课程设计任务书
学生姓名： 专业班级： 自动化1002班 指导教师： 肖纯 工作单位： 自动化学院 题 目: 高阶系统的时域分析 初始条件：设单位系统的开环传递函数为
)
)(105()
()(2a s s s s b s K s G ++++=
要求完成的主要任务: （包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等
具体要求）
（1） 当K=10,a=1,b=5时用劳斯判据判断系统的稳定性。
（2） 如稳定，则求取系统的单位阶跃响应、单位斜坡响应和单位加速度响应，用
Matlab 绘制相应的曲线，并计算单位阶跃响应的动态性能指标和稳态性能指标，计算单位斜坡响应和单位加速度响应的稳态性能指标。
（3） 如不稳定，则计算系统稳定时K 、a 和b 的取值范围，在稳定范围内任取一值
重复第2个要求。
（4） 绘制稳定时系统的根轨迹（在稳定范围内任取a 、b 值）。分析K 变化对系统
性能的影响。
时间安排：
指导教师签名： 年 月 日
系主任（或责任教师）签名： 年 月 日
目录
1 高阶系统的数学模型 (1)
2 系统稳定性分析 (2)
3 高阶系统的时域分析 (5)
3.1 单位阶跃响应 (5)
3.1.1 单位阶跃响应 (5)
3.1.2 单位阶跃响应动态性能 (7)
3.1.3 单位阶跃响应稳态性能 (8)
3.2 单位斜坡响应 (9)
3.2.1 单位斜坡响应 (9)
3.2.2 单位斜坡响应稳态性能 (10)
3.3 单位加速度响应 (11)
3.3.1 单位加速度响应 (11)
3.3.2 单位加速度响应稳态性能 (12)
4 系统根轨迹 (13)
5 设计心得体会 (14)
参考文献 (14)
高阶系统的时域分析
1 高阶系统的数学模型
一个高阶系统的闭环传递函数的一般形式为：
10111
011()(),()m m m m
n n n n
b s b s b s b C s s m n R s a s a s a a ----++++Φ==≤++++ 对分子、分母进行因式分解，得到零极点形式：
11
()
()
()()
()
m
i i n
j
j K s z C s s R s s p ==-Φ=
=-∏∏ (1)
式(1)中，K=b 0/a 0；z i ,p j 分别为系统闭环零、极点。
本设计给定的单位反馈系统的开环传递函数为
)
a s )(10s 5s (s b)
s ()s (2++++=
K G P (2)
则其闭环传递函数为（假设为负反馈）：
)
3()10()510()5()
()())(105()()(2342Kb
s K a s a s a s b s K b s K a s s s s b s K s ++++++++=++++++=
φ
2 系统稳定性分析
任何系统在扰动作用下都会偏离原平衡状态，产生初始偏差。所谓稳定性， 是指系统在扰动消失之后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能。线性系统 的稳定性仅取决于系统自身的固有特性，而与外界条件无关。线性系统稳定的充 分必要条件是：闭环系统特征方程的所有根均具有负实部；或者说，闭环传递函 数的极点均位于 S 左半平面。
若求出闭环系统特征方程的所有根，就可判定系统的稳定性。但对于高阶系统来说，求特征方程根很困难，并且不易对参数进行分析。现使用一种不用求解特征根来判别系统稳定性的方法—劳斯稳定判据。
设系统的特征方程为10110()0,0n n n n D s a s a s a s a a --=++++=>，则可列出劳斯表
如表1所示。
表1 劳斯表
按照劳斯稳定判据，系统稳定的充分必要条件为：劳斯表中第一列各值均为正。否则系统不稳定，且第一列各系数符号改变次数即为特征方程正实部根的数目。
当K=10，a=1，b=5时，代入式(3)得到系统闭环传递函数
50
2015650
10)(2
34+++++=
s s s s s s φ
则系统的闭环特征方程为：D(s)=s 4+6s 3+15s 2+20s+50=0. 按劳斯判据可列出如下劳斯表：
由于劳斯表第一列数值符号有两次变化，故系统不稳定，且存在2个正实部根。用 MATLAB 求出全部特征根如下：
>> y=roots([1 6 15 20 50]) y =
-3.1534 + 1.7836i
-3.1534 - 1.7836i 0.1534 + 1.9458i 0.1534 - 1.9458i
现继续用劳斯稳定判据求原给定系统稳定时K ，a ，b 的取值范围。
原给定系统的闭环特征方程为：D(s)=s 4+(5+a)s 3+(10+5a)s 2+(10a+K)s+Kb=0，按劳斯判据可列出如下劳斯表：
根据劳斯稳定判据，令劳斯表中第一列各元素为正，即：
?
????
????>>+-+++-++-++>++-++>+0
0)10()510)(5()5()10)](10()510)(5[(0
5)10()510)(5(0
52
Kb K a a a a Kb K a K a a a a K a a a a (4) 即K 、a 和b 必须满足：
???????>>--+-++-++>-++>+002550)1015500()5250(500
50255052
232
Kb K Kb K a Kb K a Kb K a K a a a (5) 系统才稳定。
3 高阶系统的时域分析
取K=12，a=b=3时，此时系统由四阶变为三阶，系统开环传递函数为 )
10s 5s (s 12
)a s )(10s 5s (s b)s ()s (22++=++++=K G P (6)
系统闭环传递函数为
12
10512
)())(105()()(232+++=
++++++=
s s s b s K a s s s s b s K s φ (7) 经分析可知，此时 K 、a 、b 的值满足要求，系统稳定。
3.1 单位阶跃响应 3.1.1 单位阶跃响应
单位阶跃响指的是系统在单位阶跃信号 r(t)=1(t)作用下的响应。取其拉氏变换即 R(s)=1/s 。此时，系统输出为:
12
10512
1)())(105()(1)()()(232+++=++++++=
=s s s s b s K a s s s s b s K s s s R s C φ
对上式进行部分分式展开：
4
25714
.24286.035714.01)(2+++-
+-=
s s s s s s C 对部分分式进行拉普拉斯反变换，并设初始条件全部为零，得系统的单位阶跃响 应:
)7321.1sin(2371.1)7321.1cos(4286.05714.01)]([)(31t e t e e s C L t c t t t -------==(8)
对于一般的高阶系统来说，用这种方法来求取单位阶跃响应都比较麻烦，有时候甚至很难完成。但利用 MATLAB 软件则可以很方便的得到响应，并绘制出响应曲线。MATLAB 中tf2zp()函数能将传递函数模型转化为零极点模型，residue()函数可以直接求出传递函数部分分式展开，由这些结果可以直接写出系统的输出解析解。另外，利用step()函数还能准确绘制系统单位阶跃响应曲线。
式(7)所表示系统可以用下面的MATLAB语句求解系统单位阶跃响应。
>> num=[12 36];den=[1 8 25 42 36] %描述闭环系统传递函数的分子、分母多项式
sys=tf(num,den); %高阶系统建模
[z,p,k]=tf2zp(num,den); %对传递函数进行因式分解
zpk(z,p,k) %给出闭环传递函数的零极点形式
[r,p,k]=residue(num,[den,0]) %对C(s)部分分式展开
%在分母多项式后补零相当于乘以s step(sys) %绘制高阶系统的单位阶跃响应曲线
grid %添加栅格
title(‘单位阶跃响应’); %标注标题
xlabel(‘t’); ylabel(‘c(t)’); %标注横、纵坐标轴
绘制的单位阶跃响应曲线如图1所示。
图1 单位阶跃响应曲线
由(8)式单位阶跃响应时域表达式可知系统闭环稳定时，单位阶跃响应的指数项和阻尼正弦余弦项均趋近于零，稳态输出为常数项1，这与用MATLAB绘制的响应曲线相符。
1．有一位置随动系统，其结构图如下图所示，其中K = 4。求该系统的：1）自然 k 振荡角频率；2）系统的阻尼比；3）超调量和调节时间；4）如果要求 <0.707 ， 值。 应怎样改变系统参数 K k 2．已知受控对象的开环传递函数为
(1)单位反馈时，计算单位脉冲响应的输出。 (2)试采用速度反馈方法，使得系统的阻尼比ζ=05.，确定速度反馈系数τ的值，并计算性能改善后的动态性能。 解 (1)单位反馈时，闭环传递函数为 其单位脉冲响应为 响应曲线为等幅振荡的，所以该系统仅作单位反馈，不能实现调节作用。 (2)增加速度反馈如图所示。 闭环传递函数为 ζωτ=，所以 阻尼比ζ=05.，则有2 n τ=?= 20.50.95 此时，系统阶跃响应的超调量为 调节时间为 3．已知速度反馈控制系统如图所示，要求系统的超调量为20%，峰值时间为1秒，试计算相应的前向增益K与速度反馈系数K 的值。如果保持K值不变，Kf为零时，计算超调量增大值。
解上述系统的闭环传递函数为 比较二阶系统的标准式有 给定的性能指标为 上述指标与系统特征参数ζ和ωn的关系为： 解得 所以： 当K=125.，Kf=0时，也就是没有速度反馈时，闭环传递函数成为： 阻尼比：
超调量增大为： 4．对下图所示系统，试求K为何值时，阻尼比ζ=0.5。并求此时系统单位阶跃响应的最大超调量和调整时间。 解:系统开环传函为： 系统闭环传函为： 最大超调量： 调整时间
5． 系统结构如图，欲使超调量бp =0. 2, 过渡过程时间t s =1秒(Δ=0.02)， 试确定K 和τ的值。 答案： ()2222(2)2n n n K s s K s K s ωτζωωΦ==+++++ 0.456ζ= 8.77 n ω= 277n K ω== 0.078τ= 6. 题图所示机械系统，当受到 F =40N 力的作用时，位移量xt ()的阶跃响应如图所示，试确定机械系统的参数m ，k, f 的值。 解: 图示机械系统的传递函数为 由图所示稳态值()1c ∞=,由终值定理 得到 K=40N/m 由超调量： 峰值时间：
1．已知一单位负反馈系统的单位阶跃响应曲线如下图所示，求系统的闭环传递函数。 解答： ①max ()100100()X X %%e %X δ-∞=?=?∞ 由 2.1820.090.6082e ξ-==?= ②0.8 4.946m n t ω==?= ③2222224.4648.9222 6.01424.46 6.01424.46 n B n n W K s s s s s s ωωω=?=?=++++++ 2．已知系统如下图所示，求系统的单位阶跃响应，并判断系统的稳定性。 解答： ()() ()210 1101061010.511B s s W s s s s s +==+++++ 3.16n ω==， 260.95n ξωξ=?
( )()1sin n t c X t ξωωθ-= ，arctg θ= ()31 3.2sin 0.98718.19t e t -=-+? （5分） 系统根为 1,2632P j -= =-±，在左半平面，所以系统稳定。 3．一阶系统的结构如下图所示。试求该系统单位阶跃响应的调节时间t s ；如果要求t s (5%)≤ 0.1(秒)，试问系统的反馈系数应取何值？ （1）首先由系统结构图写出闭环传递函数 得 T =0.1（s ） 因此得调节时间 t s =3T =0.3(s)，（取5%误差带） （2）求满足t s (5%) ≤0.1（s ）的反馈系数值。 假设反馈系数K t (K t >0) ，那么同样可由结构图写出闭环传递函数 由闭环传递函数可得 T = 0.01/K t 100()10()100()0.1110.1c B r X s s W s X s s s ===++?1001/()1000.0111t B t t K s W s K s s K ==+?+
第3章 线性系统的时域分析 学习要点 1控制系统时域响应的基本概念，典型输入信号及意义； 2控制系统稳定性的概念、代数稳定判据及应用； 3控制系统的时域指标，一阶二阶系统的阶跃响应特性与时域指标计算； 4高阶系统时域分析中主导极点和主导极点法； 5 控制系统稳态误差概念、计算方法与误差系数，减小稳态误差的方法。 思考与习题祥解 题 思考与总结下述问题。 （1）画出二阶系统特征根在复平面上分布的几种情况，归纳ξ值对二阶系统特征根的影响规律。 【 （2）总结ξ和n ω对二阶系统阶跃响应特性的影响规律。 （3）总结增加一个零点对二阶系统阶跃响应特性的影响规律。 （4）分析增加一个极点可能对二阶系统阶跃响应特性有何影响 （5）系统误差与哪些因素有关试归纳减小或消除系统稳态误差的措施与方法。 （6）为减小或消除系统扰动误差，可采取在系统开环传递函数中增加积分环节的措施。请问，该积分环节应在系统结构图中如何配置，抗扰效果是否与扰动点相关 答：（1）二阶系统特征根在复平面上分布情况如图所示。 图 二阶系统特征根在复平面上的分布 当0ξ=，二阶系统特征根是一对共轭纯虚根，如图中情况①。 当01ξ<<，二阶系统特征根是一对具有负实部的共轭复数根，变化轨迹是 以n ω为半径的圆弧，如图中情况②。 @ 当1ξ=，二阶系统特征根是一对相同的负实根，如图中情况③。 当1ξ>，二阶系统特征根是一对不等的负实根，如图中情况④。
（2）ξ和n ω是二阶系统的两个特征参量。 ξ是系统阻尼比，描述了系统的平稳性。 当0ξ=，二阶系统特征根是一对共轭纯虚根，二阶系统阶跃响应为等幅振荡特性，系统临界稳定。 当01ξ<<，二阶系统特征根是一对具有负实部的共轭复数根，二阶系统阶跃响应为衰减振荡特性，系统稳定。ξ越小，二阶系统振荡性越强，平稳性越差； ξ越大，二阶系统振荡性越弱，平稳性越好。因此，二阶系统的时域性能指标超 调量由ξ值唯一确定，即001_ 100%2 ?=-π ξξ σe 。在工程设计中，对于恒值控制系 统，一般取 ξ＝～；对于随动控制系统ξ＝～。 n ω是系统无阻尼自然振荡频率，反映系统的快速性。当ξ一定，二阶系统的 时域性能指标调节时间与n ω值成反比，即34 s n t ξω≈。 （3）二阶系统增加一个零点后，增加了系统的振荡性，将使系统阶跃响应的超调量增大，上升时间和峰值时间减小。 所增加的零点越靠近虚轴，则上述影响就越大；反之，若零点距离虚轴越远，则其影响越小。 （4）二阶系统增加一个极点后，减弱了系统的振荡性，将使系统阶跃响应的超调量减小，上升时间和峰值时间减小； 所增加的极点越靠近虚轴，则上述影响就越大；反之，若极点距离虚轴越远，则其影响越小。 & （5）系统误差与系统的误差度（开环传递函数所含纯积分环节的个数或系统型别）、开环放大系数，以及作用于系统的外部输入信号有关。如果是扰动误差还与扰动作用点有关。 因此，减小或消除系统稳态误差的措施与方法有：增大开环放大系数，增加系统开环传递函数中的积分环节，引入按给定或按扰动补偿的复合控制结构。 无论采用何种措施与方法减小或消除系统稳态误差，都要注意系统须满足稳定的条件。 （6）采取在系统开环传递函数中增加积分环节的措施来减小或消除系统扰动误差时，所增加的积分环节须加在扰动作用点之前。若所增加的积分环节加在扰动作用点之后，则该积分环节无改善抗扰效果作用。这一点可以通过误差表达式分析得到。 题系统特征方程如下，试判断其稳定性。 （a ）0203.002.023=+++s s s ； （b ）014844122345=+++++s s s s s ； （c ）025266.225.11.0234=++++s s s s ！ 解：（a ）稳定； （b ）稳定； （c ）不稳定。
题 目: 高阶系统的时域分析 初始条件：设单位系统的开环传递函数为 ) )(105() ()(2 a s s s s b s K s G ++++= 要求完成的主要任务: （包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要 求） （1） 当K=10,a=1,b=5时用劳斯判据判断系统的稳定性。 （2） 如稳定，则求取系统的单位阶跃响应、单位斜坡响应和单位加速度响应，用 Matlab 绘制相应的曲线，并计算单位阶跃响应的动态性能指标和稳态性能指标，计算单位斜坡响应和单位加速度响应的稳态性能指标。 （3） 如不稳定，则计算系统稳定时K 、a 和b 的取值范围，在稳定范围内任取一值 重复第2个要求。 （4） 绘制稳定时系统的根轨迹（在稳定范围内任取a 、b 值）。分析K 变化对系统 性能的影响。 时间安排：
指导教师签名：年月日系主任（或责任教师）签名：年月日
目录 摘要........................................................... I 1系统稳定性分析.. (1) 2不同输入信号的时域响应曲线 (2) 2.1系统单位阶跃响应曲线 (2) 2.2系统单位斜坡函数响应曲线 (3) 2.3系统单位加速度响应曲线 (4) 3动态性能指标与稳态性能指标 (6) 3.1动态性能指标计算 (6) 3.1.1采用主导极点分析 (6) 3.1.2应用MATLAB软件进行分析 (6) 3.2稳态性能指标 (8) 4根轨迹图绘制 (9) 4.1根轨迹数据计算 (9) 4.2用MATLAB软件绘制根轨迹 (10) 5体会与总结.................................. 错误！未定义书签。 5.1总结 ........................................... 错误！未定义书签。 5.2体会 ........................................... 错误！未定义书签。本科生课程设计成绩评定表.. (13)
专业：电气工程及其自动化 学号：07050443 05 姓名： 实验一 二阶系统时域分析 一、 实验目的 1. 研究二阶系统的两个重要参数ξ、n ω与系统结构之间的关系。 2. 观察系统在阶跃输入作用下的响应，运用基本理论，分析系统过度过程特点及各种参数对其学习过程的影响，从而找出改善系统动态性能的方法，并在实验中加以验证。 3. 学习二阶系统阶跃响应的测试方法。 4. 掌握开环传递函数与闭环传递函数之间的对应关系，以及ξ、n ω与传递函数系数之间的关系。 二、 实验内容 选择适当的元器件建立单位负反馈二阶系统。 开环传递函数由积分环节和惯性环节构成：()() 1S T S T K S G 21+= 令T T T 21==。 1. 设1T = 改变K 值，使阻尼比ξ，分别为0、0.5、0.7、1、1.5；观察并记录在单位阶跃信号作用下，不同阻尼比时，系统输出响应曲线，并测量系统的超调量σ%、上升时间r t 、峰值时间p t 、调节时间s t 。 （1）当阻尼比ξ无限大时： （2）当阻尼比ξ=0.5时：
（3）当阻尼比ξ=0.7时： （4）当阻尼比ξ=1时： （5）当阻尼比ξ=1.5时：
2. 设定K 值 使ξ=0.707，改变时间常数T ，观察并记录在单位阶跃信号作用下，系统输出曲线，并测量系统的超调量σ%、上升时间r t 、峰值时间p t 、调节时间s t 。并与（1）的结果加以比较。 （1） 当T=0.1时： （2） 当T=1时：
（3） 当T=1.5时： 3. 改变时间常数 使1T 不等于2T ，观察并记录输出波形的变化情况。 （1） 当1T 1=，2T 2=时： （2） 当2T 1=，1T 2=时：
课程设计任务书 学生姓名： 专业班级： 自动化1002班 指导教师： 肖纯 工作单位： 自动化学院 题 目: 高阶系统的时域分析 初始条件：设单位系统的开环传递函数为 ) )(105() ()(2a s s s s b s K s G ++++= 要求完成的主要任务: （包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等 具体要求） （1） 当K=10,a=1,b=5时用劳斯判据判断系统的稳定性。 （2） 如稳定，则求取系统的单位阶跃响应、单位斜坡响应和单位加速度响应，用 Matlab 绘制相应的曲线，并计算单位阶跃响应的动态性能指标和稳态性能指标，计算单位斜坡响应和单位加速度响应的稳态性能指标。 （3） 如不稳定，则计算系统稳定时K 、a 和b 的取值范围，在稳定范围内任取一值 重复第2个要求。 （4） 绘制稳定时系统的根轨迹（在稳定范围内任取a 、b 值）。分析K 变化对系统 性能的影响。 时间安排： 指导教师签名： 年 月 日 系主任（或责任教师）签名： 年 月 日
目录 1 高阶系统的数学模型 (1) 2 系统稳定性分析 (2) 3 高阶系统的时域分析 (5) 3.1 单位阶跃响应 (5) 3.1.1 单位阶跃响应 (5) 3.1.2 单位阶跃响应动态性能 (7) 3.1.3 单位阶跃响应稳态性能 (8) 3.2 单位斜坡响应 (9) 3.2.1 单位斜坡响应 (9) 3.2.2 单位斜坡响应稳态性能 (10) 3.3 单位加速度响应 (11) 3.3.1 单位加速度响应 (11) 3.3.2 单位加速度响应稳态性能 (12) 4 系统根轨迹 (13) 5 设计心得体会 (14) 参考文献 (14)
实验三 二阶系统的时域分析 一、实验目的 １、通过考察系统的过渡过程指标，研究二阶系统的特征参数—阻尼比和自然频率对系统特性的影响，以及系统特征根的位置与过渡过程的关系。 ２、学习自己设计实验，安排适当的实验参数，达到以上实验目标。 二、实验内容 根据传递函数2 22 2)(n n n s s s G ωζωω++=的单位阶跃响应，求取过渡过程的质量指标。按表1的形式整理实验数据，分析实验结果，完成实验报告。 此时，系统的特征根为j j s n n βαζωζω±=-±-=2 2,11。 1、令ζ＝0.5，取三种不同的n ω，观察根在根平面上的位置，求其过渡过程和它的质量指
标，进行比较。说明当ζ相同时，过渡过程的哪些指标是相同的？ 00.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 ωn 改变，ζ=0.5不变 Tim e (sec) A m p l i t u d e
2、固定n ω，取ζ＝０、0. 3、 0.5、0.7、1，观察根在根平面上的位置，求其过渡过程和它的质量指标。总结当ζ不同时，质量指标有哪些变化？ 24681012141618 00.20.40.60.811.2 1.41.61.82 Time (sec) A m p l i t u d e
通过上面两图形与表格总结可以得出： n ω影响二阶系统过渡过程中的峰值时间，过渡时间（在ζ不变的情况下，峰值时间随n ω增 大而减小，过渡时间随n ω的增大而减小） ζ影响几乎全部过渡过程指标，其中超调量，衰减比仅与ζ有关（超调量随着ζ的增大而 减小，衰减比随着ζ的增大而增大；在n ω不变的情况下，峰值时间随ζ增大而增大，过渡时间随ζ的增大而减小。） n ω，ζ对系统的稳态误差均没有影响，且均为0.
林美花（1班）学号：200900192029 二、1：. 在过阻尼情况下，典型二阶系统有两个相异的实数极点，其阶跃响应实际上是两个一阶系统响应的叠加。请以例【3－1】中的系统为例（ωn＝5），不断增大ζ值，观察每个ζ值下两个实数极点间的距离；同时绘出两个实数极点分别对应的一阶系统响应和二阶系统的响应，观察它们间的关系。你能得出什么结论？为什么？ 解：（1）根据理论推算两实数极点之间的距离为2*ωn*（ζ2-1）0.5 ，所以增大ζ值，两个实数极点间的距离随之增大。 （2）源程序如下： clc; clear; wn=5; num=wn^2; zeta=[1.1:0.1:2.0]; for i=1:10 figure(i) hold on s1=-zeta(i)*wn+wn*(zeta(i)^2-1)^0.5; s2=-zeta(i)*wn-wn*(zeta(i)^2-1)^0.5; num1=wn^2/(s1-s2); num2=-wn^2/(s1-s2); den=[1,2*zeta(i)*wn,wn^2];
step(num,den) den=[1,-s1]; step(num1,den) den=[1,-s2]; step(num2,den) hold off end title('stepresponse')
结论：在过阻尼的状态下，由图像可知其阶跃响应实际上是两个一阶系统响应的叠加。随着ζ的不断增加，一个极点不断靠近原点，另一个不断远
离。当两个极点相距较近时，对阶跃响应产生的影响都不能忽略。ζ的增大使不断远离原点的极点所产生的影响越来越小，最后趋近于零。当两个极点的绝对值之比达到某一倍数（五倍）以上时，则可以忽略离虚轴较远的极点的影响，将二阶系统近似为一阶系统来考虑。同理，在考虑高阶问题时可以找到主导极点，可以降阶处理，化简运算。 二、2：请绘制出图3-21。根据典型二阶系统的脉冲响应，可以分析出系统的哪些暂态性能指标，为什么？ 解： clc; clear; wn=5; num=wn^2; zeta=[0.1:0.2:0.7,1.0]; figure(1) hold on for i=1:5 den=[1,2*zeta(i)*wn,wn^2]; impulse(num,den) end hold off title('stepresponse')
课程设计任务书 学生姓名： 专业班级： 指导教师： 肖 纯 工作单位： 自动化学院 题 目: 高阶系统的时域分析 初始条件：设单位系统的开环传递函数为2 () ()(48)() p K s b G s s s s s a +=+++ 要求完成的主要任务: （包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求） （1） 当K=10，a=1，b=4时用劳斯判据判断系统的稳定性。 （2） 如稳定，则求取系统的单位阶跃响应、单位斜坡响应和单位加速度响应，用 Matlab 绘制相应的曲线，并计算单位阶跃响应的动态性能指标和稳态性能指标，计算单位斜坡响应和单位加速度响应的稳态性能指标。 （3） 如不稳定，则计算系统稳定时K 、a 和b 的取值范围，在稳定范围内任取一值 重复第2个要求。 （4） 绘制a=1，b=4时系统的根轨迹。 时间安排： 指导教师签名： 年 月 日 系主任（或责任教师）签名： 年 月 日
目录 1 高阶系统的数学模型 (1) 2 系统稳定性分析 (1) 3 高阶系统的时域分析 (3) 3.1 单位阶跃响应 (4) 3.1.1 求单位阶跃响应 (4) 3.1.2 单位阶跃响应动态性能 (7) 3.1.3 单位阶跃响应稳态性能 (9) 3.2 单位斜坡响应 (10) 3.2.1 求单位斜坡响应 (10) 3.2.2 单位斜坡响应稳态性能 (11) 3.3 单位加速度响应 (11) 3.3.1 求单位加速度响应 (11) 3.3.2 单位加速度响应稳态性能 (13) 4 系统根轨迹 (13) 5 设计心得体会 (15) 参考文献 (15)
高阶系统的时域分析 1 高阶系统的数学模型 一个高阶系统的闭环传递函数的一般形式为： 10111011()(),()m m m m n n n n b s b s b s b C s s m n R s a s a s a a ----++++Φ==≤++++ 对分子、分母进行因式分解，得到零极点形式： 11 () () ()() () m i i n j j K s z C s s R s s p ==-Φ= =-∏∏ (1) 式(1)中，K=b 0/a 0；z i ,p j 分别为系统闭环零、极点。 本设计给定的单位反馈系统的开环传递函数为 2 () ()(48)()p K s b G s s s s s a +=+++ (2) 则其闭环传递函数为（假设为负反馈）： 2432()() ()(48)()()(4)(84)(8)K s b K s b s s s s s a K s b s a s a s a K s Kb ++Φ==++++++++++++ (3) 2 系统稳定性分析 线性系统稳定的充分必要条件为：闭环系统特征方程的所有根均具有负实部；或者说，闭环传递函数的极点均位于s 左半平面。 若求出闭环系统特征方程的所有根，就可判定系统的稳定性。但对于高阶系统来说，求特征方程根很困难，并且不易对参数进行分析。现使用一种不用求解特征根来判别系统稳定性的方法—劳斯稳定判据。 设系统的特征方程为10110()0,0n n n n D s a s a s a s a a --=++++=>，则可列出劳斯表如 表1所示。
第3章 线性系统的时域分析 学习要点 1控制系统时域响应的基本概念，典型输入信号及意义； 2控制系统稳定性的概念、代数稳定判据及应用； 3控制系统的时域指标，一阶二阶系统的阶跃响应特性与时域指标计算； 4高阶系统时域分析中主导极点和主导极点法； 5 控制系统稳态误差概念、计算方法与误差系数，减小稳态误差的方法。 思考与习题祥解 题 思考与总结下述问题。 （1）画出二阶系统特征根在复平面上分布的几种情况，归纳ξ值对二阶系统特征根的影响规律。 （2）总结ξ和n ω对二阶系统阶跃响应特性的影响规律。 （3）总结增加一个零点对二阶系统阶跃响应特性的影响规律。 （4）分析增加一个极点可能对二阶系统阶跃响应特性有何影响 （5）系统误差与哪些因素有关试归纳减小或消除系统稳态误差的措施与方法。 （6）为减小或消除系统扰动误差，可采取在系统开环传递函数中增加积分环节的措施。请问，该积分环节应在系统结构图中如何配置，抗扰效果是否与扰动点相关 答：（1）二阶系统特征根在复平面上分布情况如图所示。 图 二阶系统特征根在复平面上的分布 当0ξ=，二阶系统特征根是一对共轭纯虚根，如图中情况①。 当01ξ<<，二阶系统特征根是一对具有负实部的共轭复数根，变化轨迹是 以n ω为半径的圆弧，如图中情况②。 当1ξ=，二阶系统特征根是一对相同的负实根，如图中情况③。 当1ξ>，二阶系统特征根是一对不等的负实根，如图中情况④。
（2）ξ和n ω是二阶系统的两个特征参量。 ξ是系统阻尼比，描述了系统的平稳性。 当0ξ=，二阶系统特征根是一对共轭纯虚根，二阶系统阶跃响应为等幅振荡特性，系统临界稳定。 当01ξ<<，二阶系统特征根是一对具有负实部的共轭复数根，二阶系统阶跃响应为衰减振荡特性，系统稳定。ξ越小，二阶系统振荡性越强，平稳性越差； ξ越大，二阶系统振荡性越弱，平稳性越好。因此，二阶系统的时域性能指标超 调量由ξ值唯一确定，即001_ 100%2 ?=-π ξξ σe 。在工程设计中，对于恒值控制系 统，一般取 ξ＝～；对于随动控制系统ξ＝～。 n ω是系统无阻尼自然振荡频率，反映系统的快速性。当ξ一定，二阶系统的 时域性能指标调节时间与n ω值成反比，即34 s n t ξω≈:。 （3）二阶系统增加一个零点后，增加了系统的振荡性，将使系统阶跃响应的超调量增大，上升时间和峰值时间减小。 所增加的零点越靠近虚轴，则上述影响就越大；反之，若零点距离虚轴越远，则其影响越小。 （4）二阶系统增加一个极点后，减弱了系统的振荡性，将使系统阶跃响应的超调量减小，上升时间和峰值时间减小； 所增加的极点越靠近虚轴，则上述影响就越大；反之，若极点距离虚轴越远，则其影响越小。 （5）系统误差与系统的误差度（开环传递函数所含纯积分环节的个数或系统型别）、开环放大系数，以及作用于系统的外部输入信号有关。如果是扰动误差还与扰动作用点有关。 因此，减小或消除系统稳态误差的措施与方法有：增大开环放大系数，增加系统开环传递函数中的积分环节，引入按给定或按扰动补偿的复合控制结构。 无论采用何种措施与方法减小或消除系统稳态误差，都要注意系统须满足稳定的条件。 （6）采取在系统开环传递函数中增加积分环节的措施来减小或消除系统扰动误差时，所增加的积分环节须加在扰动作用点之前。若所增加的积分环节加在扰动作用点之后，则该积分环节无改善抗扰效果作用。这一点可以通过误差表达式分析得到。 题系统特征方程如下，试判断其稳定性。 （a ）0203.002.023=+++s s s ； （b ）014844122345=+++++s s s s s ； （c ）025266.225.11.0234=++++s s s s 解：（a ）稳定； （b ）稳定； （c ）不稳定。 题 系统结构如题图所示。控制器)1 1()(s T K s G i p c + =，为使该系统稳定，控制器参数p K 、i T 应满足什么关系
自动控制原理
第三章线性系统时域分析法 ?3-1 系统时间响应的性能指标?3-2 一阶系统的时域分析 ?3-3 二阶系统的时域分析 ?3-4 高阶系统的时域分析 ?3-5 线性系统的稳定性分析?3-6 线性系统的稳态误差设计
3-2 一阶系统的时域分析 ?1. 一阶系统的数学模型 ?2. 一阶系统的单位阶跃响应 ?3. 一阶系统的单位脉冲响应 ?4. 一阶系统的单位斜坡响应 ?5. 一阶系统的单位加速度响应 (1)、通过对一阶系统的分析，掌握如何应用时域指标的概念来计算上述五个动态指标。 (2)、通过一阶系统在三个典型信号（阶跃、斜坡、加速度）的响应，引出系统对信号的跟踪概念（稳态误差）重点分析阶跃、斜坡信号作用于一阶系统时的响应、误差表达式、稳态误差。
1、一阶系统的数学模型 i(t)R C r(t) c(t) )()()(0)0() ()()()()(t r t c dt t dc T c dt t dc C t i t r t c t Ri =+∴===+ 列方程：图3-2 一阶控制系统 如RC 电路C(t)为输出电压，r(t)为输入电压，C(0)=0 一阶系统：以一阶微分方程作为运动方程的控制系统。 其中，T ＝RC 为时间常数；取拉氏变换 ) ()()(s R s C s TsC =+(3-2)
) (1 )()()()()()(:s I Cs s C s CsC s I R s C s R s I ==-= 或画方框图则一阶系统的传递函数为： ) ()()(s R s C s TsC =+1 1 )()()(+= =ΦTs s R s C s (3-3) R 1Cs 1R(s) C(s) I(s) - i(t)R C r(t) c(t) (a) (b)
第三章线性系统的时域分析法 一、教学目的与要求： 对本章的讲授任务很重，要使学生通过本章的学习建立起分析系统特性的概念及方法，围绕控制系统要解决的三大问题，怎样从动态性能、稳态性能及稳定性三方面衡量控制系统，要求学生掌握一阶、二阶系统的典型输入信号响应，参数变化对系统性能的影响，尤其是二阶系统参数与特征根的关系，系统稳定性的概念与判据方法，精度问题，即稳态误差的分析与求法。 二、授课主要内容： 本章着重讨论标准二阶系统的阶跃响应，明确系统的特征参数与性能指标的关系。通过对系统阶跃响应的分析，明确系统稳定的充要条件，掌握时域判稳方法。 1．系统时间响应的性能指标 1）典型输入信号 2）动态过程与稳态过程 3）动态性能与稳态性能 2．一阶系统的时域分析 3．二阶系统的时域分析 1）二阶系统数学模型的标准形式 2）二阶系统的瞬态响应和稳态响应 3）系统参数与特征根及瞬态响应的关系 4．高阶系统的时域分析 1）高阶系统的单位阶跃响应
2）闭环主导极点 5．性系统的稳定性分析 1）系统稳定的充分必要条件 2）劳斯—赫尔维茨稳定判据 6．线性系统的稳态误差计算 1）误差与稳态误差 2）系统类型与静态误差系数 （详细内容见讲稿） 三、重点、难点及对学生的要求（掌握、熟悉、了解、自学） 重点：二阶系统的特点，劳斯稳定判据，稳态误差。 难点：二阶系统阶跃响应与特征根及参数ζ和ωｎ的关系。 要求： 1.掌握一阶系统对典型试验信号的输出响应的推导，理解系统参数T和K的物 理意义。 2.重点掌握不同二阶系统阶跃响应的特点，及阶跃响应与特征根在根平面位置 之间的关系；理解系统参数ζ和ωｎ的物理意义。 3.掌握控制系统阶跃响应性能指标的含义，以及计算二阶欠阻尼系统性能指标 的方法。 4.掌握劳斯稳定判据判别系统稳定性的方法。 5.理解系统稳态误差与系统的“型”及输入信号的形式之间的关系。 6.理解高阶系统主导极点的概念，以及高阶系统可以低阶近似的原理。 7.了解根据系统的阶跃和脉冲响应曲线获得系统数学模型的方法。
第三章 线性系统的时域分析法 分析控制系统的第一步是建立模型，数学模型一旦建立，就可求出已知输入信号作用下系统的输出响应。第二步分析控制性能，即对系统做定性的分析和定量的计算。分析有多种方法，主要有时域分析法，频域分析法，根轨迹法等。 第一节 控制系统的性能指标 一、典型输入信号 1.阶跃信号 数学表达式： 拉氏变换： 当R 0=1，称为单位阶跃信号，记为)(t ε。 2.斜坡信号 数学表达式： 拉氏变换： 当v 0=1，称为单位斜坡信号。 3.抛物线（等加速度）信号 数学表达式： 拉氏变换： 当a 0=1，称为单位抛物线函数。 4.脉冲信号 数学表达式： 拉氏变换： 当a 0=1，称为单位抛物线函数。 5.正弦信号 数学表达式： 拉氏变换： 二、系统性能指标： 控制系统的性能指标分为动态性能指标和稳态性能指标。动态性能指标又分为跟随性能指标和扰动性能指标。一般讨论的是跟随性能指标，即在给定信号作用下，有系统输出导出的性能指标。常用的性能指标： 1. 上升时间t r ：响应曲线从零开始，第一次上升到稳态值所需的时间。上升时间越短，???≥<=000)(0t R t t r ，，为常数。，00)(R s R s R =为常量。，020)(v s v s R =???≥<=000)(0t t v t t r ，，为常量。，030)(a s a s R =?????≥<=02100)(20t t a t t r ，，为常量。，030)(a s a s R =数。，称为单位理想脉冲函。若令脉宽时，记为，当，，，0)(10/00)(→=???≤≤><=εδεεεt H t H t t t r 22)(ωω+=s A s R ???≥<=0sin 00)(t t A t t r ，，ω
目录 摘要.................................................................................................................................................. I 1 稳定性分析 (1) 1.1劳斯判据原理 (1) 1.2稳定性的判断 (2) 1.3 由劳斯判据求取a, b, K范围 (2) 2系统时域分析 (4) 2.1系统单位阶跃响应 (4) 2.1.1 单位阶跃响应曲线 (4) 2.1.2 单位阶跃响应性能指标 (5) 2.2系统单位斜坡响应 (6) 2.2.1 单位斜坡响应曲线 (6) 2.2.2单位斜坡响应性能指标 (7) 2.3系统单位加速度响应 (8) 2.3.1 单位加速度响应曲线 (8) 2.3.2 单位加速度响应性能指标 (9) 3.绘制根轨迹 (10) 4.小结与体会 (11) 参考文献 (12) 本科生课程设计成绩评定表 (13)
高阶系统的时域分析 1 稳定性分析 1.1劳斯判据原理 假若劳斯阵列表中第一列系数均为正数，则该系统是稳定的，即特征方程所有的根均位于根平面的左半平面。假若第一列系数有负数，则第一列系数符号的改变次数等于在右半平面上根的个数。 劳斯阵列表列取如下： n s 00 0a a = 202 a a = 404a a = …… 1-n s 110a a = 312a a = 514a a = …… 2-n s 10001/αa a = 1210220α a a a -= 1410422α a a a -= 1610624α a a a -= …… 3-n s 210102/αa a = 2221230α a a a -= 2421432α a a a -= 2621634α a a a -= …… 4-n s 30 203/αa a = 3232240α a a a -= 3432442α a a a -= 3632644α a a a -= …… …… …… 通项: i j i j i j a a a i 112α -=-+- 1n 2,1-?=i ；?=642 j ，， 判断：若表中若第一列的数（即 i 0a 1n 2,1-?=i ）均大于零，这时系统稳定。否则系统不稳定。第一列变换符号的次数表明了系统在右半平面极点的个数。