第一章集合与函数概念
一：集合的含义与表示
1、集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些
东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。
把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称为集。
2、集合的中元素的三个特性：
（1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不
属于。
（2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。
（3）元素的无序性 :集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合
3、集合的表示：{}
（1）用大写字母表示集合： A={ 我校的篮球队员 },B={1,2,3,4,5}
（2）集合的表示方法：列举法与描述法。
a、列举法：将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c }
b、描述法：
①区间法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。
{x R| x-3>2} ,{x| x-3>2}
②语言描述法：例：{ 不是直角三角形的三角形}
③Venn 图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。
4、集合的分类：
（1）有限集：含有有限个元素的集合
（2）无限集：含有无限个元素的集合
（3）空集：不含任何元素的集合
5、元素与集合的关系：
（1）元素在集合里，则元素属于集合，即：
（2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：意：常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集）记作： N
正整数集N*或 N+
整数集 Z 有
理
数
集
Q
实数集 R
a A
a￠A 注
6、集合间的基本关系
（1）. “包含”关系（1）—子集
定义：如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，我们说这两个集合有包含关
系，称集合 A 是集合 B 的子集。记作： A B （或BＡ）
注意： A B 有两种可能（1）A 是 B 的一部分；
（2）A 与 B 是同一集合。
反之 : 集合 A 不包含于集合B, 或集合 B 不包含集合 A, 记作 A B 或 B A （2）. “包含”关系（2）—真子集
如果集合 A B ，但存在元素x B 且 x￠A，则集合 A 是集合 B 的真子集
如果 A B,且A B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作 A B(或B A)读作 A 真
含与 B
（3）．“相等”关系：A=B
“元素相同则两集合相等”
如果A B同时B A那么A=B
（4）. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定 : 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
（5）集合的性质
①任何一个集合是它本身的子集。A A
②如果 AB,BC,那么 AC
③如果 A B且B C，那么 A C
④有 n 个元素的集合，含有2n个子集， 2n-1个真子集
7、集合的运算
运算类型交集并集
定义
A且属于 B A 或属
由所有属于由所有属于集合
的元素所组成的集合,叫于集合 B 的元素所组成
做A,B 的交集．记作
的集合，叫做A,B 的
并
补集
全集：一般，若一个集合汉语我们所
研究问题中这几道的所有元素，我们
就称这个集合为全集，记作：U 设 S 是一个集合， A 是 S 的一个子集，
由 S 中所有不属于 A 的元素组成的
集合，叫做 S 中子集 A 的补集
A B（读作 ,A 交 B?），集．记作： A B（读作,A
即 A B= ｛ x|x A ，且并 B?），即 AB （或余集）记作 C
S A ，
x B ｝．={x|x A ，或 x B}) ．
C S A= {x |x S, 且 x A}
韦恩图示
A B A B S
A
图1图2
性质 A∩A=A AUA=A(C u A)∩ (C u B)= C u(AUB) A∩Φ=ΦΦ∩
A U=A(C u A) U (C u B)= C u(A B)
A ∩ B=
B A AUB=BUA AU(
C u A)=U
A∩B A A AUBＡ A ∩(C u A)= Φ．
∩B B AUB B
二、函数的概念
1．函数的概念：设 A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个数x，在集合 B 中都有唯一确定的数f(x) 和它
对应，那么就称f： A→B为从集合 A 到集合 B 的一个函数．记作：y=f(x) ， x∈
A．
（1）其中， x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；
（ 2）与 x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈ A } 叫做
函数的值域．
2．函数的三要素：定义域、值域、对应法则
3．函数的表示方法：（1）解析法：明确函数的定义域
（2）图想像：确定函数图像是否连线，函数的图像可
以是连续的曲线、直线、折线、离散的点
等等。
（3）列表法：选取的自变量要有代表性，可以反应定
义域的特征。
4、函数图象知识归纳
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (x ∈ A)中的 x 为横坐标，函数
值 y 为纵坐标的点P(x ， y) 的集合 C ，叫做函数y=f(x),(x∈A)的图
象． C 上每一点的坐标(x ， y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足
y=f(x) 的每一组有序实数对x、y 为坐标的点(x ，y)，均在 C 上 .
(2) 画法
A 、描点法：B、图象变换法：平移变换；伸缩变换；对称变换，即平
移。
（ 3）函数图像平移变换的特点：
1）加左减右——————只对x
2）上减下加——————只对y
3）函数 y=f(x)关于X轴对称得函数4）函数 y=f(x)关于Y轴对称得函数5）函数 y=f(x)关于原点对称得函数6）函数 y=f(x)将x轴下面图像翻到
y=-f(x)
y=f(-x)
y=-f(-x)
x 轴上面去，x 轴上面图像不动得
函数y=| f(x)|
7）函数y=f(x) 先作x≥0的图像，然后作关
于
y 轴对称的图像得函数f(|x|)
三、函数的基本性质
1、函数解析式子的求法
（ 1）、函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系
时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.
（ 2）、求函数的解析式的主要方法有：
1）代入法：
2）待定系数法：
3）换元法：
4)拼凑法：
2．定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：
(1)分式的分母不等于零；
(2)偶次方根的被开方数不小于零；
(3)对数式的真数必须大于零；
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分
都有意义的 x 的值组成的集合 .
(6)指数为零底不可以等于零，
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
3、相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定
义域一致 (两点必须同时具备 )
4、区间的概念：
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间
（2）无穷区间
（3）区间的数轴表示
5、值域（先考虑其定义域）
（1）观察法：直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域；
（2）反表示法：针对分式的类型，把 Y 关于 X 的函数关系式化成 X 关于 Y 的函数
关系式，由 X 的范围类似求 Y 的范围。
(3)配方法：针对二次函数的类型，根据二次函数图像的性质来确定函数的
值域，注意定义域的范围。
(4)代换法（换元法）：作变量代换，针对根式的题型，转化成二次函数的类
型。
6.分段函数
（1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
（2）各部分的自变量的取值情况．
（3）分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并
集．（ 4）常用的分段函数有取整函数、符号函数、含绝对值的函数
7．映射
一般地，设 A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合 A 中的任意一个元素x，在集合 B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，
那么就称对应f：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f（对应关系）：
A （原象）B（象）”
对于映射 f ： A→ B 来说，则应满足：
(1) 集合 A 中的每一个元素，在集合 B 中都有象，并且象是唯一的；
(2) 集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的象可以是同一个；
(3) 不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。
注意：映射是针对自然界中的所有事物而言的，而函数仅仅是针对数字来说的。所以函数是映射，而映射不一定的函数
8、函数的单调性( 局部性质 )及最值
（1）、增减函数
（1）设函数 y=f(x) 的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任
意两个自变量 x1， x2，当 x1 （2）如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值x 1，x2，当 x 1 注意：函数的单调性是函数的局部性质；函数的单调性还有单调不增， 和单调不减两种 （2）、图象的特点 如果函数y=f(x) 在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x) 具有 (严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的， 象从左到右是下降的. （ 3）、函数单调区间与单调性的判定方法在这一区间上减函数的图 (A)定义法： ○1 任取x1，x2∈D，且x1 ○2 作差 f(x 1)－f(x 2)； ○ 3 变形（通常是因式分解和配方）； ○ 4 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）； ○ 5 下结论（指出函数f(x) 在给定的区间 D 上的单调性）． (B)图象法 (从图象上看升降 ) (C)复合函数的单调性 复合函数：如果y=f(u)(u ∈ M),u=g(x)(x∈ A),则y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)称为f、g 的复合函数。 复合函数f[ g(x)] 的单调性与构成它的函数 其规律：“同增异减” 注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 起写成其并集. u=g(x) ，y=f(u) 的单调性密切相关，,不能把单调性相同的区间和在一 9：函数的奇偶性（整体性质） （1）、偶函数 一般地，对于函数f(x) 的定义域内的任意一个x，都有f( － x)=f(x) ，那么 f(x) 就叫做偶函数． （2）、奇函数 一般地，对于函数f(x) 的定义域内的任意一个x，都有f( － x)= — f(x) ，那么 f(x) 就叫做奇函数． （3）、具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 利用定义判断函数奇偶性的步骤： a、首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；若是不对称，则 是非奇非偶的函数；若对称，则进行下面判断； b、确定 f( － x) 与 f(x) 的关系； c、作出相应结论：若f( － x) = f(x)或f( － x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数； 若f( － x) = －f(x) 或f( － x) ＋f(x) = 0 ，则f(x) 是奇函数． （ 4）利用奇偶函数的四则运算以及复合函数的奇偶性 a、在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数； 奇函数的加减仍为奇函数； 奇数个奇函数的乘除认为奇函数； 偶数个奇函数的乘除为偶函数； 一奇一偶的乘积是奇函数； a、复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇。 注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数 的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称， (1)再根据定义判定 ; (2) 由 f(-x) ±f(x)=0 或 f(x) ／ f(-x)= 1±来判定 ; (3) 利用定理，或借助函数的图象判定. 10、函数最值及性质的应用 （1）、函数的最值 a利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 b利用图象求函数的最大（小）值 c利用函数单调性的判断函数的最大（小）值： 如果函数y=f(x) 在区间 [a， b] 上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x) 在 x=b 处有最大值 f(b) ； 如果函数y=f(x) 在区间 [a， b] 上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x) 在 x=b 处有最小值 f(b) ； （2）、函数的奇偶性与单调性 奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性； 偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性。 （ 3 ）、判断含糊单调性时也可以用作商法，过程与作差法类似，区别在于作差法是与 0 作比较，作商法是与 1 作比较。 （ 4 ）、绝对值函数求最值，先分段，再通过各段的单调性，或图像求最值。 （ 5 ）、在判断函数的奇偶性时候，若已知是奇函数可以直接用f(0)=0 ，但是 f(0)=0 并不一定可以判断函数为奇函数。（高一阶段可以利用奇函数f(0)=0 ）。 第二章基本初等函数 一、指数函数 （一）指数 1、指数与指数幂的运算： 复习初中整数指数幂的运算性质： m n m+n a *a =a m n mn (a ) =a n n n (a*b) =a b a ，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈ N * ． 2、根式的概念：一般地，若 x n 当 n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数。 此时， a 的 n 次方根用符号 表示。 当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有两个，这两个数互为相反数。此时正数 a 的正的 n 次方根用符号 表示，负的 n 的次方根用符号 表示。正的 n 次 方根与负的 n 次方根可以合并成 （ a>0 ）。 注意：负数没有偶次方根； 0 的任何次方根都是 0，记作 n 0 0 。 当 n 是奇数时， n a n a ，当 n 是偶数时， n a n a (a 0) | a | (a 0) a 式子 n a 叫做根式，这里 n 叫做根指数， a 叫做被开方数。 3、 分数指数幂 正数的分数指数幂的 m ， m 1 1 (a 0, , 1) a n nm * n * a (a 0, m, n N , n 1) a m m n N , n a n n a m 0 的正分数指数幂等于 0， 0 的负分数指数幂没有意义 4、 有理数指数米的运算性质 （1） a r a r a r s (a 0, r , s R) ； · （2 ） (a r ) s a rs (a 0, r , s R) ； （3） (ab) r a r a s (a 0, r , s R) ． 5、无理数指数幂 一般的，无理数指数幂 a a （ a>0,a 是无理数）是一个确定的实数。有理数指数幂的运算性质同样使用于无理数指数幂。 （二）、指数函数的性质及其特点 1、指数函数的概念： 一般地，函数 y a x (a 0,且 a 1) 叫做指数函数，其中 x 是自变量， 函数的定义域为 R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和 1．为什么？ 2、 指数函数的图象和性质 a>1 0 1 1 246 -4-2 246 0 0 -1 定义域 R 定义域 R 值域 y＞0 值域 y＞ 0 在 R 上单调递增在 R 上单调递减 非奇非偶函数非奇非偶函数 函数图象都过定点（0，1）函数图象都过定点（0，1）注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （ 1）在 [a ，b] 上，值域是[ f (a), f (b)] 或 [f (b), f (a)] ； （2 ）若 x 0 ，则 f (x) 1 ； f (x ) 取遍所有正数当且仅当xR ； （3 ）对于指数函数 f ( x) a x (a 0 且 a 1) ，总有 f (1) a ； （ 4）当 a>1 时，若 X 1 2 则有 1 2 。 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念： 一般地，如果 a x N (a 0, a 1) ，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数， ． ．． 说明： 1 记作： x log a N （ a — 底数， N — 真数， log a N — 对数式） 注意底数的限制 a 0 ，且 a 1 ； ○ ○2a x N log a N x ； ○3 注意对数的书写格式： log a N 两个重要对数： ○1 常用对数：以 10 为底的对数 lg N ； 2 自然对数：以无理数 e 2.71828 为底的对数的对数 ln N ． ○ （二）对数的运算性质 如果 a 0 ，且 a 1， M 0 ， N 0，那么： ○1log a (M ·N ) log a M ＋ log a N ； M ○2log a N log a M － log a N ； ○3log a M n n log a M (n R) ． 注意：换底公式 log a b log c b （ a 0 ，且 a 1； c 0 ，且 c 1 ； b 0 ）． log c a 利用换底公式推导下面的结论 （1） log a m b n n log a b ；（ 2） m log a b 1 ． log b a （二）对数函数 1、对数函数的概念： 函数 y log a x(a 0 ，且 a 1) 叫做对数函数， 其中 x 是自变量， 函数的定义域是（ 0，+∞）． 注意： 1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如： ○ x y 2log 2 x ， y log 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． 5 5 2 对数函数对底数的限制： (a 0 ，且 a 1) ． ○ 2、对数函数的性质： a>1 3 0 3 2.5 1.5 1 1 0.5 -1 345 67 1234567 -1 1 1 1 -0 -0 -1 -1 .5 -2 -2 -2 -2 .5 定义域 x ＞ 0 定义域 x ＞0 值域为 R 值域为 R 在R 上递增 在R 上递减 函数图象都过定点（ 1，0） 函数图象都过定点（ 1， 0） 三、幂函数 1、幂函数定义：一般地，形如 y x ( a R) 的函数称为幂函数，其中为常数． 2、幂函数性质归纳． （ 1）所有的幂函数在（0 ， +∞）都有定义并且图象都过点（ 1 ， 1 ）； （ 2）0 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[ 0, ) 上是增函数．特别地，当 1 时，幂函数的图象下凸；当01时，幂函数的图象上凸； （ 3）0时，幂函数的图象在区间(0, ) 上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于时，图象在x 轴上方 无限地逼近x 轴正半轴． 第三章函数的应用 方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。 2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交 点的横坐标。即：方程有实数根，函数的图象与坐标轴有交点，函数有零点． 3、函数零点的求法： （1）（代数法）求方程的实数根； （2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 4、二次函数的零点： （1）△ ＞ 0 ，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点． （2）△ ＝ 0 ，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点． （ 3）△ ＜ 0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点． （ 高中数学函数知识点梳理 1. .函数的单调性 (1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么 []1212()()()0x x f x f x -->? []b a x f x x x f x f ,)(0)()(2 121在?>--上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. 注：如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数;如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数. 2. 奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 注：若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+. 注：对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2 b a x +=对称. 注：若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2 (a 对称;若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数. 3. 多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++的奇偶性 多项式函数()P x 是奇函数?()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数?()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数()y f x =的图象的对称性 (1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ?+=- (2)()f a x f x ?-=. (2)函数()y f x =的图象关于直线2 a b x +=对称()()f a mx f b mx ?+=- ()()f a b mx f mx ?+-=. 4. 两个函数图象的对称性 (1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m += 对称. (3)函数)(x f y =和)(1x f y -=的图象关于直线y=x 对称. 25.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图 姓名____________ 20XX 年____月_____日 第___次课 正、余弦定理 一。知识回顾：在初中我们知道：（1）在三角形中，大边对大角、大角对大边的边角关系； （2）在直角三角形中，sinA= a c ,sinB= b c ?c=sin a A ,c=sin b B ? sin a A =sin b B ,又Q sinC=1?sin a A =sin b B =sin c C 二。学习提纲： <一>.正弦定理： （1）概念：在一个三角形中，各边与它所对应角的正弦比相等，即： sin a A =sin b B =sin c C （2）证明： j r C ①几何证明法：（略，同学们自己证明） ②向量证明： 证明：（如图）当?ABC 为锐角三角形时， A B 过A 作单位向量j r ⊥AB u u u r ,则j r 与AB u u u r 的夹角为2π，j r 与BC uuu r 的夹角为2π-B ，j r 与CA u u u r 的夹角为2π +A ； 设AB=a,BC=c,AC=b. Q AB u u u r +BC uuu r +CA u u u r =0r ,∴j r g (AB u u u r +BC uuu r +CA u u u r )=j r g 0r ∴j r g AB u u u r +j r g BC uuu r +j r g CA u u u r =0 ∴|j r |g |AB u u u r |g cos 2π+|j r |g |BC uuu r |g cos(2π-B )+|j r |g |CA u u u r |g cos 2 π +A )=0 ∴asinB=bsinA,即：sin a A =sin b B 同理可得：sin b B =sin c C ，故：sin a A =sin b B =sin c C 当?ABC 为钝角三角形或直角三角形时，同样可证明得到：sin a A =sin b B =sin c C （3）正弦定理的变形： ①asinB=bsinA; csinB=bsinC; asinC=csinA; ②a ：b:c=sinA:sinB:sinC ③ sin a A =sin b B =sin c C =2R （R 为?ABC 外接圆的半径） ?a=2RsinA; b=2RsinB; c=2RsinC ? sinA=2a R sinB=2b R sinC=2c R （二）余弦定理： （1）概念：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与他们的夹角的余弦的积的两倍，即： 2 a =2 b +2 c -2bccosA; 2 b =2 a +2 c -2accosB; 2 c =2 a +2 b -2abcosC 变形：2 sin A=2 sin B+2 sin C-2sinBsinCcosA 2 sin B=2 sin A+2 sin C-2sinAsinCcosB 2 sin C=2 sin A+2 sin B-2sinAsinBcosC 求角：cosA=2222bc b c a +- , cosB=2222c a c b a +-, cosC=222b 2a c ab +- 变形:cosA=222sin sin sin 2sin sin A B C A B +-,cosB=222sin sin sin 2sin sin A C B A C +-,cosC=222sin sin sin 2sin sin A B C A B +- (2)勾股定理：2 c =2a +2b 推广：A 为锐角→222a b c <+；A 为直角→222a b c =+；A 为钝角→222 a b c >+ （3）三角形的面积公式： ①ABC S ?=12ah ②ABC S ?=12absinC=12bcsinA=1 2 acsinB ③ABC S ?(p=12(a+b+c) ④ABC S ?=4abc R (4)对于任意的三角形，都有：sinA>0 高中高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性 说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 (4集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2．集合的表示方法：列举法与描述法。 注意啊：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a∈A ，相反，a不属于集合A 记作a?A 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2} 4、集合的分类： 1．有限集含有有限个元素的集合 2．无限集含有无限个元素的集合 3．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 高中数学必修1知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每 一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性 3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2．集合的表示方法：列举法与描述法。 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a 属于集合A 记作 a∈A ，相反，a不属于集合A 记作 a?A 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合 的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2} 4、集合的分类： （1）．有限集含有有限个元素的集合 （2）．无限集含有无限个元素的集合 （3）．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A 2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同” 结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B 任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且B? A那就说集合A是集合B的真子集，记作A?B(或B? A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 《必修五 知识点总结》 第一章：解三角形知识要点 一、正弦定理和余弦定理 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，，则有 2sin sin sin a b c R C ===A B (R 为C ?AB 的外接圆的半径) 2、正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A = ，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； 3、三角形面积公式：111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB = A == B ． 4、余弦定理：在 C ?AB 中，有2 2 2 2cos a b c bc =+-A ，推论：bc a c b A 2cos 2 22-+= B ac c a b cos 2222-+=，推论： C ab b a c cos 22 2 2 -+=，推论：ab c b a C 2cos 2 22-+= 二、解三角形 处理三角形问题，必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型，特别要多角度（几何作图，三角函数定义，正、余弦定理，勾股定理等角度）去理解“边边角”型问题可能有两解、一解、无解的三种情况，根据已知条件判断解的情况，并能正确求解 1、三角形中的边角关系 （1）三角形内角和等于180°； （2）三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； ac b c a B 2cos 2 22-+= （3）三角形中大边对大角，小边对小角； （4）正弦定理中,a =2R ·sin A , b =2R ·sin B , c =2R ·sin C ，其中R 是△ABC 外接圆半径. （5）在余弦定理中:2bc cos A =222a c b -+. （6）三角形的面积公式有:S = 21ah , S =21ab sin C=21bc sin A=2 1 ac sinB , S =))(()(c P b P a P P --?-其中，h 是BC 边上高，P 是半周长. 2、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形 （1）已知两角及一边，求其它边角，常选用正弦定理. （2）已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，常选用正弦定理. （3）已知三边，求三个角，常选用余弦定理. （4）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角，常选用余弦定理. （5）已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，常选用正弦定理. 3、利用正、余弦定理判断三角形的形状 常用方法是：①化边为角；②化角为边. 4、三角形中的三角变换 （1）角的变换 因为在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。 2 sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+； （2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。 r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半 （3）在△ABC 中，熟记并会证明：∠A ，∠B ，∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A ，∠B ，∠C 成等差数列且a ，b ，c 成等比数列. 高中数学必修5知识点总结 第一章 解三角形 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°-(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b 高中数学必修1知识点 1、集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性。 2、元素与集合的关系：∈、? 3、数集的符号：自然数集N ；正整数集* N 或N +；整数集Z ；有理数 集Q ；实数集R . 4、集合与集合的关系：?、≠?、= 5、若集合中有n 个元素，则它的子集个数为2n ；真子集个数为21n -；非空子集个数为21n -；非空真子集个数为22n -. 6、空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 7、子集的性质： （1）A ?A （即任何一个集合是它本身的子集）； （2）若A ?B ，B ?C ，则A ?C ； （3）若A ≠?B ，B ≠?C ，则A ≠?C. 8、集合的基本运算 （1）并集：}{x x x A B =∈A ∈B 或 （2）交集：}{x x x A B =∈A ∈B 且 （3）补集：}{U x x U x A =∈?A 且e （4）性质：①A A =A ，A ?=A ；②A A =A ，A ?=?； ③()U A A =?e，()U U A A =e，() U U A =A 痧， ()()()U U U A B =A B 痧?，()()()U U U A B =A B 痧?. 9、函数的三要素：定义域、值域和对应法则. 10、（一）求函数定义域的原则： （1）若 ()f x 为整式，则其定义域是R ； （2）若 ()f x 为分式，则其定义域是使分母不为0的实数集合； （3）若()f x 是二次根式（偶次根式），则其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合； （4）若()0f x x =，则其定义域是 }{0x x ≠； （5）若()()0,1x f x a a a =>≠，则其定义域是R ； 高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰 洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 ◆注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。 {x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。 注意：B ?/B或B?/A 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 ◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集 一、知识纲要 (1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列． (2)等差、等比数列的定义． (3)等差、等比数列的通项公式． (4)等差中项、等比中项． (5)等差、等比数列的前n 项和公式及其推导方法． 二、方法总结 1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想． 2．等差、等比数列中，1a 、n a 、n 、)(q d 、n S “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法． 3．求等比数列的前n 项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想． 4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等． 三、知识内容： 1.数列 数列的通项公式：?? ?≥-===-)2() 1(111n S S n S a a n n n 数列的前n 项和：n n a a a a S ++++= 321 1、数列：按照一定顺序排列着的一列数． 2、数列的项：数列中的每一个数． 3、有穷数列：项数有限的数列． 4、无穷数列：项数无限的数列． 5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列． 6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列． 7、常数列：各项相等的数列． 8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 9、数列的通项公式：表示数列 {}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式． 10、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式． 例1.已知数列{}n a 的前n 项和为n n S n -=2 2,求数列{}n a 的通项公式. 当1=n 时，111==S a ,当2n ≥时，34)1()1(222 2-=-+---=n n n n n a n ,经检验 1=n 时 11=a 也适 合34-=n a n ,∴34-=n a n ()n N +∈ 2.等差数列 等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。 等差数列的判定方法: （1）定义法：对于数列 {}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列。 （2）等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列。 等差数列的通项公式： 如果等差数列 {}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为d n a a n )1(1-+=。 说明：该公式整理后是关于n 的一次函数。 等差数列的前n 项和：①2)(1n n a a n S += ②d n n na S n 2 ) 1(1-+ = 说明：对于公式②整理后是关于n 的没有常数项的二次函数。 等差中项： 如果a ， A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。即：2 b a A += 或b a A +=2 说明：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。 等差数列的性质： （1）等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有 d m n a a m n )(-+= 高中数学必修1知识点 第一章、集合综合应用题；单调性、奇偶性证明与应用； 第二章、指数幂与对数的运算；指数函数与对数函数性质的应用； 第三章、零点问题，尤其是二次函数的零点、二次函数根的分布。 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念： 1、集合的含义： 2、集合的中元素的三个特性： （1）元素的确定性；（2）元素的互异性；（3）元素的无序性 3、集合的表示： （Ⅰ）列举法： （Ⅱ）描述法： 4、常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）N ；正整数集N*或N+ ；整数集Z；有理数集Q；实数集R 5、“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a∈A ，相反，a不属于集合A 记作a A 6、集合的分类： 1．有限集含有有限个元素的集合 2．无限集含有无限个元素的集合 3．空集不含任何元素的集合 二、集合间的基本关系 集合相等，子集，真子集，空集等定义 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算 1．交集、并集、全集与补集的定义 2.性质：A∩A = A，A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A，A∪φ= A , A∪B = B∪A. ⑴C U(C U A)=A ⑵(C U A)∩A=Φ⑶(C U A)∪A=U (4)(C U A)∩(C U B)=C U(A∪B) (5)(C U A)∪(C U B)=C U(A∩B) 二、函数的有关概念 1．函数的概念：(看课本) 注意：1、如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合； 2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 定义域补充： 能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1) 分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是 高中数学必修五知识点汇总 第一章 解三角形 一、知识点总结 正弦定理: 1．正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C === (R 为三角形外接圆的半径). 步骤1. 证明：在锐角△ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c 。作CH ⊥AB 垂足为点H CH=a ·sinB CH=b ·sinA ∴a ·sinB=b ·sinA 得到b b a a s i n s i n = 同理，在△ABC 中， b b c c sin sin = 步骤2. 证明：2sin sin sin a b c R A B C === 如图，任意三角形ABC,作ABC 的外接圆O. 作直径BD 交⊙O 于D. 连接DA. 因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90° 因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D 等于∠C. 所以C R c D sin 2sin == 故2sin sin sin a b c R A B C === 2.正弦定理的一些变式： ()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a b ii A B C R R ==2c R =； ()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===； （4）R C B A c b a 2sin sin sin =++++ 3．两类正弦定理解三角形的问题： （1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. （2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解） 4.在ABC ?中，已知a,b 及A 时，解得情况： 解法一：利用正弦定理计算 解法二：分析三角形解的情况，可用余弦定理做，已知a,b 和角A ，则由余弦定理得 即可得出关于c 的方程：0cos 2222=-+-a b Ac b c 分析该方程的解的情况即三角形解的情况 ①△=0,则三角形有一解 ②△>0则三角形有两解 ③△<0则三角形无解 余弦定理: 高一数学必修一知识点必考难点总结5篇分享高一是高中学习生涯中打好基础的一年，而高中数学也是比较难的一门学科。那么，如何学好高一数学呢?下面就是我给大家带来的高一数学必修一知识点，希望对大家有所帮助！ 高一数学必修一知识点1 集合有以下性质 若A包含于B，则A∩B=A，A∪B=B 集合的表示方法 集合常用大写拉丁字母来表示，如：A，B，C…而对于集合中的元素则用小写的拉丁字母来表示，如：a，b，c…拉丁字母只是相当于集合的名字，没有任何实际的意义。将拉丁字母赋给集合的方法是用一个等式来表示的，例如：A={…}的形式。等号左边是大写的拉丁字母，右边花括号括起来的，括号内部是具有某种共同性质的数学元素。 常用的有列举法和描述法。1.列举法﹕常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做列举法。{1，2，3，……}2.描述法﹕常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字﹐符号或式子等描述出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做描述法。{x|P}(x为该集合的元素的一般形式，P为这个集合的元素的共同属性)如：小于π的正实数组成的集合表示为：{x|0 4.自然语言常用数集的符号：(1)全体非负整数的集合通常简称非负整数集(或自然数集)，记作N;不包括0的自然数集合，记作N_(2)非负整数集内排除0 的集，也称正整数集，记作Z+;负整数集内也排除0的集，称负整数集，记作Z-(3)全体整数的集合通常称作整数集，记作Z(4)全体有理数的集合通常简称有理数集，记作Q。Q={p/q|p∈Z，q∈N，且p，q互质}(正负有理数集合分别记作Q+Q-)(5)全体实数的集合通常简称实数集，记作R(正实数集合记作R+;负实数记作R-)(6)复数集合计作C集合的运算：集合交换律A∩B=B∩AA∪B=B∪A集合结合律(A∩B)∩C=A∩(B∩C)(A∪B)∪C=A∪(B∪C)集合分配律A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)集合德.摩根律集合Cu(A∩B)=CuA∪CuBCu(A∪B)=CuA∩CuB集合“容斥原理”在研究集合时，会遇到有关集合中的元素个数问题，我们把有限集合A的元素个数记为card(A)。例如A={a，b，c}，则card(A)=3card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)card(A∪B∪C)=card(A)+c ard(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C)1885年德国数学家，集合论创始人康托尔谈到集合一词，列举法和描述法是表示集合的常用方式。集合吸收律A∪(A∩B)=AA∩(A∪B)=A集合求补律A∪CuA=UA∩CuA=Φ设A为集合，把A的全部子集构成的集合叫做A的幂集德摩根律A-(BUC)=(A-B)∩(A-C)A-(B∩C)=(A-B)U(A-C)～(BUC)=~B∩~C～(B∩C)=~BU~C~Φ=E~E=Φ特殊集合的表示复数集C实数集R正实数集R+负实数集R-整数集Z正整数集Z+负整数集Z-有理数集Q正有理数集Q+负有理数集Q-不含0的有理数集Q 高一数学必修一知识点2 对数函数 对数函数的一般形式为，它实际上就是指数函数的反函数。因此指数函数里 高中数学必修知识点总结 必修一 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性 3．集合的表示方法：列举法与描述法。 非负整数集（即自然数集）记作：正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 二、集合间的基本关系 1.对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B … 2、子集与真子集 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算 1．交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集． 记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}． 2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}． 3、交集与并集的性质：A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A, A∪φ= A ,A∪B = B∪A. 4、全集与补集 > （1）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集） （2）全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。 （3）性质： 二、函数的有关概念 1、函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域． ☆求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. ☆构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 2、补充一：分段函数 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 补充二：复合函数 ' 如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A) 称为f、g的复合函数。 补充三：抽象函数 3、函数的解析式的常用求法： 1、定义法； 2、换元法； 3、待定系数法； 4、函数方程法； 5、配方法 4、函数的值域的常用求法： 1、换元法； 2、配方法； 3、判别式法； 4、几何法； 5、不等式法； 6、单调性法 5、函数单调性 高中数学总复习（五） 复习内容：高中数学第五章-平面向量 复习范围：第五章 1. 长度相等且方向相同的两个向量是相等的量. 注意：①若b a ,为单位向量，则b a =. （?） 单位向量只表示向量的模为1，并未指明向量的方向. ②若b a =，则a ∥b . （√） 2. ①()a μλ=()a λμ ②()a a a μλμλ+=+ ③() b a b a λλλ+=+ ④设()()R y x b y x a ∈==λ,,,,2211 ()2121,y y x x b a ++=+ ()2121,y y x x b a --=- ()21,y x a λλλ= 2121y y x x b a +=? 2 1 21y x a += （向量的模，针对向量坐标求模） ⑤平面向量的数量积：θcos b a b a ?=? ⑥a b b a ?=? ⑦()() () b a b a b a λλλ?=?=? ⑧()c b c a c b a ?+?=?+ 注意：①()() c b a c b a ??=??不一定成立；c b b a ?=?c a =. ②向量无大小（“大于”、“小于”对向量无意义），向量的模有大小. ③长度为0的向量叫零向量，记0 ，0 与任意向量平行，0 的方向是任意的，零向量与零向量相等，且00 =-. ④若有一个三角形ABC ，则 0；此结论可推广到n 边形. ⑤若a n a m =（R n m ∈,），则有n m =. （?） 当a 等于0 时，0 ==a n a m ，而n m ,不一定相等. ⑥a ·a =2||a ，||a =2a （针对向量非坐标求模） ，||b a ?≤||||b a ?. ⑦当0 ≠a 时，由0=?b a 不能推出0 ≠b ，这是因为任一与a 垂直的非零向量b ，都有a ·b =0. ⑧若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c （×）当b 等于0时，不成立. 3. ①向量b 与非零向量．．．．a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得a b λ=（平行向量或共线向量）. 当,0 λ 与共线同向：当,0 λ与共线反向；当 则为,与任何向量共线. 注意：若,= （×） 若c 是a 的投影，夹角为θ，则c a =?θcos ，=θcos （√） ②设a =()11,y x ，()22,y x b = 高中数学必修1知识点总结 第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 （8）交集、并集、补集 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1 （2 0) 〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念 （1）函数的概念 ①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →． ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则． ③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法 ①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做 [,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须 a b <． （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ①()f x 是整式时，定义域是全体实数． ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中， () 2 x k k Z π π≠+ ∈． ⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义 集合与函数知识点讲解 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||2 2301 若，则实数的值构成的集合为B A a ? 3. 注意下列性质： {} （）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式 的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 ()（∵，∴ ·∵，∴ ·，，）335 30555 501539252 2 ∈--->=+-0 义域是_____________。 高中数学必修2知识点总结 第一章 空间几何体 1.1柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱'''''E D C B A ABCDE -或用对角线的端点字母，如五棱柱' AD 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于 底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥' ' ' ' ' E D C B A P - 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高 的比的平方。 （3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台' ' ' ' ' E D C B A P - 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。 （5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。 （7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 1.2空间几何体的三视图和直观图 (1)定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、 俯视图（从上向下） 注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度； 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度； 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。 (2)画三视图的原则：衡水中学高中数学函数知识点梳理
高中数学必修五知识点详细解答附答案
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