考点测试50 抛物线
一、基础小题
1．已知抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为( )
A.10 B．4
C.15 D．5
答案 D
解析由题意知，抛物线的准线方程为y＝－1，所以由抛物线的定义知，点A到抛物线焦点的距离为5.
2．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为( )
A．18 B．24
C．36 D．48
答案 C
解析如图，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)．
∵当x ＝p
2时，|y |＝p ，
∴p ＝|AB |2＝122＝6.
又P 到AB 的距离始终为p ， ∴S △ABP ＝1
2
×12×6＝36.
3．已知过抛物线y 2
＝6x 焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是( ) A.π6或5π6 B.π4或3π
4 C.π3或2π3 D.π2
答案 B
解析 焦点坐标为? ??
??32，0，当斜率不存在时，弦长为2p ＝6，不符合题意，故此弦所在直线斜率存在设为k ，所以方程为y ＝k ? ????x －32，代入y 2＝6x 得k 2x 2－(3k 2
＋6)x ＋94k 2＝0，设
弦的两端点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，x 1＋x 2＋p ＝12，即3k 2
＋6k
2＋3＝12，k 2
＝1.∴k ＝tan α＝±1，
结合α∈[0，π)，可得α＝π4或3
4
π.
4．已知P 是抛物线y 2
＝4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x －y ＋3＝0和y 轴的距离之和的最小值是( )
A. 3
B. 5 C ．2 D.5－1
答案 D
解析 由题意知，抛物线的焦点为F (1,0)．设点P 到直线l 的距离为d ，由抛物线的定义可知，点P 到y 轴的距离为|PF |－1，所以点P 到直线l 的距离与到y 轴的距离之和为d ＋|PF |－1.易知d ＋|PF |的最小值为点F 到直线l 的距离，故d ＋|PF |的最小值为|2＋3|22
＋ －1
2
＝5，所以d ＋|PF |－1的最小值为5－1.
5．抛物线y 2
＝2px 的焦点为F ，点A 、B 、C 在此抛物线上，点A 坐标为(1,2)．若点F 恰为△ABC 的重心，则直线BC 的方程为( )
A ．x ＋y ＝0
B ．x －y ＝0
C ．2x ＋y －1＝0
D ．2x －y －1＝0
答案 C
解析 ∵点A 在抛物线上，∴4＝2p ，p ＝2. 抛物线方程为y 2＝4x ，焦点F (1,0)． 设点B (x 1，y 1)，点C (x 2，y 2)， 则有y 2
1＝4x 1，①
y 22＝4x 2，②
由①－②，得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝4(x 1－x 2)， 得k BC ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4
y 1＋y 2
. 又∵
y 1＋y 2＋2
3
＝0，∴y 1＋y 2＝－2.
∴k BC ＝－2. 又∵
x 1＋x 2＋1
3
＝1，∴x 1＋x 2＝2.
∴BC 中点为(1，－1)，
则BC 所在直线方程为y ＋1＝－2(x －1)， 即2x ＋y －1＝0.
6．若抛物线y 2
＝2x 上两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋b 对称，且y 1y 2＝－1，则实数b 的值为( )
A ．－52
B.52
C.12 D ．－12
答案 A
解析 直线AB 的斜率为
k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 1－y 2
12
y 21－12
y 2
2
＝－1，
所以y 1＋y 2＝－2，y 2
1＋y 2
2＝(y 1＋y 2)2
－2y 1y 2＝6.
线段AB 的中点为? ????x 1＋x 22，y 1＋y 22＝? ????y 21＋y 2
24，－1＝? ??
??32，－1，
代入y ＝x ＋b ，得b ＝－5
2
.故选A.
7．已知动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________． 答案 y 2
＝4x
解析 设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1,0)的距离与其到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2
＝4x .
8．已知抛物线y 2
＝4x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且满足|NF |＝
3
2|MN |，则∠NMF ＝________. 答案
π6
解析 过N 作准线的垂线，垂足是P ，则有PN ＝NF ， ∴PN ＝
32MN ，∠NMF ＝∠MNP .又cos ∠MNP ＝32，∴∠MNP ＝π6，即∠NMF ＝π6
. 二、高考小题
9．[2016·四川高考]抛物线y 2
＝4x 的焦点坐标是( ) A ．(0,2) B ．(0,1) C ．(2,0) D ．(1,0)
答案 D
解析 ∵抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为? ??
??p
2，0，∴抛物线y 2
＝4x 的焦点坐标为
(1,0)，故选D.
10．[2016·全国卷Ⅱ]设F 为抛物线C ：y 2
＝4x 的焦点，曲线y ＝k x
(k >0)与C 交于点P ，
PF ⊥x 轴，则k ＝( )
A.12 B ．1 C.32 D ．2
答案 D
解析 由题意得点P 的坐标为(1,2)．把点P 的坐标代入y ＝k x
(k >0)，得k ＝1×2＝2，故选D.
11．[2014·辽宁高考]已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2
＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )
A ．－43
B ．－1
C ．－34
D ．－12
答案 C
解析 由点A (－2,3)在抛物线C ：y 2
＝2px 的准线上，得焦点F (2,0)，∴k AF ＝3－2－2＝
－3
4
，故选C. 12．[2014·四川高考]已知F 为抛物线y 2
＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →
＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )
A ．2
B ．3 C.172
8
D.10
答案 B
解析 如图，可设A (m 2，m )，B (n 2，n )，其中m >0，n <0，则OA →＝(m 2，m )，OB →＝(n 2
，n )，OA →·OB →
＝m 2n 2＋mn ＝2，解得mn ＝1(舍)或mn ＝－2.∵l AB ：(m 2－n 2)(y －n )＝(m －n )(x －n 2)，即(m ＋n )(y －n )＝x －n 2
，令y ＝0，解得x ＝－mn ＝2，
∴C (2,0)．
S △AOB ＝S △AOC ＋S △BOC ＝12
×2×m ＋12
×2×(－n )＝m －n ，S △AOF ＝12
×14
×m ＝18
m ，则S △AOB ＋S △AOF
＝m －n ＋18m ＝98m －n ＝98m ＋2
m ≥2
98m ·2m ＝3，当且仅当98m ＝2m ，即m ＝4
3
时等号成立．故△ABO 与△AFO 面积之和的最小值为3.
13．[2014·湖南高考]平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1,0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1,0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是________．
答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析 设机器人为A (x ，y )，依题意得点A 在以F (1,0)为焦点，x ＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y 2
＝4x .
过点P (－1,0)，斜率为k 的直线为y ＝k (x ＋1)．
由?
??
??
y 2
＝4x ，y ＝kx ＋k ，得ky 2
－4y ＋4k ＝0.
当k ＝0时，显然不符合题意；
当k ≠0时，依题意得Δ＝(－4)2
－4k ·4k <0，化简得k 2
－1>0，解得k >1或k <－1，因此k 的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
三、模拟小题
14．[2017·沈阳监测]抛物线y ＝4ax 2
(a ≠0)的焦点坐标是( ) A ．(0，a ) B ．(a,0) C.? ????0，116a
D.?
??
??116a ，0
答案 C
解析 将y ＝4ax 2(a ≠0)化为标准方程得x 2
＝14a y (a ≠0)，所以焦点坐标为? ??
??0，116a ，所
以选C.
15．[2017·豫南九校联考]已知点P是抛物线x2＝4y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是(8,7)，则|PA|＋|PQ|的最小值为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
答案 C
解析抛物线的焦点为F(0,1)，准线方程为y＝－1，根据抛物线的定义知，|PF|＝|PM|＝|PQ|＋1.
∴|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PM|－1＝|PA|＋|PF|－1≥|AF|－1＝82＋ 7－1 2－1＝10－1＝9.
当且仅当A、P、F三点共线时，等号成立，则|PA|＋|PQ|的最小值为9.故选C.
16．[2016·广东广州模拟]如果P1，P2，…，P n是抛物线C：y2＝4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，x n，F是抛物线C的焦点，若x1＋x2＋…＋x n＝10，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P n F|＝( )
A．n＋10 B．n＋20
C．2n＋10 D．2n＋20
答案 A
解析由抛物线的方程y2＝4x可知其焦点为(1,0)，准线为x＝－1，由抛物线的定义可知|P1F|＝x1＋1，|P2F|＝x2＋1，…，|P n F|＝x n＋1，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|P n F|＝x1＋1＋x2＋1＋…＋x n＋1＝(x1＋x2＋…＋x n)＋n＝n＋10.故选A.
17．[2016·江西南昌一模]已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与抛物线C的一个交点，若|FP|＝3|FQ|，则|QF|＝( )
A.8
3
B.
5
2
C．3 D．2 答案 A
解析 设l 与x 轴的交点为M ，如图所示，过Q 作QN ⊥l ，垂足为N ，则△PQN ∽△PFM ，所以|NQ ||MF |＝|PQ ||PF |＝23，因为|MF |＝4，所以|NQ |＝83，故|QF |＝|QN |＝83
，故选A.
18．[2016·湖南岳阳二模]直线3x －4y ＋4＝0与抛物线x 2
＝4y 、圆x 2
＋(y －1)2
＝1从左至右的交点依次为A ，B ，C ，D ，则|CD ||AB |
的值为________．
答案 16
解析 如图所示，抛物线x 2
＝4y 的焦点为F (0,1)，直线3x －4y ＋4＝0过点(0,1)，由
?????
x 2
＝4y ，3x －4y ＋4＝0
得4y 2
－17y ＋4＝0，设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝174
，y 1y 2＝1，解
得y 1＝14，y 2＝4，则|CD ||AB |＝|FD |－1|AF |－1＝ y 2＋1 －1 y 1＋1 －1
＝16.
一、高考大题
1．[2016·全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2
＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .
(1)求|OH ||ON |
；
(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．
解 (1)由已知得M (0，t )，P ? ??
??t 2
2p ，t . 又N 为M 关于点P 的对称点，故N ? ??
??t 2
p ，t ，ON 的方程为y ＝p t x ，代入y 2
＝2px ，整理得
px 2
－2t 2
x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2
p
.因此H ? ??
??2t 2
p ，2t .
所以N 为OH 的中点，即|OH |
|ON |
＝2.
(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点．
理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2t
p
(y －t )．
代入y 2
＝2px ，得y 2
－4ty ＋4t 2
＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点．
2. [2016·浙江高考]如图，设抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |－1.
(1)求p 的值；
(2)若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M .求M 的横坐标的取值范围．
解 (1)由题意可得，抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x ＝－1的距离，由抛物线的定义，得p
2
＝1，即p ＝2.
(2)由(1)得，抛物线方程为y 2
＝4x ，F (1,0)， 可设A (t 2,
2t )，t ≠0，t ≠±1. 因为AF 不垂直于y 轴，可设直线AF ：x ＝sy ＋1(s ≠0)，由?
??
??
y 2
＝4x ，
x ＝sy ＋1消去x ，得y
2
－4sy －4＝0，
故y 1y 2＝－4，所以B ? ??
??1
t 2，－2t .
又直线AB 的斜率为2t t 2－1，故直线FN 的斜率为－t 2
－1
2t
.
从而得直线FN ：y ＝－t 2－12t (x －1)，直线BN ：y ＝－2
t
，
所以N ? ????t 2
＋3
t 2－1
，－2t .
设M (m,0)，由A ，M ，N 三点共线，得
2t
t 2
－m
＝2t ＋
2t
t 2
－t 2
＋3t 2
－1
，
于是m ＝2t
2
t 2－1.
所以m <0或m >2.
经检验，m <0或m >2满足题意．
综上，点M 的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)． 二、模拟大题
3．[2017·云南师大附中摸底]已知点F ? ????12，0及直线l ：x ＝－12.P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →
.
(1)求动点P 的轨迹C 的方程；
(2)设圆M 过点A (1,0)且圆心M 在P 的轨迹C 上，E 1E 2是圆M 在y 轴上截得的弦，证明弦长|E 1E 2|是一个常数．
解 (1)设点P 的坐标为(x ，y )，
则点Q 的坐标为? ??
??－12，y ，
∴QP →＝? ????x ＋12，0，QF →＝(1，－y )，FP →＝? ????
x －12，y ， FQ →
＝(－1，y )．
由QP →·QF →＝FP →·FQ →，
得? ????x ＋12，0·(1，－y )＝? ??
??x －12，y ·(－1，y )， 即x ＋12＝12
－x ＋y 2，得y 2
＝2x .
经检验，曲线y 2
＝2x 上的点均满足QP →·QF →＝FP →·FQ →. ∴动点P 的轨迹C 的方程为y 2
＝2x .
(2)证明：设M (a ，b )为圆M 的圆心，则b 2
＝2a . ∵圆M 过点A (1,0)，
∴圆M 上的点(x ，y )满足(x －a )2
＋(y －b )2
＝(a －1)2
＋b 2
. 令x ＝0，得y 2
－2by ＋2a －1＝0.
设圆M 与y 轴的交点为E 1(0，y 1)和E 2(0，y 2)，
则Δ＝(－2b )2－4×(2a －1)＝4>0，y 1＋y 2＝2b ，y 1y 2＝2a －1.
故|E 1E 2|＝|y 1－y 2|＝ y 1＋y 2 2
－4y 1y 2＝2是一个常数．
4．[2017·邯郸模拟]已知抛物线C ：x 2
＝2py (p >0)的焦点为F ，直线l 过点F 交抛物线
C 于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆M 与直线y ＝－1相切于点N .
(1)求C 的方程；
(2)若圆M 与直线x ＝－3
2相切于点Q ，求直线l 的方程和圆M 的方程．
解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝y 1＋y 2＋p . 又∵以AB 为直径的圆M 与直线y ＝－1相切， ∴|AB |＝y 1＋y 2＋2，故p ＝2， ∴抛物线C 的方程为x 2
＝4y .
(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，代入x 2
＝4y 中并整理，得x 2
－4kx －4＝0. ∴x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4， ∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2
＋2， ∴圆心M ?
??
??x 1＋x 22，y 1＋y 22的坐标为M (2k,2k 2＋1)．
∵圆M 与直线x ＝－3
2相切于点Q ，∴|MQ |＝|MN |，
∴?
?????2k ＋32＝|2k 2
＋2|，解得k ＝12.
此时直线l 的方程为y ＝1
2x ＋1，即x －2y ＋2＝0，
圆心M ? ??
??1，32，半径r ＝52， 即圆M 的方程为(x －1)2
＋? ????y －322＝254
.
5．[2017·广东适应性测试]已知抛物线C ：x 2
＝2py (p >0)，倾斜角为π4且过点M (0,1)
的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且AM →＝2MB →
.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)抛物线C 上一动点N ，记以MN 为直径的圆的面积为S ，求S 的最小值． 解 (1)解法一：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则?????
x 2
1＝2py 1，x 2
2＝2py 2.
(*)
∵AM →＝2MB →，AM →＝(－x 1,1－y 1)，MB →
＝(x 2，y 2－1)，
∴?
??
??
－x 1＝2x 2，1－y 1＝2 y 2－1 ，即?
??
??
－x 1＝2x 2，
y 1＝3－2y 2.
将上式代入(*)，得?
????
4x 2
2＝2p 3－2y 2 ，
x 2
2＝2py 2，
∴?
????
x 2＝p ，y 2＝1
2或?
????
x 2＝－p ，
y 2＝1
2.
∵直线l 的倾斜角为π4，即k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝3y 2－33x 2＝y 2－1
x 2＝1，
∴12－1p ＝1(舍去)或1
2－1－p ＝1，解得p ＝14，
∴抛物线C ：x 2
＝12
y .
解法二：由题意，得直线l 的方程为y ＝x ＋1. 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
由?
??
??
x 2
＝2py ，y ＝x ＋1得x 2
－2px －2p ＝0，∴?
??
??
x 1＋x 2＝2p ，
x 1x 2＝－2p .
又∵AM →＝2MB →，AM →＝(－x 1,1－y 1)，MB →
＝(x 2，y 2－1)，
∴－x 1＝2x 2，即????
?
x 1＋x 2＝2p ，x 1·x 2＝－2p ，
－x 1＝2x 2，
解得?????
x 1＝1，
x 2
＝－12，
p ＝14，
∴抛物线C ：x 2
＝12
y .
(2)设抛物线C 上任意一点N (x 0，y 0)，且x 2
0＝12y 0，
∴|MN |＝x 2
0＋ y 0－1 2
＝ 1
2
y 0＋ y 0－1 2 ＝
y 20－3
2
y 0＋1＝
? ????y 0－342＋716
(y 0
≥0)， ∴当y 0＝34时，|MN |min ＝7
4，
∴以MN 为直径的圆的面积S ＝π·?
????|MN |22≥764
π，即S min
＝764π.
6．[2017·江西联考]已知点F 是抛物线C ：x 2
＝2py (p >0)的焦点，点P (3，y 0)(y 0>1)是抛物线C 上一点，且|PF |＝
134
，⊙Q 的方程为x 2＋(y －3)2
＝6，过点F 作直线l ，与抛物线C 和⊙Q 依次交于点M ，A ，B ，N (如图所示)．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)求(|MB |＋|NA |)·|AB |的最小值．
解 (1)由P (3，y 0)在抛物线C 上，得2py 0＝9. 又|PF |＝134，得y 0＋p 2＝13
4
.
上述两个等式联立，解得????
?
y 0＝1，p ＝9
2
或?????
y 0＝94，
p ＝2.
又y 0>1，∴?????
y 0＝94，
p ＝2.
所以抛物线C 的方程为x 2
＝4y . (2)由题意，知直线l 的斜率一定存在． 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 则圆心Q (0,3)到直线l 的距离为d ＝2
k 2＋1
，
∴|AB |＝2r 2
－d 2
＝2
6－
4k 2＋1
. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由???
?
?
x 2
＝4y ，y ＝kx ＋1，
得y 2
－(2＋4k 2
)y ＋1＝0，则y 1＋y 2＝4k 2
＋2. 由抛物线定义知，|MN |＝y 1＋y 2＋2＝4(1＋k 2
)， ∴(|MB |＋|NA |)·|AB |＝(|MN |＋|AB |)·|AB | ＝|MN |·|AB |＋|AB |2
＝8(k 2
＋1)
6－
4k 2
＋1＋4·? ??
??6－4k 2＋1
＝86 k 2
＋1 2
－4 k 2
＋1 －16
k 2
＋1
＋24. 设t ＝k 2
＋1(t ≥1)，
则(|MB |＋|NA |)·|AB |＝86t 2
－4t －16
t
＋24
＝8
6? ????t －132－23－16
t
＋24(t ≥1)． ∵函数y ＝
6? ????t －132－2
3
和y ＝－16t 在[1，＋∞)上都是单调递增函数，
∴当t ＝1，即k ＝0时，(|MB |＋|NA |)·|AB |有最小值82＋8.
2018年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知集合{}02A =，，{}21012B =--，，，，，则A B = A ．{}02， B ．{}12， C ．{}0 D ．{}21012--， ，，， 2．设1i 2i 1i z -= ++，则z = A ．0 B ．12 C ．1 D 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少 B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．已知椭圆C ：22 214 x y a +=的一个焦点为(20)， ，则C 的离心率为
A ．13 B ．12 C D 5．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A ． B ．12π C ． D ．10π 6．设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x = 7．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．31 44AB AC - B ．13 44AB AC - C ． 31 44 AB AC + D ． 13 44 AB AC + 8．已知函数()2 2 2cos sin 2f x x x =-+，则 A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3 B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4 C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3 D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4 9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在 正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ． B ． C ．3 D ．2 10．在长方体1111ABCD A BC D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30?，则该长方体的体积为 A ．8 B ． C ． D ．11．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ， ，()2B b ，，且 2 cos 23 α= ，则a b -=
目录 目录-------------------------------------------------------------------------------------------------1抛物线大题专练（一）--------------------------------------------------------------------------------2抛物线大题专练（二）--------------------------------------------------------------------------------5抛物线大题专练（三）--------------------------------------------------------------------------------8抛物线大题专练---------------------------------------------------------------------------------------11参考答案与试题解析---------------------------------------------------------------------------------11
抛物线大题专练（一） 1．已知抛物线C的方程为x2=2py，设点M（x0，1）（x0＞0）在抛物线C上，且它到抛物线C的准线距离为； （1）求抛物线C的方程； （2）过点M作倾斜角互补的两条直线分别交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（M、A、B三点互不相同）， 求当∠MAB为钝角时，点A的纵坐标y1的取值范围． 2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，过点M（0，﹣2）作抛物线的切 线MA，切点为A（异于点O）．直线l过点M与抛物线交于两点B，C，与直线OA交于点N． （1）求抛物线的方程； （2）试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．
2018年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷2） 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1． 12i 12i + = - A． 43 i 55 --B． 43 i 55 -+C． 34 i 55 --D． 34 i 55 -+ 2．已知集合() {} 223 A x y x y x y =+∈∈ Z Z ，≤，，，则A中元素的个数为 A．9 B．8 C．5 D．4 3．函数()2 e e x x f x x - - =的图像大致为 4．已知向量a，b满足||1 = a，1 ?=- a b，则(2) ?-= a a b A．4 B．3 C．2 D．0 5．双曲线 22 22 1(0,0) x y a b a b -=>>3 A．2 y x =B．3 y x =C． 2 y=D． 3 y= 6．在ABC △中， 5 cos 2 C 1 BC=，5 AC=，则AB= A．2B30C29 D．25 7．为计算 11111 1 23499100 S=-+-++- …，设计了右侧的程序框图，则在空白 框中应填入 A．1 i i=+ B．2 i i=+ C．3 i i=+ D．4 i i=+ 8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723 =+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 开始 0,0 N T == S N T =- S 输出 1 i= 100 i< 1 N N i =+ 1 1 T T i =+ + 结束 是否
抛物线 平面内与一个定点F 和一条定直线l(F ?l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y 2＝2px (p>0) y 2＝－2px(p>0) x 2＝2py(p>0) x 2＝－2py(p>0) p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离 & 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 y ＝0 x ＝0 $ 焦点 F ????p 2，0 F ??? ?－p 2，0 F ? ???0，p 2 F ??? ?0，－p 2 离心率 e ＝1 准线方程 x ＝－p 2 x ＝p 2 。 y ＝－p 2 y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R 开口方向 向右 向左 - 向上 向下 题型一 抛物线的定义及应用 例1 已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时点P 的坐标. 》
变式练习 1.已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为() 题型二抛物线的标准方程和几何性质 例2抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2＋y2＝9相交，公共弦MN的长为25，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程. * 变式练习 2.设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A.若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为() ＝±4x ＝±8x ＝4x ＝8x 变式练习 3.已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|等于() ∶ 5 ∶2 ∶ 5 ∶3 题型三抛物线焦点弦的性质 … 例3设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴.证明：直线AC经过原点O. ：
（四十五） 抛 物 线 [小题对点练——点点落实] 对点练(一) 抛物线的定义及其应用 1．已知AB 是抛物线y 2＝8x 的一条焦点弦，|AB |＝16，则AB 中点C 的横坐标是( ) A ．3 B ．4 C ．6 D ．8 解析：选C 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝16，又p ＝4，所以x 1＋x 2 ＝12，所以点C 的横坐标是 x 1＋x 2 2 ＝6. 2．设抛物线y 2＝－12x 上一点P 到y 轴的距离是1，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A ．3 B ．4 C ．7 D ．13 解析：选B 依题意，点P 到该抛物线的焦点的距离等于点P 到其准线x ＝3的距离，即等于3＋1＝4. 3．若抛物线y 2＝2x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为( ) A.????1 4，±22 B.????1 4，±1 C.????1 2 ，±22 D.??? ?12，±1 解析：选A 设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，P (x P ，y P )，由抛物线的定义知，点P 到准线的距离即为点P 到焦点的距离，所以|PO |＝|PF |，过点P 作PM ⊥OF 于点M (图略)，则M 为OF 的中点，所以x P ＝14，代入y 2＝2x ，得y P ＝±22，所以P ????1 4 ，±22. 4．已知抛物线y 2 ＝2px 的焦点F 与双曲线x 27－y 2 9 ＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上，且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 解析：选D 由题可知抛物线焦点坐标为F (4,0)．过点A 作直线AA ′垂直于抛物线的准线，垂足为A ′，根据抛物线定义知，|AA ′|＝|AF |，在△AA ′K 中，|AK |＝2|AA ′|，故∠KAA ′＝45°，所以直线AK 的倾斜角为45°，直线AK 的方程为y ＝x ＋4，代入抛物
2018年高考数学试卷（文科） 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1．（5分）设全集U={x∈R|x＞0}，函数f（x）=的定义域为A，则?U A为（）A．（0，e] B．（0，e） C．（e，+∞）D．[e，+∞） 2．（5分）设复数z满足（1+i）z=﹣2i，i为虚数单位，则z=（） A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i 3．（5分）已知A（1，﹣2），B（4，2），则与反方向的单位向量为（）A．（﹣，）B．（，﹣）C．（﹣，﹣）D．（，） 4．（5分）若m=0.52，n=20.5，p=log20.5，则（） A．n＞m＞p B．n＞p＞m C．m＞n＞p D．p＞n＞m 5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出n的值为（） A．19 B．20 C．21 D．22 6．（5分）已知p：x≥k，q：（x﹣1）（x+2）＞0，若p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（） A．（﹣∞，﹣2）B．[﹣2，+∞） C．（1，+∞）D．[1，+∞） 7．（5分）一个总体中有600个个体，随机编号为001，002，…，600，利用系统抽样方法抽取容量为24的一个样本，总体分组后在第一组随机抽得的编号为006，则在编号为051～125之间抽得的编号为（） A．056，080，104 B．054，078，102 C．054，079，104 D．056，081，106 8．（5分）若直线x=π和x=π是函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）图象的两条相邻对称轴，则φ的一个可能取值为（） A．B．C．D．
9．（5分）如果实数x，y满足约束条件，则z=的最大值为（）A．B．C．2 D．3 10．（5分）函数f（x）=的图象与函数g（x）=log2（x+a）（a∈R）的图象恰有一个交点，则实数a的取值范围是（） A．a＞1 B．a≤﹣C．a≥1或a＜﹣D．a＞1或a≤﹣ 二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分） 11．（5分）已知直线l：x+y﹣4=0与坐标轴交于A、B两点，O为坐标原点，则经过O、A、B 三点的圆的标准方程为． 12．（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为． 13．（5分）在[0，a]（a＞0）上随机抽取一个实数x，若x满足＜0的概率为，则实数a 的值为． 14．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上的一点M（1，t）（t＞0）到焦点的距离为5，双曲线﹣=1（a＞0）的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为． 15．（5分）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）+g（x）=2x，若存在x0∈[1，2]使得等式af（x0）+g（2x0）=0成立，则实数a的取值范围是． 三、解答题（共6小题，满分75分） 16．（12分）已知向量=（sinx，﹣1），=（cosx，），函数f（x）=（+）?． （1）求函数f（x）的单调递增区间； （2）将函数f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，在△ABC中，角A，B，
2018年黑龙江省高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅱ） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）i（2+3i）=（） A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i 2．（5分）已知集合A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}，则A∩B=（）A．{3}B．{5}C．{3，5}D．{1，2，3，4，5，7} 3．（5分）函数f（x）=的图象大致为（） A．B．C． D． 4．（5分）已知向量，满足||=1，=﹣1，则?（2）=（）A．4 B．3 C．2 D．0 5．（5分）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 6．（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为 （）
A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x 7．（5分）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（） A．4 B． C． D．2 8．（5分）为计算S=1﹣+﹣+…+﹣，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（） A．i=i+1 B．i=i+2 C．i=i+3D．i=i+4 9．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为（） A．B．C．D． 10．（5分）若f（x）=cosx﹣sinx在[0，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C． D．π 11．（5分）已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，则C的离心率为（） A．1﹣B．2﹣C．D．﹣1 12．（5分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f （1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（）
抛物线经典结论和例题
方程 1. 直线与抛物线的位置关系 直线 ，抛物线 ， ，消y 得： （1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时， Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。 （3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定） 2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：b kx y += 抛物线 ，)0(φp ① 联立方程法： ???=+=px y b kx y 22 ?0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0φ?,以及2121,x x x x +，还可进一步求出 b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，
2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++= 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a. 相交弦AB 的弦长 2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a k ?+=2 1 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+ =a k ?+=2 1 b. 中点),(00y x M , 2210x x x += ， 2 2 10y y y += ② 点差法： 设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得 1212px y = 22 22px y = 将两式相减，可得 )(2))((212121x x p y y y y -=+-所以 2 121212y y p x x y y += -- a. 在涉及斜率问题时，2 12y y p k AB += b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ， 021*******y p y p y y p x x y y ==+=--，即0y p k AB =， 同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点 ),(00y x M 是弦AB 的中点，则有p x p x p x x k AB 0 021222==+= （注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零） 一、抛物线的定义及其应用
2018年普通高等学校招生全国统一考试 （新课标 III 卷） 文 科 数 学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合） 1．已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，，，则A B =（ ） A ．{}0 B ．{}1 C ．{}12， D ．{} 012，， 1．答案：C 解答：∵{|10}{|1}A x x x x =-≥=≥，{0,1,2}B =，∴{1,2}A B =.故选C. 2．()()12i i +-=（ ） A ．3i -- B ．3i -+ C ．3i - D ．3i + 2．答案：D 解答：2 (1)(2)23i i i i i +-=+-=+，选D. 3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中 木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）
3．答案：A 解答：根据题意，A 选项符号题意； 4．若1 sin 3 α=，则cos 2α=（ ） A ．89 B ． 79 C ．79 - D ．89- 4．答案：B 解答：2 27 cos 212sin 199 αα=-=- =.故选B. 5．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（ ） A ．0.3 B ．0.4 C ．0.6 D ．0.7 5．答案：B 解答：由题意10.450.150.4P =--=.故选B. 6．函数 ()2tan 1tan x f x x = +的最小正周期为（ ） A ． 4 π B ． 2 π C ．π D ．2π 6．答案：C 解答： 22222sin tan sin cos 1cos ()sin cos sin 2sin 1tan sin cos 21cos x x x x x f x x x x x x x x x == ===+++ ，∴()f x 的周期22 T π π= =.故选C. 7．下列函数中，其图像与函数ln y x =的图像关于直线1x =对称的是（ ） A ．()ln 1y x =- B ．()ln 2y x =- C ．()ln 1y x =+ D ．() ln 2y x =+ 7．答案：B 解答：()f x 关于1x =对称，则()(2)ln(2)f x f x x =-=-.故选B. 8．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2 222x y -+=上，则ABP ?面积的取值范围是（ ）
第三节 抛物线 高考试题 考点一 抛物线的定义和标准方程 1.(2010年陕西卷,理8)已知抛物线y 2 =2px(p>0)的准线与圆x 2 +y 2 -6x-7=0相切,则p 的值为( ) (A) 12 (B)1 (C)2 (D)4 解析:圆x 2 +y 2 -6x-7=0化为标准方程为(x-3)2 +y 2 =16,∴圆心为(3,0),半径是4, 抛物线y 2 =2px(p>0)的准线是x=-2 p , ∴3+ 2 p =4, 又p>0,解得p=2.故选C. 答案:C 2.(2011年辽宁卷,理3)已知F 是抛物线y 2 =x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) (A) 34 (B)1 (C) 54 (D) 74 解析:∵|AF|+|BF|=x A +x B +12 =3, ∴x A +x B = 52 . ∴线段AB 的中点到y 轴的距离为2 A B x x += 54 .故选C. 故选C. 答案:C 3.(2012年四川卷,理8)已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y 0).若点M 到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|等于( ) (C)4 解析:由题意设抛物线方程为y 2 =2px(p>0),则M 到焦点的距离为x M + 2p =2+2 p =3,∴p=2,∴y 2 =4x.∴ 2 y =4×2,∴故选B. 答案:B 4.(2010年上海卷,理3)动点P 到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等,则点P 的轨迹方程是 . 解析:由抛物线的定义知,点P 的轨迹是以F 为焦点,定直线x+2=0为准线的抛物线,故其标准方程为y 2 =8x. 答案:y 2 =8x 5.(2012年陕西卷,理13)如图所示是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m.水位下降 1 m 后,水面宽 m.
2018年高考数学理科试卷（江苏卷） 数学Ⅰ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．． ． 1．已知集合{}8,2,1,0=A ，{}8,6,1,1-=B ，那么=?B A ． 2．若复数z 满足i z i 21+=?，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ． 3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ． 4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ． 5．函数()1log 2-=x x f 的定义域为 ．
6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ． 7．已知函数()??? ??<<-+=22 2sin ππ ?x x y 的图象关于直线3π=x 对称，则?的值 是 ． 8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()0,0122 22>>=-b a b y a x 的右焦点()0,c F 到一条 渐近线的距离为 c 2 3 ，则其离心率的值是 ． 9．函数()x f 满足()()()R x x f x f ∈=+4，且在区间]2,2(-上，()??? ? ???≤<-+≤<=02,2120,2cos x x x x x f π， 则()()15f f 的值为 ． 10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ． 11．若函数()()R a ax x x f ∈+-=122 3 在()+∞,0内有且只有一个零点，则()x f 在[]1,1-上 的最大值与最小值的和为 ．
2021年新高考数学总复习第九章《平面解析几何》 抛物线 1．抛物线的概念 平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0) p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离 图形 顶点坐标 O (0,0) 对称轴 x 轴 y 轴 焦点坐标 F ????p 2，0 F ??? ?－p 2，0 F ????0，p 2 F ????0，－p 2 离心率 e ＝1 准线方程 x ＝－p 2 x ＝p 2 y ＝－p 2 y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下
概念方法微思考 1．若抛物线定义中定点F 在定直线l 上时，动点的轨迹是什么图形？ 提示 过点F 且与l 垂直的直线． 2．直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的什么条件？ 提示 直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点，但不是相切，所以直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件． 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是???? a 4，0，准线方程是x ＝－a 4 .( × ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × ) (4)AB 为抛物线 y 2＝2px (p >0)的过焦点 F ????p 2，0的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 2 4 ，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .( √ ) (5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( √ ) 题组二 教材改编 2．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 答案 B 解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8. 3．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为____________________． 答案 y 2＝－8x 或x 2＝－y 解析 设抛物线方程为y 2＝mx (m ≠0)或x 2＝my (m ≠0)． 将P (－2，－4)代入，分别得方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y . 4．若抛物线y 2＝4x 的准线为l ，P 是抛物线上任意一点，则P 到准线l 的距离与P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值是( )
2018年天津高考数学真题（附答案解析） 1.选择题(每小题5分，满分40分)：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. A. B. C. D. 2. A. 6 B. 19 C. 21 D. 45 3.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. A. B.
C. D. 6. 7. A. A B. B C. C D. D
8. A. A B. B C. C D. D 填空题（本大题共6小题，每小题____分，共____分。） 9.. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。 10. 11. 已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥的体积为____.
12.已知圆的圆心为C，直线(为参数)与该圆相交于A，B两点，则的面积为____. 13.已知，且，则的最小值为____. 14.已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是____. 简答题（综合题）（本大题共6小题，每小题____分，共____分。） 15..解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （本小题满分13分） 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. （I）求角B的大小； （II）设a=2，c=3，求b和的值. 16. (本小题满分13分) 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16. 现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查. （I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，则 A. B. C. D. 2. A. B. C. D. 3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构建的突出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头，若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 A.B. C. D. 4.若，则 A. B. C. D. 5.若某群体中的成员只用只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为 A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7
6.函数 的最小正周期为 A. B. C. D. 7.下列函数中，其图像y lnx =与函数的图像关于直线1x =对称的是() A.()1y ln x =- B.()2y ln x =- C.()1y ln x =+ D.()2y ln x =+ 8.直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于点,A B 两点， 点P 在圆上则ABP ?面积的取值范围是( ) A.[2,6] B.[4,8] C.2,32???? D .22,32???? 9.函数的图像大致为() A. B. C. D. 10.已知双曲线 (0,0)a b >>2，则点(4,0)到C 的最近线的距离为( ) 2 B.2 32 D.2
高考数学-抛物线 抛 物 线 ) 0(22>=p px y )0(22>-=p px y ) 0(22>=p py x )0(22>-=p py x 定义 平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。 {MF M =点M 到直线l 的距离} 范围 0,x y R ≥∈ 0,x y R ≤∈ ,0x R y ∈≥ ,0x R y ∈≤ 对称性 关于x 轴对称 关于y 轴对称 焦点 (2 p ,0) (2 p - ,0) (0, 2 p ) (0,2 p - ) 焦点在对称轴上 顶点 (0,0)O 离心率 e =1 准线 方程 2 p x - = 2 p x = 2 p y - = 2 p y = 准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。 顶点到准线的距离 2 p 焦点到准线的距离 p 焦半径 11(,)A x y 12 p AF x =+ 12 p AF x =-+ 12 p AF y =+ 12 p AF y =-+ 1. 直线 ，抛物线 ， ，消y 得： （1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时， Δ＞0，直线l 与抛物线相交，有两不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，有一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。 x y O l F x y O l F l F x y O x y O l F
（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定） 2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：b kx y += 抛物线 ，)0(φp ① 联立方程法： ???=+=px y b kx y 22 ?0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0φ?,以及2121,x x x x +，还可进一步求出 b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++= 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a. 相交弦AB 的弦长 2 12 212 212 4)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a k ? +=2 1 或 212 2122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+ =a k ?+=2 1 b. 中点坐标 ),(00y x M , 2210x x x += ， 2 2 10y y y += ② 点差法： 设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得 12 12px y = 22 22px y = 将两式相减，可得 )(2))((212121x x p y y y y -=+- 2 121212y y p x x y y += -- a. 在涉及斜率问题时，2 12y y p k AB += b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点 为),(00y x M ， 021*******y p y p y y p x x y y ==+=--， 即0 y p k AB = ， 同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点),(00y x M 是弦AB 的中点，则有p x p x p x x k AB 0 021222==+= （注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）
高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、 F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2， －1）的距离及点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （41，－1） B. （4 1，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点 的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11 c a ＜ 2 2 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④
D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点 到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.（江西卷7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1 (0,]2 C ． D ． 6.（辽宁卷10）已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离及P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） A B ．3 C D ．9 2 7.（全国二9）设1a >，则双曲线22 22 1(1)x y a a - =+的离心率e 的取值范围是（ B ） A ． B ． C ．(25)， D ．(2 8.（山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为 13 5 ，焦点在X 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8， A B C D -
2018年普通高等学校招生全国统一考试(卷) 数学Ⅰ 1． 已知集合{}8,2,1,0=A ，{}8,6,1,1-=B ，那么_____=B A I 2． 若复数z 满足i z i 21+=?，其中i 是虚数单位，则z 的实部为_____ 3． 已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位 裁判打出的分数的平均数为_____ 4． 一个算式的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为______ 5． 函数1log )(2-=x x f 的定义域为______ 6． 某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中选2名学生去参加， 则恰好有2名女生的概率为_______ 7． 已知函数)22)(2sin(π?π?<<-+=x y 的图象关于直线3 π =x 对称，则?的值是______ 8． 在平面直角坐标系xOy 中．若双曲线0)b 0(122 22>>=-，a b y a x 的右焦点F(c ，0)到一 条渐近线的距离为 c 2 3 ，则其离心率的值是_____ 9． 函数f(x)满足f(x ＋4)＝f(x)(x ∈R)，且在区间]2,2(-上，??? ??? ?≤<-+≤<=,02,21 ,20,2cos )(x x x x x f π则))15((f f 的值为______ 10． 如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面 体的体积为_______ 11． 若函数)(12)(2 3 R a ax x x f ∈+-=在),0(+∞有且只有一个 零点，则)(x f 在[－1，1]上的最大值与最小值的和为_______ 12． 在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：x y 2=上在第一象限的点，B (5，0)，以 8 99 9 011 (第3题) I ←1 S ←1 While I<6 I ←I+2 S ←2S End While Pnint S (第4题)
2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学 1．已知集合{}02A =，，{}21012B =--，，，，，则A B =I A ．{}02， B ．{}12， C ．{}0 D ．{}21012--，， ，， 2．设1i 2i 1i z -= ++，则z = A ．0 B ．12 C ．1 D ．2 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少 B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．已知椭圆C ：22 214 x y a +=的一个焦点为(20)， ，则C 的离心率为 A ．1 3 B ．12 C 2 D 22 5．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A ．122πB ．12πC 82π D ．10π 6．设函数()()32 1f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切 线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x = 7．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u r A ． 3144AB AC -u u u r u u u r B ．1344AB AC -u u u r u u u r C ．3144 AB AC +u u u r u u u r D ． 1344 AB AC +u u u r u u u r