用提公因式法进行因式分解
一、设计说明
（一）教材分析：
这节课是义务教育课程标准青岛版教科书八年级上册第二章第三节《用提公因式法进行因式分解》。本章教材是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，事实上，它是整式乘法的逆向运用，与整式乘法运算有密切的联系．分解因式的变形不仅体现了一种“化归”的思想，而且因式分解是通分、约分所必备的基础知识；在解一元二次或高次方程、方程组、不等式中，因式分解是一种重要的解法；在研究代数式、三角式的恒等变形中，分解因式是主要手段之一；在数的计算中，因式分解也是进行简便计算的一种常用技巧。本章的教育价值还体现在使学生接受对立统一的观点，培养学生善于观察、善于分析、正确预见、解决问题的能力等方面。因此，分解因式这一章在整个教材中起到了承上启下的作用
（二）学生分析：
学情是教师确定教学重点，难点，选择教学方法和手段的依据，本节课学情主要有：
1、学生已经学习了整式乘法及因式分解的意义，有了初步的逆变形思维具备一定的分析、判断和运用法则的意义，对乘法的分配律也得到了进一步的理解。
2、八年级学生好奇心强，对新内容感兴趣，但学习急于求成，同时主动性和目地性不够明确，学习方法还比较欠缺，特别是符号问题，
这对学生学习本节课内容带来一定的难度，因此，在教学中教师要对他们进行学法指导，尤其要对他们进行数学学习方法和数学思想的培养。
（三）目标分析
A：知识与技能目标：
1、了解因式分解的意义，会用提公因式法进行因式分解.
2、理解因式分解与整式乘法的联系与区别．
B：过程与方法目标：
经历探索多项式各项公因式的过程,并在具体问题中,能确定多项式各项的公因式;会用提公因式法把多项式分解因式;进一步了解分解因式的意义,并渗透化归的思想方法
C：情感与价值观目标：
培养学生独立思考的习惯，同时又要培养大家合作交流意识。（四）教法分析：
针对初二年级学生的知识结构和心理特征，本节课选择独立思考——合作交流法.就是让学生共同讨论，并用类比推理的方法学习.的方法，由浅入深，由特殊到一般地提出问题。引导学生自主探索，合作交流，这种教学理念反映了时代精神，有利于提高学生的思维能力，能有效地激发学生的思维积极性。
1、学生学习策略：明确学习目标，了解所需掌握的知识，在教师的组织、引导、点拨下主动地从事观察、实验与交流等数学活动，让学生看、说、讨论、总结，从而真正有效地理解和掌握知识。
2、辅助策略：借助多媒体，使学生直观形象地观察、讨论和交流。
3、演示法：把做好的幻灯片演示给学生看，使学生直观、具体、形象有对比地经历从整式乘法到因式分解的这种互逆变形的过程，理解提公因式法分解因式与单项式乘以多项式的互逆关系，从而使学生不仅能够理解、归纳因式分解变形的特点，同时也可以充分感受到这种互逆变形的过程和数学知识的整体性.
4、实验法：让学生自主探索寻找公因式的方法，通过找公因式逆用乘法分配律因式分解，从而找到提公因式法分解因式。
5、讨论法：在学生进行了自主探索之后，让他们进行合作交流，使他们互相促进、共同学习。
6、练习法：精心设计随堂练习，使学生的知识水平得到恰当的发展
二、具体的实施过程
（一）创设情境：
在学习分数时，我们常常要进行约分与通分，因此常常要把一个数分解因数．
例如：15=3×5 42=2×3×7．
那么，形如ma+mb+mc的多项式如何化成几个整式乘积的形式呢？这一节就是学习如何把一个多项式化成几个整式的积的方法．
（二）研讨探究：
1、观察思考：
m(a+b)=ma+mb
(a+b)(a－b)= 22
a b
2()a b ±=222a ab b ±+
老师再给出三个等式，观察比较，这两组等式有什么特点？ ma+mb = m(a+b)
22a b -=(a+b)(a －b)
222a ab b ±+=2()a b ±
结论：
（1）前三个等式是整式的乘法运算，而后三个等式的过程与前三个整式的乘法运算相反。
（2）前三个等式是整式的积化和差，而后三个等式是和差化积。 因此，我们把和差化积的形式称为因式分解。
即多项式也可以变形为相应的整式与整式的乘积，我们就把这种多项式的变形叫做因式分解．
2．探索新知
（1）定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
如：因式分解：ma+mb+mc ＝m(a+b+c)．
整式乘法：m(a+b+c)＝ma+mb+mc ．
让学生说出因式分解与整式乘法的联系与区别．
练一练：
下列等式中，哪些从左到右的变形是乘法运算，哪些是因式分解？ ①1＋2x+23x =1+x(2+3x) ②3x(x+y)= 23x +3xy ③26a b +23ab －ab=ab(6a+3b －1) ④3xy －24x y +225x y =xy(3－4x+5xy)
结论：因式分解和整式乘法的过程正好相反，它们是互逆的关系。（2）公因式：
∵m(a+b)=ma+mb可知m是ma＋mb各项都含有的相同的因式
∴m就是ma＋mb的公因式。
定义：一个多项式中每一项都含有的因式是这个多项式的公因式。
3.应用举例
例1.指出下列各多项式中各项的公因式：
(1)ax+ay+a (a)
(2)3mx-2
6mx (3mx)
(3) 2
4a +10ah (2a)
(4) 22
(xy)
x y xy
(5)12xyz-22
9x y (3xy)
学生在自己的学案上完成。
请同学们总结一下如何找公因式？
小组讨论，合作交流（组内讨论解决，也可与其他组讨论解决）。
最后归纳得出结论：
提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式．让学生观察上面的公因式的特点，找出确定公因式的方法：公因式应是各项系数的最大公因数与各项都含有的相同字母的最低次幂的积。
例2：分解因式
解：3222
10a bc15a b c
(分析：公因式2
5a bc)
原式＝2
5a bc?3b
5a bc?2ac+2
=2
5a bc (2ac+3b)
如何检验分解因式的正确性呢？利用乘法运算一下。
例3：分解因式
（1）2
15a b +3ab
8a (2) 2
6a－3
(3)－2
6xy－2xy (4)－3ax+6ab－12ay
4x y +2
解：（1）原式=2 2a?3－22a?4a=22a (3－4a)
(2)原式＝3ab?5a+3ab?1=3ab(5a+1)
注：提取3ab后，括号里第二项1不能漏掉。
(3)原式＝－（2
6xy＋2xy）＝－（2xy?2x－2xy?3y+2xy?1）4x y－2
＝－2xy(2x－3y+1)
第一项带负号，应先提取负号。
（4）由学生口述完成。
（三）反思拓展
对于多项式a(m+n)+b(m+n)，如果设c=m+n，那么这个式子就变为ac+bc，我们就可以提取公式法因式分解了．
例1 2a(b+c)-3(b+c)分解因式．
分析：这个多项式中的b+c是二项式，如果设b+c=m，则原式可变为2a(b+c)-3(b+c)=2am-3m．
这样，就把问题归结为公因式是单项式的因式，可以用提取公因式法进行因式分解了．
解设b+c=m，则
2a(b+c)-3(b+c)=2a?m-3?m=m(2a-3)=(b+c)(2a-3)
指出：在把形如例1的多项式因式分解时，只需把(b+c)看作一个整体，作为公因式提出即可，可以不写出辅助元．
(口答)说出下列各多项式中各项的公因式：
(1)2m(a-b)-3n(a-b)；
(2)(3m-2)x+3(3m-2)y；
(3)(y+5)(y-2)-(y+5)；
(4)4n(a+b)(a-b)-5()2
+；
a b
答：(1)a-b；(2)3m-2；(3)y+5；(4)a+b．
[设计意图]
在此环节中，学生先独立完成学案，遇到问题组内讨论解决，解决不了的可到其他组讨论解决。
精讲点拨：
对于找公因式学生在展示出现问题时，教师要及时地引导、点拨，进行拓展与变化，要在课堂中引起讨论，激发学生的思维，让学生从本质上解决问题。精讲点拨可以由教师讲，也可以由学生讲，是一个
归纳、发展与提升的过程。
例2 把6(x-2)+x(2-x)分解因式．
分析：(x-2)与(2-x)只差一个符号，如果把2-x 变号，即2-x=-(x-2)，原多项式就有公因式(x-2)了．
解： 6(x-2)+x(2-x)=6?(x-2)-x ?(x-2)=(x-2)(6-x)．
问：下列各题中的每两个多项式之间有什么关系？
(1)a+b 与-a-b ； (2) ()2a b -与()2b a -；
(3) ()3a b -与()3b a -； (4) ()()n n a b b a --与．
学生讨论后总结：
(1)因为-a-b=-(a+b)，所以a+b 与-a-b 互为相反数；
(2)因为()()()222b a a b a b -=--=-????，所以()()22a b b a -=-；
(3)因为()()33b a a b -=--????，所以()()33
b a a b -=--；
(4)当n 为偶数时，两式相等；当n 为奇数时，两式互为相反数．
（四）达标检测：
1、(口答)指出下列各多项式中各项的公因式：
(1)3m(x-y)- ()229m y x -；
(2)10(x-y)2+()36y x -；
(3) ()()2225m x y 10m y x ---；
大部分同学都能通过分析找出公因式，但在具体的问题中，还是有些同学找不准，问题的关键在于没有抓住公因式的本质．在这个问题中，它们两个式子都有互为相反数的因式，那么应把某一个因式进行提取负号，准确找到公因式，学生对此比较难理解，应该多花一点时
间进行练习．
2、习题2.3A组2，3
（五）课堂小结（学生总结）
1．因式分解的意义及其概念．
2．因式分解与整式乘法的联系与区别．
3．公因式及提公因式法．
4．提公因式法因式分解中应注意的问题．
（六）作业布置：
互动同步
P1—5题
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三、效果分析
教学活动是学生与教师的双边活动，在这个过程中，学生应是学习的主体，教师应启发、指导学生进行探索活动，而不应越俎代庖．在提公因式的教学中，很容易演变成以教师的灌输式教学为主，而学生主要是进行模仿练习，从知识的掌握上看，这种做法更有效，更快，但学生的探究能力和意识没有提高,数学思想方法渗透也不充分,最后导致的是学生数学素养的降低．
而本节课根据学生的知识结构，采用：提出问题—实际操作—归纳方法—课堂练习—课堂小结—布置作业六部分，这一流程体现了知识发生、形成和发展的过程，从而使学生的观察、归纳、类比、概括、逆向思考等能力都得以发展。