§37 平面向量 1 (1)
【考点及要求】
1．解掌握平面向量的概念；
2．握平面向量的线性运算．
【基础知识】
1．向量的概念（向量、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量）；
2．向量的加法与减法（法则、几何意义）；
3．实数与向量的积（定义、运算律、两个向量共线定理）；
4．平面向量差不多定理.
【差不多训练】
1．推断下列命题是否正确：
⑴两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同；
（）
⑵若四边形ABCD是平行四边形，则=；（）
⑶若∥，∥，则∥；（）
⑷若与是共线向量，则A、B、C、D四点共线；（）
⑸若++=，则A、B、C三点共线；（）
2．若ABCD为正方形，E是CD的中点，且=，=，则等于（）A．+ B．C．+ D．
3．设M为△ABC的重心，则下列各向量中与共线的是（）A．++ B．++
C．++ D．3+
4．已知C是线段AB上一点，=（＞0）．若=，=，请用，表示．
O A D
B
C
M N
【典型例题讲练】
例1、如图所示，OADB是以向量=，=为边的平行四边形，又BM=BC，CN=CD．试用，表示，，．
变式:平行四边形ABCD中，M、N分不为DC、BC的中点，已知AM→＝c，AN→＝d，试用c，d表示AB→和AD→.
例2设两个非零向量、不是平行向量
（1）假如=+，=2+8，=3()，求证A、B、D三点共线；
（2）试确定实数的值，使+和+是两个平行向量．
变式: 已知、不共线，= a+b．求证：A、P、B三点共线的充要条件是a+b=1．
【课堂小结】
向量是既有大小又有方向的量,应用概念解题,注意数形结合；能够从图形和代数式两个角度理解向量的加减以及数乘运算。【课堂检测】
1．如图，△ABC中，D，E，F分不是边BC，AB，CA的中点，在以A、B、C、D、E、F为端点的有向线段中所表示的向量中，（1）与向量共线的有．
（2）与向量的模相等的有．
（3）与向量相等的有．
2．已知正方形ABCD边长为1，++模等于（）
A．0 B．3 C．2 D．
3．推断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.
①向量AB→与CD→是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线
上；
②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是AB→＝DC→；
⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件；
⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
4．已知ABC D中，点E是对角线AC上靠近A的一个三等分点，设EA→＝a，EB→＝b，则向量等于（）
A. 2a＋b
B.2a－b
C.b－2a
D.－b－2a
§38 平面向量 1 (2)
【典型例题讲练】
例3如图，OA→＝a，OB→＝b，AP→＝t AB→（t∈R)，当P是（1）AB→中点，（2）AB→的三等分点（离A近的一个）时，分不求OP→.
变式:在△OAB中，C是AB边上一点，且BC
CA
＝λ(λ>0)，若
OA→＝a，OB→＝b，试用a，b表示OC→.
例4．某人在静水中游泳，速度为4 3 千米/时，他在水流速度为4千米/时的河中游泳.
（1）若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？
（2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？
变式:一艘船从A点动身以2 3 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2 km/h，求船实际航行速度的大小与方向(用与流速间的夹角表示).
【课堂小结】
在理解向量加减法定义的基础上，掌握向量加法的三角形法则与平行四边形法则以及减法的三角形法则，并了解向量加减法在物理学中的应用。
【课堂检测】
1．四边形A BCD满足AD→＝BC→，且｜AC→｜＝｜BD→｜，则四边形A BCD 是 .
2．化简：（AD→＋MB→）＋（BC→＋CM→）＝
3．若AB→＝5e1，CD→＝－7e1，且|AD→|＝|BC→|，则四边形ABCD是（）
A.平行四边形
B.等腰梯形
C.菱形
D.梯形但两腰不相等【课后作业】
1．设D、E、F分不为△ABC的边BC、CA、AB的中点，且BC→＝
a，CA→＝b，给出下列命题：①AB→＝－1
2
a－b②BE→＝a＋
1
2
b
③CF→＝－1
2
a＋
1
2
b④AD→＋BE→＋CF→＝0.其中正确的命题个数
为（）
A.1
B.2
C.3
D.4 2．若O为平行四边形ABCD的中心，AB→＝4e1，BC→＝6e2，则3e2－2e1等于（）
A. AO→
B. BO→
C. CO→
D. DO→
3．已知G为△ABC的重心，P为平面上任一点，求证：PG＝1
3
(PA ＋PB＋PC).
§39 平面向量 2 (1)
【考点及要求】
1.理解平面向量的坐标表示；
2.掌握平面向量的加减及数乘的坐标运算；
3.理解向量平行的等价条件的坐标形式．
【基础知识】
1.平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，i、j为x 轴、y轴正方向的单位向量(一组基底)，由平面向量的差不多定理可知：平面内任一向量a，有且只有一对实数x，y，使a ＝x i＋y j成立，即向量a 的坐标是________
2.平面向量的坐标运算：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝___________，
a－b＝____________。
3.平面内一个向量的坐标等于此向量有向线段的____坐标减去____坐标.
4.实数与向量积的坐标表示：若a＝(x，y)，则λa＝____________
5. 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，由a∥b x1y2－x2 y1＝_______【差不多训练】
1.设向量a=（1,-3），b=（-2,4），c=（-1,-2），若表示向量4a、
4b-2c、2（a-c）、d的有向线段依次首尾相接能构成四边形，则向量d为 ( )
A.（2,6）
B.（-2,6）
C.（2,-6）
D.（-2,-6）
2.平面上A（-2，1），B（1，4），D（4，-3），C点满足，连DC 并延长至E，使||=||，则点E坐标为：( )
A、（-8，）
B、（）
C、（0，1）
D、（0，1）或（2，）
3．若向量a=(x－2,3)与向量b=(1,y+2)相等，则（）A．x=1,y=3 B．x=3,y=1 C．x=1,y=－5
D．x=5,y=－1
4．已知向量且∥，则= （）
A． B．C． D．
【典型例题讲练】
例1、已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分不为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶点D的坐标。
变式引申：已知平面上三点的坐标分不A(-2,1),B(-1,3),C(3, 4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。
例2已知A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4)，且，，求M，N的坐标和的坐标.
变式:若向量，，其中，分不为x轴，y轴正方向上的单位向量，求使A，B，C三点共线的m值.
【课堂小结】
设：(x1, y1)、(x2, y2)
（1）加减法：±=(x1±x2,y1±y2)(其中=(x1,y2)、=(x2,y2)). （2）数乘：若=(x,y),则λ=(λx,λy)
（3）∥ ()
注意：充要条件不能写成：或，但在解题中，当分母不为0时常使用；
【课堂检测】
1．若向量a=(x－2,3)与向量b=(1,y+2)相等，则（）A．x=1,y=3 B．x=3,y=1 C．x=1,y=－5
D．x=5,y=－1
2．已知向量且∥，则= （）
A． B．C． D．
3．若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 则2= 4．已知，，若平行，则λ=
5．已知中A(3，-2)，B(5，2)，C(-1，4)，则D的坐标为____________
§40 平面向量 2 (2)
【典型例题讲练】
例3已知点O(0,0), A(1,2), B(4,5), 及问：
(1) t 为何值时，P在x轴上? P在第二象限？
(2) 四边形OABP能否成为平行四边形？若能；求出相应的t 值；若不能；请讲明理由.