引言 近年来，随着市场经济的不断发展、经济的不断繁荣，经济活动中的实际问题也愈加复杂，简单的分析已经不足以满足企业管理者对经济分析的需求。因此，有必要将高等数学应用于简单的数学函数所不能解决的实际经济问题中，对其进行定量分析，这使得高等数学在解决经济问题中占据重要地位。而导数作为高等数学中的重要概念，同样也是解决经济问题的一个有力工具。在高等数学中，导数通常被用于判断函数的单调性，求函数的最值、极值等。在实际经济问题中，导数可作为经济分析的工具，广泛地应用到经济研究和企业管理之中，促进经济理论朝着更加精确的方向发展。本文从边际分析，弹性分析，优化分析三个方面论述导数在经济分析方面的应用。 1、导数的概念 2、经济分析中常用的函数 由于导数主要应用于探究经济领域中出现的一些函数关系问题，所以，我们必需对经济分析中的一些常用的函数具有一定的了解，以便更好的理解和使用它们。经济分析中常用的函数主要有以下四类： 2.1需求函数 需求函数指在特定的时间内，各种可能的价格条件下，消费者愿意并且能够购买该商品的数量。（出处？）为了使问题简单化，我们一般假设需求函数的诸
多自变量中除价格外其他均为常量，则函数表示为()P f Q d =，其中，P 为商品的价格，Q d 为商品的需求量。这个函数表示一种商品的需求量与价格之间存在 一一对应的关系，并且通过观察可以知道商品（除某些抵挡商品、某些炫耀性商品、某些投资性商品除外）的需求量与价格成反方向变动关系，即商品本身价格上升，需求量随之减少，反之亦然。 例1：服装店销售某种衬衫的件数Q 与价格P 是线性关系，当价格为100元一件时，可销售120件，当价格为80元时，可销售200件，求需求函数。 解:设衬衫的件数与价格的函数关系为：b aP Q += 则b a +=100120；b a +=80200 解得4-=a ；520=b 所以需求函数为5204+-=P Q 。 2.2供给函数 一种商品的供给函数，是指单个生产者在一定时期内在各种可能的价格下，愿意且能够提供出售的该种商品数量。[3]我们通常通过将除价格外的其他因素看成常量以达到化简问题的目的。所以，供给函数可以用()P f Q s =表示，其中，P 为商品的价格，Q S 为商品的供给量。可以看出，商品（除单个劳动力商品、古董商品、某些投资性商品外）的价格与供给量之间成同方向变动的关系。 例2：已知大蒜的收购价为每千克4元，每星期能收购2000千克，若收购价每千克提高0.5元，每星期可收购2500千克，求大蒜的供给函数。 解：设大蒜的线性供给函数为：b aP Q += 则b a +=42000；b a +=5.42500 得1000=a ；2000-=b 所以供给函数为为：20001000-=P Q 2.3成本函数 产品成本一般情况下是用货币的形式来表现的企业生产和出售产品的所用度支出。成本函数所表示的是企业成本总额与产出总量之间关系的公式。产品成
导数与微分在经济中的简单应用 一、边际和弹性 （一）边际与边际分析 边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济变量的变化率，即经济函数的导数称为边际。而利用导数研究经济变量的边际变化的方法，就是边际分析方法。 1、总成本、平均成本、边际成本 总成本是生产一定量的产品所需要的成本总额，通常由固定成本和可变成本两部分构成。用c(x)表示，其中x表示产品的产量，c(x)表示当产量为x时的总成本。 不生产时，x=0，这时c(x)=c(o)，c(o)就是固定成本。 平均成本是平均每个单位产品的成本，若产量由x0变化到，则： 称为c(x)在内的平均成本，它表示总成本函数c(x)在内的平均变化率。 而称为平均成本函数，表示在产量为x时平均每单位产品的成本。 例1，设有某种商品的成本函数为： 其中x表示产量（单位：吨），c(x)表示产量为x吨时的总成本（单位：元），当产量为400吨时的总成本及平均成本分别为： 如果产量由400吨增加到450吨，即产量增加=50吨时，相应地总成本增加量为：这表示产量由400吨增加到450吨时，总成本的平均变化率，即产量由400吨增加到450吨时，平均每吨增加成本13.728元。 类似地计算可得：当产量为400吨时再增加1吨，即=1时，总成本的变化为： 表示在产量为400吨时，再增加1吨产量所增加的成本。 产量由400吨减少1吨，即=-1时，总成本的变化为： 表示产量在400吨时，减少1吨产量所减少的成本。
在经济学中，边际成本定义为产量增加或减少一个单位产品时所增加或减少的总成本。即有如下定义： 定义1：设总成本函数c=c(x)，且其它条件不变，产量为x0时，增加（减少）1个单位产量所增加（减少）的成本叫做产量为x0时的边际成本。即： 其中=1或=-1。 由例1的计算可知，在产量x0=400吨时，增加1吨的产量时，边际成本为13.7495；减少1吨的产量时，边际成本为13.7505。由此可见，按照上述边际成本的定义，在产量x0=400吨时的边际成本不是一个确定的数值。这在理论和应用上都是一个缺点，需要进一步的完善。 注意到总成本函数中自变量x的取值，按经济意义产品的产量通常是取正整数。如汽车的产量单位“辆”，机器的产量单位“台”，服装的产量单件“件”等，都是正整数。因此，产量x是一个离散的变量，若在经济学中，假定产量的单位是无限可分的，就可以把产量x 看作一个连续变量，从而可以引人极限的方法，用导数表示边际成本。 事实上，如果总成本函数c(x)是可导函数，则有： 由极限存在与无穷小量的关系可知： （1） 其中，当很小时有： （2） 产品的增加=1时，相对于产品的总产量而言，已经是很小的变化了，故当=1时（2）成立，其误差也满足实际问题的需要。这表明可以用总成本函数在x0处的导数近似地代替产量为x0时的边际成本。如在例1中，产量x0=400时的边际成本近似地为，即：误差为0.05，这在经济上是一个很小的数，完全可以忽略不计。而且函数在一点的导
数学选修2-2导数及其应用知识点必记 1．函数的平均变化率是什么？ 答：平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念是什么？ 答：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.平均变化率和导数的几何意义是什么？ 答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景是什么？ 答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 5、常见的函数导数和积分公式有哪些？ 函数 导函数 不定积分 y c = 'y =0 ———————— n y x =()*n N ∈ 1'n y nx -= 1 1n n x x dx n +=+? x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a = ln x x a a dx a =? x y e = 'x y e = x x e dx e =? log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1 'ln y x a = ———————— ln y x = 1'y x = 1 ln dx x x =? sin y x = 'cos y x = cos sin xdx x =? cos y x = 'sin y x =- sin cos xdx x =-? 6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？
高中数学导数及其应用一、知识网络 二、高考考点 1、导数定义的认知与应用； 2、求导公式与运算法则的运用； 3、导数的几何意义； 4、导数在研究函数单调性上的应用； 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。
三、知识要点 （一）导数 1、导数的概念 （1）导数的定义 （Ⅰ）设函数在点及其附近有定义，当自变量x在处有增量△x（△x可 正可负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比 ，叫做函数在点到这间的平均变化率。如果 时，有极限，则说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点 处的导数（或变化率），记作，即 。 （Ⅱ）如果函数在开区间（）内每一点都可导，则说在开区间（） 内可导，此时，对于开区间（）内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数，这样在开区间（）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间（） 内的导函数（简称导数），记作或，即 。 认知： （Ⅰ）函数的导数是以x为自变量的函数，而函数在点处的导数 是一个数值；在点处的导数是的导函数当时的函数值。 （Ⅱ）求函数在点处的导数的三部曲： ①求函数的增量；
②求平均变化率； ③求极限 上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。 （2）导数的几何意义： 函数在点处的导数，是曲线在点处的切线的斜率。 （3）函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别： （Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续； 若函数在开区间（）内可导，则在开区间（）内连续（可导一定连续）。 事实上，若函数在点处可导，则有此时， 记 ,则有即在点处连续。 （Ⅱ）若函数在点处连续，但在点处不一定可导（连续不一定可导）。 反例：在点处连续，但在点处无导数。
导数在微观经济学中边际问题的应用 云南农业大学 关键词：导数；变化率；边际；边际分析。 前言：导数在现代经济领域中的应用非常广泛，特别是在微观经济学中有着很多具体的例子。掌握和应用导数的基本概念和经济中常见函数的概念非常重要。把经济学中很多现象进行分析和归纳到数学领域中，用我们所学的数学知识进行解答对很多经营决策者起了非常重要的作用。 高等数学的主要内容是微积分，微分学则是微积分的重要组成部分，而导数又是微分学中的基本概念之一，所以学习导数的概念并熟练掌握导数的应用尤为重要。导数的应用范围非常广泛，比如在物理学中的应用，在工程技术上的应用，在经济学中的应用等等，今天我就导数在经济中边际问题的应用略做讨论。 一、导数的概念 从数量关系而言，导数反映函数的自变量在变化时，相应的函数值变化的快慢程度——变化率（瞬时变化率）。从数学表达式而言，研究的是函数的增量与自变量的增量比的极限问题。 二、经济学中常用的函数 导数在经济领域中的应用，主要是研究在这一领域中出现的一些函数关系，因此必须了解一些经济分析中常见的函数。 （一）价格函数 一般说来，价格是销售量的函数。生活中随处可见。例如：当购买的东西越多，消费者的消费额度就可以小些。 （二）成本函数 成本包括固定成本和变动成本两类. 固定成本是指厂房、设备等固定资产的折旧、管理者的固定工资等，记为X。变动成本是指原材料的费用、工人的工资等，记为Y。这两类成本的总和称为总成本，记为Z，即 Z=X+Y 假设固定成本不变（X为常数），变动成本Y是产量Q的函数（Y=C(Q)），则成本函数为Z=X+C(Q)。 （三）需求函数 作为市场上的一种商品，其需求量受到很多因素影响，如商品的市场价格、消费者的喜好等. 为了便于讨论，我们先不考虑其他因素，假设商品的需求量Q仅受市场价格x的影响。即
（数学选修1-1）第一章 导数及其应用 [提高训练C 组]及答案 一、选择题 1．若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（ ） A ．sin α B ．cos α C ．sin cos αα+ D ．2sin α 2．若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数'()f x 的图象是（ ） 3．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的 取值范围是（ ） A ．),3[]3,(+∞--∞ B ．]3,3[- C ．),3()3,(+∞--∞ D ．)3,3(- 4．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ） A ． (0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C. (0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +> 5．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 6．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示， 则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二、填空题 1．若函数()()2 f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________；
2．函数x x y sin 2+=的单调增区间为 。 3．设函数())(0)f x ??π=+<<，若()()f x f x '+为奇函数，则?=__________ 4．设3 2 1()252 f x x x x =- -+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的 取值范围为 。 5．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则 数列1n a n ?? ? ?+?? 的前n 项和的公式是 三、解答题 1．求函数3(1cos 2)y x =+的导数。 2．求函数y = 3．已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++在2 3 x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间 (2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围。 4．已知23()log x ax b f x x ++=,(0,)x ∈+∞，是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列 两个条件：（1）)(x f 在(0,1)上是减函数，在[)1,+∞上是增函数；（2）)(x f 的最小值是1，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由. （数学选修1-1）第一章 导数及其应用 [提高训练C 组] 一、选择题 1．A ' ' ()sin ,()sin f x x f αα==
第七节 导数在经济学中的应用 本节讨论导数概念在经济学中的两个应用——边际分析和弹性分析. 内容分布图示 ★ 引言 ★ 边际函数 ★ 边际成本 ★ 例1 ★ 边际收入与边际利润 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 函数的弹性 ★ 需求弹性 ★ 例5 ★ 用需求弹性分析总收益的变化 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-7 ★ 返回 内容要点： 一、边际分析 在经济学中，习惯上用平均和边际这两个概念来描述一个经济变量y 对于另一个经济变量x 的变化. 平均概念表示在x 在某一范围内取值y 的变化. 边际概念表示当x 的改变量x ?趋于0时，y 的相应改变量y ?与x ?的比值的变化，即当x 在某一给定值附近有微小变化时，y 的瞬时变化. 边际函数： 根据导数的定义, 导数)(0x f '表示)(x f 在点0x x =处的变化率, 在经济学中, 称其为)(x f 在点0x x =处的边际函数值. 边际成本：成本函数)(x C C =(x 是产量)的导数)(x C '称为边际成本函数. 边际收入与边际利润：在估计产品销售量x 时, 给产品所定的价格)(x P 称为价格函数, 可以期望)(x P 应是x 的递减函数. 于是， 收入函数 )()(x xP x R = 利润函数 )()()(x C x R x L -=()(x C 是成本函数) 收入函数的导数)(x R '称为边际收入函数; 利润函数的导数)(x L '称为边际利润函数. 二、 函数弹性 函数弹性的概念：在边际分析中所研究的是函数的绝对改变量与绝对变化率, 经济学中常需研究一个变量对另一个变量的相对变化情况, 为此引入下面定义. 定义1 设函数)(x f y =可导, 函数的相对改变量
高中数学导数及其应用 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
高中数学导数及其应用 一、知识网络 二、高考考点 1、导数定义的认知与应用； 2、求导公式与运算法则的运用； 3、导数的几何意义； 4、导数在研究函数单调性上的应用； 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。 三、知识要点 （一）导数 1、导数的概念 （1）导数的定义 （Ⅰ）设函数在点及其附近有定义，当自变量x在处有增量△x（△x可正可负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比 ，叫做函数在点到这间的平均变化率。如
在点处的导数（或变化率），记作，即 。 （Ⅱ）如果函数在开区间（）内每一点都可导，则说在开区间 （）内可导，此时，对于开区间（）内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数，这样在开区间（）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间（）内的导函数（简称导数），记作或，即 。 认知： （Ⅰ）函数的导数是以x为自变量的函数，而函数在点处的导数是一个数值；在点处的导数是的导函数当时的函数值。 （Ⅱ）求函数在点处的导数的三部曲： ①求函数的增量； ②求平均变化率；
③求极限 上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。 （2）导数的几何意义： 函数在点处的导数，是曲线在点处的切线的斜率。 （3）函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别： （Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续； 若函数在开区间（）内可导，则在开区间（）内连续（可导一定连续）。 事实上，若函数在点处可导，则有此时，
第一章导数及其应用综合检测 时间120分钟，满分150分。 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(2010·全国Ⅱ文，7)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则() A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1 [答案] A [解析]y′＝2x＋a，∴y′|x＝0＝(2x＋a)|x＝0＝a＝1，将(0，b)代入切线方程得b＝1. 2．一物体的运动方程为s＝2t sin t＋t，则它的速度方程为() A．v＝2sin t＋2t cos t＋1 B．v＝2sin t＋2t cos t C．v＝2sin t D．v＝2sin t＋2cos t＋1 [答案] A [解析]因为变速运动在t0的瞬时速度就是路程函数y＝s(t)在t0的导数，S′＝2sin t＋2t cos t＋1，故选A.
3．曲线y ＝x 2＋3x 在点A (2,10)处的切线的斜率是 ( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 [答案] D [解析] 由导数的几何意义知，曲线y ＝x 2＋3x 在点A (2,10)处的切线的斜率就是函数y ＝x 2＋3x 在x ＝2时的导数，y ′|x ＝2＝7，故选D. 4．函数y ＝x |x (x －3)|＋1( ) A ．极大值为f (2)＝5，极小值为f (0)＝1 B ．极大值为f (2)＝5，极小值为f (3)＝1 C ．极大值为f (2)＝5，极小值为f (0)＝f (3)＝1 D ．极大值为f (2)＝5，极小值为f (3)＝1，f (－1)＝－3 [答案] B [解析] y ＝x |x (x －3)|＋1 ＝??? x 3－3x 2＋1 (x <0或x >3)－x 3＋3x 2＋1 (0≤x ≤3) ∴y ′＝??? 3x 2－6x (x <0或x >3)－3x 2＋6x (0≤x ≤3) x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：
高中数学 导数及其应用学案 类型一：利用导数研究函数的图像 例2、若函数的导函数．．． 在区间上是增函数，则函数在区间上的图象 可能是（ ） (A) (B) (C) (D) 练习1．如右图：是f （x ）的导函数， 的图象如右图所示，则f （x ）的图象只可能是（ ） （A ） （B ） （C ） （D ） ()y f x =[,]a b ()y f x =[,]a b )(/x f 例1、设a ＜b,函数y=(x-a)2(x-b)的图象可能是( ) a b a b a o o y o y o y
2．设f '(x )是函数f (x )的导函数，y =f '(x )的图象如右图所示，则y =f (x )的图象最有 可能的是 （ ） A ． B ． C ． D ． 类型二：导数几何意义的应用 例3、（1）求曲线在点处的切线方程。（2）求抛物线y=2x 过点5,62?? ??? 的切线方程 32151,09425217257.1..76444644y x y ax x a B C D ==+ ----练习：若存在过点（）的直线和都相切，则等于（）A.-1或-或或-或 7．曲线y ＝x 2－2x ＋a 与直线y ＝3x ＋1相切时，常数a 的值是________． 类型三：利用导数研究函数的单调性 例4、已知a ，b 为常数，且a ≠0，函数f （x ）=-ax+b+axlnx ，f(e)=2（e=2.71828…是自然对数的底数）. （I ）求实数b 的值； （II ）求函数f （x ）的单调区间； 21x y x =-()1,1
例5、已知函数f(x)= ax 1x 2 ++在(－2，＋∞)内单调递减，求实数a 的取值范围. 练习：若函数y =3 1x 3－21ax 2+（a －1）x +1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）内为增函数，试求实数a 的取值范围 类型四：导数与极值 ()ln 6x f x x = 例、求函数的极值。 ()3227310,f x x ax bx a x a b =+++=-例、已知在有极值，求常数的值。 练习1、已知f(x)=x 3+ax 2 +(a+6)x+1有极大值和极小值，则a 的取值范围是( ) （A ）-1＜a ＜2 （B ）-3＜a ＜6 （C ）a ＜-1或a ＞2 （D ）a ＜-3或a ＞6 2、直线y ＝a 与函数f(x)＝x 3－3x 的图象有相异的三个公共点，则求a 的取值范围。 类型五：导数与最值 例8、已知函数f(x)=(x-k)e x . (1)求f(x)的单调区间；
高二上学期《导数及其应用》 单元测试（数学文） （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，共50分，只有一个答案正确） 1．函数()2 2)(x x f π=的导数是（ ） (A) x x f π4)(=' (B) x x f 2 4)(π=' (C) x x f 28)(π=' (D) x x f π16)(=' 2．函数x e x x f -?=)(的一个单调递增区间是（ ） (A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,0 3．已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时， ()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ ） A ．()0()0f x g x ''>>， B ．()0()0f x g x ''><， C ．()0()0f x g x ''<>， D ．()0()0f x g x ''<<， 4．若函数b bx x x f 33)(3 +-=在()1,0内有极小值，则（ ） （A ） 10<b （D ） 2 1< b 5．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 6．曲线x y e =在点2 (2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） Ａ．2 94 e Ｂ．2 2e Ｃ．2 e Ｄ．2 2 e
7．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ） 8．已知二次函数2 ()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有 ()0f x ≥，则 (1) '(0) f f 的最小值为（ ） A ．3 B ． 52 C ．2 D ．32 9．设2 :()e ln 21x p f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的（ ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 10． 函数)(x f 的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ） （A ）)2()3()3()2(0/ / f f f f -<<< y （B ） )2()2()3()3(0/ / f f f f <-<< （C ）)2()3()2()3(0/ / f f f f -<<< （D ）)3()2()2()3(0/ / f f f f <<-< O 1 2 3 4 x 二．填空题（本大题共4小题，共20分） 11．函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是＿＿＿＿．
高中数学导数及其应用 一、知识网络 二、高考考点?１、导数定义的认知与应用； ?2、求导公式与运算法则的运用; ? 3、导数的几何意义； ?4、导数在研究函数单调性上的应用; ５、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。??三、知识要点? (一)导数?１、导数的概念?（1)导数的定义 （Ⅰ)设函数在点及其附近有定义,当自变量x在处有增量△x（△ｘ可正可负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比 ,叫做函数在点到这间的平均变化率。如果
时,有极限,则说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点处的导数（或变化率）,记作 ,即 。 ?(Ⅱ）如果函数在开区间(）内每一点都可导，则说在开区间()内可导,此时,对于开区间(）内每一个确定的值 ,都对应着一个确定的导数 ,这样在开区间(）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间( )内的导函数(简称导数),记作或, 即。??认知： （Ⅰ)函数的导数是以ｘ为自变量的函数，而函数在点处的导数是一个数值;在点处的导数是的导函数当 时的函数值。 （Ⅱ)求函数在点处的导数的三部曲: ①求函数的增量 ;? ②求平均变化率； ③求极限?上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。?? (2)导数的几何意义:?函数在点处的导数，是曲线在点 处的切线的斜率。? (3)函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别:?（Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续;?若函数在开区间(）内可导,则在开区间（）内连续(可
导一定连续）。??事实上，若函数在点处可导，则有 此 时,? ? ? ?记 ,则有即在点处连续。?（Ⅱ）若函数在点处连续，但在点处不一定可导（连续不一定可导）。?反例：在点处连续，但在点处无导数。 事实上，在点处的增量?当 时，, ；?当时，, 由此可知，不存在，故在点处不可导。??2、求导公式与 求导运算法则 （１）基本函数的导数(求导公式） 公式1 常数的导数：(c为常数），即常数的导数等于0。??公式2 幂函 数的导数:。? 公式3 正弦函数的导数:。??公式4 余弦函数的导数： ??公式5 对数函数的导数:? (Ⅰ)； ?（Ⅱ）
龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/5b16034118.html, 导数在经济学中的应用 作者：刘君泽 来源：《文理导航》2017年第23期 【摘要】作为高等数学的基础，在经济学中也有广泛重要的作用。本文借用典型例子以导数为基础，初步介绍其在边际分析、弹性分析方面的应用，详细讨论了导数在经济分析问题中的最优化应用。 【关键词】导数；经济学；边际分析 1.导数的概念 导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。当函数y=f（x）的自变量x在一点x 上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a 如果存在，a即为在x 处的导数，记作f′（x ）或df（x ）。 2.导数概念的经济学解释 f′（x ）实际上刻画了函数y=f（x）在x0的变化率，当自变量在x 处有一个单位的变化，则函数y=f（x）在f（x ）处有f′（x ）个单位的变化。 假设市场上某种商品的需求函数为d=d（P），其中P为商品的价格，d为市场上该商品的需求量。d′（P ）表示当价格在P 处有一个单位的变化，则该商品的需求量将会有d′（P ）个单位的变化。同样对于供给函数、总成本函数总收入函数、总利润函数等函数导数意义的理解，都可以仿照，这里就不一一展开说明了。下面以一例具体解释其意义。 3.分析 边际成本的定义是产量增加一个单位时所增加的总成本。现假设产品数量是连续变化的，于是单位产品可以无限细分。如果产量已经是x在此水平上若产量从x增至x+x，那么总成本c（x）相应的增量是△c=c（x+x）-c（x），它与△x的比为 = 。这表示在x和x+x之间总成本的平均变化率。若令，取极限就可以得到边际成 本c′（x）= 。显然，它近似地表示若已经生产了x个单位产品，再增加一个单位产品总 成本的增加量。同样道理我们可以利用导数定义边际收入、边际利润、边际需求等。 4.导数在最值问题上的应用 4.1最小平均成本问题
高二期末统测复习之一：《导数及其应用1》 班级 姓名 1． 导数的概念及意义； 2． 常见的一些基本函数的导数； 3． 导数的四则运算及复合函数的求导法则； 4． 导数的应用（单调性，极值，最值）； 【基础训练】 1、曲线2 2x y =在点（1，2）处的瞬时变化率为（ ） A 2 B 4 C 5 D 6 2、函数x x x y sin cos -=在下列哪个区间内是减函数（ ） A )23, 2( π π B )2,(ππ C )2 5,23( π π D ()ππ3,2 3、已知函数()f x 在1x =处切线方程为230x y -+=，则=??+-?+→?x f x x f x )1()1()31(lim 0 ( ) A ． 1- B ． 1 C 6 D 11 4、已知函数bx ax x x f +-=2 3)(的图象与x 轴切于点（1，0），则)(x f 的极值为（ ） A ．极大值274 ，极小值0 B ．极大值2716 - ，极小值4- C ．极小值－27 4 ，极大值0 D ．极大值27 16 ，极小值4- 5、如图所示的曲线是函数d cx bx x x f +++=23)( 2 2 ） A ． 98 B ． 910 C ． 9 16 D ． 4 5 【典型例题】 例1．已知函数x bx ax x f 3)(2 3-+=在1±=x 处取得极值． （1）求函数f (x )的极大值和极小值； （2）求曲线y= f (x )在2=x 的切线方程． 例4．已知：在函数x mx x f -=3 )(的图象上，以),1(n N 为切点的切线的倾斜角为 4 π． （1）求m ，n 的值； （2）是否存在最小的正整数k ，使得不等式1993)(-≤k x f 对于]3,1[-∈x 恒成立？ 如果存在，请求出最小的正整数k ；如果不存在，请说明理由． ．
第三章 导数及其应用 一、变化率与导数 ()()()()()()()() 000000000000000 10,0lim lim lim . x x x x x y f x x x x x y y x x x x x y x x f x x f x y x x y x x f x y f x x f x f x x ?→?→=?→==??≠??+???→=+?-?=??=+?-=?＇＇＇、定义：设在处取得一个增量. 函数值也得到一个增量称 为从到的平均变化率.若当时时，有极限存在，则称此极限值为函数在处的瞬时变化率，记为，也称为函 数在处的导数，记作或,即 ()0y f x x x ==说明：导数即为函数在处的瞬时变化率. ()()00. PT x f x P PT f x k ?→=＇2、几何意义:时，Q 沿图像无限趋近于点时，切线的斜率.即 ()()()()003==lim lim . x x f x x f x y y f x y f x y x x ?→?→+?-?==??＇＇＇＇、导函数（简称为导数） 称为导函数，记作，即 二、？ 三、 常见函数的导数公式 1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α=,则1 ()f x x αα-'=; 3 若()sin f x x =,则()cos f x x '= 4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-; 5 若()x f x a =,则()ln x f x a a '= 6 若()x f x e =,则()x f x e '= 7 若()log x a f x =,则1 ()ln f x x a '=
1 引言 对经济学家来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的，而将数学作为分析工具，不仅可以给企业经营者提供客观、精确的数据，而且在分析的演绎和归纳过程中，可以给企业经营者提供新的思路和视角，也是数学应用性的具体体现[1]。因此，在当今国内外，越来越多地应用数学知识，使经济学走向了定量化、精密化和准确化。 导数的概念是从良多现实的科学问题抽象而发生的,在经济剖析、经济抉择妄想、经济打点中,有着普遍的应用意义[2]。其作为数学剖析课程中最主要的根基概念之一,反映了一个变量对另一个变量的转变率。在经济学中，也存在转变率问题，如：边际问题和弹性问题。运用导数可以对经济活动中的实际问题进行边际分析、需求弹性分析和最值分析，从而为企业经营者科学决策提供量化依据。导数在经济领域中的应用非常之泛，其中“边际”和“弹性”是导数在经济分析应用中的两个重要概念。随着市场经济的不断发展，利用数学知识解决经济问题显得越来越重要，而导数是高等数学中的重要概念，是经济分析的重要工具。把经济活动中一些现象归纳到数学领域中，用数学知识进行解答，对很多经营决策起了非常重要的作用。 数学在现代经济学中的作用越来越重要，导数作为高等数学中的一个重要概念，是经济学应用的一个重要工具[3]。导数在经济学中有许多应用，其中边际分析、弹性分析是导数在经济学中的两个重要应用。如今许多企业在判断一项经济活动对企业的利弊时，仅仅依据它的全部成本。而我认为还应当依据它所引起的边际收益与边际成本的比较。在讨论经济问题时绝对数分析问题常常被作为首要因素考虑。我认为应当进一步研究相对变化率。 总而言之，当代研究文学中分别研究了弹性和边际函数对经济的影响，缺乏从总体上深入研究经济过程中每个环节中导数的应用情况。在商品经济活动中进行编辑分析和弹性分析是非常重要的，导数作为边际分析与弹性分析的工具，可以为企业决策者做出合理的决策。 在此我想用导数作为分析工具，对每个经济环节进行定量分析。通过研究成本所引起的边际收益与边际成本的的比较，分析绝对数相对变化率的经济问题，特别具体分析因缺乏弹性的商品和富有弹性的商品的价格变动所产生的影响。同时将弹性分析与边际分析有机结合，衡量出如何确定最优的价格，获得最大的利润。从而帮助企业做出更精明的决策，为其提供精确的数值和创新思路。 导数的概念：设函数y=f （x ）在点0x 的某个邻域内有定义，当自变量 x 在点0x 处取得增量x ?（点0x +x ?仍在该邻域内）时，相应地函数y 取得增量y ?=f （0x +x ?）-f （0x ）；如果y ?与x ?之比当x ?→0时的极限存在，则称函数y=f （x ）在点0x 处可
专题 导数及其应用 考点精要 1．了解导数概念的实际背景． 2．理解导数的几何意义． 3．了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数不超过三次）． 4．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）． 5．会利用导数解决某些实际问题． 热点解析 导数的几何意义及其应用，基本初等函数的导数公式及导数运算的四则运算法则是高考的重点与热点，要会利用导数求曲线的切线，注意区分在．某点处的切线与过． 某点的曲线的切线． 求函数在点（x 0，)(0x f ）处的切线方程或切线斜率；求函数)(x f 的单调增区间或单调减区间；求函数在（a ，b ） 上的极值，求)(x f 在［a ，b ］上的最大值、最小值等等，在近几年高考试题中频频出现． 知识梳理 1．一般地，函数y=()f x 在x =x 0处的瞬时变化率是000 ()()lim x f x x f x x ?→+?-?=0lim ,x f x ?→??我们称它为函数y =()f x 在x =x 0处的导数，记作0()f x '或y ′|x =x 0 ，即 0()f x '=000 ()() lim x f x x f x x ?→+?-? 2．函数()f x 在x =x 0处的导数就是切线PT 的斜率k ，即 k =000 ()() lim x f x x f x x ?→+?-?=0()f x ' 3．导函数()f x '= y ′=0 ()() lim x f x x f x x ?→+?-?
2019—2020学年第二学期高二数学周测试卷 2020.3.1 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设函数y ＝f (x )在(a ，b )上可导，则f (x )在(a ，b )上为增函数是f ′(x )>0的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析 y ＝f (x )在(a ，b )上f ′(x )>0?y ＝f (x )在(a ，b )上是增函数，反之，y ＝f (x )在(a ，b )上是增函数?f ′(x )≥0?/f ′(x )>0. 答案A 2．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程是2x ＋y －1＝0，则( ) A ．f ′(x 0)>0 B ．f ′(x 0)<0 C ．f ′(x 0)＝0 D ．f ′(x 0)不存在 解析曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率为f ′(x 0)＝－2<0. 答案B 3．曲线y ＝13x 3－2在点(－1，－5 3)处切线的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．135° D ．150° 解析y ′＝x 2，k ＝tan α＝y ′|x ＝－1＝(－1)2＝1， ∴α＝45°. 答案B 4．曲线f (x )＝x 3＋x －2的一条切线平行于直线y ＝4x －1，则切点P 0的坐标为( )
A．(0，－1)或(1,0) B．(1,0)或(－1，－4) C．(－1，－4)或(0，－2) D．(1,0)或(2,8) 解析设P0(x0，y0)，则f′(x0)＝3x20＋1＝4， ∴x20＝1，∴x0＝1，或x0＝－1. ∴P0的坐标为(1,0)或(－1，－4)． 答案B 5．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A．y＝sin2x B．y＝x3－x C．y＝x e x D．y＝－x＋ln(1＋x) 解析对于C，有y′＝(x e x)′＝e x＋x e x＝e x(x＋1)>0. 答案C 6．已知函数f(x)＝x3－3x2－9x，x∈(－2,2)，则f(x)有( ) A．极大值5，极小值为－27 B．极大值5，极小值为－11 C．极大值5，无极小值D．极小值－27，无极大值解析f′(x)＝3x2－6x－9 ＝3(x＋1)(x－3)． 当x<－1时，f′(x)>0， 当－1 导数在经济学中的一些简单的应用 摘要：数学的理论知识在各个领域都有很多的应用，在经济学中的应用也非常广泛，本文主要介绍导数在经济学中的一些简单的应用。首先，介绍了导数在弹性方面的应用;其次，介绍了导数在边际量方面的应用；最后，介绍了导数在生产领域中的应用。本文还列举了一些具体的例子，通过这些例子使我们更深刻的理解导数在经济学中的应用，同时还总结了一些常用的计算公式和解决经济问题时所需要的具体步骤。 关键词:导数极大值拉格朗日乘数偏导数 Derivative in Economics of Some Simple Application Abstract:Mathematical theory knowledge in various fields has lots of applications.The application in economics is very extensive.This paper mainly introduces some of the economics derivative simple application.Firstly,Introduces the application in the elastic derivative.Secondly,Introduced the derivative application in marginal quantity.Finally,Introduces the application in production field derivative.Through these examples make us more profound understanding of derivative, and the application in economics also summarized some common calculation formula and solve an economic problem need concrete steps. Key words:Derivative Maximum value Lagrange's multiplier Partial derivative 1.导数在弹性方面的应用 在物理学中，如果我们知道两个变量路程和时间的函数关系，运用导数的概念就可以求出速度和时间的关系。同理，在经济学中如果知道两个经济变量之间的函数关系，我们就可以通过导数这一数学工具来推导出弹性在这方面的应用。 1.1 弹性的定义 如果给了我们两个经济变量之间的函数关系为) T ，则点弹性公式为： f (I导数在经济学中的一些简单的应用
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