广东省韶关市2021届新高考数学最后模拟卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知点(2,0)M ，点P 在曲线2
4y x =上运动，点F 为抛物线的焦点，则2
||||1
PM PF -的最小值为（ ）
A
．3 B ．2(51)- C ．45
D ．4
【答案】D 【解析】 【分析】
如图所示：过点P 作PN 垂直准线于N ，交y 轴于Q ，则11PF PN PQ -=-=，设(),P x y ，0x >，
则
2||4
||1PM x PF x
=+-，利用均值不等式得到答案. 【详解】
如图所示：过点P 作PN 垂直准线于N ，交y 轴于Q ，则11PF PN PQ -=-=，
设(),P x y ，0x >，则
()()2
2
2
22224||||44||1x y
x x PM P P M x F x Q P x x
-+-+====+≥-， 当4
x x
=
，即2x =时等号成立. 故选：D .
【点睛】
本题考查了抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.
2．已知函数()32,0
log ,0x x f x x x ?≤=?>?，则
3=3f f ?
?? ? ?????
（ ）
A
．
2
B ．
12
C ．3log 2-
D ．3log 2
【答案】A 【解析】 【分析】
根据分段函数解析式，先求得f ??
的值，再求得f f ?? ? ??
???的值. 【详解】
依题意1
2331log log 3332f -??===- ? ???
，1
212322f f f -?
????=-== ? ? ???????
. 故选：A 【点睛】
本小题主要考查根据分段函数解析式求函数值，属于基础题. 3．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，125
2
a a +=，234+=a a ，则10S =（ ） A ．85 B ．
85
2
C ．35
D ．35
2
【答案】B 【解析】 【分析】
将已知条件转化为1,a d 的形式，求得1,a d ，由此求得10S . 【详解】
设公差为d ，则1
1522234
a d a d ?
+=???+=?，所以322d =，34d =，178a =，101138510109242S a =+???=
. 故选：B 【点睛】
本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查等差数列前n 项和的计算，属于基础题. 4．已知集合A {x x 0}︱=>，2B {x x x b 0}=-+=︱，若{3}A B ?=，则b =（ ） A ．6- B ．6
C ．5
D ．5-
【答案】A 【解析】 【分析】
由{}3A B ?=，得3B ∈，代入集合B 即可得b .
【详解】
{}3A B ?=Q ，3B ∴∈，930b ∴-+=，即：6b =-，
故选：A 【点睛】
本题考查了集合交集的含义，也考查了元素与集合的关系，属于基础题.
5．若双曲线()222210,0x y a b a b
-=>>的渐近线与圆()2
221x y -+=相切，则双曲线的离心率为( )
A ．2
B ．
C D
【答案】C 【解析】 【分析】
利用圆心(2,0)到渐近线的距离等于半径即可建立,,a b c 间的关系. 【详解】
由已知，双曲线的渐近线方程为0bx ay ±=，故圆心(2,0)到渐近线的距离等于1
1=，
所以223a b =，c e a ====
3
. 故选：C. 【点睛】
本题考查双曲线离心率的求法，求双曲线离心率问题，关键是建立,,a b c 三者间的方程或不等关系，本题是一道基础题.
6．已知等差数列{}n a 的公差为2-，前n 项和为n S ，1a ，2a ，3a 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120?，若n m S S ≤对任意的*n ∈N 恒成立，则实数m =（ ）. A ．6 B ．5
C ．4
D ．3
【答案】C 【解析】 【分析】
若n m S S ≤对任意的*n ∈N 恒成立，则m S 为n S 的最大值，所以由已知，只需求出n S 取得最大值时的n 即可. 【详解】
由已知，1a >2a >30a >，又三角形有一个内角为120?，所以222
12323a a a a a =++，
22211111(2)(4)(2)(4)a a a a a =-+-+--，解得17a =或12a =（舍），
故2(1)
7(2)82
n n n S n n n -=+?-=-+，当4n =时，n S 取得最大值，所以4m =. 故选：C. 【点睛】
本题考查等差数列前n 项和的最值问题，考查学生的计算能力，是一道基础题. 7．已知复数z 1=3+4i,z 2=a+i,且z 12z 是实数,则实数a 等于( ) A ．
34
B ．
43
C ．-
43
D ．-
34
【答案】A 【解析】
分析：计算2z a i =-，由z 1()2z 3a 44a 3i =++-，是实数得4a 30-=，从而得解. 详解：复数z 1=3+4i,z 2=a+i,
2z a i =-.
所以z 1()()()2z 34i a i 3a 44a 3i =+-=++-，是实数， 所以4a 30-=，即3a 4
=. 故选A.
点睛：本题主要考查了复数共轭的概念，属于基础题.
8．已知{}n a 为正项等比数列，n S 是它的前n 项和，若116a =，且4a 与7a 的等差中项为9
8
，则5S 的值是( ) A ．29 B ．30
C ．31
D ．32
【答案】B 【解析】 【分析】
设正项等比数列的公比为q ，运用等比数列的通项公式和等差数列的性质，求出公比，再由等比数列的求和公式，计算即可得到所求． 【详解】
设正项等比数列的公比为q ， 则a 4=16q 3，a 7=16q 6， a 4与a 7的等差中项为
98
，
即有a 4+a 7=
94
， 即16q 3+16q 6，=9
4
，
解得q=1
2
（负值舍去），
则有S 5=
(
)
5
111a q q
--=
511612112
?
??- ?
??-=1． 故选C ． 【点睛】
本题考查等比数列的通项和求和公式的运用，同时考查等差数列的性质，考查运算能力，属于中档题．
9．定义,,a a b a b b a b ≥??=?
，已知函数21()2sin f x x =-，2
1
()2cos g x x =-，则函数()()()F x f x g x =?的最小值为（ ） A ．
2
3
B ．1
C ．
43
D ．2
【答案】A 【解析】 【分析】
根据分段函数的定义得()()F x f x ≥，()()F x g x ≥，则2()()()F x f x g x ≥+,再根据基本不等式构造出相应的所需的形式，可求得函数的最小值. 【详解】
依题意得()()F x f x ≥，()()F x g x ≥，则2()()()F x f x g x ≥+,
22
2222
11111()()()[(2sin )(2cos )]2sin 2cos 32sin 2cos f x g x x x x x x x
+=
+=+-+----
-222212cos 2sin 14
(2)(232sin 2cos 33
x x x x --=++≥+=--(当且仅当222cos 2sin x x --222sin 2cos x x -=
-，即22
1sin cos 2x x ==时“=”成立.此时,2()()3f x g x ==，42()3F x ∴≥，()F x ∴的最小值为
2
3
， 故选：A. 【点睛】
本题考查求分段函数的最值，关键在于根据分段函数的定义得出2()()()F x f x g x ≥+，再由基本不等式求得最值，属于中档题.
10．P 是正四面体ABCD 的面ABC 内一动点，E 为棱AD 中点，记DP 与平面BCE 成角为定值θ，若点P 的轨迹为一段抛物线，则tan θ=（ ） A ．2 B
．
22
C ．
24
D ．22
【答案】B 【解析】 【分析】
设正四面体的棱长为2，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，求出面BCE 的法向量，设P 的坐标，
求出向量DP u u u r ，求出线面所成角的正弦值，再由角θ的范围0,2π??
????
，结合θ为定值，得出sin θ为定值，
且P 的轨迹为一段抛物线，所以求出坐标的关系，进而求出正切值． 【详解】
由题意设四面体ABCD 的棱长为2，设O 为BC 的中点，
以O 为坐标原点，以OA 为x 轴，以OB 为y 轴，过O 垂直于面ABC 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，
则可得1OB OC ==，3
23OA =
=OA 的三等分点G 、F 如图， 则13
33
OG OA =
=
，2333AG OF OA ===，226
3
DG AD AG =-=
，1623EF DG ==，
所以()0,1,0B 、()0,1,0C -、(
)
3,0,0A
、32633D ? ??、236,0,33E ??
? ???
， 由题意设(),,0P x y ，326,DP x y ?= ??
u u u r ，
QV ABD 和ACD V 都是等边三角形，E 为AD 的中点，BE AD ∴⊥，CE AD ⊥，
BE CE E =Q I ，AD ∴⊥平面BCE ，2326AD ?∴= ??
u u u r 为平面BCE 的一个法向量，
因为DP 与平面BCE 所成角为定值θ，则0,2π??θ∈????
，
由题意可得
sin cos ,AD DP AD DP AD DP
θ?=<>==
?u u u r u u u r
u u u r u u u r
u u u r u u u r
=
== 因为P 的轨迹为一段抛物线且tan θ为定值，则sin
θ也为定值，
22339x
x ==，可得2
3y =
，此时sin θ=
，则cos θ=，sin tan cos θθθ==
故选：B. 【点睛】
考查线面所成的角的求法，及正切值为定值时的情况，属于中等题．
11．已知变量x ，y 间存在线性相关关系，其数据如下表，回归直线方程为 2.10.5?8y
x =+，则表中数据m 的值为（ ）
A ．0.9
B ．0.85
C ．0.75
D ．0.5
【答案】A 【解析】 【分析】
计算,x y ，代入回归方程可得． 【详解】 由题意0123
1.54x +++=
=，3 5.5715.544
m m y ++++==，
∴
15.5
2.1 1.50.854
m +=?+，解得0.9m =． 故选：A. 【点睛】
本题考查线性回归直线方程，解题关键是掌握性质：线性回归直线一定过中心点(
,)x y ．
12．《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深，对今天 的几何学和其它学科仍有深刻的影响．下图就是易经中记载的几何图形——八卦田，图中正八 边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．已知正八边 形的边长为10m ，阴阳太极图的半径为4m ，则每块八卦田的面积约为（ ）
A ．247.79m
B ．254.07m
C ．257.21m
D ．2114.43m
【答案】B 【解析】 【分析】
由图利用三角形的面积公式可得正八边形中每个三角形的面积，再计算出圆面积的1
8
，两面积作差即可求解. 【详解】
由图，正八边形分割成8个等腰三角形，顶角为360458
=o
o ，
设三角形的腰为a ，
由正弦定理可得10
135sin 45sin 2
a =o o
，解得1351022
a =o ， 所以三角形的面积为：
)
2
11351cos135102sin 455022521222
S ??-=?== ???o o o ，
所以每块八卦田的面积约为：)
21
2521454.078
π-??≈.
故选：B 【点睛】
本题考查了正弦定理解三角形、三角形的面积公式，需熟记定理与面积公式，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．高三（1）班共有56人，学号依次为1，2，3，…，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6，34，48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为 ． 【答案】20 【解析】 【分析】 【详解】
根据系统抽样的定义将56人按顺序分成4组，每组14人，则1至14号为第一组，15至28号为第二组，29号至42号为第三组，43号至56号为第四组.而学号6,34,48分别是第一、三、四组的学号，所以还有一个同学应该是15+6-1=20号,故答案为20.
14．由于受到网络电商的冲击，某品牌的洗衣机在线下的销售受到影响，承受了一定的经济损失，现将A 地区200家实体店该品牌洗衣机的月经济损失统计如图所示，估算月经济损失的平均数为m ，中位数为n ，则m n -=_________.
【答案】360 【解析】 【分析】
先计算第一块小矩形的面积10.3S =，第二块小矩形的面积20.4S =，，面积和超过0.5，所以中位数在第二块求解，然后再求得平均数作差即可. 【详解】
第一块小矩形的面积10.3S =，第二块小矩形的面积20.4S =， 故0.50.3
200030000.0002
n -=+
=；
而10000.330000.450000.18(70009000)0.063360m =?+?+?++?=， 故360m n -=. 故答案为：360. 【点睛】
本题考查频率分布直方图、样本的数字特征，考查运算求解能力以及数形结合思想，属于基础题. 15．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别边,,a b c ，且22a b c +=，设角C 的角平分线交AB 于
点D ，则cos C 的值最小时，
BD
AD
=___.
【答案】3
【解析】 【分析】
根据题意，利用余弦定理和基本不等式得出cos C ≥，再利用正弦定理，即可得出BD AD . 【详解】
因为2a c +=
，则c = 由余弦定理得：
2222
2
2
1
()4cos 22a b a a b c C ab ab +-++-===
84
ab -≥
=
，
=时取等号，
又因为
sin sin BD a BCD CDB =∠∠，sin sin AD b
ACD CDA
=∠∠，
所以
3BD a AD b ===
.
故答案为：3
. 【点睛】
本题考查余弦定理和正弦定理的应用，以及基本不等式求最值，考查计算能力. 16．已知a ，b ，c 分别为ABC V 内角A ，B ，C
的对边，a =
sin A =
，b ，则ABC V 的面积为__________.
【解析】 【分析】
根据题意，利用余弦定理求得2c =，再运用三角形的面积公式即可求得结果. 【详解】