一个汽车制造商售出某品牌的汽车可获利1500美元,估计每100美元的折扣可以使销售量提高15%。
⑴多大的折扣可以使利润最高？利用五步方法及单变量最优化模型。
⑵对你所得的结果，求关于所做的15%假设的灵敏性。分别考虑折扣量和相应的收益。
⑶假设实际每100美元的折扣仅可以使销售量提高10%，对结果会有什么影响？如果每100美元的折扣的提高量为10%~15%之间的某个值,结果以如何.
⑷什么情况下折扣会导致利润的降低。
运用五步法求解上面问题。
⑴提出问题(问题)
⑵选择建模方法(方法)
⑶推导模型的数学表达式
⑷求解模型
⑸回答问题。
㈠问题的提出
1.具体问题
⑴多大的折扣可以使利润最高？利用五步方法及单变量最优化模型。
⑵对你所得的结果，求关于所做的15%假设的灵敏性。分别考虑折扣量和相应的收益。
⑶假设实际每100美元的折扣仅可以使销售量提高10%，对结果会有什么影响？如果每100美元的折扣的提高量为10%~15%之间的某个值,结果以如何.
⑷什么情况下折扣会导致利润的降低。
2.符号的说明
⑴打折后每辆汽车的利润（1500-x ）（美元）； ⑵打折后得销售量0%)15100
1(q x
q ?+=（辆）； ⑶利润0%)15100
1)(1500(q x
x P ?+
-=（美元）； ⑷折扣活动是一次性完成的，即厂家一次性降低x 100美元,销售量就提高了
x %15。 ⒋问题的分析
根据题意，以目前的价格P ，销售量为n ，利润为1500)(=-C P n ，现厂家估计每100美元的折扣可以使销售量提高15%，我们假设折扣活动是一次性完成的，即厂家一次性降低x 100美元,销售量就提高了x %15，现需决定x 的大小，使得厂商获取最大利润。
㈡模型的建立与求解
1.提出问题
根据题意，以目前的价格P ，销售量为n ，利润为1500)(=-C P n ，现厂家估计每100美元的折扣可以使销售量提高15%，我们假设折扣活动是一次性完成的，即厂家一次性降低x 100美元,销售量就提高了x %15，现需决定x 的大小，使得厂商获取最大利润。所以目标时求利润P 的最大值。 2.选择建模方法
设)(x f y =在S x ∈处是可微的，若)(x f 在x 处达到极大或极小,则
0)(='x f 。
3.推导模型公式
记0/q P y =作为求最大值的目标变量，x 自变量，我们的问题就化为在集合
}0:{≥=x x S 上求下面函数的最大值
4.利用第二步中确定的标准过程求解这个模型
对%)15100
1)(1500()(?+
-==x
x x f y 在区间x ≥0上求最大值。利用matlab
软件作出)(x f z =的图像。
程序： x=400:450;
y=(1500-x).*(1+x./100*0.15); plot(x,y)
图1折扣x 与利润的关系
如图1可知)(x f y =关于x 是二次的曲线图，易得25.1003.0)(+-='x x f ，则在31250=
x 处0)(='x f 。由f 在区间??? ??∞-31250,上单升,而在区间??
?
??+∞,31250上单减.故点3
1250
=
x 是整体最大值点. 因为4.1760)31250(=f ,从而点()??
?
??=4.1760,31250,y x 是f 在整个实轴上的整体最大值点,也是区间x ≥0上的最大值点。 5.回答问题
⑴由第四步我们得到的答案是在打约416.7美元的折扣的时候，可以获得最大利润。只要第一步假设成立，这一结果就是正确的。
⑵对问题二进行粗灵敏度分析
前面我们假定15.0=r （辆/百美元），现在假设r 的实际值是不同的，对几个不同的r 值，重复前面的求解过程,我们会对问题的解关于r 的敏感程度有所了解.即给定r 对)100
1)(1500()(r x
x x f y +-==求导，
令0)(='x f ，可得相应x 值，不同的r 值求出x 如表1。
表1所打折扣x 关于销售量的增长速率r 的灵敏性
+
图2折扣x 关于销售量的增长速率r 的曲线
根据图1我们可以看出折扣x 对参数r 是很敏感的. ⑶由第⑵知折扣x 与参数r 之间的关系为r
x 50750-
=，所以当每100美元的折扣仅可以使销售量提高10%，即%10=r 时，折扣为250可以是利润最大，此时最大利润为1562.500q 。将r x 50750-
=代入，可得利润750255625++=r
r P ，利用matlab 软件做出)(r f y =的图2。 程序如下：
r=0.1:0.001:0.15; y=5625*r+25./r+750; plot(r,y,'g*') 结果如下：
图3利润p 关于销售量的增长速率r 的曲线
所以当每100美元的折扣的提高量为10%～15%之间的某个值时,总利润随着这个值得增加而增加。
⑷将初始销售量看成常量1，则不的打折利润为1500，现在利润
150025.10015.02++-=x x P ，当利润下降时，就有1500
x ，即当折扣大于833.33美元时，
利润会降低。
汽车制造商要保证售出该品牌的汽车可获利1500美元,折扣就要低于833.33美元。
《统筹方法》教案 教学目标 1．了解统筹方法的简单原理，认识统筹方法在现实社会中的重要作用，培养学生学科学爱科学的兴趣。 2．学习本文下定义、举例子、画图表的说明方法的使用。 3．培养学生实际运用统筹方法的初步能力。 教学重难点 重点：理解课文内容，理清文章结构。 难点：将统筹方法用于社会实践中去。应引导学生多设例，并将这些例子绘制成图表示意，掌握画图表这一说明方法的特点和作用。 教学方法： 采用自主学习和合作探究的方法，可在学习课文的基础上，适当拓宽，让学生生活中的统筹知识，将本文的学习与调查实践结合起来，体现课程标准的新理念，提高学生的生活实践能力。 课前准备 1. 教师分析教材，准备PPT课件及相关视频。 2.学生查阅资料，了解作家作品，借助工具书和网络搜集有关统筹方法的事例。 课时安排：2课时。 教学过程 第一课时 一、新课导入 1.出示课件：生活事例 负责人王工程师讲，造一座桥,总部要求他们必须在25天内完成任务。可是,大梁浇注要5天，大梁凝固要20天，围堤抽水要5天，砌桥墩要15天，加起来共需要45天，同学们，25天的时间做45天的活儿，能完成吗？ 我们在日常生活、学习、劳动中，或是工业、农业以及各行各业工作过程中，无一不想节省时间、提高效益。如何才能少费时、少费事、多干活、干好活呢？著名数学家华罗庚先生写的《统筹方法》就是专门解决这一问题的，我们认真研究，肯定会大有裨益。 2.介绍作者华罗庚。
华罗庚，我国现代著名的数学家。他在数学理论的研究上有卓越的贡献，在国际上也有一定影响。生前曾担任中国科学院数学研究所所长。为了使数学更好地为祖国的工农业生产建设服务，他致力于研究并推广数学在实际中的应用，使小、数学在工农业生产实践中发挥巨大威力。他重视实用数学的普及工作，为了使文化水平不高的广大生产者了解有关数学原理，并懂得其原理在生产中是怎样运用的，他用通俗易懂的语言写下了《统筹方法平话》、《统筹方法平话及补充》《优选法平话》等科普读物。以为外国数学家曾感叹说：“我们从来没有见过一位数学家和群众有这样的关系。”这说明了华罗庚致力于科学普及工作的突出成就。 （观看华罗庚视频） 二、新课学习 1．课题为“统筹方法”，讲的是一种方法，因此它是一篇事理说明文。那么，什么是统筹方法呢？请大家找出课文中严谨、科学地说明这一概念的语句。（理解“下定义”的说明方法的特点及作用） 学生思考，很容易地找到第一段的第一句话：统筹方法，是一种安排工作进程的数学方法。 2．这句话用了什么说明方法？ 下定义的说明方法。 教师讲析“下定义”的特点：定义=内涵+外延。在这儿，安排工作进程是统筹方法的内涵，本质属性，数学方法是精确地计算（时间或路程）的方法，并非其他方法，这是它的所属，是外延，两者合在一起准确而简明地指出统筹方法的性质特点。 3．作者为什么开篇即用下定义的方法说明“统筹方法”？ 学生能想到：这是使读者对这种数学方法的性质和内涵有所了解，以便于下文具体说明。 4．第一段还讲了什么内容？ 明确：统筹方法的应用范围，正因为运用范围广泛，所以才有研究、介绍、普及的必要。 三、学习语言特色 理解作者是怎样通俗、生动地把这一数学方法介绍得清楚、明白的。 “统筹方法”既然如此有用，那“如何应用呢”？这是读者最关心的问题，最能引起兴趣，因此作者在第二段用一个“设问句”开头，在结构上起到了承前启后的过渡作用。（可以由老师步步设问，学生跟着回应，启发学生的思考。） 1．问：那么，作者是怎样说明统筹方法的应用的呢？
兰州交通大学 数学建模大作业 学院：机电工程学院 班级：车辆093 学号：200903812 姓名：刘键学号：200903813 姓名：杨海斌学号：200903814 姓名：彭福泰学号：200903815 姓名：程二永学号：200903816 姓名：屈辉
高速公路问题 1 实验案例 (2) 1.1 高速公路问题(简化) (2) 1.1.1 问题分析 (3) 1.1.2 变量说明 (3) 1.1.3 模型假设 (3) 1.1.4 模型建立 (3) 1.1.5 模型求解 (4) 1.1.6 求解模型的程序 (4) 1实验案例 1.1 高速公路问题(简化) A城和B城之间准备建一条高速公路，B城位于A城正南20公里和正东30公里交汇处，它们之间有东西走向连绵起伏的山脉。公路造价与地形特点有关，图4.2.4给出了整个地区的大致地貌情况，显示可分为三条沿东西方向的地形带。 你的任务是建立一个数学模型，在给定三种地形上每公里的建造费用的情况下，确定最便宜的路线。图中直线AB显然是路径最短的，但不一定最便宜。而路径ARSB过山地的路段最短，但是否是最好的路径呢？ A B 图8.2 高速公路修建地段
1.1.1 问题分析 在建设高速公路时，总是希望建造费用最小。如果要建造的起点、终点在同一地貌 中，那么最佳路线则是两点间连接的线段，这样费用则最省。因此本问题是一个典型的最优化问题，以建造费用最小为目标，需要做出的决策则是确定在各个地貌交界处的汇合点。 1.1.2 变量说明 i x ：在第i 个汇合点上的横坐标（以左下角为直角坐标原点），i ＝1，2，…，4；x 5＝30（指目的地B 点的横坐标） x=[x 1，x 2，x 3，x 4]T l i ：第i 段南北方向的长度（i ＝1，2， (5) S i ：在第i 段上地所建公路的长度（i ＝1，2， (5) 由问题分析可知， () ()() () 2 542552 432442 322332212 222 1211x x l S x x l S x x l S x x l S x l S -+=-+=-+=-+=+= C 1：平原每公里的造价（单位：万元/公里） C 2：高地每公里的造价（单位：万元/公里） C 3：高山每公里的造价（单位：万元/公里） 1.1.3 模型假设 1、 假设在相同地貌中修建高速公路，建造费用与公路长度成正比； 2、 假设在相同地貌中修建高速公路在一条直线上。在理论上，可以使得建造费用最少， 当然实际中一般达不到。 1.1.4 模型建立 在A 城与B 城之间建造一条高速公路的问题可以转化为下面的非线性规划模型。优化目标是在A 城与B 城之间建造高速公路的费用。 () 4,3,2,1300. .)(min 5142332211=≤≤++++=i x t s S C S C S C S C S C x f i
如 何 建 立 数 学 模 型 及 实 例 数学建模培训 科研处数学建模小组
第五章：如何建立数学模型 怎样撰写数学建模的论文？ 1．什么是数学模型？ 数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。 简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟）所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律。 2．什么是数学建模?数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种 实践。即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解。 观点：“所谓高科技就是一种数学技术” 注数学建模其实并不是什么新东西，可以说有了数学并需要用数学去解决实际问题，就一定要用数学的语言、方法去近似地刻划该实际问题，这种刻划的数学表述的就是一个数学模型，其过程就是数学建模的过程。数学模型一经提出，就要用一定的技术手段（计算、证明等）来求解并验证，其中大量的计算往往是必不可少的，高性能的计算机的出现使数学建模这一方法如虎添翼似的得到了飞速的发展，掀起一个高潮。 注 数学建模将各种知识综合应用于解决实际问题中，是培养和提高同学们应用所学知识分析问题、解决问题的能力的必备手段之一。 3．数学建模的一般方法和步骤建立数学模型的方法和步骤并没有一定的模 式，但一个理想的模型应能反映系统的全部重要特征：模型的可靠性和模型的使用性 建模的一般方法： ◆机理分析◆测试分析方法 机理分析：根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，找出反映内部机理的规律，所建立的模型常有明确的物理或现实意义。 测试分析方法：将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，通过测量系统的输入输出数据，并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个数据拟合得最好的模型。测试分析方法也叫做系统辩识。 将这两种方法结合起来使用，即用机理分析方法建立模型的结构，用系统测试方法来确定模型的参数，也是常用的建模方法。在实际过程中用那一种方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的来决定。机理分析法建模的具体步骤大致可见下图。
层次分析法 层次分析法是一种解决多目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析方法。该方法将定量分析与定性分析结合起来，用决策者的经验判断各衡量目标能否实现的标准之间的相对重要程度，并合理地给出每个决策方案的每个标准的权数，利用权数求出各方案的优劣次序，比较有效地应用于那些难以用定量方法解决的课题。 缺点： （1）层次分析法的主观性太强，模型的搭建，判断矩阵的输入都是决策者的主观判断，往往会因为决策者的考虑不周、顾此失彼而造成失误。 （2）层次分析法模型的内部结构太过理想化，完全分离、彼此独立的层次结构在实践中很难做到。 （5）层次分析法只能从给定的决策方案中去选择，而不能给出新的、更优的策略。 1.模型的应用 用于解决多目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析。 （1）公司选拔人员， （2）旅游地点的选取， （3）产品的购买等， （4）船舶投资决策问题（下载文档）， （5）煤矿安全研究， （6）城市灾害应急能力， （7）油库安全性评价， （8）交通安全评价等。 2.步骤 ①建立层次结构模型 首先明确决策目标，再将各个因素按不同的属性从上至下搭建出一个有层次的结构模型，模型如下图所示。
目标层 准则层 方案层 目标层：表示解决问题的目的，即层次分析要达到的总目标。通常只有一个总目标。 准则层：表示采取某种措施、政策、方案等实现预定总目标所涉及的中间环节。 方案层：表示将选用的解决问题的各种措施、政策、方案等。通常有几个方案可选。 注意： （1）任一元素属于且仅属于一个层次；任一元素仅受相邻的上层元素的支配，并不是任一元素与下层元素都有联系； （2）虽然对准则层中每层元素数目没有明确限制，但通常情况下每层元素数最好不要超过 9 个。这是因为，心理学研究表明，只有一组事物在 9 个以内，普通人对其属性进行判别时才较为清楚。当同一层次元素数多于 9 个时，决策者对两两重要性判断可能会出现逻辑错误的概率加大，此时可以通过增加层数，来减少同一层的元素数。 ②构造判断（成对比较）矩阵 以任意一个上一层的元素为准则，对其支配的下层各因素之间进行两两比 a重要程度的衡量用Santy的1—9较。得到判断矩阵，再求出各元素的权重。 ij 标度方法给出。即
《统筹方法》习题 一、基础知识 1．给下列加黑的字注音： 裨（）益卑（）之无甚高论耽（）误统筹（）2．给下列一段话加上标点： 比如□想泡壶茶喝□当时情况是□开水没有□水壶要洗□茶壶□茶杯要洗□火已升了□茶叶也没有□怎么办□ 3．用关联词连接下列短句，成为一段话。 （1）不能泡茶 （2）这些又是泡茶的前提 （3）没开水、没茶叶、不洗茶壶茶杯 4．解释下列词语： （1）统筹 （2）不无裨益 （3）错综复杂 （4）小题大做 （5）卑之无甚高论 二、综合训练 课内阅读 水壶不洗，不能烧开水，因而洗水壶是烧开水的前提。没开水、没茶叶、不洗茶壶茶杯，就不能泡茶，因而这些又是泡茶的前提。它们的相互关系，可以用下面的箭头图来表示：箭杆上的数字表示，这一行动所需要的时间，例如15表示从把水放在炉上到水开的时间是15分钟。 从这个图上可以一眼看出，办法甲总共要16分钟（而办法乙、丙需要20分钟）。如果要缩短工时、提高工作效率，应当主要抓烧开水这个环节，而不是抓拿茶叶等环节。同时，洗茶壶茶杯、拿茶叶总共不过4分钟，大可利用「等水开」的时间来做。 1、第9节画线句中的“这一行动”指的是
2、第10节中“洗茶壶茶杯、拿茶叶总共不超过4分钟”，“不过”一次能否删去，为什么？ 3、文中介绍了统筹方法是 用了的说明方法，作用是 4、文中三次以泡茶为例，分别说明了什么？ 第一次是为了说明 第二次（第十段）是为了说明 第三次（第十二段）是为了说明 5、文中用了制图表的说明方法，请你说说它的作用是什么？ 6．第一自然段使用了什么说明方法？它在全篇中起什么作用？ 7．“如何应用呢？”这一设问有何作用？ 8．作者用烧水泡茶这一设例引出的是什么原理？体现在哪些方面？ 9．统筹方法这一原理是否只能用在工业上呢？ 10.本文最后一个自然段是否可以削减？ 课外语段阅读练习 “多才多艺”的气象卫星
郑重声明： 本作业仅供参考，可能会有错误，请自己甄别。 应用运筹学作业 6.某工厂生产A，B，C，D四种产品，加工这些产品一般需要经刨、磨、钻、镗四道工序，每种产品在各工序加工时所需设备台时如表1-18所示，设每月工作25天，每天工作8小时，且该厂有刨床、磨床、钻床、镗床各一台。问：如何安排生产，才能使月利润最大？又如A，B，C，D四种产品，每月最大的销售量分别为300件、350件、200件和400件，则该问题的线性规划问题又该如何？ 1234 四种产品的数量，则得目标函数： Max=(200?150)x1+(130?100)x2+(150?120)x3+(230?200)x4 =50x1+30x2+30x3+30x4 生产四种产品所用时间： (0.3+0.9+0.7+0.4)x1+(0.5+0.5+0.5+0.5)x2+(0.2+0.7+0.4+ 0.8)x3+(0.4+0.8+0.6+0.7)x4≤25×8 即：2.3x1+2.0x2+2.1x3+2.5x4≤200 又产品数量不可能为负，所以：x i≥0(i=1,2,3,4) 综上，该问题的线性规划模型如下： Max Z=50x1+30x2+30x3+30x4 S.T.{2.3x1+2.0x2+2.1x3+2.5x4≤200 x i≥0(i=1,2,3,4) 下求解目标函数的最优解： max=50*x1+30*x2+30*x3+30*x4; 2.3*x1+2.0*x2+2.1*x3+2.5*x4<200; Global optimal solution found. Objective value: 4347.826 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X1 86.95652 0.000000 X2 0.000000 13.47826 X3 0.000000 15.65217
第四讲层次分析法 在现实世界中，往往会遇到决策的问题，比如如何选择旅游景点的问题，选择升学志愿的问题等等。在决策者作出最后的决定以前，他必须考虑很多方面的因素或者判断准则，最终通过这些准则作出选择。 比如选择一个旅游景点时，你可以从宁波、普陀山、浙西大峡谷、雁荡山和楠溪江中选择一个作为自己的旅游目的地，在进行选择时，你所考虑的因素有旅游的费用、旅游地的景色、景点的居住条件和饮食状况以及交通状况等等。这些因素是相互制约、相互影响的。我们将这样的复杂系统称为一个决策系统。这些决策系统中很多因素之间的比较往往无法用定量的方式描述，此时需要将半定性、半定量的问题转化为定量计算问题。层次分析法是解决这类问题的行之有效的方法。层次分析法将复杂的决策系统层次化，通过逐层比较各种关联因素的重要性来为分析、决策提供定量的依据。 一、建立系统的递阶层次结构 首先要把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型。一个决策系统大体可以分成三个层次： （1） 最高层（目标层）：这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结果； （2） 中间层（准则层）：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则； （3） 最低层（方案层）：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等。 比如旅游景点问题，我们可以得到下面的决策系统： 目标层——选择一个旅游景点 准则层——旅游费用、景色、居住、饮食、交通 方案层——宁波、普陀山、浙西大峡谷、雁荡山、楠溪江 二、构造成对比较判断矩阵和正互反矩阵 在确定了比较准则以及备选的方案后，需要比较若干个因素对同一目标的影响，从额确定它们在目标中占的比重。如旅游问题中，五个准则对于不同决策者在进行决策是肯定会有不同的重要程度，而不同的方案在相同的准则上也有不同的适合程度表现。层次结构反映了因素之间的关系，但准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重并不一定相同，在决策者的
统筹方法读后感 篇一：统筹方法平话及补充心得体会 读《统筹方法平话及补充》有感 徽州区人社局康伟 在工作中，有时候很多事情会凑到一起；在生活中， 家里家外会有很多事需要处理；办事之前先进行一下统筹安排对提高工作、生活的效率很有帮助，也是很有必要的。我初中的时候学过一篇华罗庚的《统筹方法》，今天再次读来，才深刻理解了其中的涵义，对于工作和生活的实践有了具体的应用。 俗话说：“磨刀不误砍柴功”，正如华罗庚在文中所举的泡茶的例子，如果不梳理一下行动顺序的话，就会浪费时间降低办事效率，甚至会手忙脚乱、不知所措。结合自身目前的工作，当前正值社保审计之时，中心各个险种的数据都在紧锣密鼓的梳理，如果不合理安排时间的话，很容易手忙脚乱，完不成任务不说还会累得心力憔悴。那么，怎样将华罗庚的这一科学理论很好地应用于实践中呢？这就需要统筹安排。统筹安排的运用在工作中就是要通过决策来进行资源的有效配臵，用最小的代价解决问题，最大限度地解决问题。统筹安排的运用要求我们在完成任务的过程中能够机 动灵活，如果接到紧急任务，就先完成紧要的任务，再按照计划行事。同样一件事，有的人做起来很轻松，有的人做起来却很费力；同样一项任务，有的人做起来效率很高，有的人做起来却迟迟完不成任务。我觉得除了能力和水平等因素
之外，掌握完备的方式方法对与提高工作效率很重要。 要想提高工作效率，首先要树立高效的意识，要认识到树立高效意识的重要性，只有充分认识自身在使用时间、安排工作任务等方面的效率状况，树立高效意识的基础上，才有可能提高工作效率。 第二是确定工作目标。尽管每天要处理的事情是繁多复杂的，但明确的工作目标将会少走弯路，以目标来约束，才会以最高的效率和最合理的资源整合达成目标。 第三是要知道怎样合理安排工作任务。事有轻重缓急，工作应有主次之分。合理地安排任务能将主要的资源分配到最重要的工作中，从而使自身效率得到最佳体现。 第四要明白如何加强时间管理问题。时间因素是影响工作效率的瓶颈，时间使用的效率高低直接决定了工作效率的高低。只有利用好各种管理时间的技巧来加强自己的时间管理能力，才能彻底摆脱工作效率低下的困境。 第五要掌握如何建立有效的交流沟通系统。沟通是进行工作的第一步，只有通过良好的沟通，人与人之间、组 织与组织之间才能建立起相互理解和信任的工作氛围；才能大大减少冲突和隔阂所导致的不合作现象；才能更有效率地支配所拥有的资源，大大提高工作效率。 第六要明白如何克服主观的低效因素。当自身行为和能力成为制约工作效率提高的因素时，就需要注意学习和掌握成熟的管理技能来提高自身的管理水平，同时善于不断总结实际工作中的经验教训。
数学建模 第一章 线性规划 §1 线性规划 在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。自从1947年G. B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。 1.1 线性规划的实例与定义 例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。生产甲机床需用B A 、机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用C B A 、、三种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10小时、B 机器8小时和C 机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？ 上述问题的数学模型：设该厂生产1x 台甲机床和2x 乙机床时总利润最大，则21,x x 应满足 （目标函数） 2134m ax x x z += (1) s.t. （ 约 束 条 件 ） ?????? ?≥≤≤+≤+0 ,781022122 121x x x x x x x （2） 这里变量21,x x 称之为决策变量，（1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。
上述即为一规划问题数学模型的三个要素。由于上面的目标函数及约束条件均为线性函数，故被称为线性规划问题。 总之，线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。 在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步，但往往也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解。而选取适当的决策变量，是我们建立有效模型的关键之一。 1.2 线性规划的Matlab 标准形式 线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。为了避免这种形式多样性带来的不便，Matlab 中规定线性规划的标准形式为 b Ax x c x T ≤ that such min 其中c 和x 为n 维列向量，b 为m 维列向量，A 为n m ?矩阵。 例如线性规划 b Ax x c x T ≥ that such max 的Matlab 标准型为 b Ax x c x T -≤-- that such min 1.3 线性规划问题的解的概念 一般线性规划问题的标准型为 ∑==n j j j x c z 1min (3) ∑==≤n j i j ij m i b x a 1,,2,1 s.t.Λ (4) 可行解 满足约束条件（4）的解),,,(21n x x x x Λ=，称为线性规划问题的可行解，而使目标函数（3）达到最小值的可行解叫最优解。
-167- 第八章 层次分析法 层次分析法（Analytic Hierarchy Process ，简称AHP ）是对一些较为复杂、较为模糊的问题作出决策的简易方法，它特别适用于那些难于完全定量分析的问题。它是美国运筹学家T. L. Saaty 教授于上世纪70年代初期提出的一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法。 §1 层次分析法的基本原理与步骤 人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。层次分析法为这类问题的决策和排序提供了一种新的、简洁而实用的建模方法。 运用层次分析法建模，大体上可按下面四个步骤进行： （i ）建立递阶层次结构模型； （ii ）构造出各层次中的所有判断矩阵； （iii ）层次单排序及一致性检验； （iv ）层次总排序及一致性检验。 下面分别说明这四个步骤的实现过程。 1.1 递阶层次结构的建立与特点 应用AHP 分析决策问题时，首先要把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型。在这个模型下，复杂问题被分解为元素的组成部分。这些元素又按其属性及关系形成若干层次。上一层次的元素作为准则对下一层次有关元素起支配作用。这些层次可以分为三类： （i ）最高层：这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结果，因此也称为目标层。 （ii ）中间层：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则，因此也称为准则层。 （iii ）最底层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，因此也称为措施层或方案层。 递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及需要分析的详尽程度有关，一般地层次数不受限制。每一层次中各元素所支配的元素一般不要超过9个。这是因为支配的元素过多会给两两比较判断带来困难。 下面结合一个实例来说明递阶层次结构的建立。 例1 假期旅游有1P 、2P 、3P 3个旅游胜地供你选择，试确定一个最佳地点。 在此问题中，你会根据诸如景色、费用、居住、饮食和旅途条件等一些准则去反复比较3个侯选地点。可以建立如图1的层次结构模型。 图1 层次结构模型
系统思想与统筹方法 本专题“文章选读”部分中现代文《统筹方法》由理及事，深入浅出地介绍了运筹学的基本内容。三篇文言文以不同的题材讲述了古代朴素的系统思想的应用。从总体上看，本专题是从运筹学谈到系统论，从古代朴素的系统思想谈到现代已成体系的一般系统论的状况。 广泛搜罗各方面的事例，一方面可以使读者看出统筹和系统思想是来源于实践，是从大量的成功经验中总结出来的；一方面可以看到两者有普遍性，几乎可以适用于一切领域。因此，我们要着眼于找出各事例之间的联系和区别，从而对统筹方法和系统思想有一个比较全面的认识。发展由表 1、了解系统思想与统筹方法的大致内容，认识科学的思想方法在推动社会生产力发展以及日常生活方面所起的作用，养成关注和不断改进自己思想方法的习惯。 2、在“阅读”方面，从课文中提供的由不同角度、运用不同材料说明相似道理的文章中，增强从现象到本质地看待问题的能力。 3、培养借助工具书和注释看懂浅近文言短文的能力，学习用简洁明了的语言说明事理的写法。 4、学会把握整体之中的关键部分，并尝试从事物联系和互动的方面去认识事物。在扩展延伸、搜集材料国消化学到的系统思想与统筹方法。 5 、在“讨论·活动”中，学会在独立钻研、合作学习和制订方案的过程中，运用系统思想和统
一直发挥着巨大的排灌作用，确保了当地农业生产。
都江堰以其“历史跨度大、工程规模大、科技含量大、灌区范围大、 政治上、经济上、 【统筹(chóu)】统一筹划。 【就绪】事情安排妥当。 【引子】比喻引起正文的话或启发别人发言的话。 【淤塞(sè)】水道被沉积的泥沙堵塞。 【勘(kān)察】进行实地地调查或查看。
统筹方法读后感 统筹方法平话及补充心得体会 读《统筹方法平话及补充》有感 徽州区人社局康伟 在工作中，有时候很多事情会凑到一起；在生活中， 家里家外会有很多事需要处理；办事之前先进行一下统筹安排对提高工作、生活的效率很有帮助，也是很有必要的。我初中的时候学过一“磨刀不误砍柴功”，正如华罗庚在文中所举的泡茶的例子，如果不梳理一下行动顺序的话，就会浪费时间降低办事效率，甚至会手忙脚乱、不知所措。结合自身目前的工作，当前正值社保审计之时，中心各个险种的数据都在紧锣密鼓的梳理，如果不合理安排时间的话，很容易手忙脚乱，完不成任务不说还会累得心力憔悴。那么，怎样将华罗庚的这一科学理论很好地应用于实践中呢？这就需要统筹安排。 统筹安排的运用在工作中就是要通过决策来进行资源的有效配臵，用最小的代价解决问题，最大限度地解决问题。统筹安排的运用要求我们在完成任务的过程中能够机动灵活，如果接到紧急任务，就先完成紧要的任务，再按照计划行事。同样一件事，有的人做起来很轻松，有的
人做起来却很费力；同样一项任务，有的人做起来效率很高，有的人做起来却迟迟完不成任务。我觉得除了能力和水平等因素之外，掌握完备的方式方法对与提高工作效率很重要。 要想提高工作效率，首先要树立高效的意识，要认识到树立高效意识的重要性，只有充分认识自身在使用时间、安排工作任务等方面的效率状况，树立高效意识的基础上，才有可能提高工作效率。 第二是确定工作目标。尽管每天要处理的事情是繁多复杂的，但明确的工作目标将会少走弯路，以目标来约束，才会以最高的效率和最合理的资源整合达成目标。 第三是要知道怎样合理安排工作任务。事有轻重缓急，工作应有主次之分。合理地安排任务能将主要的资源分配到最重要的工作中，从而使自身效率得到最佳体现。 第四要明白如何加强时间管理问题。时间因素是影响工作效率的瓶颈，时间使用的效率高低直接决定了工作效率的高低。只有利用好各种管理时间的技巧来加强自己的时间管理能力，才能彻底摆脱工作效率低下的困境。 第五要掌握如何建立有效的交流沟通系统。沟通是进行工作的第一步，只有通过良好的沟通，人与人之间、组织与组织之间才能建立起相互理解和信任的工作氛围；才能大大减少冲突和隔阂所导致的不合作现象；才能更有效率地支配所拥有的资源，大大提高工作效率。
数学建模习题指导 第一章 初等模型 讨论与思考 讨论题1 大小包装问题 在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象吗？比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g 装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1，试用比例方法构造模型解释这种现象。 （1）分析商品价格C 与商品重量w 的关系。 （2）给出单位重量价格c 与w 的关系，并解释其实际意义。 提示： 决定商品价格的主要因素：生产成本、包装成本、其他成本。 单价随重量增加而减少 单价的减少随重量增加逐渐降低 思考题2 划艇比赛的成绩 赛艇是一种靠浆手划桨前进的小船，分单人艇、双人艇、四人艇、八人艇四种。各种艇虽大小不同，但形状相似。T.A.McMahon 比较了各种赛艇1964—1970年四次2000m 比赛的最好成绩(包括1964年和1968年两次奥运会和两次世界锦标赛)，见下表。建立数学模型解释比赛成绩与浆手数量之间的关系。 各种艇的比赛成绩与规格 γβα++=3 2w w C w w c γβα++=-3 123 431w w c γβ--='-3 2943 4w w c γβ+=''-
第二章 线性代数模型 森林管理问题 森林中的树木每年都要有一批砍伐出售。为了使这片森林不被耗尽且每年都有所收获，每当砍伐一棵树时，应该就地补种一棵幼苗，使森林树木的总数保持不变。被出售的树木，其价值取决于树木的高度。开始时森林中的树木有着不同的高度。我们希望能找到一个方案，在维持收获的前提下，如何砍伐树木，才能使被砍伐的树木获得最大的经济价值。 思考： 试解释为什么模型中求解得到的 为每周平均销售量会略小于模型假设中给出的1。 练习： 将钢琴销售的存贮策略修改为：当周末库存量为0或1时订购，使下周初的库存 达到3架；否则，不订购。建立马氏链模型，计算稳态下失去销售机会的概率和每周的平均销售量。 2.将钢琴销售的存贮策略修改为：当周末库存量为0时订购本周销售量加2架；否则，不订购。建立马氏链模型，计算稳态下失去销售机会的概率和每周的平均销售量。 第三章 优化模型 讨论题 1）最优下料问题 用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘。给出几种加工排列方法，比较出最优下料方案。 2）广告促销竞争问题 甲乙两公司通过广告竞争销售商品，广告费分别为 x 和 y 。设甲乙公司商品的售量在两公司总售量中所占份额是它们的广告费在总广告费中所占份额的函数 又设公司的收入与售量成正比，从收入中扣除广告费后即为公司的利润。试构造模型的图形，并讨论甲公司怎样确定广告费才能使利润最大。 （1）令 （2）写出甲公司的利润表达式 对一定的 y ，使 p (x ) 最大的 x 的最优值应满足什么关系。用图解法确定这个最优值。 练习1 三个家具商店购买办公桌：A 需要30张，B 需要50张，C 需要45张。这些办公桌由两个工厂供应：工厂1生产70张，工厂2生产80张。下表给出了工厂和商店的距离（单位公里） ， 857.0=n R ) (),(y x y f y x x f ++的示意图。。画出则)()()(,t f t f t f y x x t 11=-++= 。 )(t p
数学建模期末大作业论文 题目：A题美好的一天 组长：何曦（2014112739） 组员：李颖（2014112747）张楚良（2014112740） 班级：交通工程三班 指导老师：陈崇双
美好的一天 摘要 关键字：Dijkstra算法多目标规划有向赋权图 MATLAB SPSS
1 问题的重述 Hello！大家好，我是没头脑,住在西南宇宙大学巨偏远的新校区（节点22）。明天我一个外地同学来找我玩，TA叫不高兴，是个镁铝\帅锅，期待ing。我想陪TA在城里转转，当然是去些不怎么花钱的地方啦~~。目前想到的有林湾步行街(节点76)、郫郫公园（节点91），大川博物院（节点72）。交通嘛，只坐公交车好了,反正公交比较发达，你能想出来的路线都有车啊。另外，进城顺便办两件事，去老校区财务处一趟（节点50），还要去新东方（节点34）找我们宿舍老三，他抽奖中了两张电影票，我要霸占过来明晚吃了饭跟TA一起看。电影院嘛，TASHIWODE电影院（节点54）不错，比较便宜哈。我攒了很久的钱，订了明晚开心面馆（节点63）的烛光晚餐，额哈哈，为了TA，破费一下也是可以的哈。哦，对了，老三说了，他明天一整天都上课，只有中午休息的时候能接见我给我票。 我主要是想请教一下各位大神： 1）明天我应该怎么安排路线才能够让花在坐车上的时间最少？ 2）考虑到可能堵车啊，TA比较没耐心啊，因为TA叫不高兴嘛。尤其是堵车啊，等车啊，这种事，万一影响了气氛就悲剧了。我感觉路口越密的地方越容易堵，如果考虑这个，又应该怎么安排路线呢？ 3）我们城比较挫啊，连地图也没有，Z老师搞地图测绘的，他有地图，跟他要他不给，只给了我一个破表格（见附件，一个文件有两页啊），说“你自己画吧”。帮我画一张地图吧，最好能标明我们要去的那几个地方和比较省时的路线啊，拜托了~ 2 问题的分析 2.1 对问题一的分析 问题一要求安排路线使得坐车花费的时间最少。 对于问题一，假设公交车的速度维持不变，要使花费的时间最少，则将问题转化为对最短路径的求解。求解最短路径使用Dijkstra算法很容易进行求解，在运用MATLAB编程，得到最优的一条路径，则这条路径所对应的时间即为最少用时。 2.2 对问题二的分析 问题二要求在考虑堵车的情况下，路口越密越容易发生拥堵，安排路线是乘车时间最短。 对于问题二，在问题的基础上增加了附加因素，即公交车的速度会因道路的密集程度而发生改变，从而问题一建立的基本Dijkstra算法对于问题二就不再适用了，因此对问题一的基本Dijkstra算法进行改进，并结合蚁群算法的机理与特点，运用MATLAB求解出最短路径，保证了花费时间的最少性。 2.3 对问题三的分析 问题三要求根据提供的附件，画出一张地图，标明要去的那几个地方和比较省时的路线。 对于问题三，在问题一和问题二的基础上，根据求解的结果，运用SPSS软件画出地图。
【文章导读】 一直对我产生巨大影响的初中课文终于找到了。每当事情繁多、时间又紧张的时候，就会不自觉的想起华罗庚关于烧开水的这篇文章，心中就会计划好如何统筹自己的时间，收益颇多。 时间就是生命，时间就是财富。失去了时间，就失去了一切。 古往今来，一切成功的人，都是善于利用时间的人。 最充分地节约时间和利用时间，最充分地利用资源和开发资源，这是所有成功者的诀窍。统筹方法，是巧妙地利用时间和利用资源的艺术。统筹方法，是合理安排、提高效率的一种方法。勤奋增加了时间，统筹则节约了时间。 时间是生命的元素，一切过程都在时间中运行。运用统筹方法，通过优化组合，可以用最少的时间完成预定的目标。 【经典文章】 统筹方法（华罗庚） 统筹方法，是一种安排工作进程的数学方法。它的实用范围极广泛，在企业管理和基本建设中，以及关系复杂的科研项目的组织与管理中，都可以应用。 怎样应用呢？主要是把工序安排好。 比如，想泡壶茶喝。当时的情况是：开水没有；水壶要洗，茶壶茶杯要洗；火生了，茶叶也有了。怎么办？ 办法甲：洗好水壶，灌上凉水，放在火上；在等待水开的时间里，洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶；等水开了，泡茶喝。 办法乙：先做好一些准备工作，洗水壶，洗茶壶茶杯，拿茶叶；一切就绪，灌水烧水；坐待水开了泡茶喝。 办法丙：洗净水壶，灌上凉水，放在火上，坐待水开；水开了之后，急急忙忙找茶叶，洗茶壶茶杯，泡茶喝。 哪一种办法省时间？我们能一眼看出第一种办法好，后两种办法都窝了工。 这是小事，但这是引子，可以引出生产管理等方面的有用的方法来。 水壶不洗，不能烧开水，因而洗水壶是烧开水的前提。没开水、没茶叶、不洗茶壶茶杯，就不能泡茶，因而这些又是泡茶的前提。它们的相互关系，可以用下面的箭头图来表示：箭杆上的数字表示，这一行动所需要的时间，例如15表示从把水放在炉上到水开的时间是15分钟。 从这个图上可以一眼看出，办法甲总共要16分钟（而办法乙、丙需要20分钟）。如果要缩短工时、提高工作效率，应当主要抓烧开水这个环节，而不是抓拿茶叶等环节。同时，洗茶壶茶杯、拿茶叶总共不过4分钟，大可利用“等水开”的时间来做。 是的，这好像是废话，卑之无甚高论。有如走路要用两条腿走，吃饭要一口一口吃，这些道理谁都懂得。但稍有变化，临事而迷的情况，常常是存在的。在近代工业的错综复杂的工艺过程中，往往就不是像泡茶喝这么简单了。任务多了，几百几千，甚至有好几万个任务。关系多了，错综复杂，千头万绪，往往出现“万事俱备，只欠东风”的情况。由于一两个零件没完成，耽误了一台复杂机器的出厂时间。或往往因为抓的不是关键，连夜三班，急急忙忙，完成这一环节之后，还得等待旁的环节才能装配。 洗茶壶，洗茶杯，拿茶叶，或先或后，关系不大，而且同是一个人的活儿，因而可以合并成为： 用数字表示任务，上面的图形可以写成为： 看来这是“小题大做”，但在工作环节太多的时候，这样做就非常必要了。 这里讲的主要是时间方面的事，但在具体生产实践中，还有其它方面的许多事。而我们利用这种方法来考虑问题，是不无裨益的。 当然，这种方法，需要通力合作，因而在社会主义制度下能更有效地发挥作用。【知识链接】 作者简介：华罗庚，我国现代著名的数学家。他重视实用数学的普及工作，为了使文化水平不高的广大生产者了解有关数学原理，并懂得其原理在生产中是怎样运用的，他用通俗易懂的语言写下了《统筹方法平话及补充》《优选法平话》等科普读物。华罗庚被誉为人民的数学家，也是著名的科普作家。 华罗庚教授于1964年倡导并开始应用推广的“统筹法”，1965年华罗庚著的《统筹方法平话及其补充》由中国工业出版社出版，该书的核心是提出了一套较系统的、适合我国国情的项目管理方法，包括调查研究，绘制箭头图，找主要矛盾线，以及在设定目标条件下优化资源配置等。华罗庚带领“推广优选法统筹法小分队”，到过全国23个省市自治区推广双法。尤其值得指出的是，在这一期间开发出了数以百计的作业流程，为进一步实施规范化和标准化奠定了坚实的基础。 【经典赏读】 一、自读积累： 1.积累词语：万事俱备只欠东风：比喻一切准备工作都做好了，只差最后一个重要条件。临事而迷：临到事情却迷惑。错综复杂：形容头绪繁多，情况复杂。小题大做：比喻把小事当作大事来办，有不值得这样做或有意扩大事态的意思。不无裨益：不是没有益处。卑之无甚高论：指见解很一般，没有什么高明的见解。 二、阅读思考： 1.整理出全文的结构思路： 第一部分（1段）概括介绍统筹方法的性质以及应用范围。 第二部分（2-15段）具体说明统筹方法的应用及其应用价值。
第五章 图与网络模型及方法 §1 概论 图论起源于18世纪。第一篇图论论文是瑞士数学家欧拉于1736 年发表的“哥尼斯堡的七座桥”。１847年，克希霍夫为了给出电网络方程而引进了“树”的概念。１857年,凯莱在计数烷22 n n H C 的同分异构物时,也发现了“树”.哈密尔顿于1859年提出“周游世界”游戏，用图论的术语，就是如何找出一个连通图中的生成圈，近几十年来，由于计算机技术和科学的飞速发展，大大地促进了图论研究和应用,图论的理论和方法已经渗透到物理、化学、通讯科学、建筑学、生物遗传学、心理学、经济学、社会学等学科中。 图论中所谓的“图"是指某类具体事物和这些事物之间的联系.如果我们用点表示这些具体事物，用连接两点的线段（直的或曲的）表示两个事物的特定的联系，就得到了描述这个“图”的几何形象。图论为任何一个包含了一种二元关系的离散系统提供了一个数学模型，借助于图论的概念、理论和方法，可以对该模型求解。哥尼斯堡七桥问题就是一个典型的例子。在哥尼斯堡有七座桥将普莱格尔河中的两个岛及岛与河岸联结起来问题是要从这四块陆地中的任何一块开始通过每一座桥正好一次，再回到起点。当 然可以通过试验去尝试解决这个问题，但该城居民的任何尝试均未成功.欧拉为了解决 这个问题，采用了建立数学模型的方法.他将每一块陆地用一个点来代替,将每一座桥用连接相应两点的一条线来代替,从而得到一个有四个“点”,七条“线”的“图”.问题成为从任一点出发一笔画出七条线再回到起点。欧拉考察了一般一笔画的结构特点,给出了一笔画的一个判定法则:这个图是连通的，且每个点都与偶数线相关联，将这个判定法则应用于七桥问题，得到了“不可能走通”的结果，不但彻底解决了这个问题,而且开创了图论研究的先河. 图与网络是运筹学(Operat ｉons Research ）中的一个经典和重要的分支，所研究的问题涉及经济管理、工业工程、交通运输、计算机科学与信息技术、通讯与网络技术等诸多领域.下面将要讨论的最短路问题、最大流问题、最小费用流问题和匹配问题等都是图与网络的基本问题. 我们首先通过一些例子来了解网络优化问题. 例1 最短路问题（ＳPP －shorte ｓｔ pat ｈ p ｒｏb ｌｅm ） 一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路网纵横交错，因此有多种行车路线，这名司机应选择哪条线路呢？假设货柜车的运行速度是恒定的,那么这一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。 例2 公路连接问题 某一地区有若干个主要城市，现准备修建高速公路把这些城市连接起来,使得从其中任何一个城市都可以经高速公路直接或间接到达另一个城市.假定已经知道了任意两个城市之间修建高速公路的成本,那么应如何决定在哪些城市间修建高速公路，使得总
层次分析法 一、分析模型和一般步骤 二、建立层次结构模型 三、构造成对比较矩阵 四、作一致性检验 五、层次总排序及决策 一. 层次分析模型和一般步骤 层次分析法是一种定性与定量分析相结合的多因素决策分析方法。这种方法将决策者的经验判断给于数量化，在目标因素结构复杂且缺乏必要数据的情况下使用更为方便，因而在实践中得到广泛应用。 层次分析的四个基本步骤： （1）在确定决策的目标后，对影响目标决策的因素进行分类，建立一个多层次结构； （2）比较同一层次中各因素关于上一层次的同一个因素的相对重要性，构造成对比较矩阵； （3）通过计算，检验成对比较矩阵的一致性，必要时对成对比较矩阵进行修改，以达到可以接受的一致性； （4）在符合一致性检验的前提下，计算与成对比较矩阵最大特征值相对应的特征向量，确定每个因素对上一层次该因素的权重； 计算各因素对于系统目标的总排序权重并决策。 二. 建立层次结构模型 将问题包含的因素分层：最高层（解决问题的目的）；中间层（实现总目标而采取的各种措施、必须考虑的准则等。也可称策略层、约束层、准则层等）；最低层（用于解决问题的各种措施、方案等）。把各种所要考虑的因素放在适当的层次内。用层次结构图清晰地表达这些因素的关系。 〔例1〕购物模型 某一个顾客选购电视机时，对市场正在出售的四种电视机考虑了八项准则作为评估依据，建立层次分析模型如下：
例2〕选拔干部模型 对三个干部候选人、、，按选拔干部的五个标准：品德、才能、资历、年龄和群众关系，构成如下层次分析模型：假设有三个干部候选人、、，按选拔干部的五个标准：品德，才能，资历，年龄和群众关系，构成如下层次分析模型 例3〕评选优秀学校 某地区有三个学校，现在要全面考察评出一个优秀学校。主要考虑以下几个因素： （1）教师队伍（包括平均学历和年龄结构）