第一
章 集合
一、集合有关概念
1.集合的中元素的三个特性： (1)
元素的确定性.如：世界上
最高的山 (2) 元素的互异性.如：由HAPPY 的字母组成的集合{}Y P A H ,,, (3)
元素的无序性.如：{}c b a ,,和{}b c a ,,是表示同一个集合
2.常用数集的表示：
非负整数集（自然数集）：N ；正整数集 +*N N 或；整数集：Z ；有理数集：
Q 实数集：R
3.集合的分类： (1) 有限集：含有有限个元素的集合 (2) 无限集：含有无限个元素的集合
(3)
空集：不含任何元素的集合，记作：φ.例：{}5|2-=x x
二、集合间的基本关系 1.“包含”关系——子集
注意：B A ?有两种可能：①A 是B 的一部分；②A 与B 是同一集合.
反之: 集合A 不包含于集合B ,或集合B 不包含集合A ,记作A ?
/B 或B ?/A 2．“相等”关系：B A = (B A ?且A B ?)
实例：设{}01|2=-=x x A ，{
}1,1-=B “元素相同则两集合相等” 3.集合的性质：
① 任何一个集合是它本身的子集即A A ?.
②真子集:如果B A ?,且B A ≠那就说集合A 是集合B 的真子集，记作A
B 或(B
A )
③如果B A ?,C B ?,那么C A ?. ④如果B A ?同时A B ? 那么B A =. 4.子集个数问题
规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集. 有n 个元素的集合，含有n 2个子集，12-n 个真子集. 三、集合的运算
运算
交 集 并 集 补 集
四、典型例题：
1.下列四组对象，能构成集合的是（ ）
A 某班所有高个子的学生
B 着名的艺术家
C 一切很大的书
D 倒数等于它自身的实数
2.集合{}c b a ,,的真子集共有 个
3.若集合{}R x x x y y M ∈+-==,12|2,{}0|≥=x x N ,则M 与N 的关系是 .
4.设集合{}21|<<=x x A ，{}a x x A <=|，若B A ?，则a 的取值范围是 .
5.已知集合{}082|2=-+=x x x A ,{}065|2=+-=x x x B ,{}019|22=-+-=m mx x x C ,若φ≠C B I ，φ=C A I ，求m 的值.
第二章 函数
一、函数的相关概念
1．函数的对应形式：一对一、多对一．
2．定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域.
常见定义域类型：①分母0≠； ②偶次方根的被开方数0≥；对数式的真数0>N ；④指数、对数式的底10≠>a a 且；⑤00≠x x 中. 相同函数的判断方法：
①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）； ②定义域一致 (两点必须同时具备) 3．值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法
4. 函数图象变换规律：
①平移变换：左加右减、上加下减 ；
②翻折变换： )(x f 去左留右、右翻左 )(x f
)(x f )(x f
二、函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
I.增函数：2121,x x D x x <∈?且，都有)()(21x f x f < 减函数：2121,x x D x x <∈?且，都有)()(21x f x f > II.图象的特点
增函数：图象从左到右是上升的； 减函数：图象从左到右是下降的. III.函数单调区间与单调性的判定方法
A .定义法：
（证明步骤：取值、作差、变形、定号、下结论） B .图象法:从图象上看升降
C .复合函数的单调性规律：“同增异减” 2．函数的奇偶性（整体性质） I.用定义判断函数奇偶性的步骤：
○
1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； ○
2确定)(x f )(x f -与的关系； ○
3作出相应结论：若为奇函数，则有0)()()()(=-+-=-x f x f x f x f 或；
若为
偶函数，则有
)()()()(=--=-x f x f x f x f 或
II.函数图象的特征
奇函数：图象关于原点对称； 偶函数：图象关于y 轴对称. 3.函数解析式
主要方法有：①凑配法；②待定系数法；③换元法；④消参法. 三、典型习题：
1.已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = .
2.设函数
f x ()的定义域为[]01，，则函数
f x ()
2的定义域为_
_ ；
若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 . 3.设
()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时,
()(1f x x =,则当(,0)
x ∈-∞时()
f x
= ；
()f x 在R 上的解析式为 .
4.函数
22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-??=-<
，若()3f x =，则x = 5.求下列函数的定义域：
⑴y
⑵y =6.求下列函数的值域： （1）
223
y x x =+-
(2)
y 7.已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式. 8.求下列函数的单调区间：
⑴
y = （2）261y x x =-- 9.设函数22
11)(x
x x f -+=判断它的奇偶性并且求证：)()1(x f x
f -=．
第三章 基本初等函数
一、指数函数
（一）指数与指数幂的运算
1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *
．
负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n .
a a n n =)(为奇数n ；??
?<≥-==)
0()
0(||a a a a a a n n )(为偶数n
2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定：
)
1,,,0(*>∈>=n N n m a a a
n m n
m ，
)1,,,0(1
1*>∈>=
=
-
n N n m a a a
a
n
m
n
m n
m
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. 3．实数指数幂的运算性质
①r a ·s r r a a +=；②rs s r a a =)(；③
s r r a a ab =)( （二）指数函数及其性质
1.指数函数：形如)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数.
2.指数函数的图象和性质
二、对数函数 （一）对数
1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，
记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式）
说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○
2 x N N a a x =?=log ；
○
3 注意对数的书写格式． 两个重要对数：
○
1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○
2 自然对数：以无理数Λ71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化
幂值 真数
b a ＝ N ?log a N ＝ b
底数
指数 对数
2.对数的运算性质
如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○
1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○
2 =N
M a log M a log －N a log ； ○
3 n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式
a
b
b c c a log log log =
（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．
利用换底公式推导下面的结论 （1）b m
n b a n a m
log log =；（2）a
b b a log 1
log =
．
（二）对数函数
1.对数函数：形如0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中
R x ∈.
注意:x y 2log 2=，5
log 5x y = 都不是对数函数，而只能称其为对数
型函数．
2.对数函数的图象和性质：
（三）幂函数
1.幂函数：形如αx y =)(R a ∈的函数称为幂函数，其中α为常数．
2.幂函数性质归纳
I.所有的幂函数图象都不经过第四象限，但都过点（1，1）； II.0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数；
特别地：①当1>α时，幂函数的图象下凸，概括为“高高昂起” ②当10<<α时，幂函数的图象上凸，概括为“匍匐前进”；
III.0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．
四、典型习题
1.已知10≠>a a 且，函数)(log x y a y a x -==与的图象只能( )
2.计算： ①
=
64
log 2log 273 ;②3log 422+= ；2log 227log 5531
25+= ; ③2134
3
101.016])2[()8
7(064
.075.030++-+----- = 3.函数)10(2)(6
52≠>-=+-a a a
x f x x 且过定点 ；
函数f (x )=log a (2x +1)?2恒过定点 ；
函数)10(5)22(log )(2≠>+--=a a x x x f a 且过定点 .
4.函数)132(log 22
1+-=x x y 的递减区间为 .
5.若函数
)
10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则
=a .
6.已知1()log
(01)1a
x
f x a a x
+=>≠-且，求： （1）()f x 的定义域；（2）判断)(x f 的奇偶性；（3）求使0)(>x f 的x 的取值范围.
7. 画出下列函数图象
(1) f (x )=ln |x | (2) f (x )=|log 3x |
8. 已知函数f (x )=log a (x 2?2x ?3)（a >0且a ≠1），讨论f (x )的单调性 9. 求函数)34ln()(2-+-=x x x f 的值域.
升腾教育高一数学 满分150分 姓名 一、选择题（每题4分，共40分） 1、下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 （ ） A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1，2}?A ?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （ ） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=- 的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ， {}2 |20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是 （ ） A 4 B 3 C 2 D 1 8、设集合A=} { 12x x <<，B=} { x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是 （ ） A } { 2a a ≥ B } { 1a a ≤ C } { 1a a ≥ D } { 2a a ≤ 9、 满足条件M U }{1=}{ 1,2,3的集合M 的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4
二、填空题 11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2 A t t x x B ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2 +x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ，则a=__________ 13、设全集U={ } 2 2,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={} 5，则a = ，b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________. 三、解答题 17、已知集合A={x| x 2 +2x-8=0}, B={x| x 2 -5x+6=0}, C={x| x 2 -mx+m 2 -19=0}, 若B ∩C ≠Φ，A∩C=Φ，求m 的值 18、已知二次函数f (x )=2 x ax b ++,A=}{ }{ ()222x f x x ==,试求 f ()x 的解析式 19、已知集合{}1,1A =-，B=} { 2 20x x ax b -+=，若B ≠?，且A B A ?= 求实数 a ， b 的值。
典型例题一 例1圆9 )3 ( )3 (2 2= - + -y x上到直线0 11 4 3= - +y x的距离为1的点有几个？ 分析：借助图形直观求解．或先求出直线 1 l、 2 l的方程，从代数计算中寻找解答．解法一：圆9 )3 ( )3 (2 2= - + -y x的圆心为)3,3( 1 O，半径3 = r． 设圆心 1 O到直线0 11 4 3= - +y x的距离为d，则3 2 4 3 11 3 4 3 3 2 2 < = + - ? + ? = d． 如图，在圆心 1 O同侧，与直线0 11 4 3= - +y x平行且距离为1的直线 1 l与圆有两个交点， 这两个交点符合题意． 又1 2 3= - = -d r． ∴与直线0 11 4 3= - +y x平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意．∴符合题意的点共有3个． 解法二：符合题意的点是平行于直线0 11 4 3= - +y x，且与之距离为1的直线和圆的交点． 设所求直线为0 4 3= + +m y x，则1 4 3 11 2 2 = + + = m d， ∴5 11± = + m，即6 - = m，或16 - = m，也即 6 4 3 1 = - +y x l：，或0 16 4 3 2 = - +y x l：． 设圆9 )3 ( )3 (2 2 1 = - + -y x O：的圆心到直线 1 l、 2 l的距离为 1 d、 2 d，则 3 4 3 6 3 4 3 3 2 2 1 = + - ? + ? = d，1 4 3 16 3 4 3 3 2 2 2 = + - ? + ? = d． ∴ 1 l与 1 O相切，与圆 1 O有一个公共点； 2 l与圆 1 O相交，与圆 1 O有两个公共点．即符合 题意的点共3个． 说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：
《集合》常考题型 题型一、集合元素的意义+互异性 例.设集合 ｛0｝ 例.已知A ＝{2，4，a 3－2a 2－a ＋7}，B ＝{1，a ＋3，a 2－2a ＋2，a 3＋a 2＋3a ＋7}，且A ∩B ＝{2，5}，则A ∪B =____________________________ 解：∵A∩B＝{2，5}，∴5∈A. ∴a 3－2a 2－a ＋7＝5解得a ＝±1或a ＝2. ①若a ＝－1，则B ＝{1，2，5，4}，则A∩B＝{2，4，5}，与已知矛盾，舍去． ②若a ＝1，则B ＝{1，4，1，12}不成立，舍去． ③若a ＝2，则B ＝{1，5，2，25}符合题意．则A ∪B ＝{1，2，4，5，25}． 题型二、空集的特殊性 例.已知集合{}{}25,121A x x B x m x m =-<≤=-+≤≤-，且BA ， 则实数m 的取值范围为_____________ 例.已知集合{}R x x ax x A ∈=++=，012，{} 0≥=x x B ，且φ=B A I ， 求实数a 的取值范围。 解：①当0a =时，{|10,}{1}A x x x R =+=∈=-，此时{|0}A x x ≥=ΦI ； ②当0a ≠时，{|0}A x x ≥=ΦQ I ，A ∴=Φ或关于x 的方程2 10ax x ++=的根均为负数. （1）当A =Φ时，关于x 的方程210ax x ++=无实数根， 140a ?=-<，所以14a > . （2）当关于x 的方程210ax x ++=的根均为负数时， 12121401010a x x a x x a ???=-≥??+=-?? 140a a ?≤?????>?104a <≤. 综上所述，实数a 的取值范围为{0}a a ≥. 题型三、集和的运算 例.设集合S ＝{x |x >5或x <－1}，T ＝{x |a 函 数 练 习 题 班级 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴y = ⑵y = ⑶01 (21)111 y x x =+-++ - 2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2 的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x +的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，数m 的取值围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴2 23y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷31 1 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y =⑹ 22 5941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y ⑽ 4y = ⑾y x =- 6、已知函数22 2()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2 (1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2 (1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1()()1 f x g x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ 2 23y x x =++ ⑵y =⑶ 2 61y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2 (1)f x -的单调递增区间是 8、函数236 x y x -= +的递减区间是 ；函数y =的递减区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3 ) 5)(3(1+-+= x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ； 新课标必修3概率部分知识点总结及典型例题解析 ◆ 事件：随机事件（ random event ），确定性事件: 必然事件( certain event )和不 可能事件( impossible event ) ? 随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件 A 在n 次实验中发生了m 次，当实验的次数n 很大时，我们称事件A 发生的概率为()n m A P ≈ 说明：① 一个随机事件发生于具有随机性，但又存在统计的规律性，在进行大量的重复事件时某个事件是否发生，具有频率的稳定性 ，而频率的稳定性又是必然的，因此偶然性和必然性对立统一 ② 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况 ③ 随机事件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这个摆动的幅度越来越小，而这个接近的某个常数，我们称之为概事件发生的概率 ④ 概率是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是一种大的整体的趋势，而频率是具体的统计的结果 ⑤ 概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值 ? 概率必须满足三个基本要求：① 对任意的一个随机事件A ，有()10≤≤A P ② ()()0,1,=Φ=ΩΦΩP P 则有可能事件分别表示必然事件和不和用③如果事件 ()()()B P A P B A P B A +=+:,则有互斥和 ? 古典概率（Classical probability model ）：① 所有基本事件有限个 ② 每个基本事件发生的可能性都相等 满足这两个条件的概率模型成为古典概型 如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个n ，则每一个基本事件发生的概率都是n 1，如果某个事件A 包含了其中的m 个等可能的基本事件，则事件A 发生的概率为 ()n m A P = ? 几何概型（geomegtric probability model ）：一般地，一个几何区域D 中随机地取一点， 记事件“改点落在其内部的一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率为 ()的侧度 的侧度D d A P = （ 这里要求D 的侧度不为0，其中侧度的意义由D 确定，一般地，线段的侧度为该线段的长度；平面多变形的侧度为该图形的面积；立体图像的侧度为其体积 ） 几何概型的基本特点：① 基本事件等可性 ② 基本事件无限多 颜老师说明：为了便于研究互斥事件，我们所研究的区域都是指的开区域，即不含边界，在区域D 内随机地取点，指的是该点落在区域D 内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的侧度成正比，而与其形状无关。 互斥事件(exclusive events)：不能同时发生的两个事件称为互斥事件 发散思维培训班测试题 一、选择题（每题4分，共40分） 1、下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 （ ） A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1，2}?A ?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （ ） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=- 的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ，{}2|20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是 （ ） A 4 B 3 C 2 D 1 7、点的集合M ＝｛(x,y)｜xy≥0｝是指 ( ) A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集 C. 第一、第三象限内的点集 D. 不在第二、第四象限内的点集 8、设集合A=}{12x x <<，B=}{x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是 （ ） A }{2a a ≥ B }{1a a ≤ C }{1a a ≥ D } {2a a ≤ 9、 满足条件M }{1=}{1,2,3的集合M 的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 10、集合{}|2,P x x k k Z ==∈，{}|21,Q x x k k Z ==+∈， {}|41,R x x k k Z ==+∈，且,a P b Q ∈∈，则有 （ ） A a b P +∈ B a b Q +∈ C a b R +∈ D a b +不属于P 、Q 、R 中的任意一个 二、填空题 11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2 A t t x x B ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2+x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ，则a=__________ 13、设全集U={}22,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={} 5，则a = ，b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________. 15、已知集合A={x|20x x m ++=}, 若A ∩R=?，则实数m 的取值范围是 16、50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人. 三、解答题 17、已知集合A={x| x 2+2x-8=0}, B={x| x 2-5x+6=0}, C={x| x 2-mx+m 2-19=0}, 若B ∩C ≠Φ，A∩C=Φ，求m 的值 18、已知二次函数f (x )=2x ax b ++,A=}{}{ ()222x f x x ==,试求 f ()x 的解析式 高中数学经典题型50 道(另附详细答案) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高中数学习题库（50道题另附答案） 1.求下列函数的值域： 解法2 令t＝sin x，则f(t)＝－t2＋t＋1，∵ |sin x|≤1, ∴ |t|≤1.问题转化为求关于t的二次函数f(t)在闭区间[－1,1]上的最值． 本例题(2)解法2通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题，从而达到解决问题的目的，这就是转换的思想．善于从不同角度去观察问题，沟通数学各学科之间的内在联系，是实现转换的关键，转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉，由复杂化简单，一句话：由难化易．可见化归是转换的目的，而转换是实现化归段手段。 2. 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道 的焦点处，当此慧星离地球相距m 万千米和m 3 4万千米时，经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为32 π π和，求该慧星与 地球的最近距离。 解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点)0,(c F -处，椭圆 的方程为122 22=+b y a x （图见教材P132页例1）。 当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为3 π 时，由椭圆的几何 意义可知，彗星A 只能满足)3 (3/π π=∠=∠xFA xFA 或。作 m FA FB Ox AB 3 2 21B ==⊥，则于 故由椭圆第二定义可知得????? ??+-=-=)32(34)(2 2 m c c a a c m c c a a c m 两式相减得,2 3)4(21.2,3 2 31 c c c m c a m a c m =-==∴?=代入第一式得 .3 2.32m c c a m c ==-∴=∴ 答：彗星与地球的最近距离为m 3 2万千米。 说明：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个焦点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是c a -，另一个是.c a + （2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想。另外，数学应用问题的 1．{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 005，则序号n 等于( )． A ．667 B ．668 C ．669 D ．670 2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )． A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 3．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则( )． A ．a 1a 8＞a 4a 5 B ．a 1a 8＜a 4a 5 C ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5 D ．a 1a 8＝a 4a 5 4．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为 41的等差数列，则 ｜m －n ｜等于( )． A ．1 B ．43 C ．21 D ． 8 3 5．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ). A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 6．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( )． A ．4 005 B ．4 006 C ．4 007 D ．4 008 7．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列, 则a 2＝( )． A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ． －10 8．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若 35a a ＝95，则59S S ＝( )． A ．1 B ．－1 C ．2 D ．2 1 9．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则 212b a a -的值是( )． A ．21 B ．－21 C ．－21或21 D ．4 1 10．在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n －1－2n a ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，若S 2n －1＝38，则n ＝( )． A ．38 B ．20 C ．10 D ．9 二、填空题 11．设f (x )＝221 +x ，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋ f (5)＋f (6)的值为 . 12．已知等比数列{a n }中， (1)若a 3·a 4·a 5＝8，则a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝ ． (2)若a 1＋a 2＝324，a 3＋a 4＝36，则a 5＋a 6＝ ． (3)若S 4＝2，S 8＝6，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝ . 知识点复习 知识点梳理 （一）正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin ===（其中R 表示三角形的外接 圆半径） 适用情况：（1）已知两角和一边，求其他边或其他角； （2）已知两边和对角，求其他边或其他角。 变形：① 2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C = ②sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R = ③ sin sin sin a b c A B C ++++=2R ④::sin :sin :sin a b c A B C = （二）余弦定理：2 b =B a c c a cos 22 2-+（求边），cosB=ac b c a 22 22-+（求 角） 适用情况：（1）已知三边，求角；（2）已知两边和一角，求其他边或其他角。 （三）三角形的面积：① =?= a h a S 21；② ==A bc S sin 2 1 ； ③C B A R S sin sin sin 22=； ④R abc S 4=； ⑤))()((c p b p a p p S ---=；⑥pr S =（其中2 a b c p ++=，r 为内切圆半 径） （四）三角形内切圆的半径：2S r a b c ?=++，特别地，2a b c r +-=斜直 （五）△ABC 射影定理：A c C a b cos cos ?+?=，… （六）三角边角关系： （1）在ABC ?中，A B C ++=π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C - cos 2 A B += sin 2 C ； 2 cos 2sin C B A =+ （2）边关系：a + b > c ，b + c > a ，c + a > b ，a －b < c ，b －c < a ，c －a > b ； （3）大边对大角：B A b a >?> 考点剖析 （一）考查正弦定理与余弦定理的混合使用 例1、在△ABC 中，已知Ａ＞Ｂ＞Ｃ,且Ａ=2Ｃ, 8,4=+=c a b ,求c a 、的长. 例1、解：由正弦定理，得C c A a sin sin = ∵Ａ＝２Ｃ ∴ C c C a sin 2sin = ∴C c a cos 2= 又8=+c a ∴ c c cocC 28-= ① 由余弦定理，得 C C c C ab b a c 2 2 2 222cos 1616cos 4cos 2-+=-+= ② 入②，得 )舍(44或524516???==??? ????==a c a c ∴516524==c a ， 例2、如图所示，在等边三角形中，,AB a =O 为三角形的中心，过O 的直线交AB 于M ，交AC 于N ，求 22 11 OM ON + 的最大值和最小值． 例2、【解】由于O 为正三角形ABC 的中心，∴3 3 AO a = ， 6 MAO NAO π ∠=∠= ，设MOA α∠=，则23 3 π π α≤≤ ， 高中数学题库 1. 求下列函数的值域： 解法2 令t ＝sin x ，则f (t )＝－t 2 ＋t ＋1，∵ |sin x |≤1, ∴ |t |≤1.问题转化为求关于t 的二次函数f (t )在闭区间[－1,1]上的最值． 本例题(2)解法2通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题，从而达到解决问题的目的，这就是转换的思想．善于从不同角度去观察问题，沟通数学各学科之间的内在联系，是实现转换的关键，转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉，由复杂化简单，一句话：由难化易．可见化归是转换的目的，而转换是实现化归段手段。 2. 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此慧星离 地球相距m 万千米和 m 3 4 万千米时，经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为3 2 π π 和 ，求该慧星与地球的最近距离。 解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点)0,(c F -处，椭圆的方程为1 22 22=+b y a x （图见教材P132页例1）。 当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为 3 π 时，由椭圆的几何意义可知，彗星A 只能满足)3(3/ ππ=∠=∠xFA xFA 或。作m FA FB Ox AB 3 221B ==⊥，则于 故由椭圆第二定义可知得???????+-=-=)32(3 4)(2 2 m c c a a c m c c a a c m 两式相减得,2 3)4(21.2,323 1 c c c m c a m a c m =-==∴?= 代入第一式得 .3 2.32m c c a m c ==-∴=∴ 答：彗星与地球的最近距离为m 3 2 万千米。 说明：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个焦点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是c a -，另一个是.c a + （2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想。另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识地训练数学思维的品质。 3. A ，B ，C 是我方三个炮兵阵地，A 在B 正东6Km ，C 在B 正北偏西ο 30，相距4Km ， P 为敌炮阵地，某时刻A 处发现敌炮阵地的某种信号，由于B ，C 两地比A 距P 地远，因此4s 后，B ，C 才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1s Km /，A 若炮击P 地，求炮击的方位角。（图见优化设计教师用书P249例2） 解：如图，以直线BA 为x 轴，线段BA 的中垂线为y 轴建立坐标系，则 )32,5(),0,3(),0,3(--C A B ，因为PC PB =，所以点P 在线段BC 的垂直平分线上。 因为3-=BC k ，BC 中点)3,4(-D ，所以直线PD 的方程为)4(3 13+= -x y （1） 发散思维培训班测试题 高一数学 满分150分 姓名 张方婷 一、选择题（每题4分，共40分） 1、下列四组对象，能构成集合的是 D （A ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 （A ） A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1，2}?A ?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是 （ C ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （D ） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=- 的解集是 C ( A ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ，{}2|20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是 C （B ） A 4 B 3 C 2 D 1 7、点的集合M ＝｛(x,y)｜xy≥0｝是指 ( D ) A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集 C. 第一、第三象限内的点集 D. 不在第二、第四象限内的点集 8、设集合A=}{12x x <<，B=}{x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是 （A ） A }{2a a ≥ B }{1a a ≤ C }{1a a ≥ D }{2a a ≤ 9、 满足条件M }{1=}{ 1,2,3的集合M 的个数是 （ B ） A 1 B 2 C 3 D 4 10、集合{}|2,P x x k k Z ==∈，{}|21,Q x x k k Z ==+∈，{}|41,R x x k k Z ==+∈，且,a P b Q ∈∈，则有 （ B ） A a b P +∈ B a b Q +∈ C a b R +∈ D a b +不属于P 、Q 、R 中的任意一个 二、填空题 11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x x B ∈==，用列举法表示 B 4，9，16 12、集合A={x| x 2 +x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ，则a=__________ 13、设全集U={}22,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={} 5，则a = ，b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________. 15、已知集合A={x|2 0x x m ++=}, 若A ∩R=?，则实数m 的取值范围是 16、50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人. 三、解答题 17、已知集合A={x| x 2+2x-8=0}, B={x| x 2-5x+6=0}, C={x| x 2-mx+m 2-19=0}, 若B ∩C ≠Φ，A∩C=Φ，求m 的值 2005年下学期高一数学期末考试试题 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分） 1、 已知全集}0{, }2,1,0{==A C U U ，则集合A 的真子集共有 A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、7个 2、 集合}|{,}01 3 | {a x x N x x x M ≤=≤-+=，若B A 非空，则实数a 的取值范围是 A 、3a 且||1011a a >，n S 是其前n 项和，则 A 、1021,,,S S S 都小于零， ,,1211S S 都大于零； B 、1921,,,S S S 都小于零， ,,2120S S 都大于零； C 、521,,,S S S 都小于零， ,,76S S 都大于零； D 、2021,,,S S S 都大于零， ,,2221S S 都小于零。 二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分） 11、设函数?? ?+∞∈-∞∈=-) ,1(log ]1,(2)(81x x x x f x ，则满足41 )(=x f 的x 值为 。 12、已知不等式022 >++bx ax 的解集为}3 1 21|{<<- x x ，则022<++a bx x 的解集是 。 13、某工厂现有现金200万元，由于技术创新使得每年资金比上一年增加10%，经过n 年后该厂资金比现在至少 翻一番，则n 至少为 。（lg2=0.301, lg1.1=0.041） 14、已知定义域为R 的函数)(x f 在),0[+∞上是增函数，满足)()(x f x f =-且0)2 1 (=f ，则不等式 0)(log 4>x f 的解集为 。 15、设}{n a 是首项为1的正项数列，且0)1(12 21=+-+++n n n n a a na a n ),3,2,1( =n ，它的通项公式 是 。 三、解答题（本大题共6个小题，共80分） 16、（满分12分） 已知}0, |1|{><-=a a x x A ，}4|3|{>-=x x B 且φ=B A ，求实数a 的取值范围。 《集合》常考题型 题型一、集合元素的意义+互异性 例1.1.设集合{}{}2|22,|,12,A x x B y y x x A B =-≤==--≤≤=则｛0｝ 例1.2.已知A ＝{2，4，a 3－2a 2－a ＋7}，B ＝{1，a ＋3，a 2－2a ＋2，a 3＋a 2＋3a ＋7}，且A ∩B ＝{2，5}，则A ∪B =____________________________ 解：∵A∩B ＝{2，5}，∴5∈A. ∴a 3－2a 2－a ＋7＝5解得a ＝±1或a ＝2. ①若a ＝－1，则B ＝{1，2，5，4}，则A∩B ＝{2，4，5}，与已知矛盾，舍去． ②若a ＝1，则B ＝{1，4，1，12}不成立，舍去． ③若a ＝2，则B ＝{1，5，2，25}符合题意．则A ∪B ＝{1，2，4，5，25}． 题型二、空集的特殊性 例2.1.已知集合{}{}25,121A x x B x m x m =-<≤=-+≤≤-，且B A ， 则实数m 的取值范围为_____________ 例2.2.已知集合{}R x x ax x A ∈=++=，012，{}0≥=x x B ，且φ=B A ， 求实数a 的取值范围。 解：①当0a =时，{|10,}{1}A x x x R =+=∈=-，此时{|0}A x x ≥=Φ； ②当0a ≠时，{|0}A x x ≥=Φ，A ∴=Φ或关于x 的方程210ax x ++=的根均为负数. （1）当A =Φ时，关于x 的方程210ax x ++=无实数根， 140a ?=-<，所以14 a >. （2）当关于x 的方程210ax x ++=的根均为负数时， 12121401010a x x a x x a ???=-≥??+=-?? 140a a ?≤?????>?104a <≤. 综上所述，实数a 的取值范围为{0}a a ≥. 题型三、集和的运算 O S D C B A P 1. 如图，已知△ABC 是正三角形，EA 、CD 都垂直于平面ABC ，且EA=AB=2a,DC=a,F 是BE 的中点，求证： (1) FD ∥平面ABC; (2) AF ⊥平面EDB. 解；(1)取AB 的中点M,连FM,MC, ∵ F 、M 分别是BE 、BA 的中点 ∴ FM ∥EA, FM= EA ∵ EA 、CD 都垂直于平面ABC ∴ CD ∥EA ∴ CD ∥FM 又 DC=a, ∴ FM=DC ∴四边形FMCD 是平行四边形 ∴ FD ∥MC FD ∥平面ABC (2) 因M 是AB 的中点，△ABC 是正三角形，所以CM ⊥AB 又 CM ⊥AE,所以CM ⊥面EAB, CM ⊥AF, FD ⊥AF, 因F 是BE 的中点, EA=AB 所以AF ⊥EB. 2、已知四棱锥P-ABCD (如图所示)的底面为正方形，点A 是点P 在底面AC 上的射影，PA=AB=a ，S 是PC 上一个动点． １）求证：PC BD ⊥；（4分） ２）当SBD ?的面积取得最小值时,求平面SBD 与平面PCD 所成二面角的大小．（10分） S D B A P 1）证明：连接AC ． ∵点A 是点P 在底面AC 上的射影,(1分) ∴PA ⊥面AC.(2分) PC 在面AC 上的射影是AC. 正方形ABCD 中,BD ⊥AC,(3分) ∴BD ⊥PC.(4分) 2)解:连接OS. ∵BD ⊥AC,BD ⊥PC, 又AC 、PC 是面PAC 上的两相交直线, ∴BD ⊥面PAC. (6分) ∵OS ?面PAC, ∴BD ⊥OS.(7分) 正方形ABCD 的边长为a ， ，（8分） 集合 集合，本身就是一个强有力的数学工具，高中数学学习的集合，可以说，仅仅是集合世界里的沧海一粟，我们学习了集合的概念，子集交集并集等概念，一 些简单的集合运算与集合间的关系，但是高中考查集合的题目，基本上属于容 易题，但也不乏中难题。做集合的题目，一定要细心，要特别当心的，比如有 没有讨论空集啊，真子集和子集的区别啊，交集和并集有没有取错啊，等等。 基础知识 一、集合1、含义与表示：（1）集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性 （2）集合的分类；有限集，无限集 （3）集合的表示法：列举法，描述法，图示法 2、集合间的关系：子集：对任意x A ∈，都有 x B ∈，则称A 是B 的子集。记作A B ? 真子集：若A 是B 的子集，且在B 中至少存在一个元素不属于A ，则A 是B 的真子集， 记作A ≠ ?B 集合相等：若：,A B B A ??,则A B = 3. 元素与集合的关系：属于∈ 不属于：? 空集：φ 4、集合的运算：并集：由属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合叫并集，记为 A B U 交集：由集合A 和集合B 中的公共元素组成的集合叫交集，记为A B I 补集：在全集U 中，由所有不属于集合A 的元素组成的集合叫补集， 记为U C A 5．集合12{,,,}n a a a L 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个； 6.常用数集：自然数集：N 正整数集：*N 整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R 例题 【分析】A 中至多有一个元素，换句话说，方程至多有一个解，也就是说，要么，方程无解， 要么方程只有一个解。又因为二次项系数是a ，我们不能确定这个方程到底是一元一次方程 还是一元二次方程，所以就要对a 是否等于0进行分类讨论。 高中数学必修一经典例题及解析 对于即将升入高中的同学来说，高中数学是一个让人比较头疼的科目，下面是小编为大家整理的高中数学必修一经典例题及解析，希望能对大 家有所帮助。 ? ?高中数学必修一经典例题及解析 设f(x)是定义在[-1,1]上的的偶函数,f(x)与g(x)图像关于x=1对称,且当x ?[2,3]时g(x)=a(x-2)-2(x-2)3(a为常数)(1) 求f(x)的解析式分析：条件中有(1) 偶函数(2)对称轴为x=1(3)含有定义域的函数g(x)(4)参数a先分析以x=1为对 称轴∵x=1为对称轴∴f(x)=f(2-x)∵x [-1,1]∴-x [-1,1]∴2-x [1,3]已知的g(x)的 定义域为[2,3],故需对2-x进行分类讨论①2-x [2,3]时x [-1,0]f(x)=g(2-x)=-ax+2x32-x [1,2]时x [0,1] -x [-1,0]f(x)=f(-x)=ax-2x3 ?高中数学必修一经典例题及解析 求下列函数的增区间与减区间(1) y=|x2+2x-3|解(1)令f(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4.先作出f(x)的图像，保留其在x轴 及x轴上方部分，把它在x轴下方的图像翻到x轴就得到y=|x2+2x-3|的图像，如图2.3-1所示.由图像易得：递增区间是[-3，-1]，[1，+∞)递减区间是(-∞，-3]，[-1，1](2)分析：先去掉绝对值号，把函数式化简后再考虑求单调区间.解 当x-1≥0且x-1≠1时，得x≥1且x≠2，则函数y=-x.当x-1 已知二次函数 y=f(x)(x∈R)的图像是一条开口向下且对称轴为x=3的抛物线，试比较大小：(1)f(6)与f(4)解(1)∵y=f(x)的图像开口向下，且对称轴是x=3，∴x≥3时，f(x)为减函数，又6>;4>;3，∴f(6)时为减函数.解任取两个值x1、x2∈(-1，1)，且 x1当a>;0时，f(x)在(-1，1)上是减函数.当a<;0时，f(x)在(-1，1)上是增函数. 以上是小编整理的《高中数学必修一经典例题及解析》，了解更多关于高中数 1.下面四个结论：①偶函数的图象一定与y 轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x ∈R)，其中正确命题的个数是 2.A.1 B.2 C.3 D.4 2.判断下列各函数的奇偶性： （1）1()(1) 1x f x x x +=--；（2）2 2 lg(1)()|2|2 x f x x -= --； （3）2 2 (0)()(0) x x x f x x x x ?+?? 3.已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+， （1）求证：()f x 是奇函数；（2）若(3)f a -=，用a 表示(12)f 4.（1）已知()f x 是R 上的奇函数，且当(0,)x ∈+∞时，3 ()(1)f x x x =+， 则()f x 的解析式为？ （2） （《高考A 计划》考点3“智能训练第4题”）已知()f x 是偶函数，x R ∈，当0x >时，()f x 为增函数，若120,0x x <>，且12||||x x <，则 （ ） A 12()()f x f x ->- B 12()()f x f x -<- C 12()()f x f x ->- D 12()()f x f x -<- 5.设a 为实数，函数2 ()||1f x x x a =+-+，x R ∈ （1）讨论()f x 的奇偶性； （2）求 ()f x 的最小值 1.函数f(x)=x 2/(x 2+bx+1)是偶函数，则b= 2.已知函数f(x)=x 2+lg(x+ 12 +x ),若f(a)=M,则f(-a)等于 （ ） 高一数学经典例题深度解析 例1：设{} ,S x x m m n Z =|=+∈ (1).,a Z a S ∈设则是否是集合中的元素 (2).对S 中任意两个元素12,x x ，判断1212,x x x x +是否属于S . 解：(1)a 一定不是集合S 中的元素 (2). 例2：求证：函数221 ()f x x x =+在区间(0,)+∞上的最小值为2 解：任取(]1212,0,1,x x x x ∈< 则 ()f x ∴在(]0,1上是减函数 同理可证()f x 在()1,+∞上是增函数 故()f x 在()0,+∞上的最小值为(1)2f = 例3: 已知集合M 是同时满足下列两个性质的函数()f x 的全体: ①()f x 在其定义域上是单调函数； ②在()f x 的定义域内存在闭区间[,]a b ，使得()f x 在[,]a b 上的最小值是2 a ，且最大值是2 b . 请解答以下问题： ⑴判断函数3()g x x =-是否属于集合M 并说明理由. 若是，请找出满足②的闭区间[,]a b ； ⑵若函数()h x t M =∈，求实数t 的取值范围 解: （1）设则,21x x < 0x 43x 21x x -x x x x x x -x x x x g x g 212 1 21221212212323121>?? ????++=++=+-=-）（）（））（（）（）（∴）（）（21x g x g >, 故g （x)是R 上的减函数 假设函数g （x)M ∈， 则 2233a b b a =-= - ∴ 2222=-=b a 或 2 222-== b a 又a?≥f高一数学函数经典习题及答案
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