八年级数学直角三角形

八年级数学直角三角形知识点

八年级数学直角三角形 知识点 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

八年级数学《直角三角形》知识点 一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° 可表示如下： ?BC= 21AB ∠C=90° 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90° 可表示如下： ?CD= 2 1AB=BD=AD D 为AB 的中点 4、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 5、射影定理(了解) 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在 斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜 边上的射影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° BD AD CD ?=2 CD ⊥AB 6、常用关系式 由三角形面积公式可得： AB ?CD=AC ?BC

二、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c ，有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 三、解直角三角形 1、解直角三角形的概念 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 2、解直角三角形的理论依据 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c （1）三边之间的关系：222c b a =+（勾股定理） （2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90° （3）边角之间的关系： 练习： 一、选择题 1. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm ，另一直角边长为6 cm ，则它的斜边长为（ ） A 、4 cm B 、8 cm C 、10 cm D 、12 cm 2. 已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A 、25 B 、14 C 、7 D 、7或25 3. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( ) A 、13 B 、8 C 、25 D 、64 4. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( ) A 、 钝角三角形 B 、 锐角三角形 C 、 直角三角形 D 、等腰三角形. 5、等腰三角形腰长为13，底边长为10，则它底边上的高为 （ ）

北京版八年级数学上册《直角三角形》教案

《直角三角形》教案 教学目标 1、掌握“直角三角形的两个锐角互余”定理． 2、使学生理解判定两个直角三角形全等可用已经学过的全等三角形判定方法来判定． 3、使学生掌握“斜边、直角边”公理，并能熟练地利用这个公理和一般三角形全等的判定方法来判定两个直角三角形全等． 教学重难点 教学重点：“斜边、直角边”公理的掌握． 教学难点：“斜边、直角边”公理的灵活运用． 教学过程 一、复习提问 1、直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质？ 2、三角形全等的判定方法有哪几种？ 3、三角形按角的分类． 二、引入新课 (一)直角三角形性质定理 请学生看图形： 1、提问：∠A与∠B有何关系？为什么？ 2、归纳小结：定理：直角三角形的两个锐角互余． （二）直角三角形全等的判定 我们学习了判定两个三角形全等的四种方法——SAS、ASA、AAS、SSS，我们也知道“有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等”，这些结论适用于一般三角形．我们在三角形分类时，还学过了一些特殊三角形(如直角三角形)．特殊三角形全等的判定是否会有一般三角形不适用的特殊方法呢？ 我们知道，斜边和一对锐角对应相等的两个直角三角形，可以根据“ASA”或“AAS”判定它们全等，两对直角边对应相等的两个直角三角形，可以根据“SAS”判定它们全等．提问：如果两个直角三角形的斜边和一对直角边相等(边边角)，这两个三角形是否能全

等呢？ 1、可作为预习内容 如图(1)，在△ABC与△A＇B＇C＇中，若AB=A＇B＇，AC=△A＇C＇，∠C=∠C＇=90°，这时Rt△ABC与Rt△A＇B＇C＇是否全等？ 图(1) 图(2) 研究这个问题，我们先做一个实验： 把Rt△ABC与Rt△A＇B＇C＇拼合在一起(教具演示)如图(2)，因为∠ACB=∠A＇C＇B＇=90°，所以B、C(C＇)、B＇三点在一条直线上，因此，△ABB＇是一个等腰三角形，于是利用“SSS”可证三角形全等，从而得到∠B=∠B＇，根据“AAS”公理可知：Rt△ABC≌Rt △A＇B＇C＇． 2、两位同学比较一下，看看两人剪下的Rt△是否可以完全重合，从而引出直角三角形全等判定公理——“HL”公理． 3、讲解新课 斜边、直角边公理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”)． 这是直角三角形全等的一个特殊的判定公理，其他判定公理同于任意三角形全等的判定公理． 4、例题讲解 例：已知：如教材101页图12-59，△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AC于D，CE⊥AB于E，且BD=CE. 求证：AB=AC. 三、小结 由于直角三角形是特殊三角形，因而不仅可以应用判定一般三角形全等的四种方法，还可以应用“斜边、直角边”公理判定两个直角三角形全等．“HL”公理只能用于判定直角三角形全等，不能用于判定一般三角形全等，所以判定两个直角三角形的方法有五种：“SAS、ASA、AAS、SSS、HL”．

数学人教版八年级上册直角三角形的判定教案

第4课时斜边、直角边 金城二中赵妮 【知识与技能】 掌握两个直角三角形全等的条件,并能应用它证明两个直角三角形全等. 【过程与方法】 通过对知识方法的归纳总结,加深对三角形全等的判定的理解.培养反思习惯,形成理性思维. 【情感态度】 通过探究与交流,解决问题,获得成功的体验,进一步激发探究的积极性. 【教学重点】 理解、掌握直角三角形全等的条件:HL. 【教学难点】 熟练选择判定方法,判定两个直角三角形全等. 一、情境导入，初步认识 问题1舞台的背景形状是两个直角三角形,工作人员想知道这两个直角三角形是否全等,但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量. (1)请你设法帮工作人员找到解决问题的方式. (2)如果工作人员只带了一卷尺,他能完成这个任务吗? 全体学生思考,并互相交流每个人的想法,组长收集每组的结论. 问题2 探究 画出一个Rt△ABC，使∠C=90°，CA=8cm，AB=10cm. 要求:每个学生都动手画图,并剪下所画的直角三角形,每两人把剪下的直角三角形,重叠在一起,观察它们是否重合. 【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”. 二、思考探究，获取新知 教师根据学生操作、交流情况,引导学生一起归纳上述两个问题的结果.

对于问题1,(1)方法有:测量斜边和一个对应的锐角(AAS),或测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角(ASA 或AAS);(2)可以完成这个条件,其依据正是本节所要学的知识,以此激发学生探究的兴趣. 对于问题2,归纳得到:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边、直角边”或“HL ”. 三、讲解例题 例1 如图,已知AC ⊥BC,BD ⊥AD,AC=BD.求证:BC=AD. 【教学说明】由学生思考,交流讨论后,指定学生表述思路,并由教师板书证明过程,引导学生正确书写解题步骤. 证明:∵AC ⊥BC,BD ⊥AD, ∴∠C=∠D=90°. 在Rt △ABC 和Rt △BAD 中, ∴Rt △ABC ≌Rt △BAD(HL). 四、运用新知，深化理解 1如图，AB=CD, BF ⊥AC,DE ⊥AC,AE=CF 求证：BF=DE 2 如图，C 是路段AB 的中点，两人从C 同时出发，以相同的速度分别沿着两条直线行走，并同时到达D 、E 两地。DA⊥AB,EB⊥AB. 求证：AD=BE 3 解决课前提出的问题。 【教学说明】指导学生解答上述习题时,强调学生应:(1)注意应用“HL ”证三角形全等时的书写格式；（2）归纳总结证明直角三角形全等的判定条件共有几个？它们分别是什么？ 五、师生互动，课堂小结 1.回顾本书所学知识,巩固“HL ”的记忆与认识，清楚地了解到“HL ”是直? ? ? AC=BD AB=BA, （公共边）

人教版 八年级上册 三角形 知识点及题型总结

第十一章三角形的知识点及题型总结 一、三角形的认识 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。 分类： 锐角三角形（三个角都是锐角的三角形） 按角分类直角三角形（有一个角是直角的三角形） 钝角三角形（有一个角是钝角的三角形） 三边都不相等的三角形 按边分类等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 例题1 图1中共几个三角形。 例题2 下列说法正确的是（） A.三角形分为等边三角形和三边不相等三角形 B.等边三角形不是等腰三角形 C.等腰三角形是等边三角形 D.三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 例题3已知a、b、c为△ABC的三边长，b、c满足(b-2)2＋|c－3|=0，且a为方程|x－4|=2的解.求△ABC的周长，并判断△ABC的形状.

二、与三角形有关的边 三边的关系：三角形的两边和大于第三边，两边的差小于第三边。例题1 以下列各组数据为边长，能够成三角形的是（） A.3，4，5 B.4，4，8 C.3，7，10 D.10，4，5 例题2 已知三角形的两边边长分别为4、5，则该三角形周长L的范围是（） A.1

八年级数学直角三角形(教师讲义带答案)资料

直角三角形 一、直角三角形的性质 重点：直角三角形的性质定理及其推论： ①直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半; ②推论：（1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半; （2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°. 难点： 1.性质定理的证明方法. 2.性质定理及其推论在解题中的应用. 二、直角三角形全等的判断 重点：掌握直角三角形全等的判定定理：斜边、直角边公理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 难点： 创建全等条件与三角形中各定理联系解综合问题。 三、角平分线的性质定理 1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理的数学表示：如图4， ∵ OE是∠AOB的平分线，F是OE上一点，且CF⊥OA于点C，DF⊥OB于点D，∴ CF＝DF. 定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题； 角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线. 2.关于三角形三条角平分线的定理： （1）关于三角形三条角平分线交点的定理： 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等. 定理的数学表示：如图6，如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、 ∠ ABC、∠ACB的平分线，那么： ① AP、BQ、CR相交于一点I； ②若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F，则DI＝EI＝FI. 定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题. （2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系： 三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）. 3.关于线段的垂直平分线和角平分线的作图： （1）会作已知线段的垂直平分线；（2）会作已知角的角平分线； （3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形. 图4

最新八年级下册第一章《直角三角形》培优习题

八年级下册第一章《直角三角形》培优习题 一、知识要点填空： 1、直角三角形的性质： （1）直角三角形的两个锐角_________ （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的_________; （3）直角三角形30°角所对的直角边是______的一半； （4）直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30°. 2、直角三角形的判定方法： （1）有一个角是直角的三角形是直角三角形； （2）有两个角______的三角形是直角三角形； （3）如果一条边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、等腰直角三角形是特殊的直角三角形，它的两个底角都是_____,且两条直角边相等。等腰直角三角形具有等腰三角形和直角三角形的所有性质，是很常见的特殊三角形。 二、练习题 1、如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C， 则则∠1+∠2等于__________. 2、设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示 等腰直角三角形，则下列四个图中，能表示它们之间关系的是（） A. B. C. D. 3、如图，Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，BE平分∠ABC，交AD于E， EF∥AC，下列结论一定成立的是（） A.AB=BF B．AE=ED C．AD=DC D．∠ABE=∠DFE 4、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点， 则AP的长不可能的是（） A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7 5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线 于F， 若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（） A．3 B．2 C．3 D．1

八年级数学培优专题(一)-直角三角形

数学培优专题(一） 直角三角形 知识要点： 1、直角三角形的性质: （1）直角三角形的两个锐角＿__＿__＿__ （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的＿____＿＿__； （3）直角三角形30°角所对的直角边是______的一半; （4）直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30°. 2、直角三角形的判定方法: （1）有一个角是直角的三角形是直角三角形； （2）有两个角______的三角形是直角三角形; （3）如果一条边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理公式:_＿＿_＿ _ 勾股定理逆定理：_＿___ _ 直角三角形是一类特殊三角形，有着丰富的性质:两锐角互余(角的关系)、勾股定理（边的关系）、3０°角所对的直角边等于斜边的半(边角关系)、斜边上的中线等于斜边的一半（直角三角形中线性质），这些性质在求线段的长度、证明线段倍分关系、证明线段平方关系等方面有广泛的应用。 培优练习： 1、如图,已知△A ＢＣ为直角三角形，∠Ｃ=90°，若沿图中虚线剪去∠C ，则则∠1＋∠2等于__＿_____＿_. ２、已知一直角三角形木板，三边长的平方和为1800，则斜边长为___＿＿_＿_＿_ ３、图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形围成的，若ＡC=6，ＢC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延一倍，得到图2所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长是＿_＿_______ ４、在三角形AB Ｃ中,AB ＝5,ＡC=９,AD 是边BC 上的中线，则A Ｄ的取值范围＿______ 5、如图,等腰直角三角形A ＢC 直角边长为1，以它的斜边上的高AD 为腰作第一个等腰直角三角形AD Ｅ,再以所作的第一个等腰直角三角形ADE 的斜边上的高AF 为腰作第二个等腰直角三角形ＡFG ；……以此类推，这样所作的第n 个等腰直角三角形的腰长为＿______ ６、等腰△A ＢC 中，ＡD ⊥BC 于点D,且ＡD=2 1BC,则△AB Ｃ底角的度数为____＿_______ ７、如图,在△ABC 中,∠C ＝90°，A Ｃ＝3，∠B=30°，点Ｐ是B Ｃ边上的动点，则AP 的长不可能的是（ )

新北师大版八年级上册《1.2一定是直角三角形》教案

1.2 一定是直角三角形 教学目的 知识与技能：掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单应用； 教学思考：进一步发展数感，增加对勾股数的直观体验，培养从实际问题抽象出数学问题的能力，建立数学模型． 解决问题：会通过边长判断一个三角形是否是直角三角形，并会辨析哪些问题应用哪个结论． 情感态度与价值观： 敢于面对数学学习中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功经验，进一步体会数学的应用价值，发展运用数学的信心和能力，初步形成积极参与数学活动的意识． 重点、难点 重点：探索并掌握直角三角形的判别条件。 难点：运用直角三角形判别条件解题 教学过程 一、创设情境，激发学生兴趣、导入课题 展示一根用 13 个等距的结把它分成等长的12 段的绳子，请三个同学上台，按老师的要求操作。 甲：同时握住绳子的第一个结和第十三个结。 乙：握住第四个结。 丙：握住第八个结。 拉紧绳子，让一个同学用量角器，测出这三角形其中的最大角。 问：发现这个角是多少？（直角。） 展示投影 1。（书P9图1—10） 教师道白：这是古埃及人曾经用过这种方法得到直角，这个三角形三边长分别为多少？( 3、4、5 ) ，这三边满足了哪些条件？ ( 2 22543=+），是不是只有三边长为3、4、 5的三角形才可以成为直角三角形呢？现在请同学们做一做。 二、做一做 下面的三组数分别是一个三角形的三边a 、b 、c 。 5、12、13 7、24、25 8、15、17 1、这三组数都满足222c b a =+吗？ 同学们在运算、交流形成共识后，教师要学生完成。 2、分别用每组数为三边作三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？ 同学们在在形成共识后板书： 如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。 大家可以想这样的勾股数是很多的。 今后我们可以利用“三角形三边a 、b 、c 满足2 22c b a =+时，三角形为直角形”来判断三角形的形状，同时也可以用来判定两条直线是否垂直的方法。 三、讲解例题 例1 一个零件的形状如图，按规定这个零件中∠A 与∠BDC 都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD = 4，AB = 3, DC = 12 , BC=13，这个零件符合要求吗？ 分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判断△ADB 和△DBC 是否为直角三角形，这样勾股定理的逆定理即可派上用场了。 解：在△ABD 中，222222516943BD AD AB ==+=+=+

八年级数学《直角三角形》知识点

八年级数学《直角三角形》知识点 一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° 可表示如下： ?BC=2 1AB ∠C=90° 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90° 可表示如下： ?CD= 2 1AB=BD=AD D 为AB 的中点 4、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 5、射影定理(了解) 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的 射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边 的比例中项 ∠ACB=90° BD AD CD ?=2 ? CD ⊥AB 6、常用关系式 由三角形面积公式可得： AB ?CD=AC ?BC 二、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c ，有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 三、解直角三角形 1、解直角三角形的概念 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 2、解直角三角形的理论依据 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c （1）三边之间的关系：222c b a =+（勾股定理） （2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90° （3）边角之间的关系： AB AD AC ?=2AB BD BC ?=2

浙教版八年级上册 2.6 直角三角形专题培优(附答案)

2020-2021学年浙教版八年级上册直角三角形专题培优 姓名班级学号 基础巩固 1.如图，△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，在△BCD中，∠DBC = 90°，∠BCD = 60°，E为DC的中点，AD与BE的延长线交于点F，则∠AFB的度数为（）. A.30° B.15° C.45° D.25° 第1题第2题第3题 2.如图，在△ABC中，∠BAC= 90°，AB= AC，AE是经过点A的一条直线，且点B，C在AE的两侧，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E，CE= 2，BD= 6，则DE 的长为（）. A.2 B.3 C.5 D.4 3.如图，在△ABC中，∠C= 90°，AC= BC，点D是AB的中点，点E，F分别在AC，BC边上运动（点E不与点A，C重合），且保持AE= CF，连结DE，DF，EF.在此运动变化的过程中，有下列结论:①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CEDF不可能为正方形；③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化.其中正确结论的个数是（）. A.0B.1C.2D.3 4.如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ = 90°，AQ:AB = 3:4.直线l上有一点C在点P右侧，PC = 4 cm，过点C作射线CD⊥l，点F为射线CD上的一个动点，连结AF.当△AFC与△ABQ全等时，AQ = _________ cm.

第4题第5题 5.如图，已知∠AOB= 60°，点P在OA边上，OP= 8 cm，点M，N在边OB上，PM = PN，若MN = 2 cm，则ON = _________ cm. 6.如图，在△ABC中，点D在边AC上，DB= BC，点E是CD的中点，点F是AB 的中点. （1）求证:EF = 1 2AB. （2）过点A作AG∥EF，交BE的延长线于点G，求证:△ABE≌△AGE. 7.在△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，D是AB的中点，E是AB边上一点.（1）如图1，直线BF⊥CE于点F，交CD于点G.求证:AE = CG. （2）如图2，直线AH⊥CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M.试猜想CM与BE有怎样的数量和位置关系?并证明你的猜想.

八年级数学上册第1章《一定是直角三角形吗》典型例题(北师大版)

《一定是直角三角形吗》典型例题 例 1 在ABC ?中，n n a 222+=，12+=n b ，)0(1222>++=n n n c 为三边，试判断该三角形是否为直角三角形？ 例2 如果一个三角形的三边长分别为 )(,2,2222n m n m c mn b n m a >+==-=，则这三角形是直角三角形 例3 已知a 、b 、c 为ABC ?的三边，且满足 c b a c b a 262410338222++=+++. 求证：这个三角形是直角三角形. 例4 已知ABC ?的三边为c b a 、、,且9,40,41===c b a ，试判定ABC ?的形状． 例5 如图所示，在四边形ABCD 中，C ∠是直角， 12,3,4,13====AD CD BC AB ，求证：.BD AD ⊥ 例6 如图所示，E 为正方形ABCD 的边AD 的中点，F 在DC 上，DC DF 4 1= ．试问：BEF ?是直角三角形吗？说明理由．

参考答案 例1解答：∵)22()122(22n n n n a c +-++=-01>=， )12()122(2+-++=-n n n b c 022>=n ， ∴c 边为三角形的最大边， 又∵()c n n n n n n =++=++++22243222148841， 22222)12()22(+++=+n n n b a n n n n =++++43248841， ∴222c b a =+ 根据勾股定理的逆定理可知，ABC ?为直角三角形. 说明：三角形的三边分别为a ，b ，c ，其中c 为最大边. （1）若222c b a =+，则三角形是直角三角形； （2）若222c b a >+，则三角形是锐角三角形； （3）若222c b a <+，则三角形是钝角三角形； 例2分析： 验证c b a ,,三边是否符合勾股定量的逆定理 证明：∵()() ()222422422222222n m n n m m mn n m b a +=++=+-=+ ∴222c b a =+ ∵∠C ＝090 说明：勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法，与前面学习的方法不同，它需要通过代数运算算出来． 例3分析：要证明ABC ?是直角三角形，应从它的三边a 、b 、c 入手，如果有关系222c b a =+或222a c b =+或222b a c =+成立，那么这个三角形一定是直角三角形. 从已知条件，可以求出a 、b 、c 的长. 解答：由已知得：0338262410222=+---++c b a c b a . ∴ 016926144242510222=+-++-++-c c b b a a 即 ()()()a b c -+-+-=222512130

(完整版)新湘教版数学八年级下册直角三角形测试题

直角三角形单元测试题班级：C167 姓名：分数： 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=54°，则∠A=（） A.66° B.36° C.56° D.46° 2.△ABC中，∠A:∠B:∠C=2:3:5，则△ABC是（） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 3.以下四组数中，不是勾股数的是（） A.3，4，5 B.5，12，13 C.4，5，6 D.8，15，17 4.下列条件不能判定两个直角三角形全等的是（） A.两条直角边对应相等 B.有两条边对应相等 C.一条边和一个锐角对应相等 D.两个锐角对应相等 5.三角形中，到三边距离相等的点是（） A.三条边的垂直平分线的交点 B.三条高的交点 C.三条中线的交点 D.三条角平分线的交点 6.等腰三角形腰长为13，底边长为10，则它底边上的高为（） A.12 B.7 C.5 D.6 7.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是∠BAC的平分线， AD=10，则点D到AB的距离是（） A.8 B.5 C.6 D.4 8.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边长AC＝6 cm，BC＝8 cm， 将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于() A. 25 4cm B. 22 3cm C. 7 4cm D. 5 3cm 9.如图，有两棵树，一棵高13米，另一棵高8米，两树相距12米， 一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行( )． A.8米 B.12米 C.13米 D.14米 10.如图，AB＝AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC，则图中全等的三角形对数为（） A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题（每空3分，共30分） 11.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝4 cm，则AB＝______cm。 12.如图，∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AB=2BC,如果CD=2, 则AC= 。 13.若一个直角三角形的两边长分别是5、12，则第三边长为________。 14.直角三角形中,两锐角的角平分线相交所成的角的度数为。 15.如图，将一副三角板按如图所示的方式叠放，则角α= 。 16.直角三角形的两直角边分别为6和8，则斜边上的高为。 17.如图，一棵大树在离地面3米处折断倒下，倒下树尖部分与树根距离为4米， 这棵大树原来的高度为__________米。 18．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A=30°，b=3，则a= 。 19．等边三角形的边长为4，则它的面积是。 20．如图，OP=1，过P作PP1⊥OP，使PP1=1；再过P1作P1P2⊥OP1，使P1P2=1； 又过P2作P2P3⊥OP2，使P2P3=1；…依此法继续作下去，得OP2015= ． 图4 4米 3米 D C A A B C D E 第7题 第8题 第9题 第10题 第12题 第15题 第17题 第20题

八年级直角三角形(标准答案)

八年级直角三角形(答案)

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直角三角形 一、直角三角形的性质 重点：直角三角形的性质定理及其推论： ①直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半; ②推论：（1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半; （2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°. 难点： 1.性质定理的证明方法. 2.性质定理及其推论在解题中的应用. 二、直角三角形全等的判断 重点：掌握直角三角形全等的判定定理：斜边、直角边公理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 难点： 创建全等条件与三角形中各定理联系解综合问题。 三、角平分线的性质定理 1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的 距离相等. 定理的数学表示：如图4， ∵ OE是∠AOB的平分线，F是OE上一点，且CF⊥OA于点C，DF⊥OB于点D，∴ CF＝DF. 定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题； 角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线. 图4C D O A B F E

2.关于三角形三条角平分线的定理： （1）关于三角形三条角平分线交点的定理： 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的 距离相等. 定理的数学表示：如图6，如果AP 、BQ 、CR 分别是△ABC 的内角∠BAC 、 ∠ ABC 、∠ACB 的平分线，那么： ① AP 、BQ 、CR 相交于一点I ； ② 若ID 、IE 、IF 分别垂直于BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，则DI ＝EI ＝FI. 定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题. （2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系： 三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）. 3.关于线段的垂直平分线和角平分线的作图： （1）会作已知线段的垂直平分线； （2）会作已知角的角平分线； （3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形. 四、勾股定理的证明及应用 １．勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 图6 E F D I P R Q B C A

人教版八年级数学上直角三角形

初中数学试卷 直角三角形 知识导引 1、直角三角形的性质：（1）直角三角形的两个锐角互余；（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（3）直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半；（4）直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30°。 2、直角三角形的判定方法：（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形；（2）有两个角互余的三角形是直角三角形；（3）如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、注意直角三角形的性质和判定之间的互逆关系。 4、等腰直角三角形是特殊的直角三角形，它的两个底角都是45°，且两条直角边相等，等腰直角三角形具有等腰三角形和直角三角形的所有性质，是很常见的特殊三角形。 典例精析 例1：已知等腰△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，且AD=2 1BC ，则△ABC 底角的度数为（ ） A 、45° B 、75° C 、45°或75° D 、60°

例2：两个大小不同的等腰直角三角板按如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，点B，C，E在同一条直线上，连结CD。 （1）请找出图②中的全等三角形并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）试说明：CD⊥BE。 例3：如图所示，四边形ABCD由一个∠ACB=30°的Rt△ABC与等 腰Rt△ACD拼成，E为斜边AC的中点，则∠BDE= 。

例3—1：如图，已知AD⊥BD，AC⊥BC，E为AB的中点，试判断DE与CE是否相等并说明理由。 例4：已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠ABC 的平分线BE交AD于点F，试说明AE=AF。

人教版八年级数学上直角三角形

初中数学试卷 直角三角形 知识导引 1、直角三角形的性质：（1）直角三角形的两个锐角互余；（2）直角三角形斜边上的中线等 于斜边的一半；（3）直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半；（4）直角三角形 中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30°。 2、直角三角形的判定方法：（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形；（2）有两个角互 余的三角形是直角三角形；（3）如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是 直角三角形。 3、注意直角三角形的性质和判定之间的互逆关系。 4、等腰直角三角形是特殊的直角三角形，它的两个底角都是45°，且两条直角边相等，等 腰直角三角形具有等腰三角形和直角三角形的所有性质，是很常见的特殊三角形。 典例精析 例1：已知等腰△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，且AD=2 1BC ，则△ABC 底角的度数为（ ） A 、45° B 、75° C 、45°或75° D 、60° 例2：两个大小不同的等腰直角三角板按如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形， 点B ，C ，E 在同一条直线上，连结CD 。 （1）请找出图②中的全等三角形并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； （2）试说明：CD ⊥BE 。

例3：如图所示，四边形ABCD 由一个∠ACB=30°的Rt △ABC 与等腰Rt △ACD 拼成，E 为斜边 AC 的中点，则∠BDE= 。 例3—1：如图，已知AD ⊥BD ，AC ⊥BC ，E 为AB 的中点，试判断DE 与CE 是否相等并说明理 由。 例4：已知：在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于点D ，∠ABC 的平分线BE 交AD 于点F ，试 说明AE=AF 。 例5：如图，在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，CE ⊥BD ，交 其延长线于点E ，求证：CE= 2 1BD

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初中数学试卷 桑水出品 第一章 直角三角形 单元测试题 （时限：100分钟 总分：100分） 班级 姓名 总分 一、 选择题(本题共8小题，每小题4分，共32分) 1.下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是 ( ) A. 4，5，6 B.1，1，2 C. 6，8，11 D. 5，12，23 2.一个正方形的面积为216cm ，则它的对角线长为 ( ) A. 4 cm B.42cm C.82 cm D. 6cm 3如图，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，且PD ＝PE ，则△APD 与△APE 全等的理由是（ ） A ．SAS B.AAS C. SSS D .HL 4. 三角形内到三边的距离相等的点是（ ） A. 三条中线的交点 B. 三条高的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 以上均不对 5. 如果梯子的底端离建筑物5 米，13 米长的梯子可以达到该建筑物的高度是( ) A . 12 米 B. 13 米 C. 14 米 D. 15 米 6. 等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为( ) A.43 B.3 C. 23 D. 3 B A P D E 第3题

7. 如图，已知△ABC 为直角三角形，∠C =90°，若沿图中虚线 剪去∠C ，则∠1＋∠2等于( ) A ．315° B ．270° C ．180° D ．135° 8. 在△ABC 中，∠C ＝90°，角平分线AD 交BC 于点D ，若BC ＝32，BD ∶CD ＝9∶7，则D 点到AB 边的距离为（ ） A . 18 B. 16 C. 14 D. 12 二、 填空题(本题共8小题，每小题4分，共32分) 9. 已知△ABC 的三边长分别为1，3，2，则△ABC 是 三角形. 10. 等腰三角形的腰长为10，底边上的高为6，则底边的长为 . 11. 如图，小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD 的周长 是 . 12. 在直角三角形中，两锐角之比为2:1，则两锐角的度数分别 为 ． 13. 如图，以Rt △ABC 的三边向外作正方形，其 面积分别为1S ，2S ，3S 且14S =，28S =， 则3S = ；以Rt ?ABC 的三边向外 作等边三角形，其面积分别为 1S ，2S ，3S ， 则1S ， 2S ，3S 三者之间的关系为 . 14. 如图，△ABC 中，∠C =90°，点D 在BC 上，DE ⊥AB 于E ，且AE=EB ，DE=DC ，则∠B 的度数为 ． 15. 如图，△ABC 中，∠C =90°，AC=BC ，AD 平分∠BAC ，BD =3.5，BC =6，则△ABC 的周长是 ． 16. 如图，在△ABC 中，∠A =90，BD 是角平分线，若AD =m ，BC =n ，则△BDC 的面积 D C A B 第11题

八年级上册数学-专题六直角三角形

专题六 直角三角形 一、直角三角形性质： 1、 直角三角形的两个锐角互余 2、 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 3、 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 4、 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等 于30° 5、 勾股定理：直角三角形两直角边a,b 的平方和，等于斜边c 的平方。 a 2+ b 2= c 2 二、直角三角形判定： 1、有两个角互余的三角形是直角三角形 2、如果三角形的三条边长a,b,c 满足关系：a 2+b 2=c 2,那么这个三角形是直角三角形。 3、直角三角形全等的判定：SAS,ASA,AAS,SSS,HL 三、角平分线的性质： 1、角的平分线上的点到角的两边的距离相等 2、角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 四、练习 1如图，AB ∥CD ，∠CAB 和∠ACD 的平分线相较于H 点，E 为AC 的中点，EH=2.那么△AHC 是 直角三角形吗？为什么？若是，求出AC 的长。 2、如图，在R t △ABC 中，∠ACB=90°，CD 垂直于AB,垂足为点D ，DB= 21BC,求∠A 的度数。 3、已知，在△ABC 中，∠B =21∠A =3 1∠C ,AB=8cm. (1)求AB 边上的中线长，（2）求AC, BC 的长，（3）AB 边上的高 A B C D E H

4、如图，在RtABC 中，∠C=90°，ED 是线段AB 的垂直平分线，已知∠1= 31∠ABC ，求∠A 的度数。 6、 如图，在边长为4的正方形ABCD 中，F 为CD 的中点，E 是BC 上一点，且EC=4 1BC. 求证：△AEF 是直角三角形。 7、 如图，D 为BC 的中点，DE ⊥AB 于点E,DF ⊥AC 于点F,且DE=DF. 试问：AB 与AC 有什么关系？ 8、 如图，已知BD 平分∠ABC,BA=BC,点P 在BD 上，作P M ⊥AD,P N ⊥CD,垂足分别 为点M,N.求证：P M=PN . 9、 如图，求作一点P,使PM=PN,并且使点P 到∠AOB 的两边OA,OB 的距离相等。 . . A B C D E E F F E A B C D A B C D P M N A O B M N

八年级上直角三角形练习

八年级上直角三角形练习 一、填空题（2′×15＝30′） 1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°AB ＝2cm,AC=BC,CD ⊥AB 于D ，则CD ＝_____。 2.有______________________对应相等的两个直角三角形全等。 3.角平分线定理的逆定理是______________________________________. 4. △ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，已知BC ＝5 cm ，则AB ＝___ cm 。 5．如图已知AB ＝AC ，BE ＝EC ，AE 的延长线交BC 于D ，则图中全等的三角形有____对 . 6. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c ＝13，a=12,则b=_____. 7.在 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a=6, b=8,则c=_____。 8．等边三角形的边长为8cm ，则它的面积为______。 9．已知直角三角形两条边长分别为3cm,4cm ，则第三边长为____。 10．等腰三角形的腰长为4，腰上的高为2，则等腰三角形的顶角为_______. 11．已知三角形三边为a 2+b 2,2ab,a 2-b 2,(a 、b 为正整数)这个三角形是_______三角形。 12．已知1和2，请你写出一个数恰好是一个直角三角形的三边长，这个数是_____. 13．已知三条线段作三角形，这三条线段必须满足 二、选择题（3′×10＝30 ′） 16．如图，DA ＝DB ，AC ⊥DA ，BC ⊥DB ，则△ADC ≌△BDC 所根据的判定定理是（ ）A ．SAS B. ASA C. SSS D. HL 17 ． 在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠C ＝∠ C ′＝ 90°AB ＝A ′B ′∠A ＝38°， ∠B ′＝52°，那么它们全等的理由是（ ） A HL B ASA 或AAS C SAS D AAA 18．用7cm 、24cm 、25cm 的三根小木棒构成的三角形是 （ ） A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 等腰三角形 19．将直角三角形三边分别扩大a 倍，得到的三角形是 （ ） A 直角三角形 B 可能是锐角三角形 C 可能是钝角三角形 D 不可能是直角三角形 20．已知△ABC 中D 是BC 上一点，E 是AC 上一点，BE 、CD 相交于F ， ∠A ＝70°，∠ACD ＝20°， ∠ABE ＝28°，则∠CFE ＝ （ ） A 62° B 68° C 78° D 90° 21．已知三条线段的长度比为 ∶ ∶ ，那么这三条线段 （ ） A 能组成锐角三角形 B 不能组成三角形 C 能组成直角三角形 D 能组成钝角三角形 22．下列说法正确的是 （ ） A 周长相等的两个三角形全等 B 边长相等的两个三角形全等 C 面积相等的两个三角形全等 D 各角相等的两个三角形 23、△ABC 中，∠A －∠B ＝90°，那么这个三角形为 （ ） A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 锐角或钝角三角形 24．如图，已知∠AOB ，求作射线OC ，使OC 平分∠AOB ，作法的合理顺序是 ①作射线OC ②在OA 和OB 上，分别截取OD 、OE ，使OD ＝OE ③分别以D 、E 为圆心，大于 DE 的长为半径作弧，在∠AOB 内，两弧交于点C A ①②③ B ②①③ C ②③① D ③②① 25．已知线段a 、b 和m ，求作△ABC ，使BC ＝a ，AC ＝b,BC 边上的中线AD ＝m ，作法的合理顺序为（ ） ①延长CD 到B ，使BD ＝CD ②连结AB 八