平面向量的概念及线性运算
1．(2019·山东省实验中学高三摸底测试)已知a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是( )
A ．a ＋b ＝0
B ．a ＝b
C ．a 与b 反向共线
D ．存在正实数λ，使得a ＝λb
解析：选D 由已知得，向量a 与b 为同向向量，即存在正实数λ，使得a ＝λb ，故选D.
2．设a 0为单位向量，下述命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a|a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a|a 0；③若a 与a 0平行且|a|＝1，则a ＝a 0.假命题的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：选D 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.
3．(2019·广东仲元中学期中)在平行四边形ABCD 中，下列结论错误的是( )
A ．|A
B ―→|＝|AD ―→
|一定成立 B ．AC ―→＝AB ―→＋AD ―→
一定成立 C ．AD ―→＝BC ―→
一定成立
D ．BD ―→＝AD ―→－AB ―→
一定成立
解析：选A 在平行四边形ABCD 中，AC ―→＝AB ―→＋AD ―→一定成立，AD ―→＝BC ―→
一定成立，BD ―→＝AD ―→－AB ―→一定成立，但|AB ―→|＝|AD ―→
|不一定成立．故选A.
4．(2019·石家庄高三一检)在△ABC 中，点D 在边AB 上，且BD ―→＝12DA ―→
，
设CB ―→＝a ，CA ―→＝b ，则CD ―→
＝( )
A.13a ＋23b
B.23a ＋1
3b C.35a ＋45
b D.45a ＋35
b
解析：选B ∵BD ―→＝12DA ―→，∴BD ―→＝13BA ―→，∴CD ―→＝CB ―→＋BD ―→＝CB ―→＋13BA
―→
＝CB ―→＋13(CA ―→－CB ―→)＝23CB ―→＋13CA ―→＝2
3a ＋13
b ，故选B.
5.(2019·长春模拟)如图所示，下列结论正确的是( )
①PQ ―→＝3
2a ＋32b ；
②PT ―→＝3
2a －b ；
③PS ―→＝3
2a －12b ；
④PR ―→＝3
2a ＋b.
A ．①②
B ．③④
C ．①③
D ．②④
解析：选C ①根据向量的加法法则，得PQ ―→＝3
2a ＋32b ，故①正确；②根据
向量的减法法则，得PT ―→＝32a －32b ，故②错误；③PS ―→＝PQ ―→＋QS ―→＝3
2a ＋32b －2b
＝32a －12b ，故③正确；④PR ―→＝PQ ―→
＋QR ―→＝32a ＋32b －b ＝32a ＋12b ，故④错误，故选C.
6．(2019·嘉兴调研)已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA ―→＋OB ―→＋CO ―→＝0，则△ABC 的内角A 等于( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
解析：选A 由OA ―→＋OB ―→＋CO ―→＝0得，OA ―→＋OB ―→＝OC ―→
，由O 为△ABC 外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知，四边形OACB 为菱形，且∠CAO ＝60°，故A ＝30°.
7.(2019·江西新余第一中学模拟)如图，已知△OAB ，若点C 满足AC ―→＝2CB ―→，OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→
(λ，μ∈R)，则1λ＋1
μ
＝( )
A.13
B.23
C.29
D.92
解析：选D ∵OC ―→＝OA ―→＋AC ―→＝OA ―→＋23AB ―→＝OA ―→＋23(OB ―→－OA ―→)＝13OA
―→
＋23OB ―→
，∴λ＝13，μ＝23，∴1λ＋1μ＝3＋32＝92
.故选D. 8．(2019·张家口月考)在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，若2OA ―→＋OC ―→＝2OD ―→＋OB ―→
，则四边形ABCD 一定是( )
A ．矩形
B ．梯形
C ．平行四边形
D ．菱形
解析：选B ∵2OA ―→＋OC ―→＝2OD ―→＋OB ―→，∴2(OA ―→－OD ―→)＝OB ―→－OC ―→
，即2DA ―→＝CB ―→，∴DA ∥CB ，且2|DA ―→ |＝|CB ―→|，∴四边形ABCD 一定是梯形．故选B.
9．(2019·甘肃诊断)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ―→＝－4CD ―→，则AD ―→
＝( )
A.14AB ―→－34AC ―→
B.14AB ―→＋34AC ―→
C.34AB ―→－14
AC ―→ D.34AB ―→＋14
AC ―→ 解析：选B 法一：设AD ―→＝x AB ―→＋y AC ―→，由BC ―→＝－4CD ―→可得，BA ―→＋AC ―→
＝－4CA ―→－4AD ―→，即－AB ―→－3AC ―→＝－4x AB ―→－4y AC ―→
，则⎩⎨
⎧
－4x ＝－1，－4y ＝－3，
解
