高等数学II 练习题
________学院_______专业 班级 姓名______ ____学号_______
反常积分、定积分应用（一） 1、求无穷限积分0
ax e dx +∞-?
（0>a ）
。
1
ax e dx a
+∞-=
?
(过程略)
2
、求瑕积分2
1
?
。
()()()2
21
102
10
2
3/21/2013/21/20lim lim 12
lim 1213828
= lim 2333
d x x x εεεεεεεεε+++++→+→→+→==-??=-+-??
????++=
?????
??
3、求由曲线2
2y x =与4x y +=所围成图形的面积。
2223
224428
2244(4)d (4)18226
x x y x y y x y y y y
S y y y --==?=?????
?==-+=???∴=--=--=?解：或是两交点 4、求由曲线1=xy 和直线x y =，2=x 所围成的平面图形的面积。
2113
ln 22S x dx x ??=-=- ??
??
或
1201113
22ln 222
S xdx dx x ??=??-+=- ?????（请自己画草图，体会两种不同的求法）
5、抛物线342
-+-=x x y 与其在点)3,0(-和)0,3(处的切线所围成的图形的面积。 解：
过点)3,0(-的切线方程为 34y x +=，而过)0,3(处的切线方程为 ()23y x =-- 故求的两切线交点为 )3,2
3(，则所要求图形的面为：
()()()()3/2
322120
3/29
434326434
S S S x x x dx x x x dx ????=+=---+-+-+--+-=?????
?
6
、设椭圆的参数方程为2cos ,x t y t ==，求椭圆的面积。
解：由椭圆的对称性，椭圆的面积可表示为：
(
)20
20
/2
442cos sin S ydx td t tdt ππ===-=??
（简单的计算过程略，希望同学们自行补充完成）
7、在]1,0[上给定函数2
x y =，问t 取何值时，右图中曲边三角形OACO 与ADBA 的面积之和最小？何时最大？
22
23
3
1
2
20
322()22()(1()
3
3
4133
1
()42,()0,02
1
[0,]()021
[,1]()021112
(0),(),(1)3243
1t t t OACO ADBA A t A t y y y y y t t A t t t A t t t t A t t A t A A A t ∴=+-=+-=-+''∴=-=∴==
'∈<'∈>===
=?
?Q 解：设曲边三角形和的面积之和为令或当时，，函数单调减少
当时，，函数单调增加
所以当时，1
2t =面积之和最大，当时，面积之和最小。
x
高等数学II 练习题
________学院_______专业 班级 姓名______ ____学号_______
定积分应用（二） 1、求由曲线x y =2
和2
x y =围成的图形绕x 轴旋转所得的旋转体的体积。 解：
(
)()2
1
2
20
3
10V x dx π
π=-=?
2
x =,2y x =-及x 轴所围成的图形绕x 轴、y 轴旋转而成的旋转体的
体积。
解：
绕x 轴旋转而成的旋转体的体积
()
1
2
2
2201
8d (2)d +
5
3
15
x V x
x x x π
π
πππ=+-=
=
?? 绕y 轴旋转而成的旋转体的体积
1
222100
5111[(2)]d (4)236
y V y y y y y y πππ=--=-
+=?
3、求由曲线2
y x =和直线2=x 、0=y 所围成的平面图形分别绕x 轴和y 轴旋转的旋转体的体积。
解：
图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积
()
2
2
20
32d 5
x V x
x ππ==
? 图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积
2
4
2
24d 8y V y πππ=??-=?
4、求曲线sin ((0,))y x x x π=∈所围成的图形绕y 轴旋转的旋转体体积。
（参考课本第214页（4） 的（6.37）的做法，注意是按圆环体来分隔） 解：
图形绕y 轴旋转的旋转体体积
()2
2
3300
2d 2sin d 2cos 22cos d 24sin 4sin d 28V x f x x x x x x x x x x
x x x x πππ
ππ
π
πππππππππ
===-+=+-=-????
5、已知一抛物线过x 轴上的两点(1,0),(3,0)A B ：
（1）求证：两坐标轴与该抛物线所围图形1D 的面积等于x 轴与该抛物线所围图形2D 的面积。
（2）计算上述两个平面图形绕x 轴旋转一周产生的两个旋转体的体积。 略。（由于没给出抛物线二次项的系数a ，本题大家可以随意选个非零的a 来做）
6、求由曲线y =0y =，1x =所围成的图形绕直线1x =旋转而成的旋转体的体积。
解：
()()2
1
1
2
2
40
8
11215
V y
dy y
y dy πππ=-=-+=
??（注意旋转体界面圆的半径是21y -）
7、设某产品的边际成本2MC x =-（万元/台）其中x 表示产量，固定成本为022C =（万元），边际收益204MR x =-（万元/台），求：（1）总成本函数和总收益函数；（2）获得最大利润时的产量；（3）从最大利润时的产量又生产了4台，总利润的变化。 解：
（1）总成本函数为 ()200
01
2222222
x
x
C MCdx C x dx x x =+=-+=-++?
?
总收益函数为()20
204220x
x R MRdx x dx x x =
=-=-+?
?；
（2）由（1），利润函数为
23
18222
R C x x ∏=-=-+-
当3180x '∏=-+=可求得驻点为 6x =，而630x =''∏=-<，因此当产量x=6台时，
获得最利润；
（3）()()106...?∏=∏-∏=（略）
高等数学II 练习题
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定积分综合
一、选择题
1、设函数)(x f 在[b a ,]上连续，则曲线)(x f y =与直线0,,===y b x a x 所围成的平面图形的面积等于
（ C ） （A ）
?
b
a
dx x f )( （B ）?b a
dx x f )( （C ）dx x f b
a
?)(（D ）)())((b a a b f <<-'ξξ
2、设?
=
40
1πxdx I ，?=40
2π
dx x I ，?=40
3sin π
xdx I ，则 ( D )
（A ）321I I I >> （B ）213I I I >> （C ）231I I I >> （D ）312I I I >> 3、设)(x f 连续，?+=1
0)(2)(dt t f x x f ，则=)(x f ( B )
（A ）x （B ）1-x （C ）2-x （D ）1+x
4、下列结果正确的是 ( B )
（A ）22
(sin )sin b a d t dt a da =? （B ）22(sin )sin b a d t dt b db =?
（C ）22
(sin )sin b a d t dt x dx =? （D ）22(sin )2sin b a
d t dt x x dx =?
5、设()202
22
x t f x dt t t -+=++?，则()f x 在[0,1]上 ( B )
（A ） 单调增加 （B ）单调减少 （C ）有增有减 （D ）无界 6、设)(x f 是连续函数，则
()()b
b
a
a
f x dx f a b x dx -+-?
?= ( A )
（A ）0 （B ）1 （C ）b a + （D ）?
b
a
dx x f )(
7、若)(x f 是连续函数且为奇函数，则
()x
f t dt ?
是 ( B )
（A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）非奇非偶函数 （D ）既奇既偶函数 8、下列反常积分发散的有 ( C ) （A ）
20
1dx x +∞+?
（B ）10? （C ）ln e x dx x +∞? （D ）0x
e dx +∞-? 9、下列反常积分收敛的有 ( D )
（A ）
1
dx
x ?
（B ）120dx x ? （C ）10ln x dx x ? （D
）10? 10、由曲线()y f x =，()y g x =（()()f x g x <，a x b ≤≤）及直线x a =，x b =所围图形绕x 轴旋转而成立体的体积是 ( B ) （A ）2[()()]b
a
g x f x dx π-?
（B ）22[()()]b
a
g x f x dx π-?
（C ）
2
()b a
g x dx π? （D ）[()()]b
a
g x f x dx π-?
二、填空题
1、利用定积分的几何意义，填写下列定积分的结果：
(1)
?
= (2)0
2(1)x dx --=? -4
2、利用定积分的性质，填写下列各题： (1) 6 4
21
(1)x dx ≤
+≤?
51 (2) ≤≤?3
3
1arctan xdx x 3、设
()sin x
f t dt x x =?
，则)(x f = 。
4、已知)(x f 在),(+∞-∞上连续，且2)0(=f ，且设?
=2
sin )()(x x
dt t f x F ，则=')0(F
-2 。 5、设()y y x =由
2
3cos 200
cos 0x
x y
t
t dt e dt -+=??
所确定，则y '= 。 6、设)(x f 为连续函数且满足31
()x f t dt x -=?，则=)7(f
。 7、求下列定积分
(1)0
99
12
(21)x dx -
+?=
(2)20
cos d ??=
1
2
(3)
50
24x dx -=?
13
(4)2
1
e =?
2
(5)
84
4
sin x xdx π
π
-
=? 0 (6)
1
ln e x dx x
=?
1
2
(7)
sin xdx π
π-
?= 0 (8)22
cos xdx π
π-
?= 2 2
cos xdx π?
8、若反常积分
?
+∞
2
)
(ln k
x x dx
收敛， k > 1 。 9、某厂生产的边际成本函数()134C x x '=+，且固定成本010C =，则总成本函数
π
9
π
23πsin cos x x x +2
2
(cos )3cos9sin x y x x e
--1
121
200
()C x = ;当产量由2个单位增至4个单位时，总成本的增量
是 。
213210
x x ++
高等数学II 练习题
________学院_______专业 班级 姓名______ ____学号_______
一阶微分方程 1、求0sin )1(cos =++-ydy e
ydx x
的通解。
解：原方程可化为 tan 1x
x
e ydy dx e =-
+ 积分，得 ln |cos |ln(1)x
y e C '=++（其中C ’为任意常数）
令C C e '
=±，不难看出C 为任意常数，
故，方程的通解为 cos (1)x y C e =+ （C 为任意常数）
2、求微分方程042
=-+dy dy x ydx ，满足24==x y 的特解。
解：原方程可化为
24
dy dx y x =-- 积分得 12ln ||ln ||42
x y C x +'=+- (其中C ’为任意常数) 即 4
422C x y e
x '
+??=± ?-??
，令4C C e '
=±，不难看出C 为任意常数，故原微分 方程通解可表示为： 4
22x y C x +??= ?-??
，其中C 为任意常数， 当24==x y 时，
163
C =
故满足条件的方程的特解为 4
16(2)
3(2)
x y x +=-
3、求微分方程02)
6(2
=+-y dx
dy
x y 的通解。 解：方程可化为：32
dx y x dy y -=- 所
以
3
3
2()dy
dy y y y x e
e dy C -??=-?+?332
ln ln ()y y y e e dy C -=-?+?3312()y y dy C y =-?+?
2
3
3122
()y y C Cy y =+=+
4、微分方程022=--
-'x y y y x 的通解。
解：当x>0时，原微分方程可等价为齐次微分方程
12
-??
?
??+='x y x y y
设x y
u =
则有 dx x
du u
u u 111
2=
--+ 对应的通解为 Cx u u =-+12 即222Cx x y y =-+
（其中C 为任意常数）
当x<0,易得原微分方程的通解为同样的形式。综上所述， 微分方程022=--
-'x y y y x 的通解为
222Cx x y y =-+（其中C 为任意常数）
5、求微分方程x
y
y x y +=
'，满足21
==x y 的特解。
解：令x y
u =
，则原微分方程变为 dx x du u u u 1
11=-+-
积分得
C x u +=ln 2
2
即2
22
y x x C =+(ln )（其中C 为任意常数） 由初始条件 21
==x y
，代入上式，可求得 C=2，所以原微分方程在此初始条件下的
特解为 2222y x x =+(ln )
6、求微分方程3=+'y y x 的通解。
解：易知原微分方程对应的齐次微分方程可表示成
dx x
dy y 11-= 其通解为
x
C
y =
（其中C 为任意常数） 由常数变易法，令原微分方程的通解形式为()x x C y =，则()()2
x x C x x C y -'='，代入 原微分方程，得
()3='x C ，积分得()C x x C +=3 (其中C 为任意常数)。
于是，所求微分方程的通解为
3+=
x
C
y （其中C 为任意常数）
7、设)(x f 为连续函数，由
?
+=x
x f x dt t tf 0
2)()(所确定，求)(x f 。
解：对积分方程两边求导数得 2()()xf x x f x '=+ ， 即 2()()f x xf x x '-=- 且00()f =
2()()xdx
xdx
f x e xe dx C -?
?=-+?222
2
2()x x e xe
dx C -
=-+?222
2
2()x x e e
C -
=+22
2x Ce =+
当0x =时，0()f x =代入上方程得2C =- 故 22
22()x f x e =-
8、巳知生产某产品的固定成本是0a >，生产Q 单位的边际成本与平均单位成本之差为：
Q a
a Q
-，且当产量的数值等于a 时，相应的总成本为2a ，求总成本C 与产量Q 的函数关系。
1
d d 22111
d 1
,20()ln ()()()()()
()()Q P Q Q Q Q C Q Q a
C Q Q a Q
e e e Q Q a C Q AQ Q Q AQ Q a A a Q Q a
Q a C Q a A C Q Q a
a
--'-
=-??∴===∴=+-=++==∴=∴=+?Q 解：由题意得为常数当时
高等数学II 练习题 二阶微分方程
1、求方程y y '=''的通解。
解：特征方程为 2
r r =，得特征根为 120,1r r ==
所以方程的通解 12x y C C e =+
2、求微分方程0)9(62
=++'+''y a y y 的通解，其中常数0>a 。 解：特征方程为：22
690r r a +++=，求得特征根 1,23r ai =-±
所以方程的通解 312(cos sin )x
y e C ax C ax -=+
3、求方程044=+'+''y y y ，20==x y ，00
='
=x y 的特解。
解：特征方程为 2
4410r r ++=，解得特征根为 1212
r r ==- 所以方程的通解为 12
12()x y C C x e
-=+
1
221211
()22
x y C C C x e -'=--
把 20==x y ，00
='
=x y 代入上二式，得122,1C C ==
故 所求方程满足条件的解为 1
2
(2)x y x e
-=+
4、求微分方程25sin y y y x '''--=的一个特解。
212::20,1,2
cos sin ,(cos sin )(sin cos )2(cos sin )5sin A x B x A x B x A x B x A x B x x
λλλλ--=∴=-=+----+-+=解特征方程为故设微分方程的特解为代入微分方程得
12022532
13
cos sin .
22
A A
B A B A B B x x ?=
?---=??∴???
-+-=??=-??∴-微分方程的一个特解为
5、求微分方程3652
-=-'-''x y y y 的通解。
212612201222221210022112
102
::560,1,6,25(2)6()323108
615106018256316x x
y C e C e A A x A x A A x A A x A x A x A A A A A A A A A y C λλλλ---=∴=-=∴=+++-+-++=-?=?-=??
??
∴--=?=
????
--=-??=-??
∴=解特征方程为齐次微分方程的通解为设非齐次微分方程的特解为代入微分方程得非齐次微分方程的通解为62121523
618108
x x e C e x x -+-++
6、设函数求微分方程x
x
e xe y y y -=+'-''2 满足初始条件001,1x x y y =='==的特解。
2121220110012123122112::210,1()(),62111
,26
11
()()26
1
()()6
0,1,1
11x
x x x
x x
y C C x e x A A x e A x A x A A y C C x e x x e y C C C x e x x e x y y C C C λλλλ-+=∴==∴=+++=-∴=-=
∴=++-+'∴=+++-'====?∴+=Q 解特征方程为齐次微分方程的通解为设非齐次微分方程的特解为代入微分方程得非齐次微分方程的通解为当时122111()
26x x C y e x e x C =?∴∴=+-+??=??特解为
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微分方程综合
一、选择题
1、下列各微分方程中为一阶线性微分方程的是 （ B ）
（A ）x y y x =+'2
（B ）x y x y sin 4
=+' （C ）x y y =' （D ）0)(2
=+'xy y 2
、
满
足
方
程
2
()2()x
f x f t dt x +=?的解是
()f x =
（ B ） （A ）21122x e x --
++ （B ）21122x e x -+- （C ）212x Ce x -+- （D ）212
x Ce x -++ 3、已知1cos y x ω=，23cos y x ω=是方程2
0y y ω''+=的解，则1122y C y C y =+ (12
,C C 为
任意常数) （B ）
（A ）是方程的通解 （B ）是方程的解，但不是通解 （C ）是方程的一个特解 （D ）不一定是方程的解． 4、具有特解x
e y 31=，x
xe
y 322=的二阶常系数齐次线性方程是
（ B ）
（A ）09=-''y y （B ）096=+'-''y y y （C ）09=+''y y （D ）096=+'+''y y y
5、微分方程0294=+'+''y y y ，0|0==x y ，15|0='=x y 的特解是=y （ C ） （A ）x e x
5cos )1(32-- （B ）x e x 3cos )1(52--
（C ）x e
x
5sin 32- （D ）x e x 3sin 52-
6、微分方程1+='-''x
e y y 的一个特解应具有形式（式中b a ,为常数） （ D ）
（A ）b ae x + （B ）b axe x + （C ）bx ae x + （D ）bx axe x
+ 7
、
微
分
方
程
x
xe y y y x sin 442+=+'-''的特解应设为
（ D ）
（A ）x C e Bx Ax y x
sin )(22
3
++= （B ）x C x B e Ax y x cos sin 23++=
（
C
）
x
D x C e B Ax y x cos sin )(2+++=
（
D
）
x D x C e Bx Ax y x cos sin )(223+++=
8、设微分方程23()y y y f x '''--=有特解*y ，则它的通解是 （ A ）
（A ）3*12x x y C e C e y -=++ （B ）312x x y C e C e -=+
（C ）3*
12x x y C xe C xe y -=++ （D ）3*12x x y C e C e y -=++
二、填空题
1、微分方程022=--
-'x y y y x 的通解是
2、微分方程x
y
y x y +='，满足21
==x y
的特解为
3、微分方程x x y y cos tan =+'的通解为
4、微分方程032=-'-''y y y 的通解是 31212,x x
y C e C e C C -=+其中，为任意常数
5、微分方程690y y y '''++=的通解是
6、具有特解x e y =1和x
e
y 2-=的二阶常系数齐次线性方程为
7、设)2sin 2cos (21x C x C e y x
+=为某方程的通解，其方程为
8、方程3
2
2
4129(32)x y y y e x '''-+=+的特解可设为 .
9、方程12
+=+''x y y 的特解可设为 .
10、方程x e y y y x
2sin 52=+'-''的特解可设为 .
11、方程x
e
x y y y 3)1(96+=+'-''的特解可设为 .
注意: 特解的表达式里面出现的常数，可说成“其中。。。。为常数”或者“其中。。。。为待定常数”两者都可以。
2y Cx C =,其中为任意常数
2222y x x =+(ln )
y x C x C =+()cos ,其中为任意常数
31212x y C C x e C C -=+()(,)
为任意常数20
y y y '''+-=250
y y y '''-+=32
22
012012x x e A A x A x A A A ++(),
其中，，为待定常数
2012012A A x A x A A A ++()
，，为待定常数22x xe A x B x A B +(cos sin ),其中，为待定常数
23x x e Ax B A B +(),其中，为常数
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________学院_______专业 班级 姓名______ ____学号_______
空间解析几何、多元函数概念和性质 一．选择题 1、方
程
22480
x y z +-+=表示
（ D ）
（A ）平面 （B ）柱面 （C ）球 （D ）抛物面 2
、
函
数
)
ln(1y x z +=
的定义域
（ C ）
（A ）0>+y x （B ）0)ln(≠+y x （C ）1>+y x （D ）1≠+y x 3
、
设
)
1(-+=x f y z ，且当
1=y x
z =时，则
)
(y f =
（ D ） （A ）1-y （B ）y （C ）2+y （D ）)2(+y y
4
、
若
)
0()ln(),(22>>--=y x y x x y x f ，则
)
,(y x y x f -+=
（ B ）
（A ）)ln(y x - （B ）)ln(2y x -
（C ）
)ln (ln 2
1
y x - （D ）)ln(2y x - 二．填空题
1、方程22
=8x y +
，原点为圆心的圆，母线平行于Oz 轴的圆柱面 2、若一球面以点(1,3,2)-为球心且过原点，则其方程为
3、球面：074422
22=--+-++z y x z y x 的球心是点___________，半
径=R _____4_____；
4、ln()z y x =-
5、设函数32
(,)
3f x y x y =+，则(x f y
=
6、已知v
u w w
u w v u f ++=),,(，则),,(xy y x y x f -+=
222(1)(3)(2)14x y z -+-++=(1,2,2)
-22
{(,)|1,0}x y x y y x +<>≥2()()xy
x x y xy ++3()3x
xy y
+
7、已知2
2),(y x x
y y x f -=+，则=),(y x f
三．计算题
1、y xy y x )
sin(lim
)0,2(),(→
解：sin()xy xy ≤Q
∴ 当(,)(2,0)x y →时，sin()
2xy y
→ 则原式＝2 2、2
4lim
)
0,0(),(-+→xy xy y x
解：
2==Q
∴
原式＝(,)(0,0)
lim 2)4x y →=
3、2
222
222)
0,0(),()(cos 1lim
y x y x e
y x y x +→++-
解：2
211()2
x y -+Q :
∴原式＝222
2222(,)(0,0)
1()2lim ()x y x y x y x y e
+→++ ＝
2
2
2(,)(0,0)
11
lim
2
2x
y
x y e +→=
(注意：如何应用变量替换法，把二元函数的极限转化为一元函数的情形，利用一元函数的常见的等价无穷小来计算！考虑下什么情形下是安全的！)
2222
(1)
1(1)x xy x y y y --=
++
高等数学II 练习题
________学院_______专业 班级 姓名______ ____学号_______
多元函数导数及微分 1
、设函数2sin()(1)y z y xy y e -=+-，求
(1,0)|z
x
??。 解：
2cos()(1z y xy y x ?=+-?(1,0)111|01124
z x ?=+?=?+
2、求函数y x xy z ++=2
2arctan 的全微分dz 。 解：
由全微分公式 z z
dz dx dy x y
??=+?? 则
3、设y x z arctan
=，而v u x +=，v u y -=，求v
z
u z ??+??。
解：由链式法则，
2
211[]1()
z x z y x z u x x u y u y y y
?????=+=-?????+ 2211[]1()z z x z y x x v x v y v y y
y
?????=+=+?????+ 22222z z y u v u v x y u v
??-+==??++ （注意，最后的答案应写成u,v 的形式，因要求的表达式默认是u ，v 的函数！）
4、设z y x z y x 32)32sin(2-+=-+，求
y
z x z ??+??及dz 。 解：由已知z=z(x,y), 原方程两边对x 求偏导数
22
(4)(1)1()1()y x
dz x dx dy
xy xy =+++++()()
22114; 111z z y x x x y xy xy ??=+=+??++
2cos(23)(13)13z z x y z x x
??+--=-?? 对y 求偏导数
2cos(23)(23)23z z x y z y y
??+--=-?? 整理可求得
2cos(23)116cos(23)33z x y z x x y z ?+--==?+-- 4cos(23)22
6cos(23)33
z x y z y x y z ?+--==?+-- 因此
1z z
x y
??+=?? 故z 的全微分可表示为： z z dz dx dy x y ??=+??＝12
33
dx dy +
5、设y
x e
z 2-=，而t x sin =，3
t y =，求
dt
dz
。 解：
()()3
222sin 22cos 23cos 6x y x y t t dz z dx z dy e t e t e t t dt x dt y dt
---??=+=+-?=-?? (要特别注意上面式子z 在不同地方表示不同自变量的函数，如t 的函数，x,y 的函数；这是把原来z 是t 的一元函数表示成z 是二元函数的复合函数的情形)
6、设sin()(,)x z xy x y =+?，求2z
x y
???，其中(,)u v ?有二阶偏导数。
解：
121cos()'(,)'(,)z x x
y xy x x x y y y
???=++?
2122222321cos()sin()''(,)''(,)'(,)z x x x x x
xy xy xy x x x x y y y y y y y
????=----??
（注：下标1,2的表示对应的偏导数，参见课本p251例7.25）
7、设3
3
3z xyz a -=，求22z
x
??。
解法一：方程两边对x 求偏导数
2
3330z z z yz xy x x
??--=?? 整理得
2
z yz x z xy
?=?-
上式两边对x 求偏导数
()()
()()()
22222
32
232
2
2
222z z z
y
z xy yz z y xy yz y z z
xy z x x x x z
xy z xy z xy ????
?-----+ ??-????
?===?---
8、设),(y x z z =由063
3
3
=-+++xyz z y x 所确定的函数，求)
1,2,1(-??x
z 。
解：方程两边对x 求偏导
22
330z z x z yz xy x x
??+++=?? 整理得
2
233z yz x x z xy
?+=-?+ 因此
(1,2,1)
231
325
z x -?-+=-
=-?+
《微积分》第二章测试题 1. 【导数的概念】已知()23f '=，求()() 22lim h f h f h h →+-- 解()() ()() ()()()0 0222222lim lim 226h h f h f h f h f f h f f h h h →→+--+---??'=+== ?-?? 2. 设函数cos ln x y x e a -=++，求 d y d x 解 sin x dy x e dx -=-- 3. 设函数arctan x y e =，求 d y d x 解 d y d x () arctan arctan 1 1 1221x x e e x x x x =? ? = ++ 4. 设函数2 sin cos 2y x x =，求 d y d x ， x dy dx = 解()2 2 2 2 4 sin cos 2sin 12sin sin 2sin y x x x x x x ==-=- ()()3 2 2 2sin cos 8sin cos 2sin cos 14sin sin 214sin dy x x x x x x x x x dx =-=-=-， 0x dy dx == 5. 【函数的微分，记得加dx 】设函数2 sin 2x y x = ，求dy 解2 4 3 3 2cos 22sin 22cos 22sin 22cos 22sin 2,dy x x x x x x x x x x dy dx dx x x x ---== ∴= 6. 【高阶导数】设函数11 y x = -，求 n n d y dx 解 () () () () () () () 2 3 1 2 3 4 1 23 ! 11, 21, 3!1,, 1n n n n dy d y d y d y n x x x x dx dx dx dx x ----+' = -=--=-=--=-- 7.【隐函数求导】 设函数()y y x =由方程2 sin 20xy y -=确定，求 d y d x 解 等式两边同时对x 求导2 22sin 20,y xyy y y ''+-=则 () 2 2 2 2sin 222221dy y y y y dx y xy xy xy x y '== = = ---
第9章 习题9-1 1． 判定下列级数的收敛性： (1) 11 5n n a ∞ =?∑（a ＞0）； (2) ∑∞ =-+1 )1(n n n ; (3) ∑∞ =+13 1 n n ; (4) ∑∞ =-+12)1(2n n n ; (5) ∑∞ =+11ln n n n ; (6) ∑∞ =-12)1(n n ; (7) ∑∞ =+11 n n n ; (8) 0(1)21n n n n ∞ =-?+∑． 解：（1）该级数为等比级数，公比为 1a ,且0a >,故当1 ||1a <,即1a >时，级数收敛，当1 | |1a ≥即01a <≤时，级数发散. （2） Q n S =+++L 1= lim n n S →∞ =∞ ∴ 1 n ∞ =∑发散. （3）113 n n ∞ =+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数，而调和级数11 n n ∞ =∑发散，故原 级数 11 3 n n ∞ =+∑发散. （4）Q 1112(1)1(1)22 2n n n n n n n ∞ ∞-==?? +--=+ ???∑∑ 而11 12n n ∞ -=∑,1(1)2m n n ∞ =-∑是公比分别为1 2的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质
知111(1)2 2n n n n ∞ -=??-+ ???∑收敛，即原级数收敛. （5）Q ln ln ln(1)1 n n n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+L ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+ 故lim n n S →∞ =-∞,所以级数 1 ln 1 n n n ∞ =+∑发散. （6）Q 2210,2n n S S +==- ∴ lim n n S →∞ 不存在，从而级数 1 (1) 2n n ∞ =-∑发散. （7）Q 1 lim lim 10n n n n U n →∞ →∞+==≠ ∴ 级数 1 1 n n n ∞ =+∑发散. （8）Q (1)(1)1 , lim 21212 n n n n n n U n n →∞--==++ ∴ lim 0n x U →∞≠，故级数1 (1)21n n n n ∞ =-+∑发散. 2． 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和： (1) ∑∞ =??? ??+13121n n n ； (2) ※ ∑∞ =++1)2)(1(1n n n n ; (3) ∑∞ =?1 2sin n n n π ; (4) 0πcos 2n n ∞ =∑． 解：Q （1）1111, 23n n n n ∞ ∞==∑∑都收敛，且其和分别为1和12，则1112 3n n n ∞ =?? + ???∑收敛，且其 和为1+ 12=3 2 . （2）Q 11121(1)(2)212n n n n n n ?? =-+ ?++++??
大一高等数学期末考试试卷 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3分）定积分22 π π-?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241 (sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 20 1 lim sin x x x →= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15) lim .sin 3x x x x →+ 2. （6分）设2 ,1 y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +?
4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞ ? ?+ ??? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 22y x x π π??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴 旋转一周所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--? ? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2 ;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式205lim 3x x x x →?= 5分 5 3 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分
第二章 一、选择题. 1. 函数1y x =+在0x =处 （ ） A 、无定义 B 、不连续 C 、可导 D 、连续但不可导 2. 设函数221,0(), 0x x f x x x +
7. (arctan 2)d x =________，[]ln(sin 2)d x =__________. 8. 函数32()39f x x ax x =++-，已知()f x 在3x =-时取得极值，则a =______. 9．设需求量q 对价格p 的函数为2e 100)(p p q -=，则需求弹性E p =__________. 三、判断题. 1. 若()f x 在点0x 处可导，则()f x 在点0x 处连续. （ ） 2. dy 是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线纵坐标对应于x ?的改变量. （ ） 3. 函数()y f x =在0x 点处可微的充要条件是函数在0x 点可导. （ ） 4. 极值点一定是驻点. （ ） 5. 函数y x =在点0x =处连续且可导. （ ） 四、计算题. 1.求函数y =. 2. 求由方程0e e 2=+-+y x y x 所确定的隐函数()y f x =的导数y '. 3. 设e x y x =，求y '. 4. 求由方程cos()y x y =+所确定的隐函数()y f x =的二阶导数.y '' 五、求下列极限. （1）sin lim sin x x x x x →∞-+， （2）x x x x x x x --+-→4240sin 23lim ， （3）11lim 1ln x x x x →??- ?-? ?， (4）1lim(1)(0)x x a x a →∞->, （5）()10lim 1x x x →+, （6）1lim ()x x x x e →+∞+. 六、应用题. 1. 求函数32 ()391f x x x x =--+的单调性、极值与极值点、凹凸区间及拐点． 2.某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求量为100010q p =-（q 为需求量,p 为价格）．试求：(1）成本函数，收入函数；（2）产量为多少吨时利润最大？
习题7.7 3.指出下列方程所表示的曲线. （1）???==++;3, 25222x z y x （2）???==++;1,3694222y z y x （3）???-==+-;3, 254222x z y x （4）???==+-+.4,08422y x z y 【解】 （1）表示平面3=x 上的圆周曲线1622=+z y ； （2）表示平面1=y 上的椭圆19 32322 2=+z x ； （3）表示平面3-=x 上的双曲线14 162 2=-y z ； （4）表示平面4=y 上的抛物线642-=x z . 4.求() () ?????=++=++Γ2, 21, :2 22 2 222Rz z y x R z y x 在三个坐标面上的投影曲线. 【解】 （一）（1）、（2）联立消去z 得 2224 3R y x = + 所以，Γ在xoy 面上的投影曲线为 ?????==+.0, 4 322 2z R y x （二）（1）、（2）联立消去y 得 R z 2 1 = 所以，Γ在zox 面上的投影曲线为 .23.0,21R x y R z ≤ ?? ? ??==
（三）（1）、（2）联立消去x 得 R z 21 = 所以，Γ在yoz 面上的投影曲线为 .23.0, 21R y x R z ≤ ????? == 6.求由球面224y x z --= ①和锥面() 223y x z += ②所围成的立体在xoy 面上的投影区域. 【解】联立①、②消去z 得 122=+y x 故Γ在xoy 面上的投影曲线为 ? ??==+.0, 122z y x 所以，球面和锥面所围成的立体在xoy 面上的投影区域为(){}1|,22≤+=y x y x D . 习题7.8 2.设空间曲线C 的向量函数为(){} t t t t t r 62,34,122--+=，R t ∈.求曲线C 在与 20=t 相应的点处的单位切向量. 【解】因(){}64,4,2-=t t t r ，故C 相应20=t 的点处的切向量为 (){}2,4,42='r . C 相应20=t 的点处的单位切向量为 (){}.31,32,322,4,4612? ?????±=± =' 3.求曲线32,,:t z t y t x ===Γ在点)1,1,1(0M 处的切线方程和法平面方程. 【解】0M 对应参数1=t .Γ在0M 点处的切线方向为
高等数学测试（第二章） 一．选择题（每小题２分，共20分） 1 ．设函数0()10 2 x f x x ≠=??=?? 在0x =处（ ） A ．不连续B ．连续但不可导C ．可导D ．可微 2．设函数()ln 2f x x x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则0()f x 等于（ ）A ．1 B ．2 e C ．2e D ．e 3．设函数()f x 在点x a =处可导，则0()()lim x f a x f a x x →+--等于（ ） A ．0 B ．()f a ' C ．2()f a ' D ．(2)f a ' 4．设x x x f += ??? ??11，x x g ln )(=，则[()]f g x '= （ ） A ． 2) 1(1x + B ．2)1(1x +- C ．1x x + D ．22 )1(x x +- 5．设函数 )(x f 在),(+∞-∞内可导，则下列结论中正确的是 （ ） A ．若)(x f 为周期函数，则)(x f '也是周期函数 B ．若)(x f 为单调增加函数，则)(x f '也是单调增加函数 C ．若)(x f 为偶函数，则)(x f '也是偶函数 D ．若 )(x f 为奇函数，则)(x f '也是奇函数 6．设)(x f 可导，则下列不成立的是 （ ） A ．)0()0()(lim 0 f x f x f x '=-→ B ．)()()2(lim 0 a f h a f h a f h '=-+→ C ．)()()(lim 0 000 x f x x x f x f x '=??--→? D ．)(2)()(lim 0000 x f x x x f x x f x '=??--?+→?
青理工高等数学下册期中测验 一、填空题(每小题3分,共15分) 1.设,23,2b a n b a m +=-=且,4),(,2||,1||^π ===b a b a 则._______||=? 2.设.________) ( ,2) ( ,3| | ,4| | ====b a b a 则 3.设由方程12+=+z ye xyz xz 确定函数),(y x z z =,则=-)1,2,0(|dz 4.曲线???=+-=++xoy z y x z y x 在1 12222222坐标面上的投影曲线是 5．1=xy xoy 面内的曲线y 绕轴旋转一周生成的旋转曲面方程是 二、.选择题(每小题4分,共24分) 6.已知直线π 22122:-=+= -z y x L 与平面4 2:=-+z y x ππ,则 ( ). (A).L 在π内; (B).L 与π不相交; (C).L 与π正交; (D).L 与π斜交. 7．函数),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数 ),(00y x f x '和),(00y x f y '存在,是),(y x f 在该点连续的( ). (A).充分条件而非必要条件; (B).必要条件而非充分条件; (C).充分必要条件; (D).既非充分条件又非充分条件. 8．函数)ln(2z xy xe u yz +=在点(1,2,1)M =处沿方向}2,1,2{ -=l =M |( ). (A).213 e +; (B).213e -; (C).213e -+; (D).213e --. 9．曲面8=xyz 上平行于平面042=++z y x 的切平面方程是( ). (A).1642=++z y x ; (B).1242=++z y x ; (C).842=++z y x ; (D).442=++z y x . 10．设),2,2(y x y x f z -+=且2 C f ∈，则=???y x z 2( ). (A).122211322f f f --; (B). 12221132f f f ++; (C). 12221152f f f ++; (D). 12221122f f f --. 三、计算 12、求函数(),arctan x f x y y =在点()0,1M 的梯度 11、设函数(),z z x y =由方程,0y z F x x ??= ??? 确定,其中F 为可微函数,且20F '≠,证明z y z y x z x =??+?? 13. 求二元函数()()22,2ln f x y x y y y =++的极值 14. 已知曲线22220:35 x y z C x y z ?+-=?++=?,求C 上距离xOy 最远的点和最近的点
高等数学第六版上册课后习题答案及解析 第一章 习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A ?B =(-∞, 3)?(5, +∞), A ? B =[-10, -5), A \ B =(-∞, -10)?(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5). 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B )C =A C ?B C . 证明 因为 x ∈(A ?B )C ?x ?A ?B ? x ?A 或x ?B ? x ∈A C 或x ∈B C ? x ∈A C ?B C , 所以 (A ?B )C =A C ?B C . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f (A ?B )=f (A )?f (B ); (2)f (A ?B )?f (A )?f (B ). 证明 因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B ) ? y ∈f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )=f (A )?f (B ). (2)因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )? y ∈ f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )?f (A )?f (B ). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g =ο, Y I g f =ο, 其中I X 、 I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中
考试科目:《高等数学》高起专 一．选择题 (每题4分，共20分) 1. 函数 y = 的定义域是 ( ). (a) (2,6)- (b) (2,6] (c)[2,6) (d)[2,6]- 2. 设11f x x =-（）， 则(())f f x = ( ) (a) 1x x - (b) 12x - (c) 1x - (d) 1x x - 3. 10 lim(12)x x x →- (a) e (b) 1 (c) 2e - (d) ∞ 4. 2 20lim (2) x x sin x → (a) 12 (b) 13 (c) 1 (d) 14 5. 在 0x → 时, sin x x - 是关于 x 的 ( ) (a) 低阶无穷小量 (b) 等价无穷小量 (c) 高阶无穷小量 (d) 同阶但不等价无穷小量 二.填空题(每题4分，共28分) 6. 设2(1)3f x x x -=++, 则 ()f x =___________. 7. 函数()f x = 的定义域是__________ 8. 若(31)1x f x +=+, 则()f x =__________ . 9. 2sin(2)lim 2 x x x →--=_____. 10. 设1,0,()5,0,1tan ,0x x f x x x x -? , 则 0lim ()x f x +→=_______.
11. 4lim(1)x x x →∞-=_____. 12. 3232lim 35 x x x x x →∞+--+=_____. 三.解答题(满分52分) 13. 求 45lim()46 x x x x →∞--. 14. 求 0x →. 15. 求 2sin lim 24cos x x x x x →∞-+. 16. 求 2lim x →-. 17. 求 123lim 24 n n n +→∞-+. 18. 设函数22cos ,0()2,0ln(14)a x x x f x x x x +-≤??=?>?+? , 在 0x = 处极限存在, 求 a 的值。 19. 若 33lim 12 x x ax b →-=++, 试确定常数 ,a b 的值。 附：参考答案： 一．选择题 (每题4分，共20分) 1）a 2）d 3）c 4）a 5）c 二.填空题(每题4分，共28分) 6）2 35x x ++ 7）12x -<<
高等数学一第6章课后习题详解 课后习题全解 习题6-2 ★ 1．求由曲线 x y =与直线 x y =所围图形的面积。 知识点：平面图形的面积 思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1 ∵所围区域D 表达为X-型：?? ?<<< ∵所围区域D 表达为X-型：?????<<< <1 sin 2 0y x x π， （或D 表达为Y-型：???<<< ∴所围区域D 表达为Y-型：?? ?-<<<<-2 2 422y x y y ， ∴23 16 )32 4()4(2 2 32 222= -=--=- - ? y y dy y y S D （由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为： 2316 )324(2)4(22 32 22=-=--=? y y dy y y S D ） ★★4．求由曲线 2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积 知识点：平面图形面积 思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-4 ∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：? ??<<< 高等数学课后习题及解答 1. 设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c 表示2u-3v. 解2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c） =5a-11b+7c. 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平 行四边形. 证如图8-1 ，设四边形ABCD中AC 与BD 交于M ，已知AM = MC ，DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形ABCD是平行四边形. 3. 把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各 分点与点 A 连接.试以AB=c, BC=a 表向量 证如图8-2 ，根据题意知 1 D 1 A, 1 D 2 A, D 3 A, D A. 4 1 D3 D4 BD1 1 a, 5 a, D1D2 a, 5 5 1 D 2 D 3 a, 5 故D1 A=- （AB BD1）=- a- c 5 D 2 A =- （ AB D A =- （ AB BD 2 BD ）=- ）=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- （ AB 3 BD 4 ）=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示 向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） . -2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）. 5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 . a 解 向量 a 的单位向量 为 ，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = （ 6，7， -6）= 6 , 7 , 6 ， a 11 11 11 11 其 中 a 6 2 72 ( 6)2 11. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （ 2， 3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3， 1）. 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4，3）， C （ 3，0，0）， D （ 0， D A 4 x) 1 3. 函数f (x) lnx 在x 1处的切线方程是 _______________________ 1 4. 设 f(—) x ,则 f (x) ___ ________ x 3 5. 函数 f (x) sin(cosx )，贝y f (x) ___________________ 6.设函数f(x) ln cosx ，则二阶导数f (x) 、选择题. 1.函数y A 、无定义 不连续 第二章 C 、可导 D 、连续但不可导 2.设函数f (X ) 2x 2 x , 1,x 0 ，则 f (x)在点x 0处 A 、没有极限 B 、有极限但不连续 C 、连续但不可导 D 、可导 3?设函数y f (x)可微, 则当 y dy 与x 相比，是 x 的等价无穷小 x 的同阶无穷小 C . x 的高阶无穷小 x 的低阶无穷小 4.函数 x 3的单调增区间是 中B 、(严,T 3 3 3 C 、(于 5?函数f (x) 1 (e x e x )的极小值点是 ) ) ) ) (0,+ ) ) 不存在 、填空题. 1. 已知(sin x) cosx , 利用导数定义求极限 2、 如果f (x °) 4，则 lim f(x 0 3x) x 0 f (X o ) 7. d(arctan2x) ,d In (sin 2x) 四、计算题. 六、应用题. 产品的市场需求量为 q 1000 10 p ( q 为需求量，p 为价格)?试求：(1 )成本函数，收入 函数；(2)产量为多少吨时利润最大? 8.函数f(x) x 3 ax 2 3x 9，已知f (x)在x 3时取得极值，则 a = p 9 ?设需求量q 对价格p 的函数为q(p) 100e ? ，则需求弹性E p 三、判 断题. 1. 若f(x)在点X o 处可导，则f (x)在点X o 处连续. 2. dy 是曲线y f (x)在点(x 0, f (怡))处的切线纵坐标对应于 x 的改变量. 3. 函数y f (x)在x 0点处可微的充要条件是函数在 X 。点可导. 4. 极值点一定是驻点. 5. 函数y x 在点x 0处连续且可导. 1.求函数 y arctan-. 1 x 2的导数. 2.求由方程x y e 2x e y 0所确定的隐函数 y f(x)的导数y . e 3.设 y x ，求 y . 4.求由方程y cos(x y)所确定的隐函数 y f (x)的二阶导数y . 五、求下列极限. (1) lim x x sin x x sin x (2) 4 c 2 lim X x 0 3x 2x si nx 4 ， (3) 01 x x 1 ln x (4) 1 lim( a' X 1)x (a 0), (5) (6) lim (x x 1 X \ X e)x . 1.求函数f (x) x 3 3x 2 9x 1的单调性、极值与极值点、凹凸区间及拐点. 2.某厂生产一批产品, 其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为 60元, 对这种 283 高等数学上（修订版）（复旦出版社） 习题六 无穷数级 答案详解 1．写出下列级数的一般项： (1)111135 7 ++++ ； (2)2 2242462468x x x x x ++++?????? ； (3)3579 3579 a a a a -+-+ ； 解：(1)1 21 n U n =-； (2)()2 !! 2n n x U n = ； (3)() 21 1 121 n n n a U n ++=-+； 2．求下列级数的和： (1)()()() 11 11n x n x n x n ∞ =+-+++∑ ； (2) ( )1 221n n n n ∞ =+-++∑； (3)23 111 5 55+ ++ ； 解：(1)()()() ()()()()1 11111211n u x n x n x n x n x n x n x n = +-+++?? -= ?+-++++?? 284 从而()()()()()()() ()()()()()()()1111 1211212231111111211n S x x x x x x x x x n x n x n x n x x x n x n ?-+-= +++++++?? ++ - ?+-++++? ?? -= ?++++?? 因此() 1lim 21n n S x x →∞ =+，故级数的和为 () 121x x + (2)因为()()211n U n n n n =-+-++- 从而()()()() ()()()()3243322154432112112 1 12 21 n S n n n n n n n n =-+-----+-++---+-++-=+-++-=+-+++ 所以lim 12n n S →∞ =-，即级数的和为12-． (3)因为2111 5551115511511145n n n n S =+ ++????-?? ???? ?=-????=-?? ????? 从而1lim 4 n n S →∞ =，即级数的和为14 ． 3．判定下列级数的敛散性： (1) ( )1 1n n n ∞ =+-∑； (2) ()() 11111661111165451n n +++++???-+ ； (3) ()23133222213333 n n n --+-++- ； 大一下学期高等数学期中考试试卷及答案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 大一第二学期高等数学期中考试试卷 一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中。 1、已知球面的一条直径的两个端点为()532，，-和()314-，，，则该球面的方程为______________________ 2、函数ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为 3、曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程为 4、2222222(,)(0,0)(1cos())sin lim ()e x y x y x y xy x y +→-+=+ 5、设二元函数y x xy z 3 2+=，则=???y x z 2_______________ 二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效。 1、旋转曲面1222=--z y x 是（ ） （A ）．xOz 坐标面上的双曲线绕Ox 轴旋转而成； （B ）．xOy 坐标面上的双曲线绕Oz 轴旋转而成； （C ）．xOy 坐标面上的椭圆绕Oz 轴旋转而成； （D ）．xOz 坐标面上的椭圆绕Ox 轴旋转而成． 2、微分方程23cos 2x x x y y +=+''的一个特解应具有形式（ ） 其中3212211,,,,,,d d d b a b a 都是待定常数. (A).212211sin )(cos )(x d x b x a x x b x a x ++++; (B).32212211sin )(cos )(d x d x d x b x a x x b x a x ++++++; (C).32212211)sin cos )((d x d x d x b x a b x a x +++++; (D).322111)sin )(cos (d x d x d x x b x a x +++++ 3、已知直线π 22122:-=+= -z y x L 与平面4 2:=-+z y x ππ,则 （ ） (A).L 在π内; (B).L 与π不相交; (C).L 与π正交; (D).L 与π斜交. 4、下列说法正确的是（ ） (A) 两向量a 与b 平行的充要条件是存在唯一的实数λ，使得b a λ=； (B) 二元函数()y x f z ,=的两个二阶偏导数22x z ??,22y z ??在区域D 内连续，则在该区域内两个二阶混合偏导必相等； (C) 二元函数()y x f z ,=的两个偏导数在点()00,y x 处连续是函数在该点可微的充分条 件； 高等数学练习题 第二章 导数与微分 系 专业 班 学号 第一节 导数概念 一．填空题 1.若)(0x f '存在，则x x f x x f x ?-?-→?) ()(lim 000 = )(0x f '- 2. 若)(0x f '存在，h h x f h x f h ) ()(lim 000 --+→= )(20x f ' . 000 (3)() lim x f x x f x x ?→+?-?=03()f x '. 3.设20-=')(x f , 则=--→)()2(lim )000 x f x x f x x 4 1 4.已知物体的运动规律为2 t t s +=(米)，则物体在2=t 秒时的瞬时速度为5（米/秒） 5.曲线x y cos =上点（ 3 π ，21）处的切线方程为03 123=- -+π y x ，法线方程为 03 22332=-+ -π y x 6.用箭头?或?表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系， 可微 ? 可导 <≠ ? | 连续 <≠? 极限存在。 二、选择题 1．设0)0(=f ,且)0(f '存在，则x x f x ) (lim 0→= [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )0(f ' (C) )0(f (D) 2 1 )0(f 2. 设)(x f 在x 处可导，a ,b 为常数，则x x b x f x a x f x ??--?+→?) ()(lim 0 = [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )()(x f b a '+ (C) )()(x f b a '- (D) 2 b a +)(x f ' 3. 函数在点 x 处连续是在该点 x 处可导的条件 [ B ] （A ）充分但不是必要 （B ）必要但不是充分 （C ）充分必要 （D ）即非充分也非必要 4．设曲线22 -+=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为 [ B ] 江南大学现代远程教育2013年上半年第一阶段测试卷考试科目:《高等数学》高起专第一章至第二章（总分100分）时间：90分钟 __________学习中心（教学点）批次：层次： 专业：学号：身份证号： 姓名：得分： 一．选择题 (每题4分，共20分) 1. 函数 y=的定义域是(a ). (a) (2,6) -(b) (2,6](c)[2,6)(d)[2,6] - 2. 设 1 2 f x x = + （），则(()) f f x=( d ) (a) 52 2 x x + + (b) 2 5 x+ (c) 2 x+(d) 2 52 x x + + 3. 1 lim(19)x x x → -= (c) (a) e(b) 9(c) 9 e-(d) ∞ 4. 2 2 lim sin(4) x x x → = ( d) (a) 1 2 (b) 1 3 (c) 1(d) 1 4 5. 在0 x→时, 1cos x -是关于x的( c ) (a) 低阶无穷小量(b) 等价无穷小量(c) 高阶无穷小量(d) 同阶但不等价无穷小量 二.填空题(每题4分，共28分) 6. 设(5)3f x x =-, 则 ()f x =_____ 35x -______. 7. 函数()f x = 的定义域是_____12x -<<___ 8. 若(31)1f x x +=+, 则()f x =_____ 233x +_____ . 9. 3sin [2(3)] lim (3)x x x →-++=___2__. 10. 设34,0, ()5,0,12tan ,0x x f x x x x -? , 则 0lim ()x f x +→=____1___. 11. 24lim (1)x x x +→∞- =___4e -__. 12. 32332lim 325x x x x x x →∞+--+=___1 3__. 三.解答题(满分52分) 13. 求 47lim ( )48 x x x x →∞--. 解：1(48)484471lim ( )lim (1)4848x x x x x x x e x x --→∞→∞-=+ =-- 14. 求 02 lim sin 3x x →. 解：002 21lim ( )lim sin 36x x x x →→== 15. 求 32sin lim 254co s x x x x x →∞+-+-. 解：3 2sin 132sin 1lim lim 5 4co s 254co s 2 2x x x x x x x x x x x x →∞→∞+-+-==+-+- 微积分课后题答案习题 详解 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 第二章 习题2-1 1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞ x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞ x n +k =a . 证：由lim n n x a →∞ =，知0ε?>，1N ?，当1n N >时，有 取1N N k =-，有0ε?>，N ?，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞ =. 2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞ x n =a ,则lim n →∞ ∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明 上述结论反之不成立. 证： 而 n n x a x a -≤- 于是0ε?>，,使当时，有N n N ?> n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-< 由数列极限的定义得 lim n n x a →∞ = 考察数列 (1)n n x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞ =， 所以前面所证结论反之不成立。 3. 利用夹逼定理证明： (1) lim n →∞ 2 22111(1) (2)n n n ??+++ ?+?? =0； (2) lim n →∞2!n n =0. 证：（1）因为 222 222111 112(1)(2)n n n n n n n n n n ++≤+++ ≤≤=+ 而且 21lim 0n n →∞=， 2lim 0n n →∞=， 所以由夹逼定理，得 22211 1lim 0(1)(2)n n n n →∞?? +++ = ?+? ? . （2）因为22222240!123 1n n n n n < =<-，而且4 lim 0n n →∞=，高等数学课后习题及解答
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