唐山一中2014—2015学年度第一学期高二年级第二次月考
数学试题 （理科） 命题人：陈玉珍 审核人：姚洪琪
试卷Ⅰ（共 60 分）
一、选择题（本题共12个小题,每题只有一个正确答案 ，每题5分，共60分。请把答案填涂在
答题卡上）
1.下列命题是真命题的是 （ ）
A ．22bc ac b a ＞是＞的充要条件
B ．11,1＞是＞＞
ab b a 的充分条件 C ．0,0
0≤∈?x e
R x D ．若q p ∨为真命题，则q p ∧为真
2.若当方程x 2
＋y 2
＋kx ＋2y ＋k 2
＝0所表示的圆取得最大面积时，则直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α＝ ( )
A.3π4
B.π4
C.3π2
D.5π
4
3.两直线y ＝x ＋2a,y ＝2x ＋a 的交点P 在圆(x －1)2
＋(y －1)2
＝4的内部,则实数a 的取值范围是 ( ) A ．－15 ＜a ＜1 B ．a ＞1或＜－15 C ．－15≤a ＜1 D ．a ≥1或a ≤－1
5
4. 已知:1
:
1.:||12
p q x a x ≥-<-若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )
A ．(2,3]
B ．[2,3]
C ．(2,3)
D ．(,3]-∞
5. 某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，
则该四棱锥的体积等于 ( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
6.已知n m ,为异面直线,⊥m 平面α,⊥n 平面β.
直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥??,则 （ ） A ．βα//,且α//l
B ．βα⊥,且β⊥l
C ．α与β相交,且交线垂直于l
D ．α与β相交,且交线平行于l
7．正四面体ABCD 的棱长为1，G 是△ABC 的中心，M 在线段DG 上，且∠AMB ＝90°，则
GM
的
长
为
( )
A ．12
B ．22
C ．3
3
D ．
66
8.如图在三棱锥ABC S -中，底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，
⊥SO 底面ABC ，O 为垂足，则侧棱SA 与底面ABC 所成角的余弦值为 ( )
A ．
23 B ．21
C ．
33 D ．6
3 9.直三棱柱111A B C A B C
-中，0
90=∠BCA ，M N 、分别是1111A B A C 、的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成的角的余弦值为 ( )
A ．110
B ．25
C
D
10.若双曲线1
22
22=-b
y a x 的离心率为
,则其渐近线方程为 ( )
A ．
B
．y = C ．
D ．
11.已知双曲线)0,(122
22>=-b a b
y a x 的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A, B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △A OB 的面积为
, 则p = ( )
A ．1
B ． 2
3
C ．2
D ．3
12.已知双曲线
的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲
线的右焦点为圆C
的圆心，则该双曲线的方程为
( )
A.x 25－y 24＝1
B.x 24－y 25＝1
C.x 23－y 2
6＝1 D.x 26－y 2
3
＝1
试卷Ⅱ（共 90 分）
二、填空题（本题共4个小题,每题5分，共计20分.请把答案写在答题纸上）
13．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯
S
B
A
C
O
形，那么原平面图形的面积是__________.
14. 设直线l 与球O 有且只有一个公共点P ，从直线l 出发的两个半平面βα,截球O 的两个截面圆的半径分别为1和3，二面角βα--l 的平面角为
2
π
，则球O 的表面积为 . 15.已知椭圆C ：)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左右焦点分别为12,F F ，点P 为椭圆C 上的任意
一点，若以12,,F F P 三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是 .
16.已知直线y=a 交抛物线y=x 2
于A,B 两点.若该抛物线上存在点C,使得∠ACB 为直角, 则a
的取值范围为 .
三、解答题（本题共6个小题，其中第17题10分，其余各题12分共计70分。请把解答过
程写在答题纸上） 17.已知:p 关于x 的不等式23x m -<)0(>m ，:(3)0q x x -<，若?p 是?q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.
18. 已知过球面上三点A,B,C 的截面到球心的距离等于球半径的一半,且AC=BC=6，AB=4.计算球的表面积与体积.
19．如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，AD ＝CD ＝1，AA 1＝AB ＝2，E 为棱AA 1的中点． (1)证明B 1C 1⊥CE ；
(2)求二面角B 1－CE －C 1的正弦值；
(3)设点M 在线段C 1E 上，且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正
AM 的长．
20. 已知点P 是椭圆22
1167x y +=上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，OP OM
λ=.求点M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。
21. .已知抛物线2
4(0)y x x =>，是否存在正数m ，对于过点(,0)m 且与抛物线有两个交点
,A B 的任一直线都有0FA FB ?
22.设椭圆E: 22
221x y a b
+=（a,b>0）过M （2 ，两点，O 为坐标原点，
（I ）求椭圆E 的方程；
（II ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且
OA OB ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。
答案
一选择题： BAAAB DDDDB CA 二填空：22+ 16π
三解答题 17. (0,3) 18.
54π
19.解：(方法一)
(1)证明：如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A (0,0,0)，B (0,0,2)，C (1,0,1)，B 1(0,2,2)，C 1(1,2,1)，E (0,1,0)．
易得11B C ＝(1,0，－1)，CE ＝(－1,1，－1)，于是11B C ·CE ＝0，
所以B 1C 1⊥CE .
(2)1BC ＝(1，－2，－1)．
设平面B 1CE 的法向量m ＝(x ，y ，z )，
则10,0,B C CE ??=???=??m m 即20,
0.
x y z x y z --=??-+-=? 消去x ，得y ＋2z ＝0，不妨令z ＝1，可得一个法向量为m ＝(－3，
－2,1)．
由(1)，B 1C 1⊥CE ，又CC 1⊥B 1C 1，可得B 1C 1⊥平面CEC 1，
故11B C ＝(1,0，－1)为平面CEC 1的一个法向量．
于是cos 〈m ，11B C
〉＝11117||||14B C B C ?==
-?m m ， 从而sin 〈m ，11
B C . 所以二面角B 1－CE －C 1的正弦值为7
. (3)AE ＝(0,1,0)，1EC ＝(1,1,1)．
设EM ＝λ1EC ＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有AM ＝AE ＋EM ＝(λ，λ＋1，λ)． 可取AB ＝(0,0,2)为平面ADD 1A 1的一个法向量． 设θ为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角，则 sin θ＝|cos 〈
AM ，AB 〉|
＝
AM AB AM AB
??
＝
=
.
6
=
，解得13λ=，
所以AM (方法二)
(1)证明：因为侧棱CC 1⊥底面A 1B 1C 1D 1，B 1C 1?
平面A 1B 1C 1D 1，
所以CC 1⊥B 1C 1.
经计算可得
B 1E B 1
C 1EC 1 从而B 1E 2＝22111B C EC +，
所以在△B 1EC 1中，B 1C 1⊥C 1E ，
又CC 1，C 1E ?平面CC 1E ，CC 1∩C 1E ＝C 1， 所以B 1C 1⊥平面CC 1E ，
又CE ?平面CC 1E ，故B 1C 1⊥CE .
(2)过B 1作B 1G ⊥CE 于点G ，连接C 1G .
由(1)，B 1C 1⊥CE ，故CE ⊥平面B 1C 1G ，得CE ⊥C 1G ，
所以∠B 1GC 1为二面角B 1－CE －C 1的平面角． 在△
CC 1E 中，由CE ＝C 1E CC 1＝2，可得C
1G ＝3
. 在Rt △B 1C
1G 中，B 1G ，
所以sin ∠B 1GC 1， 即二面角B 1－CE －C 1的正弦值为
7
. (3)连接D 1E ，过点M 作MH ⊥ED 1于点H ，可得MH ⊥平面ADD 1A 1，连接AH
，AM ，则∠MAH 为直线AM 与平面ADD 1A
1所成的角．
设AM
＝x ，从而在Rt △AHM 中，有MH x ，AH x .
在Rt △C 1D 1E 中，C 1D 1＝1，ED 1
EH
1
3
x =. 在△AEH 中，∠AEH ＝135°，AE ＝1， 由AH 2＝AE 2＋EH 2－2AE ·EH cos 135°
，得
2217111893
x x x =++， 整理得5x 2
－－6＝0，解得x
所以线段AM
20.设(,)M x y ，其中[]4,4x ∈-。由已知
222
OP OM
λ=及点P 在椭圆C 上可得
22
22
911216()
x x y λ+=+。 整理得2222(169)16112x y λλ-+=，其中[]4,4x ∈-。 （i ）34
λ=
时。化简得2
9112y = 所以点M
的轨迹方程为44)3
y x =±
-≤≤，轨迹是两条平行于x 轴的线段。 （ii ）3
4
λ≠时，方程变形为
22
22
111211216916x y λλ+=-，其中[]4,4x ∈-
当3
04
λ<<时，点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y 轴上的双曲线满足44x -≤≤的部分。
当3
14
λ<<时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆满足44x -≤≤的部分；
当1λ≥时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆；
21．（II ）设过点M （)0,m （)0>m 的直线l 与曲线C 的交点为A ),(11y x ，),(22y x B 设l 的方程为m ty x +=，由
???=+=x
y m ty x 42
得0442=--m ty y ，0)(162
>+=?m t ，于是??
?-=?=+m y y t
y y 442
121① 又),1(),,1(2211y x FB y x FA -=-=，
01)()1)(1(021********<+++-=+--?
又4
2
y x =于是不等式②等价于
01]2)[(4
116)(01)44(4421221212212
221212221<+-+-+?<++-+?y y y y y y y y y y y y y y ③ 把①式代入不等式③有2
2416t m m <+-④
对任意实数t ，42
t 的最小值是0，所以不等式④对于一切t 成立等价于0162
<+-m m ， 即223-223+ m
由此可知，存在正数m ，对于过点M （m,0)且与曲线C 有两个交点A,B 的任一直线，都有
0
22. 解:假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且
OA OB ⊥,设该圆的切线方程为y kx m =+解方程组22
18
4x y y kx m
+==+?????得22
2()8x kx m ++=,即222(12)4280k x kmx m +++-=,
则△=222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>,即22
840k m -+>
1222
12241228
12km x x k m x x k ?
+=-??+?-?=?+?
,
2222222
2
212121212222
(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=
+++要使OA OB ⊥,需使12120x x y y +=,即22222
28801212m m k k k --+=++,所以22
3880m k --=,所以22
3808m k -=≥又22
840k m -+>,所以22238
m m ?>?≥?,所以283m ≥,
即m ≥
或
m ≤,因为直线y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径
为r =,222
228381318
m m r m k ===-++
,r =所求的圆为22
83x y +=,此时圆的
切线y kx m =+都满足3m ≥
或3
m ≤-,而当切线的斜率不存在时切线为
3x =±与椭圆22184x y +=的两个交点为(33±或(33
-±满足OA OB ⊥,综上, 存在圆心在原点的圆228
3
x y +=
，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥.