当前位置：文档之家› 多元函数微分法及其应用多元函数的偏导数

多元函数微分法及其应用多元函数的偏导数

(完整版)多元函数微分法及其应用期末复习题高等数学下册(上海电机学院)

第八章偏导数与全微分一、选择题 1.若u=u(x, y)是可微函数，且,1),(2==x y y x u ,2x x u x y =??=则=??=2x y y u [A ] A. 2 1 - B. 21 C. -1 D. 1 2.函数62622++-+=y x y x z [ D ] A. 在点(-1, 3)处取极大值 B. 在点(-1, 3)处取极小值 C. 在点(3, -1)处取极大值 D. 在点(3, -1)处取极小值 3.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ B ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 4. 设u=2 x +22y +32 z +xy+3x-2y-6z 在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)方向的导数 =??l u [ D ] A. 635 B.635- C.335 D. 3 3 5- 5. 函数xy y x z 333-+= [ B ] A. 在点(0, 0)处取极大值 B. 在点(1, 1)处取极小值 C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极大值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极小值 6.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处可微是(),f x y 在该点连续的[ A ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 7. 已知)10(0sin <<=--εεx y y , 则dx dy = [ B ] A. y cos 1ε+ B. y cos 11ε- C. y cos 1ε- D. y cos 11 ε+ 8. 函数y x xy z 2050++ = （x>0，y>0）[ D ] A. 在点(2, 5)处取极大值 B. 在点(2, 5)处取极小值 C.在点(5, 2)处取极大值 D. 在点(5, 2)处取极小值 9.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处连续的是(),f x y 在点()00,x y 处可微的 [A ] A. 必要而非充分条件 B. 充分而非必要条件

多元函数微分学知识点梳理

第九章多元函数微分学内容复习一、基本概念 1、知道：多元函数的一些基本概念（n 维空间，n 元函数，二重极限，连续等）；理解：偏导数；全微分. 2、重要定理（1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系偏导数连续?可微???函数偏导数存在 ?连续（2）（二元函数）极值的必要、充分条件二、基本计算（一）偏导数的计算 1、偏导数值的计算（计算),(00y x f x '）（1）先代后求法 ),(00y x f x '＝0),(0x x y x f dx d = （2）先求后代法（),(00y x f x '＝00),(y y x x x y x f =='）（3）定义法（),(00y x f x '＝x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000）（分段函数在分段点处的偏导数） 2、偏导函数的计算（计算(,)x f x y '）（1）简单的多元初等函数——将其他自变量固定，转化为一元函数求导（2）复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则（画树形图，写求导公式）（3）隐函数求导求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y ???? ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''???=-=-?''????? 公式法：（地位平等）直接法：方程两边同时对或求导（地位不平等）注：若求隐函数的二阶导数，在一阶导数的基础上，用直接法求。 3、高阶导数的计算注意记号表示，以及求导顺序（二）全微分的计算 1、叠加原理

高等数学习题详解第7章多元函数微分学(精品文档)

1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限： A (2，1,-6)， B (0，2，0)， C (-3，0,5)， D (1，-1，-7). 解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。 2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则 (1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3). (3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3). 同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3). 3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即 (-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2. 解之得z =11，故所求的点为M (0，0， 149 ). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得2 12 14M M =，2 2 13236,6M M M M == 所以以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =－3,c =5,求这个平面的方程. 解：所求平面方程为1235y x z + +=-。 6. 求通过x 轴和点(4,－3,－1)的平面方程. 解：因所求平面经过x 轴，故可设其方程为 Ay +Bz =0. 又点(4,－3,－1)在平面上，所以-3A -B =0.即B=-3 A 代入并化简可得 y -3z =0. 7. 求平行于y 轴且过M 1(1,0,0)，M 2(0,0,1)两点的平面方程. 解：因所求平面平行于y 轴，故可设其方程为 Ax +Cz +D =0. 又点M 1和M 2都在平面上，于是 A D C D +=?? +=? 可得关系式：A =C =－D ,代入方程得：－Dx －Dz +D =0. 显然D ≠0,消去D 并整理可得所求的平面方程为x +z －1=0. 8. 方程x 2+y 2+z 2－2x +4y =0表示怎样的曲面？解：表示以点（1，-2，0 9. 指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形？ (1) x －2y =1； (2) x 2+y 2=1； (3) 2x 2+3y 2=1； (4) y =x 2. 解：(1)表示直线、平面。(2)表示圆、圆柱面。(3)表示椭圆、椭圆柱面。 (4)表示抛物线、抛物柱面。

利用导数求函数值域

利用导数求函数最值高二苏庭导数是对函数的图像与性质的总结与拓展，导数是研究函数单调性极佳、最佳的重要工具，在掌握求函数的极值和最值的基础上学习用导数解决生产生活中的有关最大最小最有效等类似的应用问题广泛运用在讨论函数图像的变化趋势及证明不等式等方面。导数是初等数学与高等数学的重要衔接点，是高考的热点，高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，高考对这部分内容的考查将仍会以导数的应用题为主，如利用导数处理函数的极值、最值和单调性问题和曲线的问题等，考题不难，侧重知识之意。导数应用主要有以下三个方面： ①运用导数的有关知识研究函数的单调性和最值问题， ②利用导数的几何意义，研究曲线的切线斜率。函数y=f(x)在x=x0处的导数，表示曲线在点P（x0 , y0）处的切线斜率。由导数来求最值问题的方法可知，解这类实际问题需先建立函数关系，再求极值点，确定最值点及最值．在设变量时可采用直接法也可采用间接法．

求函数极值时，导数值为0的点是该点为极值点的必要条件，但不是充分条件。运用导数确定函数单调区间的一般步骤为：（1）求出函数y=f(x)的导函数；（2）在函数定义域内解不等式得函数y=f(x)的单调增区间；解不等式得函数y=f(x)的单调减区间。例题剖析例1、求函数的值域. 分析：求函数的值域以前学过一些方法，也可利用求导的方法，根据函数的单调性求解. 解答：函数的定义域由求得，即x≥－2.

当x>－2时，y′>0，即函数，在（－2，＋∞）上是增函数，又f(－2)=－1，∴所求函数的值域为[－1，＋∞）. 点评：（1）从本题的解答过程可以看到，当单调区间与函数的值域相同时，才可使用此法，否则会产生错误. （2）求值域时，当x=－2，函数不可导，但函数在[－2，＋∞）上是连续的，函数图象是连续变化的，因此在x=－2时，取得最小值. 例2、把长度为16cm的线段分成两段，各围成一个正方形，它们的面积之和的最小值为多少？分析：建立面积和与一正方形的周长的函数关系，再求最小值．解答：设一段长为xcm，则另一段长(16－x)cm． ∴面积和 ∴S′＝－2，令S′＝0有x＝8．列表：

(完整版)导数与函数的极值、最值问题(解析版)

【高考地位】导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大. 【方法点评】类型一利用导数研究函数的极值使用情景：一般函数类型解题模板：第一步计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ；第二步求方程'()0f x =的根；第三步判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号；第四步利用结论写出极值. 例1 已知函数x x x f ln 1 )(+= ，求函数()f x 的极值. 【答案】极小值为1，无极大值. 【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令'()0f x =，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()f x 的增减性，进而求出函数()f x 的极大值和极小值．【变式演练1】已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则(2)f 等于（） A ．11或18 B ．11 C ．18 D ．17或18 【答案】C 【解析】

试题分析：b ax x x f ++='23)(2,???=+++=++∴1010232 a b a b a ???-==????=----=?114012232b a a a a b 或???=-=33 b a ．当???=-=3 3 b a 时,∴≥-=',0)1(3)(2x x f 在1=x 处不存在极值．当???-==11 4b a 时， )1)(113(1183)(2-+=-+='x x x x x f ，0)(),1,3 11 (<'- ∈∴x f x ；0)(),,1(>'+∞∈x f x ,符合题意．所以???-==114b a ．181622168)2(=+-+=∴f ．故选C ．考点：函数的单调性与极值．【变式演练2】设函数()21 ln 2 f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为（） A ．()1,0- B ．()1,-+∞ C ．()0,+∞ D ．()(),10,-∞-+∞U 【答案】B 【解析】考点：函数的极值．【变式演练3】函数x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-=在)4,0(上无极值，则=m _____. 【答案】3 【解析】试题分析：因为x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-= ，所以()()2'()(1)2(1)21f x x m x m x x m =-++-=--+，由()'0f x =得2x =或1x m =-，又因为

多元函数微分法word版

§5.3 多元函数微分法一、复合函数微分法――链式法则模型1. ()()()z f u v u u x y v v x y ==，，，，=， z z u z z z u z x u x x y u y y νννν??????????=?+?=?+???????????；模型2. ()()u f x y z x y =，，，z=z ， x z y z u z f f x x u z f f y y ???''=+????? ???''=+???? 模型3. ()()()u f x y z y y x z x ===，，，，z ()()x y z du f f y x f z x dx '''''=++ 模型4. ()()()w f u v u u x y z v v x y z ===，，，，，，， u v u v u v w u v f f x x x w u v f f y y y w u v f f z z z ????''=+????? ????''=+? ????????''=+????? 还有其他模型可以类似处理。【例1】设()u f x y z =，，有连续的一阶偏导数，又函数()y y x =及()z z x =分别由下列两式确定2xy e xy -=和0sin x z x t e dt t -= ?，求du dx 。解根据模型3. x y z du dy dz f f f dx dx dx '''=++

由2xy e xy -=两边对x 求导，得0xy dy dy e y x y x dx dx ???? +-+= ??????? 解出 dy y dx x =-（分子和分母消去公因子()1xy e -）由0 sin x z x t e dt t -= ? 两边对x 求导，得()()sin 1x x z dz e x z dx -??=- ?-?? 解出 ()() 1sin x e x z dz dx x z -=- - 所以 ()()1sin x e x z du f y f f dx x x y x z z ??-???=-+-?? ??-??? 【98】设1 ()()z f xy y x y x ?=++，f ，?具有二阶连续导数，则 2________z x y ?=??。答案：()()()yf xy x y y x y ??'''''++++ 注：①混合偏导数在连续的条件下与求导次序无关； ②此题中f 和?均为一元函数。【05】设函数(,)()()()d x y x y u x y x y x y t t ??ψ+-=++-+? ，其中函数?具有二阶导数，ψ 具有一阶导数，则必有（）（A ）2222u u x y ??=-??；（B ）2222u u x y ??=??；（C ）222u u x y y ??=???；（D ）222 u u x y x ??=??? 答案：B 全微分形式不变性例：利用全微分形式不变性求sin u z e v =，u xy =，v x y =+的偏导数。【06】设函数()f u 在(0,)+∞内具有二阶导数，且z f =满足等式 2222 0z z x y ??+=??

高等数学题库第08章(多元函数微分学)

第八章多元函数微积分习题一一、填空题 1. 设2 23),(y x y x y x f +-= ，则.________ )2,1(_______,)1,2(=-=-f f 2. 已知12),(22++=y x y x f ，则._________________ )2,(=x x f 二、求下列函数的定义域并作出定义域的图形 1.x y z -= 2. y x z -+-=11 3. 224y x z --= 4. xy z 2log = 习题二一、是非题 1. 设y x z ln 2 +=，则 y x x z 1 2+=?? （） 2. 若函数),(y x f z =在),(00y x P 处的两个偏导数),(00y x f x 与),(00y x f y 均存在，则该函数在P 点处一定连续（） 3. 函数),(y x f z =在),(00y x P 处一定有),(00y x f xy ),(00y x f yx = （） 4. 函数?? ? ?? =+≠++=0,00,),(222222y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处有0)0,0(=x f 及 0)0,0(=y f （） 5. 函数22y x z += 在点)0,0(处连续，但该函数在点)0,0(处的两个偏导数 )0,0(x z )0,0(,y z 均不存在。（）二、填空题

1. 设2 ln y x z = ，则_;___________; __________1 2=??=??==y x y z x z 2. 设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数),(b a f x 和),(b a f y 均存在，则 ._________) 2,(),(lim =--+→h h b a f b h a f h 三、求下列函数的偏导数： 1. ;133+-=x y y x z 2. ;) sin(22y e x xy xy z ++= 3. ;)1(y xy z += 4. ;tan ln y x z = 5. 222zx yz xy u ++= 四、求下列函数的,22x z ??22y z ??和y x z ???2： 1. ;234 23+++=y y x x z 2. y x z arctan = 五、计算下列各题 1. 设),2(),(sin y x e y x f x +=-求);1,0(),1,0(y x f f 2. 设)ln(),(y x x y x f +=，求,2 12 2==??y x x z , 2 122==??y x y z .2 12==???y x y x z 六、设)ln(3 13 1y x z +=，证明：.3 1=??+??y z y x z x 习题三一、填空题 1．xy e y x z +=2在点),(y x 处的._______________ =dz 2．2 2 y x x z += 在点)1,0(处的._______________ =dz

用导数法求函数的最值的练习题解析

用导数法求函数的最值的练习题解析一、选择题 1．函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最大值是M ，最小值是m ，若M ＝m ，则f ′(x )( ) A ．等于0 B ．大于0 C ．小于0 D ．以上都有可能 [答案] A [解析] ∵M ＝m ，∴y ＝f (x )是常数函数 ∴f ′(x )＝0，故应选A. 2．设f (x )＝14x 4＋13x 3＋1 2x 2在[－1,1]上的最小值为( ) A ．0 B ．－2 C ．－1 D.1312 [答案] A [解析] y ′＝x 3＋x 2＋x ＝x (x 2＋x ＋1) 令y ′＝0，解得x ＝0. ∴f (－1)＝512，f (0)＝0，f (1)＝13 12 ∴f (x )在[－1,1]上最小值为0.故应选A. 3．函数y ＝x 3＋x 2－x ＋1在区间[－2,1]上的最小值为( ) A.22 27 B ．2 C ．－1 D ．－4 [答案] C [解析] y ′＝3x 2＋2x －1＝(3x －1)(x ＋1) 令y ′＝0解得x ＝1 3或x ＝－1

当x ＝－2时，y ＝－1；当x ＝－1时，y ＝2；当x ＝13时，y ＝22 27；当x ＝1时，y ＝2. 所以函数的最小值为－1，故应选C. 4．函数f (x )＝x 2－x ＋1在区间[－3,0]上的最值为( ) A ．最大值为13，最小值为3 4 B ．最大值为1，最小值为4 C ．最大值为13，最小值为1 D ．最大值为－1，最小值为－7 [答案] A [解析] ∵y ＝x 2－x ＋1，∴y ′＝2x －1，令y ′＝0，∴x ＝1 2，f (－3)＝13，f ? ?? ??12＝34，f (0)＝1. 5．函数y ＝x ＋1－x 在(0,1)上的最大值为( ) A. 2 B ．1 C ．0 D ．不存在 [答案] A [解析] y ′＝1 2x －121－x ＝12·1－x －x x ·1－x 由y ′＝0得x ＝1 2，在? ????0，12上y ′>0，在? ????12，1上 y ′<0.∴x ＝1 2时y 极大＝2，又x ∈(0,1)，∴y max ＝ 2. 6．函数f (x )＝x 4－4x (|x |<1)( ) A ．有最大值，无最小值 B ．有最大值，也有最小值

多元函数微分法

第十章多元函数微分学一、学习要点 1.关于二元函数会求二元函数的定义域和相应的函数值。求二元函数定义域及函数值的方法与一元函数的方法相似。 2.关于二元函数微分 (1)熟练掌握一阶、二阶偏导数的计算方法和复合函数、隐函数一阶偏导数的计算方法，尤其是形如z=f (x 2－y 2 ，e xy )等的复合函数的偏导数。能熟练地求全微分。偏导数的定义、计算公式基本与一元函数导数公式相同。求偏导数时，对一个变量求导时，将另一变量视为常数。如求函数32ln z y x u ++=的偏导数 32121z y x x u ++=??(y ，z 为常数)，32221z y x y y u ++=??(x ，z 为常数) 复合函数求偏导数是难点。一般用链式法则，即z=f (u ，v)，u=u(x ，y)，v=v(x ，y)，有 y v v z y u u z y z x v v z x u u z x z ????????????????????+=+= 具体情况有两种：（一）全部函数关系都给出：这时可按前边方法求偏导数，如求二元函数 )ln(2v u z +=，xy e v y x u =+=,22. 的偏导数y z x z ????,，可以把u ，v 代入z 中，再求偏导数，即 z=ln(x 2+y 2+e 2xy )，求偏导数有 xy xy e y x ye x x z 222222+++=?? xy xy e y x xe y y z 222222+++=?? （二）部分函数关系没有给出：此时只有用链式法则。如求函数z=f(xy ，x 2+y 3)，

的一阶偏导数，则不能用如上方法求解.正确求法是记u=xy ，v=x 2+y 3，用链式法则 x v f y u f x v v z x u u z x z 2??????????????+=+=，23y v f x u f y z ??????+= 上例也可以用链式法则，有 xy xy xe v u v y v u y z ye v u v x v u x z 2222221,221+++=+++=???? 求隐函数的偏导数，是复合函数求偏导数的应用，方法仍然同一元隐函数的求导. 如求函数32ln z y x u ++=的偏导数. 32121z y x x u ++=??(y ，z 为常数)，32221z y x y y u ++=??(x ，z 为常数) (2)知道函数连续、可微、偏导数存在的关系。 3.关于偏导数的几何应用掌握求曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线的方法. (1)设空间曲线方程为x =x (t)，y =y (t)，z = z (t)，在t=t 0处的切线方向为 ))(),(),((000t z t y t x l '''=ρ，则在t 0处曲线的切线方程为 )()()()()()(000000t z t z z t y t y y t x t x x '-='-='- 法平面方程为 )())(()())(()())((000000t z t z z t y t y y t x t x x '-+'-+'-=0 (2)曲面F (x ，y ，z)=0(或z=f (x ，y))，在曲面上的点P(x 0，y 0，z 0)处的法方向为)}1,,{(},,{),,(),,(000000z y x y x z y x z y x f f F F F n -'''''=或ρ，则在点(x 0，y 0，z 0)处的切平面方程为 0)()()(000=-'+-'+-'z z F y y F x x F z y x 法线方程为 z y x F z z F y y F x x ' -='-='-000

高等数学多元函数微分法

第八章多元函数微分法及其应用第一节多元函数的基本概念教学目的：学习并掌握关于多元函数的区域、极限以及多元函数概念，掌握多元函数的连续性定理，能够判断多元函数的连续性，能够求出连续函数在连续点的极限。教学重点：多元函数概念和极限，多元函数的连续性定理。教学难点：计算多元函数的极限。教学内容：一、区域 1．邻域设),(000y x p 是xoy 平面上的一个点，δ是某一正数。与点),(000y x p 距离小于δ的点(,)p x y 的全体，称为点0P 的δ邻域，记为),(0δP U ，即 ),(0δP U =}{0δδ为半径的圆内部的点),(y x P 的全体。 2．区域设E 是平面上的一个点集，P 是平面上的一个点。如果存在点P 的某一邻域E P U ?)(，则称P 为E 的内点。显然，E 的内点属于E 。如果E 的点都是内点，则称E 为开集。例如，集合 }41),{(221<+<=y x y x E 中每个点都是E 1的内点，因此E 1为开集。

如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点，也有不属于E 的点（点P 本身可以属于E ，也可以不属于E ），则称P 为E 的边界点。E 的边界点的全体称为E 的边界。例如上例中，E 1的边界是圆周12 2 =+y x 和 22y x +=4。设D 是点集。如果对于D 内任何两点，都可用折线连结起来，且该折线上的点都属于D ，则称点集D 是连通的。连通的开集称为区域或开区域。例如，}0),{(>+y x y x 及 }41),{(22<+0}是无界开区域。二、多元函数概念在很多自然现象以及实际问题中，经常遇到多个变量之间的依赖关系，举例如下：例1 圆柱体的体积V 和它的底半径r 、高h 之间具有关系 h r V 2 π=。这里，当r 、h 在集合}0,0),{(>>h r h r 内取定一对值),(h r 时，V 的对应值就随之确定。

导数及极值、最值练习题

. .. . 三、知识新授（一）函数极值的概念（二）函数极值的求法：（1）考虑函数的定义域并求f'(x); （2）解方程f'(x)=0，得方程的根x 0(可能不止一个）（3）如果在x 0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x 0)是极大值；反之，那么f(x 0）是极大值题型一图像问题 1、函数()f x 的导函数图象如下图所示，则函数()f x 在图示区间上（）（第二题图） A ．无极大值点，有四个极小值点 B ．有三个极大值点，两个极小值点 C ．有两个极大值点，两个极小值点 D ．有四个极大值点，无极小值点 2、函数()f x 的定义域为开区间()a b ，，导函数()f x '在()a b ，的图象如图所示，则函数()f x 在开区间()a b ，有极小值点（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3、若函数2 ()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数()f x '的图象可能为（）

D. C. B. A. x y O x y O x y O O y x 4、设() f x '是函数() f x的导函数，() y f x ' =的图象如下图所示，则() y f x =的图象可能是（）-1 2 1 O y x D. A. 12 12 1 2 2 1x y O x y O x y O O y x 5、已知函数 () f x的导函数() f x ' 的图象如右图所示，那么函数 () f x的图象最有可能的是（） -1 1 f '(x) y x O 6、() f x '是() f x的导函数，() f x '的图象如图所示，则() f x的图象只可能是（） 2x O

第九章多元函数微分法及其应用教案

第九章多元函数微分法及其应用【教学目标与要求】 1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。 2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。 3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 5、掌握多元复合函数偏导数的求法。 6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。 7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。 8、了解二元函数的二阶泰勒公式。 9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。【教学重点】 1、二元函数的极限与连续性； 2、函数的偏导数和全微分； 3、方向导数与梯度的概念及其计算； 4、多元复合函数偏导数； 5、隐函数的偏导数；多元函数极值和条件极值的求法； 6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线；【教学难点】 1、二元函数的极限与连续性的概念； 2、全微分形式的不变性； 3、复合函数偏导数的求法； 4、二元函数的二阶泰勒公式； 5、隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数； 6、拉格郎日乘数法，多元函数的最大值和最小值。【教学课时分配】 (18学时) 第1 次课§１第2 次课§2 第3 次课§3 第4 次课§4 第5次课§5 第6次课§6 第7次课§7 第8次课§8 第9次课习题课【参考书】 [1]同济大学数学系.《高等数学（下）》，第五版.高等教育出版社. [2] 同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社. [3] 同济大学数学系.《高等数学习题全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社

第七章多元函数微分高等数学

第七章多元函数微分学一、内容分析与教学建议（一）本章主要是把一元函数微分学中一些主要概念、理论和方法推广到多元函数，一方面充实微分学，另一方面也给工程技术及自然科学提供一些处理问题的方法和工具。在教学方法上，在一元函数微分学基础上，通过类比方法引入新的问题、概念、理论和方法，并注意比较它们的异同。（二）多元函数、极限、连续先通过介绍平面点集的几个基础概念，引入二元函数由点函数再过渡到多元函数，并引入多元函数极限，讲清它的概念，并指出二元函数与一元函数极限点0P P →方式的异同，可补充一些简单例题给出二元函数求极限的一些常用方法，如换元化为一元函数两边夹准则，运用连续性等。在理解极限概念之基础上，不难得到求一个二元函数极限不存在之方法，最后可介绍累次极限与重极限之关系。（三）偏导数与全微分 1、可先介绍偏增量概念，类比一元函数，引入偏导数，通过例题说明，偏导与连续之关系，在偏导数的计算中，注意讲清分段函数分界点处的偏导数。 2、可由测量矩形相邻边长计算面积实例，类比一元函数的微分，引入全微分的定义，并指出用定义判断),(y x f z =可微，即求极限[ ]ρ y y x z x y x z z y x y x ?+?-?→?→?),(),(lim 0 是否为0。 3、讲清教材中全微分存在的必要条件和充分条件，重点指出可微与偏导之关系，让学生理解关系式dy y z dx x z dz ??+??= 之意义，最后可通过列表给出多元函数连续、偏导存在、可微之相互关系。（四）复合函数求偏导 1、可先证明简单情形的全导数公式，画出函数关系图，通过关系图中“分线相加，连线相乘”法则推广至偏导数或全微分的各种情形),(v u f z =，)(x u ?=，)(x v ?=从中让学生理解口诀的含义。

MATLAB多元函数导数

实验六多元函数的极值【实验目的】 1．多元函数偏导数的求法。 2．多元函数自由极值的求法 3．多元函数条件极值的求法. 4．学习掌握MATLAB 软件有关的命令。【实验内容】求函数3282 4 -+-=y xy x z 的极值点和极值【实验准备】 1．计算多元函数的自由极值对于多元函数的自由极值问题,根据多元函数极值的必要和充分条件,可分为以下几个步骤: 步骤1.定义多元函数),(y x f z = 步骤2.求解正规方程0),(,0),(==y x f y x f y x ,得到驻点步骤3.对于每一个驻点),(00y x ,求出二阶偏导数,,,2222 2y z C y x z B x z A ??=???=??= 步骤4. 对于每一个驻点),(00y x ,计算判别式2 B A C -,如果02 >-B AC ,则该驻点是极值点,当0>A 为极小值, 0

MATLAB 中主要用diff 求函数的偏导数,用jacobian 求Jacobian 矩阵。可以用help diff, help jacobian 查阅有关这些命令的详细信息【实验方法与步骤】练习1 求函数3282 4 -+-=y xy x z 的极值点和极值.首先用diff 命令求z 关于x,y 的偏导数 >>clear; syms x y; >>z=x^4-8*x*y+2*y^2-3; >>diff(z,x) >>diff(z,y) 结果为 ans =4*x^3-8*y ans =-8*x+4*y 即 .48,843y x y z y x x z +-=??-=??再求解正规方程，求得各驻点的坐标。一般方程组的符号解用solve 命令，当方程组不存在符号解时，solve 将给出数值解。求解正规方程的MATLAB 代码为： >>clear; >>[x,y]=solve('4*x^3-8*y=0','-8*x+4*y=0','x','y') 结果有三个驻点，分别是P(-2,-4),Q(0,0),R(2,4).下面再求判别式中的二阶偏导数： >>clear; syms x y; >>z=x^4-8*x*y+2*y^2-3; >>A=diff(z,x,2) >>B=diff(diff(z,x),y) >>C=diff(z,y,2) 结果为 A=2*x^2 B =-8 C =4 由判别法可知)2,4(--P 和)2,4(Q 都是函数的极小值点，而点Q(0,0)不是极值点，实际上， )2,4(--P 和)2,4(Q 是函数的最小值点。当然，我们可以通过画函数图形来观测极值点与鞍点。 >>clear; >>x=-5:0.2:5; y=-5:0.2:5; >>[X,Y]=meshgrid(x,y);