中考数学综合模拟测试卷
学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________
一、单选题
1．（4分）2
13-??- ???
的相反数是：（ ） A ．9
B ．9-
C ．
19
D ．19
-
2．（4分）2019年1月3日上午10点26分，中国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆，成为人类首次在月球背面软着陆的探测器，首次实现月球背面与地面站通过中继卫星通信月球距离地球的距离约为
384000km ，将384000用科学记数法表示为（ ）
A ．53.8410?
B ．33.8410?
C ．438.410?
D ．30.38410?
3．（4分）实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，则化简代数式|a+b| ）
A ．﹣b
B ．2a
C ．a
D ．b
4．（4分）计算
23(1)x -﹣2
3(1)x
x -的结果为（ ）
A ．
31x - B ．
31
x - C ．
2
3
(1)x -
D ．
2
3
(1)x -
5．（4分）设a ，b 是方程x 2＋x －2009＝0的两个实数根，则a 2＋2a ＋b 的值为( ) A ．2006
B ．2007
C ．2008
D ．2009
6．（4分）向某一容器中注水，注满为止，表示注水量与水深的函数关系的图象大致如图所示，则该容器可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．（4分）如图是正方体的表面展开图，则与“2019”字相对的字是（ ）
A ．考
B ．必
C ．胜
D ．
8．（4分）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知4EF CD ==，则球的半径长是（ ）
A ．2
B ．2.5
C ．3
D ．4
9．（4分）如图，长方形ABCD 中3cm AB =，9cm AD =，将此长方形折叠，使点D 与B 点重合，折痕为EF ，则ABE ?的面积为（ ）
A ．26cm
B ．28cm
C ．210cm
D ．212cm
10．（4分）如图所示，矩形ABCD 中，AE 平分BAD ∠交BC 于E ，15CAE ?∠=，则下面的结论：①ODC ?是等边三角形；②=2BC AB ；③135AOE ?∠=；④AOE COE S S ??=，其中正确结论有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题
11．（4分）分解因式：2x 2－10x ＝___．
12．（4分）如图，在Rt △ABC 中，AB=BC=1，∠ABC=90°，点A ，B 在数轴上对应的数分别为1，2．以点A 为圈心，AC 长为半径画弧，交数轴的负半轴于点D ，则与点D 对应的数是_____．
13．（4分）如图，圆弧形拱桥的跨径12AB =米，拱高4CD =米，则拱桥的半径为__________米.
14．（4分）如图，已知函数y=x+b 和y=ax+3的图象交点为P ，则不等式x+b ＞ax+3的解集为_____．
15．（4分）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：
根据此规律确定x 的值为_______.
16．（4分）如图,点P 是等边三角形ABC 内一点,且PA=3,PB=4, PC=5,若将△APB 绕着点B 逆时针旋转后得到△CQB,则∠APB 的度数______．
三、解答题
17．（8分）解下列方程组
29
31x y y x +=??
-=?
18．（8分）先化简，再求值：
211
211
a a a a a ++÷-+-，其中a ．
19．（8分）如图，菱形ABCD 中，E 是对角线BD 上的一点，连接EA 、EC ，求证：∠BAE ＝∠BCE ．
20．（8分）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC ，BD 交于点O ，DE 平分∠ADC 交BC 于点E ，连接OE
（1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）若AB=2，求△OEC 的面积． 21．（8分）如图所示，直线AB ，CD 相交于点O ，P 是CD 上一点． （1）过点P 画AB 的垂线段PE ．
（2）过点P 画CD 的垂线，与AB 相交于F 点．
（3）说明线段PE ，PO ，FO 三者的大小关系，其依据是什么？
22．（10分）根据以下信息，解答下列问题．
（1）小华同学设乙型机器人每小时搬运xkg产品，可列方程为．
小惠同学设甲型机器人搬运800kg所用时间为y小时，可列方程为．
（2）请你按照（1）中小华同学的解题思路，写出完整的解答过程．
23．（10分）某校在一次社会实践活动中，组织学生参观了虎园、烈士陵园、博物馆和植物园，为了解本次社会实践活动的效果，学校随机抽取了部分学生，对“最喜欢的景点”进行了问卷调查，并根据统计结果绘制了如下不完整的统计图．其中最喜欢烈士陵园的学生人数与最喜欢博物馆的学生人数之比为2：1，请结合统计图解答下列问题：
（1）本次活动抽查了名学生；
（2）请补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，最喜欢植物园的学生人数所对应扇形的圆心角是度；
（4）该校此次参加社会实践活动的学生有720人，请求出最喜欢烈士陵园的人数约有多少人？
24．（12分）如图，线段BC所在的直线是以AB为直径的圆的切线，点D为圆上一点，满足BD＝BC，且点C、D位于直径AB的两侧，连接CD交圆于点E. 点F是BD上一点，连接EF，分别交AB、BD于点G、H，且EF＝BD.
(1)求证：EF∥BC；
(2)若EH＝4，HF＝2，求?BE的长.
25．（14分）在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线2(0)
y ax x a
=≠经过点3)
A-，对称轴为直线l，点O关于直线l的对称点为点B.过点A作直线//
AC x轴，交y轴于点C.
（Ⅰ）求该抛物线的解析式及对称轴；
（Ⅱ）点P在y轴上，当PA PB
+的值最小时，求点P的坐标；
（Ⅲ）抛物线上是否存在点Q，使得
1
3
AOC AOQ
S S
??
=，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
答案与解析
一、单选题
1．（4分）2
13-??- ???
的相反数是：（ ） A ．9 B ．9-
C ．
19
D ．19
-
【答案】B
【解析】2
913-??- ??
=?，9的相反数为-9； 故选;B
【点睛】本题考查了相反数的定义和负整指数幂的计算，解题的关键是求得原数的值.
2．（4分）2019年1月3日上午10点26分，中国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆，成为人类首次在月球背面软着陆的探测器，首次实现月球背面与地面站通过中继卫星通信月球距离地球的距离约为
384000km ，将384000用科学记数法表示为（ ）
A ．53.8410?
B ．33.8410?
C ．438.410?
D ．30.38410?
【答案】A
【解析】384000用科学记数法表示为3.84×105． 故选：A ．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
3．（4分）实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，则化简代数式|a+b| ）
A ．﹣b
B ．2a
C ．a
D ．b
【答案】A
【解析】解:由数轴上各点的位置可知:b ∴|a+b|-（a+b ）+a=-b. 所以A 选项是正确的. 【点睛】本题主要考查了实数与数轴的对应关系、 整式的加减法则及去绝对值与平方根. 4．（4分）计算 23(1)x -﹣2 3(1)x x -的结果为（ ） A ． 31x - B ． 31 x - C ． 2 3 (1)x - D ． 2 3 (1)x - 【答案】A 【解析】原式=23(1)3 (1)1x x x -=--， 故选A. 【点睛】本题主要考查分式的运算。 5．（4分）设a ，b 是方程x 2＋x －2009＝0的两个实数根，则a 2＋2a ＋b 的值为( ) A ．2006 B ．2007 C ．2008 D ．2009 【答案】C 【解析】∵a 是方程x 2+x -2009=0的根， ∴a 2+a=2009； 由根与系数的关系得：a+b=-1， ∴a 2+2a+b=（a 2+a ）+（a+b ）=2009-1=2008． 故选C ． 6．（4分）向某一容器中注水，注满为止，表示注水量与水深的函数关系的图象大致如图所示，则该容器可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】由函数图象知: 随高度h 的增加, y 也增加,但随h 变大, 每单位高度的增加, 注水量h 的增加量变小, 图象上升趋势变缓, 其原因只能是水瓶平行于底面的截面的半径由底到顶逐渐变小, 故D 项正确. 故选: D. 【点睛】本题主要考查函数模型及其应用. 7．（4分）如图是正方体的表面展开图，则与“2019”字相对的字是（ ） A ．考 B ．必 C ．胜 D ． 【答案】C 【解析】由图形可知，与“2019”字相对的字是“胜”． 故选C ． 【点睛】本题考查了正方体的平面展开图，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． 8．（4分）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知4EF CD ==，则球的半径长是（ ） A ．2 B ．2.5 C ．3 D ．4 【答案】B 【解析】如图： EF 的中点M ，作MN ⊥AD 于点M ，取MN 上的球心O ，连接OF ， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠C=∠D=90°， ∴四边形CDMN 是矩形， ∴MN=CD=4， 设OF=x ，则ON=OF ， ∴OM=MN -ON=4-x ，MF=2， 在直角三角形OMF 中，OM 2+MF 2=OF 2， 即：（4-x ）2+22=x 2， 解得：x=2.5， 故选B ． 【点睛】本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 9．（4分）如图，长方形ABCD 中3cm AB =，9cm AD =，将此长方形折叠，使点D 与B 点重合，折痕为EF ，则ABE ?的面积为（ ） A ．26cm B ．28cm C ．210cm D ．212cm 【答案】A 【解析】将此长方形折叠，使点B 与点D 重合， ∴BE=ED ． ∵AD=9cm=AE+DE=AE+BE ． ∴BE=9-AE ， 根据勾股定理可知：AB 2+AE 2=BE 2． 即32+AE 2=（9-AE ）2 解得AE=4． ∴△ABE 的面积为3×4÷2=6． 故选A ． 【点睛】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平 方． 10．（4分）如图所示，矩形ABCD 中，AE 平分BAD ∠交BC 于E ，15CAE ?∠=，则下面的结论：①ODC ?是等边三角形；②=2BC AB ；③135AOE ?∠=；④AOE COE S S ??=，其中正确结论有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠BAD=90°，OA=OC ，OD=OB ，AC=BD ∴OA=OD=OC=OB ∵AE 平分∠BAD ， ∴∠DAE=15°. ∴∠CAE=15°， ∴∠DAC=30°. ∵OA=OD ， ∴∠ODA=∠DAC=30°. ∴∠DOC=60°. ∵OD=OC ， ∴△ODC 是等边三角形. ∴①正确； ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，∠ABC=90°. ∴∠DAC=∠ACB=30°. ∴AC=2AB. ∵AC ＞BC ， ∴2AB ＞BC. ∴②错误； ∵AD∥BC， ∴∠DBC=∠ADB=30°. ∵AE平分∠DAB，∠DAB=90°， ∴∠DAE=∠BAE=45°. ∵AD∥BC， ∴∠DAE=∠AEB， ∴∠AEB=∠BAE， ∴AB=BE. ∴四边形ABCD是矩形. ∴∠DOC=60°，DC=AB， ∵△DOC是等边三角形， ∴DC=OD. ∴BE=BO. ∴∠BOE=75°， ∵∠AOB=∠DOC=60°， ∴∠AOE=135°. ∴③正确； ∵OA=OC， ∴根据等底等高的三角形面积相等可知S△AOE=S△COE ∴④正确 故正确答案是C. 【点睛】本题考查了矩形性质，平行线性质，角平分线定义，等边三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的综合运用. 二、填空题 11．（4分）分解因式：2x2－10x＝___． 【答案】2x（x﹣5） 【解析】 【分析】 【详解】 根据式子特征直接提取公因式2x ，即可得到结果． ． 考点：因式分解 【点睛】解答此类因式分解的问题要先分析是否可以提取公因式，再分析是否可以采用公式法. 12．（4分）如图，在Rt △ABC 中，AB=BC=1，∠ABC=90°，点A ，B 在数轴上对应的数分别为1，2．以点A 为圈心，AC 长为半径画弧，交数轴的负半轴于点D ，则与点D 对应的数是_____． 【答案】-√2+1 【解析】∵在Rt △ABC 中，BC=1，AB=1， ∴AC=√12+12=√2， ∵以A 为圆心，以AC 为半径画弧，交数轴的负半轴于点D ， ∴AD=AC=√2， ∴点D 表示的实数是﹣√2+1， 故答案为：﹣√2+1. 【点睛】本题考查的是实数与数轴以及复杂作图，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键． 13．（4分）如图，圆弧形拱桥的跨径12AB =米，拱高4CD =米，则拱桥的半径为__________米. 【答案】6.5 【解析】设圆心为O ，半径长为r 米， 可知AD=BD=6米，OD=(r -4)米 在Rt △AOD 中，根据勾股定理得：()2 226r 4r +-=， 解得r=6.5米，即半径长为6.5米. 故答案为6.5 【点睛】本题考查了垂径定理的应用,要熟练掌握勾股定理的性质,能够运用到实际生活当中. 14．（4分）如图，已知函数y=x+b和y=ax+3的图象交点为P，则不等式x+b＞ax+3的解集为_____． 【答案】x＞1 【解析】由图知：当直线y=x+b的图象在直线y=ax+3的上方时，不等式x+b＞ax+3成立； 由于两直线的交点横坐标为：x=1， 观察图象可知，当x＞1时，x+b＞ax+3； 15．（4分）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的： 根据此规律确定x的值为_______. 【答案】301 【解析】由图像的：表格中中的左上的数字分别为：1、2、3、4，可得第n个表格中的数字为：n；表格中中的右上的数字分别为：3、6、9、12，可得第n个表格中的数字为：3n， 得最后一个中右上数字为21，可得为第7个表格，故a=7； 表格中中的右上的数字分别为：2、4、6、8，可得第n个表格中的数字为：2n， 故b=14； 结合前4个表格可知，右下的数值=左下×右上+左下， 故x=21×14+7=301， 故答案：301. 【点睛】本题主要考查规律形数字的变化，能熟练找出规律是解题的关键. 16．（4分）如图,点P是等边三角形ABC内一点,且PA=3,PB=4, PC=5,若将△APB绕着点B逆时针旋转后得到△CQB,则∠APB的度数______． 【答案】150° 【解析】连接PQ， 由题意可知△ABP≌△CBQ 则QB=PB=4，PA=QC=3，∠ABP=∠CBQ， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=60°， ∴∠PBQ=∠CBQ+∠PBC=60°， ∴△BPQ为等边三角形， ∴PQ=PB=BQ=4， 又∵PQ=4，PC=5，QC=3， ∴PQ2+QC2=PC2， ∴∠PQC=90°， ∵△BPQ为等边三角形， ∴∠BQP=60°， ∴∠BQC=∠BQP+∠PQC=150° ∴∠APB=∠BQC=150° 【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是勾股 定理逆定理的应用，属于中考常考题型． 三、解答题 17．（8分）解下列方程组：29 31 x y y x +=?? -=? 【答案】1 4 x y =?? =? 【解析】（1）2931x y y x +=?? -=?① ② 由②得，13y x =+③ 把③代入①得，()2139x x ++= ∴1x = 把1x =代入③得，4y = ∴方程组的解为：1 4x y =??=? ． 18．（8分）先化简，再求值： 211 211 a a a a a ++÷-+-，其中a ． 【解析】原式＝ () 2 1 1 1 1a a a a +-+-n = 11 a -， 当a 时， ． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 19．（8分）如图，菱形ABCD 中，E 是对角线BD 上的一点，连接EA 、EC ，求证：∠BAE ＝∠BCE ． 【答案】详见解析 【解析】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴BA＝BC，∠ABE＝∠CBE， ∵BE＝BE， ∴△ABE≌△CBE（SAS）， ∴∠BAE＝∠BCE． 【点睛】本题考查菱形的性质（1）对角线互相平分对角；（2）菱形四条边都相等.全等三角形的性质：全等三角形对应角相等. 20．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE （1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB=2，求△OEC的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）1. 【解析】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD=180°， ∵∠ABC=90°， ∴∠BAD=90°， ∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°， ∴四边形ABCD是矩形． （2）作OF⊥BC于F． ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD=AB=2，∠BCD=90°，AO=CO，BO=DO，AC=BD，∴AO=BO=CO=DO， ∴BF=FC， ∴OF=1 2 CD=1， ∵DE平分∠ADC，∠ADC=90°，∴∠EDC=45°， 在Rt△EDC中，EC=CD=2， ∴△OEC的面积=1 2?EC?OF=1． 21．（8分）如图所示，直线AB，CD相交于点O，P是CD上一点． （1）过点P画AB的垂线段PE． （2）过点P画CD的垂线，与AB相交于F点． （3）说明线段PE，PO，FO三者的大小关系，其依据是什么？ 【答案】(1)见解析；（2）见解析；（3）PE＜PO＜FO，其依据是“垂线段最短”【解析】（1）（2）如图所示． （3）在直角△FPO中,PO＜FO, 在直角△PEO中,PE＜PO, ∴PE ＜PO ＜FO ，其依据是“垂线段最短”． 【点睛】本题考查了尺规作图和垂线段的性质,属于简单题,熟悉尺规作图的方法和步骤,垂线段的性质是解题关键. 22．（10分）根据以下信息，解答下列问题． （1）小华同学设乙型机器人每小时搬运xkg 产品，可列方程为 ． 小惠同学设甲型机器人搬运800kg 所用时间为y 小时，可列方程为 ． （2）请你按照（1）中小华同学的解题思路，写出完整的解答过程． 【答案】（1） 80060010x x =+，80060010 y y =+；（2）详见解析 【解析】(1)小华同学设乙型机器人每小时搬运xkg 产品，可列方程为 800600 10x x =+， 小惠同学设甲型机器人搬运800kg 所用时间为y 小时，可列方程为80060010y y =+， (2)设乙型机器人每小时搬运x kg 产品，根据题意得 800600 10x x =+， 解得30x =，经检验，30x =是原方程的解且符合题意． 答：乙型机器人每小时搬运30kg 产品． 【点睛】本题主要考查的是分式方程的实际应用，根据的题目意思列出方程是解题的关键． 23．（10分）某校在一次社会实践活动中，组织学生参观了虎园、烈士陵园、博物馆和植物园，为了解本次社会实践活动的效果，学校随机抽取了部分学生，对“最喜欢的景点”进行了问卷调查，并根据统计结果绘制了如下不完整的统计图．其中最喜欢烈士陵园的学生人数与最喜欢博物馆的学生人数之比为2：1，请结合统计图解答下列问题： （1）本次活动抽查了 名学生； （2）请补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，最喜欢植物园的学生人数所对应扇形的圆心角是 度； （4）该校此次参加社会实践活动的学生有720人，请求出最喜欢烈士陵园的人数约有多少人？ 【答案】（1）60；（2）24（3）36；（4）288人 【解析】（1）本次活动调查的学生人数为18÷30%=60人， 故答案为60； （2）设最喜欢博物馆的学生人数为x，则最喜欢烈士陵园的学生人数为2x， 则x+2x=60﹣18﹣6， 解得：x=12， 即最喜欢博物馆的学生人数为12，则最喜欢烈士陵园的学生人数为24， 补全条形图如下： （3）在扇形统计图中，最喜欢植物园的学生人数所对应扇形的圆心角是360°×=36°， 故答案为36； （4）最喜欢烈士陵园的人数约有720×=288人． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图，从不同的统计图得到必要的信息是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据; 扇形统计图直接反映部分占总体
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