2007年硕士研究生入学考试（数学三）试题及答案解析
一、选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内）
（1） 当0x +
→B ）
A .1- .ln(1
B + 1
C .1
D -
（2） 设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是： (D)
A .若0()lim
x f x x →存在，则(0)0f = .B 若0()()
lim x f x f x x
→+-存在，则(0)0f =
.C .若0()lim
x f x x →存在，则'(0)f 存在 .D 若0()()
lim x f x f x x
→--存在，则'(0)f 存在 （3） 如图.连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0
()(),
x
F x f t dt =?
则下列结论正确的是：（C ）
.A .(3)F 3(2)4F =-
- .B (3)F 5
(2)4F = .C (3)F - 3(2)4F =- .D (3)F -5
(2)4
F =--
（4） 设函数(,)f x y 连续，则二次积分1
sin 2
(,)x
dx f x y dy ππ??
等于（B ）
.A 10
arcsin (,)x
dy f x y dx ππ
+?? .B 10arcsin (,)y
dy f x y dx π
π-??
.
C 1
arcsin 0
2
(,)y
dy f x y dx ππ
+?
? .D 1arcsin 0
2
(,)y
dy f x y dx ππ
-??
（5） 设某商品的需求函数为1602Q ρ=-，其中Q ，ρ分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（D ）
.A 10 .B 20 .C 30 .D 40 （6） 曲线1
ln(1),x y e x
=
++渐近线的条数为（D ） .A 0 .B 1 .C 2 .D 3
（7）设向量组线性无关，则下列向量组线相关的是 (A) （A ）12αα-2131,,αααα-- (B)21αα-2331,,αααα++ (C)1223312,2,2αααααα--- (D)1223312,2,2αααααα+++
（8）设矩阵211121112A --????=--????--??，100010000B ????
=??????
则A 与B （B ）
（A ）合同，且相似 (B) 合同，但不相似
(C) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似
(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 (C)
2()3(1)A p p - 2()6(1)B p p - 22()3(1)C p p - 22()6(1)D p p -
(10) 设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，(),()x y f x f y 分别表示X, Y 的概率密度，则在Y y =条件下，X 的条件概率密度()X Y x y f 为 (A) （A ）()X f x (B)()y f y (C)()()x y f x f y (D)
()
()
x y f x f y 二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上
（11）323
1
lim
(sin cos )___0_________2x x x x x x x →∞+++=+. （12）设函数123
y x =+，则()
1
(1)2!(0)___________3n n n n n y +-=. （
13
）
设
(,)
f u v 是二元可微函数，
(,),
y x
z f x y
=则
''122(,)2(,)z z y y x x y x y f f x y x x y y x y
??-=-+??. （14）微分方程
3
1()2dy y y dx x x
=-满足11x y ==的特解为2
2
1ln x y x
=
+. （15）设距阵01000010,00010
000A ??
? ?
= ?
???
则3A 的秩为＿＿1＿＿＿.
(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于
12的概率为＿3
4
＿.
三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本题满分10分）
设函数()y y x =由方程ln 0y y x y -+=确定，试判断曲线()y y x =在点（1，1）附近的凹凸性. 【详解】：
''''
1'2''
'
'''
'2
1
''
11
ln 2102ln 11
2ln12
1()(2ln )0(2ln )()1
1(2ln1)8
()(1,1)x x x y y y y y
y y y y y y y y y y y y
y y x ===+-=?=+=
=+++=?=-+=-
=-<+=对方程两边求导得从而有再对两边求导得求在(1,1)的值：所以在点处是凸的
（18）（本题满分11分）
设二元函数
2. 1.(,)1 2.
x x y f x y x y ?+≤?
=≤+≤
计算二重积分
(,).D
f x y d σ??其中{}
(,)
2D x y x y =+≤
【详解】：积分区域D 如图，不难发现D 分别关于x 轴和y 轴对称，设1D 是D 在第一象限中的部分，即 {}1(,)0,0D D
x y x y =≥≥
利用被积函数(,)f x y 无论关于x 轴还是关于y 轴对称，从而按二重积分的简化计算法则可得
1
(,)4(,)D
D f x y d f x y d σσ=????
设
11112
D D D =+，其中
{}{}1112(,)1,0,0,(,)12,0,0D x y x y x y D x y x y x y =+≤≥≥=≤+≤≥≥
于是
1
11
12
11
12
2
(,)4(,)4(,)4(,) 44(,)D
D D D D D f x y d f x y d f x y d f x y d x d f x y d σσσσ
σσ
==+=+????????????
由于{}
11(,)01,01D x y x y x =≤≤≤≤-，故
11
1
1122200
0111
(1)3412
x
D x d x dx dy x x dx σ-==-=-=?????
为计算12D 上的二重积分，可引入极坐标(,)r θ满足cos ,sin x r y r θθ==.在极坐标系
(,)r θ中1x y +=的方程是1,2cos sin r x y θθ=
+=+的方程是， 2
cos sin r θθ
=
+，因而
12120,2cos sin cos sin D r πθθθθθ??
=≤≤≤≤??++??
，故
12
2
2cos sin 210
0cos sin 1cos sin D r d dr d r
ππ
θθ
θθ
θθθθ++==+??
??
?
令tan
2
t θ=作换元，则2arctan t θ=，于是:0:012
t π
θ→
?→且
2222
212,cos ,sin 111dt t t
d t t t
θθθ-===+++，代入即得
12
112
220
000
11221
00122(1)cos sin 122(1)22 221)D dt dt
d t u t t t du du du u u π
θθθ===-=++--=-==--=
=??
?????
综合以上计算结果可知
11
(,)41)1)123
D
f x y d σ=?
+=+??
（19）（本题满分11分）
设函数()f x ，()g x 在[],a b 上内二阶可导且存在相等的最大值，又()f a ＝()g a ，
()f b ＝()g b ，证明：
（Ⅰ）存在(,),a b η∈使得()()f g ηη=； （Ⅱ）存在(,),a b ξ∈使得''()''().f g ξξ=
【详解】：证明：(1)设(),()f x g x 在(,)a b 内某点(,)c a b ∈同时取得最大值，则()()f c g c =，
此时的c 就是所求点()()f g ηηη=使得.若两个函数取得最大值的点不同则有设
()max (),()max ()f c f x g d g x ==故有()()0,()()0f c g c g d f d ->-<，由介值定
理，在(,)c d 内肯定存在()()f g ηηη=使得
(2)由(1)和罗尔定理在区间(,),(,)a b ηη内分别存在一点''
1212,,()()f f ξξξξ使得＝＝0在区
间12(,)ξξ内再用罗尔定理，即''''
(,)()()a b f g ξξξ∈=存在，使得. （20）（本题满分10分）
将函数2
1
()34
f x x x =--展开成1x -的幂级数，并指出其收敛区间. 【详解】：
102001111
()()
(4)(1)513121111513512111111()()()
154151531()3
1124
3111111()()()(1)15110102
1()2
1112
2111()()153n
n n
n
n n n f x x x x x x x x f x x x x x x f x x x x x x f x ∞=∞=∞==
=--+---+=-
---+-==-=-----
12
n
n
n x x ∞=---<<∑故收敛域为：
1231232
123123(21)(11)
20
(1)
40
21(2)x x x x x ax x x a x x x x a a ?++=?
++=??++=?++=-本题满分分设线性方程组与方程有公共解，求的值及所有公共解
【详解】：因为方程组(1)、(2)有公共解，即由方程组(1)、(2)组成的方程组
1231232
1231
23020(3)4021
x x x x x ax x x a x x x x a ++=??++=??++=??++=-?的解.
即距阵2111
00201401211a
a a ?? ? ? ? ? ?-?
?211100110001000340a a a ?? ?- ?→ ?- ? ?++??
方程组(3)有解的充要条件为1,2a a ==.
当1a =时，方程组(3)等价于方程组(1)即此时的公共解为方程组(1)的解.解方程组(1)的基础解系为(1,0,1)T
ξ=-此时的公共解为：,1,2,
x k k ξ=
=
当2a =时，方程组(3)的系数距阵为11101110122
001101440000111110
0????
? ?
? ?
→ ? ?
? ?????
此时方程组(3)的解为1230,1,1x x x ===-，即公共解为：(0,1,1)T
k - （22）（本题满分11分）
设3阶实对称矩阵A 的特征值12311,2,2,(1,1,1)T
λλλα===-=-是A 的属于1λ的一
个特征向量.记53
4B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵.
（Ⅰ）验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量； （Ⅱ）求矩阵B. 【详解】：
（Ⅰ）可以很容易验证111(1,2,3...)n n
A n αλα==，于是 5353
111111(4)(41)2B A A E ααλλαα=-+=-+=-
于是1α是矩阵B 的特征向量.
B 的特征值可以由A 的特征值以及B 与A 的关系得到，即 5
3
()()4()1B A A λλλ=-+， 所以B 的全部特征值为－2，1，1.
前面已经求得1α为B 的属于－2的特征值，而A 为实对称矩阵，
于是根据B 与A 的关系可以知道B 也是实对称矩阵，于是属于不同的特征值的特征
向量正交，设B 的属于1的特征向量为123(,,)T
x x x ，所以有方程如下：
1230x x x -+=
于是求得B 的属于1的特征向量为23(1,0,1),(1,1,0)T T
ββ=-=
因而，矩阵B 属于2μ=-的特征向量是是1(1,1,1)T
k -，其中1k 是不为零的任意常数.
矩阵B 属于1μ=的特征向量是是23(1,1,0)(1,0,1)T T
k k +-，其中23,k k 是不为零的任意常
数.
（Ⅱ）由1122332,,,B B B ααβαββ=-==有 令矩阵123123(,,)(2,,)B αααβββ=-， 则1
(2,1,1)P BP diag -=-，所以 那么
1
1
123123*********(2,,)(,,)210101303201110330B βββααα------????????????=-=-=??????
??????--??????
（23）（本题满分11分）
设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为
2,01,0 1.
(,)0,x y x y f x y --<<<
其他
（Ⅰ）求{}2P X Y >；
（Ⅱ）求Z X Y =+的概率密度()Z f z . 【详解】：
（Ⅰ）{}2(2)D
P X Y x y dxdy >=--??，其中D 为01,01x y <<<<中2x y >的那部分
区域；
求此二重积分可得{}1
1
200
2(2)x P X Y dx x y dy >=--??
1
2
05()8x x dx =
-? 7
24
=
（Ⅱ）{}{}()Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤
当0z ≤时，()0Z F z =； 当2z ≥时，()1Z F z =；
当01z <<时，32
00
1()(2)3
z
z x
Z F z dx x y dy z z -=
--=-+??
当12z <<时，1132
115()1(2)2433
Z z z x F z dx x y dy z z z --=---=-+-??
于是22
2,01()44,120,Z z z z f z z z z ?-<
其他
（24）（本题满分11分）
设总体X 的概率密度为
1
,0,21
(;),1,2(1)0,x f x x θθθθθ?<
其他.
其中参数(01)θθ<<未知，12,,...n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，X 是样本均值. （Ⅰ）求参数θ的矩估计量θ；
（Ⅱ）判断2
4X 是否为2
θ的无偏估计量，并说明理由. 【详解】：
（Ⅰ）记EX μ=，则
10
22(1)x x
EX dx dx θ
θμθ
θ==+-?
?
11
42
θ=+， 解出122θμ=-
，因此参数θ的矩估计量为122
X θ=-； （Ⅱ）只须验证2
(4)E X 是否为2
θ即可，而
2
2
2
2
1
(4)4()4(())4(())E X E X DX E X DX EX n
==+=+，而 1142EX θ=
+，221
(12)6
EX θθ=++，
22251
()481212
DX EX EX θθ=-=
-+， 于是22
2533131(4)1233n n n E X n n n θθθ+-+=++≠
因此2
4X 不是为2
θ的无偏估计量.