元一次不等式的解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为(0)ax b a >≠的形式. 当0a >时，不等式的解集为b x x a ? ?>????；当0a <时，不等式的解集为b x x a ??）的解法：最好的方法是图像法，充分体现了数形结合 的思想.也可以利用口诀（大于取两边，小于取中间）解答. 2、当二次不等式()f x =2 0(0)ax bx c a ++≥<时，可以画图，解不等式，也可以把二次项的系数a 变成正数，再利用上面的方法解答. 3、温馨提示 （1）不要把不等式20ax bx c ++>看成了一元二次不等式，一定邀注意观察分析2x 的系数. （2）对于含有参数的不等式注意考虑是否要分类讨论. （3）如果运用口诀解一元二次不等式，一定要注意使用口诀必须满足的前提条件. （4）不等式的解集必须用集合或区间，不能用不等式，注意结果的规范性. 三、指数不等式和对数不等式的解法 解指数不等式和对数不等式一般有以下两种方法 (1)同底法：如果两边能化为同底的指数或对数，先化为同底，再根据指数、对数的单调性转化为代数不等式，底数是参数时要注意观察分析是否要对其进行讨论，并注意到对数真数大于零的限制条件. ①当1a >时, ()()()()f x g x a a f x g x >?>; ()0log ()log ()()0 ()()a a f x f x g x g x f x g x >??>?>??>? ②当01a <<时, ()()()()f x g x a a f x g x >?<; ()0log ()log ()()0 ()()a a f x f x g x g x f x g x >??>?>?? 不等式解法15种典型例题 典型例题一 例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(3 2<-++x x x ． 分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)( 题目高中数学复习专题讲座几种常见解不等式的解法 高考要求 不等式在生产实践和相关学科的学习中应用广泛，又是学习高等数学的重要工具，所以不等式是高考数学命题的重点，解不等式的应用非常广泛，如求函数的定义域、值域，求参数的取值范围等，高考试题中对于解不等式要求较高，往往与函数概念，特别是二次函数、指数函数、对数函数等有关概念和性质密切联系，应重视；从历年高考题目看，关于解不等式的内容年年都有，有的是直接考查解不等式，有的则是间接考查解不等式 重难点归纳 解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立意的进一步转化，对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个问题 (1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法 (2)掌握用零点分段法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法 (3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法 (4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法 (5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式 (6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论 典型题例示范讲解 例1已知f (x )是定义在［－1，1］上的奇函数，且f (1)=1，若m 、n ∈［－ 1，1］，m +n ≠0时 n m n f m f ++) ()(＞0 (1)用定义证明f (x )在［－1，1］上是增函数； (2)解不等式 f (x + 21)＜f (1 1-x )； (3)若f (x )≤t 2－2at +1对所有x ∈［－1，1］，a ∈［－1，1］恒成立，求 实数t 的取值范围 命题意图 本题是一道函数与不等式相结合的题目，考查学生的分析能力与化归能力 知识依托 本题主要涉及函数的单调性与奇偶性，而单调性贯穿始终，把所求问题分解转化，是函数中的热点问题；问题的要求的都是变量的取值范围，不等式的思想起到了关键作用 错解分析 (2)问中利用单调性转化为不等式时，x + 21∈［－1，1］，1 1-x ∈［－1，1］必不可少，这恰好是容易忽略的地方 常见不等式的解法 【知识要点】 一、一元一次不等式的解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为(0)ax b a >≠的形式. 当0a >时，不等式的解集为b x x a ??> ????；当0a <时，不等式的解集为b x x a ? ? < ???? . 二、一元二次不等式20(0)ax bx c a ++≥≠的解法 1、二次不等式2 ()0f x ax bx c =++≥（0a >）的解法：最好的方法是图像法，充分体现了数形结合 的思想.也可以利用口诀（大于取两边，小于取中间）解答. 2、当二次不等式()f x =2 0(0)ax bx c a ++≥<时，可以画图，解不等式，也可以把二次项的系数a 变成正数，再利用上面的方法解答. 3、温馨提示 （1）不要把不等式2 0ax bx c ++>看成了一元二次不等式，一定邀注意观察分析2x 的系数. （2）对于含有参数的不等式注意考虑是否要分类讨论. （3）如果运用口诀解一元二次不等式，一定要注意使用口诀必须满足的前提条件. （4）不等式的解集必须用集合或区间，不能用不等式，注意结果的规范性. 三、指数不等式和对数不等式的解法 解指数不等式和对数不等式一般有以下两种方法 (1)同底法：如果两边能化为同底的指数或对数，先化为同底，再根据指数、对数的单调性转化为代数不等式，底数是参数时要注意观察分析是否要对其进行讨论，并注意到对数真数大于零的限制条件. ①当1a >时, ()() ()()f x g x a a f x g x >?>; ()0log ()log ()()0 ()()a a f x f x g x g x f x g x >?? >?>??>? ②当01a <<时, ()() ()()f x g x a a f x g x >?<; ()0log ()log ()()0 ()()a a f x f x g x g x f x g x >?? >?>?? 常见不等式的解法(教师版) 一、一元一次不等式 解下列关于x 的不等式 1、2x+3>5 2、-2x+5<6 3、ax>1 4、不等式3(x +1)≥5x -9的正整数解是_________ 5、已知关于x 的不等式(3a -2)x +2<3的解集是41 - >x ,则a =______. 二、一元二次不等式 1、2 2x ≥ 2、2(1)2x -< 3、x 2+x -2≤4 4、若0＜a ＜1，则不等式(x -a )(x -a 1)＜0的解是______.a ＜x ＜a 1 5、已知不等式022>++bx ax 的解集为??? ? ??<<-3121 x x ，则b a +的值为______.-14 6、不等式2x 2-3|x |-35>0的解为______..x <-5或x >5 7、方程实数根，有两个不相等的 0122 =+++m x m mx )(则实数m 的取值范围是______.0 41 ≠->m m 且 8、不等式02 ≤++n mx x 的解集是{}32≤≤-x x |，则m = __，n = __.-1;-6 9、函数的定义域为22--= x x x f )(______________{2≥x x 或}1-≤x 10、对于任意实数x ，一元二次不等式(2m -1)x 2+(m +1)x +(m -4)＞0恒成立，则实数m 的取值范围是______. m ＞5 11、函数()f x =R ，则a 的取值范围是_________ 【0,8】 1）标准化：移项通分化为 () () f x g x >(或 () () f x g x <)； () () f x g x ≥(或 () () f x g x ≤)的形式， 2）转化为整式不等式（组） ()()0 ()() 0()()00 ()0 ()() f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥ ? >?>≥?? ≠ ? ； 1. 不等式 2 2 231 372 x x x x ++ > -+ 的解集是 2. 不等式 31 1 3 x x + >- - 的解集是 3. 不等式 2 2 237 1 2 x x x x +- ≥ -- 的解集是 4. 不等式 11 11 x x x x -+ < +- 的解集是 5. 不等式 2 29 1 52 x x x -- < + 的解集是 6. 不等式 2 2 32 712 x x x x -+ > -+ 的解集是 7. 不等式 2 1 21 x x x + ≤ + 的解集是 8. 不等式 21 1 2 x x - > -+ 的解集是 9. 不等式23 2 34 x x - ≤ - 的解集是 10. 不等式 2 2 1 2 (1)(1) x x x - < +- 的解集是 答案 1. 2. (-2，3)3. 4. 5. 6. 7. 8. (1，2) 9. 10. 不等式 题型一、一元二次不等式的解法：1、解下列不等式 （1）-1 题型四、不等式恒成立问题 4、（1）已知不等式2≤3x2+px+6 对任意的x∈R都成立，求实数p的值； x2-x+1≤6 a的取值范围。 （2）若x∈R,ax2+4x+4≥-2x2+1恒成立，求 5、（1）已知不等式2x-1>m(x2-1)，若对于m∈[-2,2]，不等式恒成立，求实数x的求职范围。 a的取值范围。（2）函数f(x)=(2-a2)x+a在区间[0,1]上恒为正，求实数 题型五：作二元一次不等式表示平面区域 6、画出下列不等式表示的平面区域 （1）2x-3y+1>0；（2）2x+y+4≤0； （3）2y-x>0；（4）y≤1；（5）x<-3。 ?3x + 2 y ≥ 6 ?3x + 4 y - 12 < 0 （ （ 题型六：平面区域内的点与不等式 7、若直线 ax + y + 2 = 0 与连接点 A(-2,3) 和 B(3,2) 的线段有公共点，求 a 的取值范围。 变式：给出下列命题：1）原点和点（3,1）在直线 2 x + y - 6 = 0 的两侧；2）原点和点 (-3,1) 在直线 2 x + y - 6 = 0 的同侧；（3）点 (3,2)和(2,3) 在直线 2 x + y - 3 = 0 的两侧；（4）点 (-2,3) 和点 (-3,2) 在直线 2 x + y - 3 = 0 的同侧。其中正确的有 。 题型七：作出二次不等式组所表示的平面区域 8、用平面区域表示下列不等式组： ?x < 3 ?2 y ≥ x ?x ≥ y （1） ? （2） ? ??3 y < x + 9 题型八：绝对值、二元二次不等式表示的平面区域 9、画出下列不等式表示的平面区域 （1） x - 2 + y - 2 ≤ 2 （2） y ≤ x ≤ 2 y （3） （x - 2 y + 2)( x + y - 3) < 0 题型九：平面区域面积问题 第一课时 知识清单： 1、解含绝对值的不等式，关键是去掉绝对值符号，进而转化为不含绝对值的不等式求解。 2、去绝对值得方法主要有： （1）公式法： x a a x a ?<-或x a > （2）平方法：当0a >时，22x a x a ?>. （3）零点分段法. 3、含绝对值不等式的等价变形： （1）()(0)()f x a a f x a >>?>或()f x a <-；()a f x a -<< （2）()(0)f x a a <>?()a f x a -<<； （3）[][]22()()()()()()()()f x g x f x g x f x g x f x g x >?>?+-g ； （4）()()()()f x g x f x g x >?>或()()f x g x <-； （5）()()()()()f x g x g x f x g x ； 2、解不等式213x +>； 3、解不等式317x +<； 4、解不等式3110x +>； 5、解不等式211x -≤； 6、解不等式2311x x -+>； 7、解不等式113x x ++->； 8、解不等式234x x --+>； 9、解不等式211x x +>-； 10、解不等式233x x x ++>4+； 11、解不等式 2341x x x --<+； 第二课时 知识清单： 1、解分式不等式，首先要把它等价变形为整式不等式.共有如下几种类型： （1）()0()()0()f x f x g x g x >?>g ； （2）()0()()0() f x f x g x g x ?≠?g g 或()0f x =； （4） ()()0()0()()0,()0()0()f x g x f x f x g x f x g x g x ≤?≤??<=?≠?g g . 2、数轴穿根法解不等式的步骤是： （1）等价变形后的不等式一边是零，一边是各因式的积（未知数系数一定是正数）； （2）把各因式的根标在数轴上； （3）用曲线“从上往下同时从左向右”穿根（奇次根穿透，偶次根不穿透）； （4）看图象写出解集. 简记为：变形、标根、穿根、写解集. 习题： 1、解不等式 201x x +<-； 2、解不等式122 x x +≤-； 3、解不等式21031 x x ->+； 4、解不等式2301 x x +<-； 5、解不等式23901 x x +>+； 6、解不等式121 x x ->0+； 7、解不等式107 x x -<-； 8、解不等式112 x x -<+； 9、解不等式123x x +>-； 10、已知0a <，解关于x 的不等式 12 ax x >-；其他不等式的解法
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