承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
所属学校（请填写完整的全名）：云南大学滇池学院
参赛队员(打印并签名) ：1. 文可鑫
2. 李翔
3. 何宝林
指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：张懋洵
日期： 2010 年 9 月 12 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
储油罐的变位识别与罐容表标定
摘要
本文研究的是储油罐的变位识别与罐容表标定问题，针对问题一和问题二所提的不同要求，分别建立了可靠、有效的数学模型。
针对问题一中的椭圆柱体形的储油罐纵向变位对H V -的影响，建立了两个模型来进行求解：
模型一，针对题中给定的实验数据建立了数据拟合模型，比较直观的拟合了
面的高度可以分为两种特殊情况即max H H =和0=H ，和另外三种一般情况得出
H V -的关系
()()()
) 180 4.1 tan(l -h 2 tan ) 180 4.1 tan(l -h ) 180 4.1 (tan l)-(L 2 ) 180 4.1 tan(l)-(L H 0 2)( tan tan )( 0 2222 0 tan tan 0 222
2tan 0 2222
tan tan 0
????????
???**>--+??
? ??-+**≤<**--**≤≤--=??????-+-+-++-+L h H l z l H L z l H H l z l H H dydz b y b a a h H l ab H dydz b y b a a dydz b y b a a H V αααααααπαππππ并用附录给定数据和matlab 验证了该数学积分容积模型的正确性。
针对问题二中的典型储油罐的横纵变位对罐容表的影响，建立了积分容积模型。我们对横向变位(α≠0,β=0)、纵向变位(α=0,β≠0)和横纵变位(α≠0,β≠0)三种情况分别进行研究，最终得到了三种情况α,β和罐容表之间的一般关系。根据所建模型求解出了三种情况下α，β值分别为：(1)α=3.878;(2)β=7.920;(3)α= 2.762，β=5.390。
对于所建的模型，都有严谨的数学推导，并通过模型检验证明所建模型具有可靠性和准确性。
关键词：变位 积分 修正高度 运动合成模型
一、问题重述
通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。
请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。
（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。
（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。
二、基本假设
1、假设温度变化对实验数据没有影响。
2、假设罐体壁厚度不考虑。
3、由地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化，假设
这个纵向倾斜和横向偏转角度都为小角度。
4、假设油浮子阻力可以忽略不计。
5、假设油浮子的体积大小忽略，将其认为为一个点。
三、符号说明
H油浮子的高度
V储油罐内的油量
α纵向变位的角度
β横向变位的角度
L油罐的长度
l 浮油子杆到油罐左端的距离 h 油罐的直径
R 球冠体所在球的半径 r 油罐圆柱体的半径 a 椭圆油罐的长半轴 b 椭圆油罐的短半轴
'H 油面修正高度
四、 问题分析与建模
4.1 数据预处理
对于附件中的实验数据，由于在实验中存在读数、测量方法、仪器及电磁干扰等等因素产生的粗大误差和由固定不变的或者规律变化因素造成的系统误差。对于存在的这两种误差，我们分采用了中位数检验法和马利科夫判据读数据作处理，筛选出真实有效的数据。
在附件一中，两组进油数据中都有底油，H 高度油罐中的油量为累加油量加上底油才是当前高度H 对应的油量V ，对两附件数据部分处理结果（见附录）。
4.2 问题一的分析与建模
在问题一中用)(1H V 表示无变位的高度H 和油量V ，)(2H V 表示无变位的高度H 和油量V ，问题一中为了要掌握罐体变位后对罐容表的影响，必须要得到罐体无变位和倾斜后油量V 和高度H 的函数V 关系,因此根据附件数据，建立了模型一：数据拟合模型。
我们采用了对于该数据比较适合的拟合算法麦夸特(Levenberg-Marquardt) 和通用全局优化法,用1stOpt 进行拟合得到函数模型：
油罐无变位时： 油罐无变位
(1)
2324.20003.00163.04695.03387.77590.625595.21402495.0)(2
732
5
22
31H H H H H H H H V *-*+*-*+*-*+*-=时：
(2)
109298.610600.2108963.3100158.3104300.100742.00872.0)(12
33
10
26
8
20
6
144822H H H H H H H V **-**+**-**+**-*+=-----
由于用拟合方式只有在统计上具有说服力，要得到油量V 和高度H 更加准确和更加有说服力对应函数)(H F V =，根据题中给出的罐体的各种参数和对于这种规则但罐体倾斜的体积，我们采用了积分方法建模，得到了我们的模型二：积分容积模型。
4.2.1 问题一无变位情况 在这种情况下，利用积分求体积的方式很快就能够建立出无变位的数学模型—--积分容积模型（各参变量如图1所示）。
z
图1 不变位情况图示
具体方法如下：
建立如图1所示的坐标系，在油罐液体中，沿着平行于
xoy 平面的方向取出一个油液薄片，其体积L dS dV *=。dS 为截面的面积，得到下面坐标系如图2的截面图：
图 1 椭圆截面图示
截面椭圆方程为1)(2
2
22=-+b
b y a x ，dy x dS **2= ，因此dy b y b
a a dS *)(*2222
2
--=，在将dS 沿y 轴从0到H 积分得到油的体积：
()(3) 2)(0
2
21?
--=H
dy b y b b
aL H V 4.2.2 问题一变位情况
经过分析在变位时存在两种特殊情况：第一种油面很低，由于变位油液始终在斜底部，以至于增加少量油液，油液高度H 始终为0；第二种情况当油面很高，高到油浮子到了杆的顶部，此后随着油液的增加油液高度始终保持最大值H 不变。除这两种特殊情况外存在三种一般情况，求出了具体的H V -关系。由于H 在不同的取值区间有不同函数以及被积区间，我们把积分过程分成以下情况。
情况一：液高度H 低于AB ，即?*≤≤tan4.1l)-(L H 0时，根据几何关系，能够建立模型----积分容积模型（各参变量如图3所示）。
z
图 2 变位情况一图示
对于这种情况，建立如图3所示的坐标系，截面椭圆方程为1)(2
2
22=-+
b b y a x ，取出油液薄片，油液薄片投影如图4所示。
X
图 3 变位情况一截面投影图示
先对算出截面的面积dy b y b
a a dy x ds *)(*2**2222
2
--==，而对dS 积分
的上限即y 的值与截面所取的位置有关即与z 有关，所以根据油高H 和α角建立关系求出上限值，上限值等于ααtan *tan *z l H -+，再将面积对z 积分，z 的上
限值确定也与H 和α有关，为α
tan H
l +，得出积分表达式如下：
()(4) 2)(tan 0
2
222
tan tan 0
2dydz b y b
a a H V H l z l H ?
?
+
-+--=α
α
α
情况二：液高度H 低于AB , 即?
?*≤<*tan4.1l -h 4.1tan l)-(L H 时，能够建立模型----积分容积数学模型（各参变量如图5所示）。
z
图 4 变位情况二图示
对于此情况，建立如图5所示的坐标系，截面椭圆方程为1)(2
2
22=-+b
b y a x ，油液薄片如上图所示，仿照情况一的思路，我们得到这种情况下的积分式：
()(5) 2)(0
tan tan 0
2
222
2?
?
-+--=L
z l H dydz b y b
a a H V α
α
情况三：液高度H 低于AB ,即?
*>tan4.1l -h H 时，根据几何关系，能够建立模型----积分容积模型（各参变量如图6所示）。
z
图 5 变位情况三图示
对于这种情况，建立如图6所示的坐标系，截面椭圆方程为1)(2
2
22=-+b
b y a x ，
油的体积可分成两部分，第一部分为规则的椭圆柱的体积，第二部分为一不规则体的体积。
对规则的椭圆柱求其体积，求出椭圆柱的高为α
tan h
H l -+，利用底乘以高得到
)tan (*α
πh
H l ab -+，从而得出第一部分的体积；对于第二部分，仍取油液薄片如图
6所示，仍是算出薄片的微元体积再对其积分，为此先根据H 和α的关系确定出积分上下限，对面积积分即对y 积分时因为积分的高度与取油液薄片的位置（z
的取值）、H 和α的值有关，所以根据H l z y =-+αtan *)(,求出y 的值即为对y 积
分的上限，对z 积分时，下限的取值是椭圆柱的高到罐体长L 。
()(6) 2tan )(tan tan )(0
2222
2??-+-+--+??? ??-+=L h H l z l H dydz b y b a a h H l ab H V α
ααπ 则综上得到积分容积模型H V -关系为：
()()()
)1804.1tan(l -h 2tan (7) )1804.1tan(l -h )1804.1(tan l)-(L 2 )1804.1tan(l)-(L H 0 2)(tan tan )(0
22
220tan tan 02222
tan 0
2222tan tan 02????????
???**>--+??
? ??-+**≤<**--**≤≤--??????-+-+-++-+L h H l z l H L z l H H l z l H H dydz b y b a a h H l ab H dydz b y b a a dydz b y b a a H V ααα
ααααπαππππ 4.3问题二的分析与建模
问题二中为一个典型的储油罐，要求得到是油罐发生了横向和纵向倾变位后的H V -关系，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β ）之间的一般关系。
在这个问题中，会有三种情况造成附件的实际数。(1)只有纵向变位，即
0,0=≠βα；(2)只有横向变位，即0,0≠=βα；（3）纵向和横向变位都存在时，即0,0≠≠βα。
4.3.1问题二纵向变位分析与建模(0,0=≠βα)
根据题设已知，建立模型的方法与问题一中模型二的建立方法类似，于是在给我们提供了一个建模的方式----积分建模方式。
经过分析在变位时存在两种特殊情况：第一种油面很低，由于变位油液始终在斜底部，以至于增加少量油液，油液高度H 始终为0；第二种情况当油面很高，高到油浮子到了杆的顶部，此后随着油液的增加油液高度始终保持最大值H 不变。除这两特殊情况外还存在以下三种一般情况，求出了具体H V -关系。由于H 在不同的取值区间有不同函数以及被积区间，我们把积分过程分成以下情况。
积分预处理，对油罐两端的球冠体被油液面截后的体积作单独的积分出来如下(坐标系如下图7所示)：
左球冠体：
y
左下油片投影在xoz 面的圆弧
图 6 左球冠体积分图示
对于左半球冠采用如上图所示的坐标系，求油面与球冠面包围的体积，O 为球冠所在球的圆心，坐标为（0，b ，)1(-R ），R 为球的半径，根据几何知识，可以的出25.61R =，在此坐标系下，球的方程为
2222))1(()2/(R R z h y x =--+-+，我们作了一个垂直于y 轴的辅助面，将球冠体分为两部分体积，左上V 和左下V ，分别对两部分体积求解：
对左下V ，我们仍取垂直于y 轴的油液薄片，先积分积出薄片的面积，将薄片向xoz 面投影，如上图所示，投影方程为2222)2/())1((h R R z x -=--+,对面积微元积分，dz R z h dz x ds 222))1(()]2/(R [2**2----==，即z 由圆弧到0积分，再对y 积分由0到辅助面的高度，得到下面的积分式：
(8)dzdy ))1(()]2/(R [2(H)tan H 0
2220
)2()1(2
2?
?
*+--------=α
l h y R R R z h V 左下
对左上V ，仍取垂直于y 轴的截面，此截面由圆弧起到油面结束，截面在xoz 面上的投影如图8所示：
图 7 截面在xoy 面上的投影图示
对投影面积进行积分，再对y 进行积分，上限值是由油面平面与yoz 面的交线ααtan tan *++*-=l H z y ，与圆弧222))1(()2(R R z h y =--+-的交点的y 坐
标值，得到如下积分表达式：
(9)
))1(())2
(R (2tan )2()1(222tan l 22?
?
-+
----*+----=α
α
a H l h y R R a
H dzdy R z h
H V ）（左上其中上限a 为以下方程组y 的值。
??
???=--+-*++*-=222))1(()2(tan tan R R z h y l H z y α
α 从而所求体积）（左下左上左H V V H V +=(H))(。 右球冠体：
图 8 所求右半球体积的坐标系
对于右半球冠采用如上图所示的坐标系，求油面与球冠面包围的体积，O 为
球冠所在球的圆心，坐标为（0，b ，1-R ），R 为球的半径，根据几何知识，可以的出25.61R =，在此坐标系下，球的方程为
2222))1(()2/(R R z h y x =-++-+，我们过油面和xoy 面的交线作出一个垂直于
y 轴的辅助面（在油面之上），得到此平面和其下面的球面所围体积右总V ，和此
辅助平面和油面及球面所围体积右上V ，根据上面对求左球冠的方法，求出下面的积分体积表达式：
(10) ))1(())2
(R (2)(L)tan -(l H 0
1-R -)2y (0
22222dzdy R z h
H V h R ??+---+--=α
）
（右总
(11) ))1(())2
(R (2)(L)tan -(l H 1-R -)2(tan 22222?
?
+---+--+--=α
α
b
h y R l
L y
H dzdy R z h
H V ）（右上
其中b 为以下方程组y 的根。
{???=-++--=-+-2
22))1(()5.1(tan )tan )((R
R z y z L l H y α
α 从而得出，)12( )()()(H V H V H V 右上右总右-=
情况一：液高度H 低于AB ，即αl)tan -(L H 0 ≤≤时，根据几何关系，能够建立模型----积分容积模型（各参变量如图10所示）。
图 9 纵向变位情况一图示
13)( )tan ()(2tan 0
tan )(0
22211?
?
+
-++-+
+--+=+=α
α
α
πH
l z l H h
H l r dydz r y r V v V V 左左 其中V 左，见积分预处理，1v 油罐圆柱体内油的体积。 情况二：液高度H 低于AB , ααtan l -h H l)tan -(L *≤≤时，根据几何关系，能够建立模型----积分容积数学模型（各参变量如图11所示）。
图 10 纵向变位情况二图示
14) ( )(2tan )(0
220
2右左右中左V dydz r y r V V V V V z l H L
+--+=++=?
?
-+α
其中右左V V ,见积分预处理，中V 为油罐圆柱体内油的体积。
情况三：液高度H 低于AB ,即M AX H H tan l -h ≤≤*α
时，根据几何关系，能够建立模型----积分容积数学模型（各参变量如图12所示）。
图 11 纵向变位情况三图示
(15)
)(2)tan (])1([4/2tan )(0
22tan 2
)]1([2
2
220
322右右中柱帽V dyd r y r h
H l r R z h R V v v v V z l H L h H l R z R h
h
+--+
-++----=+++=?
??
?
-+-+
----α
α
α
π
其中帽v 为左球冠充满油的体积，柱v 为圆柱体内足足充满油的体积，中v 为圆柱体剩余部分油的体积，右V 见积分预处理。
则综上得到积分容积数学模型H V -关系为：
(16) H H tan l -h )(2)tan (])1([4/2 tan l -h H l)tan -(L )(2 l)tan -(L H 0 )tan ()(2)(MAX tan )(0
22tan 2
)]1([2
2220tan )(0
2202
tan )(022tan 02
2
?????????
???
?
????≤≤*+--+-++----*≤≤+--+≤≤-++--+=????????-+-+-----+-++ααπααααπαα
αα
α右右左左
V dyd r y r h H l r R z h R V dydz r y r V h H l r dydz r y r V H V z l H L h
H l R z R h h z l H L z l H H l 其中右左V V ,，见积分预处理。
a 是关于下列方程组的y 的解。 ??
???=--+-*++*-=222))1(()2(tan tan R R z h y l H z y α
α b 是关于下列方程组的y 的解。
{???=-++--=-+-2
22))1(()5.1(tan )tan )((R
R z y z L l H y αα 4.3.1问题二纵向变位分析与建模(α=0,β≠0)
在这种情况下，由题设可以知道，没有纵向变位，无论怎么样横向变位，这种变位就像自行车的轮子一样滚动，油液实际高度相对于水平面的高度差始终不变，我们只要用油浮子度数高度H ，修正出油液的实际高度'H ，这样我们就可以用简单的积分方法求出H -V 的关系。
通过上面的分析，在这种情况下我们建立了-----修正高度'H 积分容积模型，此时对修正高度'H 的修正，会有出现以下了三种情况。
情况一：油浮子的高度H 小于油罐的半径，即r H <≤0时。
图 12 横向变位情况一图示
在AOB ?中，H r -=ON ，ββcos *)(cos *H r ON OM -==，可以求出修正高度
(17) cos )('βr H r H -+=
情况二：油浮子高度H 等于油罐的半径，即r H =时。由于油浮子高度H 为
半径r ，所以在这种情况下，油罐无论如何发生横向变位，油液面始终为油杆标尺的中点，由此油浮子的高度也不会发生改变，于是修正高度H H ='(通过油浮子读出的高度)
。
图 13 横向变位情况二图示
H H =' (18)
情况三：油液高度H 大于油罐的半径，即MAX H H r <<时。
图 14 横向变位情况三图示
AOB ?为等腰三角形， COD ?中r H OD -=，
ββcos *)(cos *r H OD OC -==，那么修正高度：
(19) cos )('βh r r H --=
在上述分析求出的修正油液高度'H 后，可以用简单的积分方式求出H V -的关系。
图 15 标准卧式圆柱体积分示图
修正后就可以把其看作为正常位置下的浮油子高度为'H ，这样很容易求出
球出体积，将球冠底面的直径r 2分成n 等分，则分点所在的液高n
ir
y i 2= （i =1，2,……，n ），如图17所示
图 16 积分截面视图
对于中间圆柱体部分有L S V i *=1，其中i S 为弓形AOB 的面积
(20) ))()
2(22arcsin
2
(22i n i n n i n n i r S i --+-=π
(21) L r )])()2(22arcsin(2[2
2
1*--+-++=*=i n i n
n i n n i L S V i π 对于球冠，底面半径为r ，端面所在球半径为R ，球心为o ，球冠底面圆心为M ，
球心到球冠底面的距离为n ，液高i y 的容积i V 。
)()2(34(22) )22)(2(3])(2)2(arctan 2[32)
2()(2arcsin ])2(3)[2(32
2
22322222
22232i n i n i n
mr n n i arcsian r R m i n i R n i m R n i r R n i n i r n i r n R n i n r V ----++---++------=
ππ则总的体积V 可以由修正高度'H 得：
(23) )(2)()(21i V i V i V +=
其中： 2'r nH i =
，??
?
??<<--=<≤-+=MAX H H r h r r r H r H r H cos )( r H H 0
cos )('ββ 4.3.3问题二横纵向变位分析与建模(α≠0,β≠0)
在这种情形下，可以将整个纵向和横向变位的合过程分解为两个过程，首先油罐发生纵向变位，然后在发生横向变位。在发生了纵向变位后，油液高度变为了新的高度1H ，此时接着油罐又发生横向变位，由于发生横向变位时在同一水平面上滚动，油液面的水平高度是不会发生改变的，于是在这里已知油浮子得到
的读数H 就可以利用0,0≠=βα时的结论求出1H ,这里的1H 就是只发生纵向变位的油浮子得到的读数1H ，在知道了1H 后，就可以利用0,0=≠βα时的结论，把1H 带入)(11H V 中，这样建立了0,0≠≠βα时的模型------运动合成模型。
具体的模型如下：
.
β
..
β
.α
油液面
油液面
图 17 问题二横纵同时变位图示
??
?
??<<--=<≤-+=MAX H H r H r r r H r H r H cos )( (24) r H H 0
cos )(1ββ
(25) H H tan l -h )(2)tan ( tan l -h H l)tan -(L )(2 l)tan -(L H 0 )tan ()(2)(MAX tan )(0
22tan 2tan )(02202
tan )(022tan 011?????
?
?
??
????≤≤*+--+-++*≤≤+--+≤≤-++--+=??????-+-+-+-++ααπααααπα
ααα
α右帽右左左
V dyd r y r h H l r v V dydz r y r V h H l r dydz r y r V H V z l H L h H l z l H L z l H H
l 其中a 是以下方程组的y 的根
??
???=--+-*++*-=222))1(()2(tan tan R R z h y l H z y α
α 其中b 是以下方程组的y 的根
{???=-++--=-+-2
22))1(()5.1(tan )tan )((R
R z y z L l H y αα
)(11H V 表示先发生纵向变位后的油量关于油量高度的关系，)(11H V 可以利用
0,0=≠βα时的结论。
五、 模型的求解及结果分析
5.1 问题一模型的求解与分析 5.1.1 模型一的求解与分析
根据模型分析，对预处理的数据用1stOpt 进行拟合得到函数模型。 无变位时)(1H V ：
(26)
2324.20003.00163.04695.03387.77590.625595.21402495.0)(2
732
52
2
31H H H H H H H H V *-*+*-*+*-*+*-=
变位时)(2H V ：
(27)
10
9298.610
600.210
8963.3100158.3104300.100742.00872.0)(12
33
10
26
820
6144822H H
H H H H H V **-**+**-**+**-*+=-----
对比无变位时)(1H V 和变位时)(2H V 两函数，并画出两函数图像如图19所示
：
图 18 无变位时)(1H V
其中x 表示油浮子H ，单位mm ，y 表示油量V 。
图 19变位时)(2H V
其中x 表示油浮子H ，单位mm ，y 表示油量V 。
根据上面两图的可以得出定性的影响结论：在没有变位时，油罐处于正常情况下，由于油罐为椭圆筒形，则在∈H [0 200] [1000 1200]时油量随高度的变化率
小于 ∈H （200 100）,这样的变化率能够正确反映油罐正常情况下的高度和油量
的关系，而在变位以后的，由于产生了一个倾角后，则高度H ∈[0 400]时油量随高度的变化率小于H ∈（400 1200]，会有这样的结果是因为在油罐发生倾斜以后H 很小的时候，底面积比较小，因此会油量随高度的变化率小，而到顶部的时候油浮子在高度H 就恒定不变，油浮子又在油罐倾斜的一侧，就会出现能够盛油的面积变大时一直到浮子在高度H 就恒定不变时的盛油面积都很大，因此H ∈（400 1200]时油量随高度的变化率就一直很大。
我们根据变位后的1V (H )函数计算出油位高度间隔1cm 的罐容标定值部分数据如表1所示：
一、人体重变化 某人的食量是10467焦/天，最基本新陈代谢要自动消耗其中的5038焦/天。每天的体育运动消耗热量大约是69焦/（千克?天）乘以他的体重（千克）。假设以脂肪形式贮存的热量100% 地有效，而1千克脂肪含热量41868焦。试研究此人体重随时间变化的规律。 一、问题分析 人体重W（t）随时间t变化是由于消耗量和吸收量的差值所引起的，假设人体重随时间的变化是连续变化过程，因此可以通过研究在△t时间内体重W的变化值列出微分方程。 二、模型假设 1、以脂肪形式贮存的热量100%有效 2、当补充能量多于消耗能量时，多余能量以脂肪形式贮存 3、假设体重的变化是一个连续函数 4、初始体重为W0 三、模型建立 假设在△t时间内： 体重的变化量为W（t+△t）-W(t)； 身体一天内的热量的剩余为（10467-5038-69*W（t）） 将其乘以△t即为一小段时间内剩下的热量； 转换成微分方程为：d[W(t+△t)-W(t)]=(10467-5038-69*W(t))dt； 四、模型求解 d(5429-69W)/(5429-69W)=-69dt/41686 W(0)=W0 解得： 5429-69W=（5429-69W0）e(-69t/41686) 即： W（t）=5429/69-（5429-69W0）/5429e(-69t/41686) 当t趋于无穷时，w=81; 二、投资策略模型 一、问题重述 一家公司要投资一个车队并尝试着决定保留汽车时间的最佳方案。5年后，它将卖出所有剩余汽车并让一家外围公司提供运输。在策划下一个5年计划时，这家公司评估在年i 的开始买进汽车并在年j的开始卖出汽车，将有净成本a ij（购入价减去折旧加上运营和维修成本）ij
华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2012-2013学年第 二 学期 考试科目：数学建模 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一篮白菜从河岸一边带到河岸对面，由于船的限制，一次只能带 一样东西过河，绝不能在无人看守的情况下将狼和羊放在一起；羊和白菜放在一起，怎样才能将它们安全的带到河对岸去? 建立多步决策模型,将人、狼、羊、白菜分别记为i = 1，2，3，4，当i 在此岸时记x i = 1，否则为0；此岸的状态下用s =（x 1，x 2，x 3，x 4）表示。该问题中决策为乘船方案，记为d = (u 1, u 2, u 3, u 4)，当i 在船上时记u i = 1，否则记u i = 0。 (1) 写出该问题的所有允许状态集合；（3分） (2) 写出该问题的所有允许决策集合；（3分） (3) 写出该问题的状态转移率。（3分） (4) 利用图解法给出渡河方案. （3分） 解：(1) S={(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (1,0,1,0)} 及他们的5个反状（3分） (2) D = {(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0)} （6分） (3) s k+1 = s k + (-1) k d k （9分） (4)方法：人先带羊，然后回来，带狼过河，然后把羊带回来，放下羊，带白菜过去，然后再回来把羊带过去。 ?或: 人先带羊过河，然后自己回来，带白菜过去，放下白菜，带着羊回来，然后放下羊，把狼带过去，最后再回转来，带羊过去。 （12分） 1、 二、(满分12分) 在举重比赛中，运动员在高度和体重方面差别很大，请就下面两种假设，建立一个举重能力和体重之间关系的模型： （1） 假设肌肉的强度和其横截面的面积成比例。6分 （2） 假定体重中有一部分是与成年人的尺寸无关，请给出一个改进模型。6分 解：设体重w （千克）与举重成绩y （千克） （1） 由于肌肉强度(I)与其横截面积(S)成比例，所以 y ?I ?S 设h 为个人身高，又横截面积正比于身高的平方，则S ? h 2 再体重正比于身高的三次方，则w ? h 3 （6分） ( 12分) 14分) 某学校规定，运筹学专业的学生毕业时必须至少学
数学建模部分课后习题解答 中国地质大学 能源学院 华文静 1.在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？ 解： 模型假设 （1） 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形 （2） 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况）， 即从数学角度来看，地面是连续曲面。这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件 （3） 椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。为了保证这一点，要求对于椅脚的间 距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的。因为在地面上椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰（即使是连续变化的），此时三只脚是无法同时着地的。 模型建立 在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来。首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动。生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换。然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的。于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形。 注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地。把长方形绕它的对称中心旋转，这可以表示椅子位置的改变。于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置。为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题。 设椅脚连线为长方形ABCD,以对角线AC 所在的直线为x 轴，对称中心O 为原点，建立平面直角坐标系。椅子绕O 点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD 转至A1B1C1D1的位置，这样就可以用旋转角）0（πθθ≤≤表示出椅子绕点O 旋转θ后的位置。 其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来。当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地。由于椅子在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数。 由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ的函数，而由假设（3）可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的θ，其函数值至少有三个同时为0。因此，只需引入两个距离函数即可。考虑到长方形ABCD 是对称中心图形，绕其对称中心O 沿逆时针方向旋转180度后，长方形位置不变，但A,C 和B,D 对换了。因此，记A ，B 两脚与地面竖直距离之和为)(θf ，C,D 两脚之和为 )(θg ，其中[]πθ，0∈，使得)()(00θθg f =成立。 模型求解 如果0)0()0(== g f ，那么结论成立。
6 小行星的轨道模型 问题 一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位（一天文单位为地球到太阳的平均距离：1.4959787×1011m ）.在5个不同的时间对小行星作了5次观察，测得轨道上5个点的坐标数据如表6.1. 表6.1 坐标数据 由Kepler （开普勒）第一定律知，小行星轨道为一椭圆.现需要建立椭圆的方程以供研究（注：椭圆的一般方程可表示为 012225423221=+++++y a x a y a xy a x a . 问题分析与建立模型 天文学家确定小行星运动的轨道时，他的依据是轨道上五个点的坐标数据： （x 1, y 1）, （x 2, y 2）, （x 3, y 3）, （x 4, y 4）, （x 5, y 5）. 由Kepler 第一定律知，小行星轨道为一椭圆.而椭圆属于二次曲线，二次曲线的一般方程为012225423221=+++++y a x a y a xy a x a .为了确定方程中的五个待定 系数，将五个点的坐标分别代入上面的方程，得 ???? ?????-=++++-=++++-=++++-=++++-=++++.122212221222122212225554253552251454424344224 135342 3333223125242 232222211514213112211y a x a y a y x a x a ， y a x a y a y x a x a ，y a x a y a y x a x a ，y a x a y a y x a x a ，y a x a y a y x a x a 这是一个包含五个未知数的线性方程组，写成矩阵
关于中国人口增长趋势的研究 【摘要】 本文从中国的实际情况和人口增长的特点出发，针对中国未来人口的老龄化、出生人口性别比以及乡村人口城镇化等，提出了Logistic、灰色预测、动态模拟等方法进行建模预测。 首先，本文建立了Logistic阻滞增长模型，在最简单的假设下，依照中国人口的历史数据，运用线形最小二乘法对其进行拟合，对2007至2020年的人口数目进行了预测，得出在2015年时，中国人口有13.59亿。在此模型中，由于并没有考虑人口的年龄、出生人数男女比例等因素，只是粗略的进行了预测，所以只对中短期人口做了预测，理论上很好，实用性不强，有一定的局限性。 然后，为了减少人口的出生和死亡这些随机事件对预测的影响，本文建立了GM(1,1) 灰色预测模型，对2007至2050年的人口数目进行了预测，同时还用1990至2005年的人口数据对模型进行了误差检验，结果表明，此模型的精度较高，适合中长期的预测，得出2030年时，中国人口有14.135亿。与阻滞增长模型相同，本模型也没有考虑年龄一类的因素，只是做出了人口总数的预测，没有进一步深入。 为了对人口结构、男女比例、人口老龄化等作深入研究，本文利用动态模拟的方法建立模型三，并对数据作了如下处理：取平均消除异常值、对死亡率拟合、求出2001年市镇乡男女各年龄人口数目、城镇化水平拟合。在此基础上，预测出人口的峰值，适婚年龄的男女数量的差值，人口老龄化程度，城镇化水平，人口抚养比以及我国“人口红利”时期。在模型求解的过程中，还对政府部门提出了一些有针对性的建议。此模型可以对未来人口做出细致的预测，但是需要处理的数据量较大，并且对初始数据的准确性要求较高。接着，我们对对模型三进行了改进，考虑人为因素的作用，加入控制因子，使得所预测的结果更具有实际意义。 在灵敏度分析中，首先针对死亡率发展因子θ进行了灵敏度分析，发现人口数量对于θ的灵敏度并不高，然后对男女出生比例进行灵敏度分析得出其灵敏度系数为0.8850，最后对妇女生育率进行了灵敏度分析，发现在生育率在由低到高的变化过程中，其灵敏度在不断增大。 最后，本文对模型进行了评价，特别指出了各个模型的优缺点，同时也对模型进行了合理性分析，针对我国的人口情况给政府提出了建议。 关键字：Logistic模型灰色预测动态模拟 Compertz函数
华南农业大学期末考试试卷（A卷） 2012-2013学年第二学期考试科目：数学建模 考试类型：（闭卷）考试考试时间：120 分钟 学号姓名年级专业 一、(满分12分)一人摆渡希望用一条船将一只狼.一只羊.一篮白菜从河岸一边带到河岸对面.由于船的限制.一次只能带一样东西过河.绝不能在无人看守的情况下将狼和羊放在一起；羊和白菜放在一起.怎样才能将它们安全的带到河对岸去? 建立多步决策模型,将人、狼、羊、白菜分别记为i = 1.2.3.4.当i在此岸时记x i = 1.否则为0；此岸的状态下用s = （x1.x2.x3.x4）表示。该问题中决策为乘船方案.记为d = (u1, u2, u3, u4).当i 在船上时记u i = 1.否则记u i = 0。 (1) 写出该问题的所有允许状态集合；（3分） (2) 写出该问题的所有允许决策集合；（3分） (3) 写出该问题的状态转移率。（3分） (4) 利用图解法给出渡河方案. （3分） 解：(1) S={(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (1,0,1,0)} 及他们的5个反状（3分） (2) D = {(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0)} （6分） (3) s k+1 = s k + (-1) k d k （9分） (4)方法：人先带羊.然后回来.带狼过河.然后把羊带回来.放下羊.带白菜过去.然后再回来把羊带过去。 或: 人先带羊过河.然后自己回来.带白菜过去.放下白菜.带着羊回来.然后放下羊.把狼带过去.最后再回转来.带羊过去。（12分） . .
数学建模比赛总结 我是广西电力职业技术学院发电厂及电力系统专业的一名学生，我很高兴有机会参加20XX年的数学建模竞赛并幸运地获得了广西二等奖。首先要感谢的是学校、学院领导及老师对我们队的支持和帮助。特别要感谢施宁清老师、覃州老师、麦宏元老师、陶国飞老师等老师一直以来对我们精心的辅导和鼓励，才有我们队获奖的机会。参加数学建模竞赛是一件很有意义的事情，它不仅能锻炼每个参赛者连续工作的能力、创造性的思维、把各方面的知识综合运用的能力、熟练使有用计算机以及计算机软件的能力，而更重要的是锻炼了参赛者与伙伴合作、共同完成某项工作的能力。 今年的这个暑假是个不平凡的暑假，我们参加20XX全国数目竞赛的同学都只有一般的时间，因为还有一半的时间是用来进行培训的。起初参加学校的数学建模选修课，我只是对于数学的爱好，那是的我根本不知道什么是数学建模，更不知道它的魅力何在？我们有一个30多人组成数模之家，其中有几个大家长，那就是我们的指导老师。他们为了我们花了很多功夫和时间。我们培训只有短短的一个月，而要在一个月内让一个初学者变成一个能参加全国比赛的选手，是多么大的挑战啊？老师在图书馆的阅览室为我们上模模培训课，从最数模软件Lingo到Mathematic，再到Spss等，
从简单的线性规划到层次分析法，从牛奶配送问题到NBA赛事分析，老师指导我们一步一步走向数模，去零落数模的魅力！ 在这次竞赛当中，我们队的三个人我，黄国志，张高做了很好的分工，一个人主要写论文、另一个人主要收集资料还要协助写论文，而我主要在计算机上编程序进行计算。我们队首先选择了题目C，开赛第一天我们就在讨论C题，确定了基本思路，但是到了下午，我们的思路断了，3个人都没了思路然后我开始看题目D，题目D是学生宿舍的分析，这个题很类似于我们培训时老师讲评过的NBA赛事分析题，于是我们想可不可以运用相同或者类似的方法思路去求解D 题呢？我们就开始集中全力对D题展开分析进行计算。下午我们已经有了比较清晰的思路去求解D题了，最后在晚上决定悬着D题来做。第二天，我们在网上查阅了很多相关的资料，数据。然后我进行计算机模拟，即根据我得到的数据用数学软件如Matlab把我们要的图形模拟出来，把实际的东西转化为数字来计算，然后我负责编辑图形和输入软件进行求解，而他们两个人负责去讨论并把他们想到的新思路告诉我，然后开始写论文。写论文是一件很繁琐的事，因此要用的时间也多，这样等到我把一些基本的结果得出来时正好给他们加到论文里面去，在模拟时要用很多时间，而这些时间都是计算机在工作，所以我就利用这段时间去他们写论文，
2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛 B 题参考答案 注意：以下答案是命题人给出的，仅供参考。各评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。 问题分析： 本题目与典型的运输问题明显有以下不同： 1． 运输矿石与岩石两种物资； 2． 产量大于销量的不平衡运输； 3． 在品位约束下矿石要搭配运输； 4． 产地、销地均有单位时间的流量限制； 5． 运输车辆每次都是满载，154吨/车次； 6． 铲位数多于铲车数意味着最优的选择不多于7个产地； 7． 最后求出各条路线上的派出车辆数及安排。 运输问题对应着线性规划，以上第1、2、3、4条可通过变量设计、调整约束条件实现； 第5条使其变为整数线性规划；第6条用线性模型实现的一种办法，是从1207 10 C 个整数规划中取最优的即得到最佳物流；对第7条由最佳物流算出各条路线上的最少派出车辆数（整数），再给出具体安排即完成全部计算。 对于这个实际问题，要求快速算法，计算含50个变量的整数规划比较困难。另外，这是一个二层规划，第二层是组合优化，如果求最优解计算量较大，现成的各种算法都无能为力。于是问题变为找一个寻求近优解的近似解法，例如可用启发式方法求解。 调用120次整数规划可用三种方法避免：（1）先不考虑电铲数量约束运行整数线性规划，再对解中运量最少的几个铲位进行筛选；（2）在整数线性规划的铲车约束中调用sign 函数来实现；（3）增加10个0－1变量来标志各个铲位是否有产量。 这是一个多目标规划，第一问的目标有两层：第一层是总运量（吨公里）最小，第二层是出动卡车数最少，从而实现运输成本最小。第二问的目标有：岩石产量最大；矿石产量最大；运量最小，三者的重要性应按此序。 合理的假设主要有： 1. 卡车在一个班次中不应发生等待或熄火后再启动的情况； 2. 在铲位或卸点处因两条路线（及以上）造成的冲突时，只要平均时间能完成任务即 可，不进行排时讨论； 3. 空载与重载的速度都是28km/h ，耗油相差却很大，因此总运量只考虑重载运量； 4. 卡车可提前退出系统。 符号：x ij ~ 从i 号铲位到j 号卸点的石料运量 单位 吨； c ij ~ 从i 号铲位到j 号卸点的距离 公里； T ij ~ 从i 号铲位到j 号卸点路线上运行一个周期平均所需时间 分； A ij ~ 从i 号铲位到j 号卸点最多能同时运行的卡车数 辆； B ij ~ 从i 号铲位到j 号卸点路线上一辆车最多可以运行的次数 次； p i ~ i 号铲位的矿石铁含量。 % p =(30,28,29,32,31,33,32,31,33,31) q j ~ j 号卸点任务需求 吨 q =(1.2,1.3,1.3,1.9,1.3)*10000
《数学建模课程》练习题一 一、填空题 1. 设开始时的人口数为0x ，时刻t 的人口数为)(t x ，若人口增长率是常数r ，那麽人口增长问题的马尔萨斯模型应为 。 2. 设某种商品的需求量函数是,1200)(25)(+-=t p t Q 而供给量函数是 3600)1(35)(--=t p t G ，其中)(t p 为该商品的价格函数，那麽该商品的均衡价格 是 。 3. 某服装店经营的某种服装平均每天卖出110件，进货一次的手续费为200元，存储费用为每件0.01元/天，店主不希望出现缺货现象，则最优进货周期与最优进货量分别为 。 4. 一个连通图能够一笔画出的充分必要条件是 . 5.设开始时的人口数为0x ，时刻t 的人口数为)(t x ，若允许的最大人口数为m x ，人口增长率由sx r x r -=)(表示，则人口增长问题的罗捷斯蒂克模型为 . 6. 在夏季博览会上，商人预测每天冰淇淋销量N 将和下列因素有关： （1）参加展览会的人数n ； （2）气温T 超过C 10； （3）冰淇淋的售价p . 由此建立的冰淇淋销量的比例模型应为 . 7、若银行的年利率是x %，则需要 时间，存入的钱才可翻番. 若每个小长方形街路的 8. 如图是一个邮路，邮递员从邮局A 出发走遍所有长方形街路后再返回邮局. 边长横向均为1km ，纵向均为2km ，则他至少要走 km.. A 9. 设某种新产品的社会需求量为无限，开始时的生产量为100件，且设产品生产的增长率控制在0.1，t 时刻产品量为)(t x ，则)(t x = . 10. 商店以10元/件的进价购进衬衫，若衬衫的需求量模型是802,Q p p =-是销售单价（元/件），为获得最大利润，商店的出售价是 . 二、分析判断题 1．从下面不太明确的叙述中确定要研究的问题，需要哪些数据资料（至少列举3个），要做些甚麽建模的具体的前期工作（至少列举3个） ，建立何种数学模型：一座高层办公楼有四部电梯，早晨上班时间非常拥挤，该如何解决。
。 例１差分方程—-资金的时间价值 问题1：抵押贷款买房——从一则广告谈起 每家人家都希望有一套(甚至一栋)属于自己的住房，但又没有足够的资金一次买下，这就产生了贷款买房的问题。先看一下下面的广告（这是1991年1月1日某大城市晚报上登的一则广告）,任何人看了这则广告都会产生许多疑问,且不谈广告中没有谈住房面积、设施等等,人们关心的是：如果一次付款买这栋房要多少钱呢?银行贷款的利息是多少呢？为什么每个月要付12０0元呢？是怎样算出来的?因为人们都知道,若知道了房价(一次付款买房的价格），如果自己只能支付一部分款,那就要把其余的款项通过借贷方式来解决,只要知道利息，就应该可以算出五年还清每月要付多少钱才能按时还清贷款了,从而也就可以对是否要去买该广告中所说的房子作出决策了。现在我们来进行数学建模。由于本问题比较简单无需太多的抽象和简化。 a。明确变量、参数，显然下面的量是要考虑的： 需要借多少钱，用记; 月利率(贷款通常按复利计）用R记； 每月还多少钱用x记; 借期记为N个月。 b.建立变量之间的明确的数学关系。若用记第k个月时尚欠的款数,则一个月后（加上利息后)欠款 , 不过我们又还了x元所以总的欠款为 ｋ=0，1，２，３， 而一开始的借款为.所以我们的数学模型可表述如下 (1) c. （1)的求解。由
（2）这就是之间的显式关系。 d.针对广告中的情形我们来看（１）和（2）中哪些量是已知的。Ｎ=5年=60个月，已知;每月还款x＝１20０元，已知Ａ.即一次性付款购买价减去７０000元后剩下的要另外去借的款，并没有告诉你，此外银行贷款利率Ｒ也没告诉你,这造成了我们决策的困难.然而,由（2）可知6０个月后还清,即,从而得 (3） A和x之间的关系式，如果我们已经知道银（３)表示Ｎ=6０,x=1２00给定时0 A。例如，若Ｒ=0．01,则由(3)可算得行的贷款利息R，就可以算出0 5３94６元。如果该房地产公司说一次性付款的房价大于70０0０十53946＝12３946元的话，你就应自己去银行借款。事实上，利用图形计算器或Maｔheｍａtiｃa这样的 数学软件可把（3）的图形画出来,从而可以进行估算决策。以下我们进一步考虑下面两个问题。 注1问题1标题中“抵押贷款”的意思无非是银行伯你借了钱不还，因而要你用某种不动产（包括房子的产权）作抵押，即万一你还不出钱了，就没收你的不动产。 例题１某高校一对年青夫妇为买房要用银行贷款６000０元，月利率0.01，贷款期25年=300月，这对夫妇希望知道每月要还多少钱，25年就可还清。假设这对
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 A题储油罐的变位识别与罐容表标定 通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。 许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。 请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。 （2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。 附件1：小椭圆储油罐的实验数据 附件2：实际储油罐的检测数据 地平线油位探针
第一章 4.在1、3节“椅子能在不平的地面上放稳不”的假设条件中,将四脚的连线呈正方形改为长方形,其余不变。试构造模型并求解。 答:相邻两椅脚与地面距离之与分别定义为)()(a g a f 和。f 与g 都就是连续函数。椅子在任何位置至少有三只脚着地,所以对于任意的a ,)()(a g a f 和中至少有一个不为零。不妨设0)0(,0)0(g >=f 。当椅子旋转90°后,对角线互换,0π/2)(,0)π/2(>=g f 。这样,改变椅子的位置使四只脚同时着地。就归结为证明如下的数学命题: 已 知 a a g a f 是和)()(的连续函数,对任意 0)π/2()0(,0)()(,===?f g a g a f a 且,0)π/2(,0)0(>>g f 。证明存在0a ,使0)()(00==a g a f 证:令0)π/2(0)0(),()()(<>-=h h a g a f a h 和则, 由g f 和的连续性知h 也就是连续函数。 根据连续函数的基本性质, 必存在0a (0＜0a ＜π/2)使0)(0=a h ,即0)()(00==a g a f 因为0)()(00=?a g a f ,所以0)()(00==a g a f
8 第二章
10.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘,给出几种简便有效的排列方法,使加工出尽可能多的圆盘。
第三章 5.根据最优定价模型 考虑成本随着销售量的增加而减少,则设 kx q x q -=0)( (1)k 就是产量增加一个单位时成本的降低 , 销售量x 与价格p 呈线性关系0,,>-=b a bp a x (2) 收入等于销售量乘以价格p :px x f =)( (3) 利润)()()(x q x f x r -= (4) 将(1)(2)(3)代入(4)求出 ka q kbp pa bp x r --++-=02)( 当k q b a ,,,0给定后容易求出使利润达到最大的定价*p 为 b a kb ka q p 2220*+--=
1、高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器，所用资源为金属板、劳 万元，可使用的金属板有500t，劳动力有300人/月，机器有100台/月，此外，不管每种容器制造的数量是多少，都要支付一笔固定的费用：小号为100万元，中号为150万元，大号为200万元，现在要制定一个生产计划，使获得的利润为最大， max=4*x1+5*x2+6*x3-100*y1-150*y2-200*y3; 2*x1+4*x2+8*x3<=500; 2*x1+3*x2+4*x3<=300; 1*x1+2*x2+3*x3<=100; @bin(y1); @bin(y2); @bin(y3); y1+y2+y3>=1; Global optimal solution found. Objective value: 300.0000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X1 100.0000 0.000000 X2 0.000000 3.000000 X3 0.000000 6.000000 Y1 1.000000 100.0000 Y2 0.000000 150.0000 Y3 0.000000 200.0000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 300.0000 1.000000 2 300.0000 0.000000 3 100.0000 0.000000 4 0.000000 4.000000 5 0.000000 0.000000
第一章 课后习题6. 利用1.5节药物中毒施救模型确定对于孩子及成人服用氨茶碱能引起严重中毒和致命的最小剂量。 解：假设病人服用氨茶碱的总剂量为a ，由书中已建立的模型和假设得出肠胃中的药量为： )()0(mg M x = 由于肠胃中药物向血液系统的转移率与药量)(t x 成正比，比例系数0>λ，得到微分方程 M x x dt dx =-=)0(,λ（1） 原模型已假设0=t 时血液中药量无药物，则0)0(=y ，)(t y 的增长速度为x λ。由于治疗而减少的速度与)(t y 本身成正比，比例系数0>μ，所以得到方程： 0)0(,=-=y y x dt dy μλ（2） 方程（1）可转换为：t Me t x λ-=)( 带入方程（2）可得：)()(t t e e M t y λμμ λλ ----= 将01386=λ和1155.0=μ带入以上两方程，得： t Me t x 1386.0)(-= )(6)(13866.01155.0---=e e M t y t 针对孩子求解，得： 严重中毒时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 87.494=； 致命中毒时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 8.4694= 针对成人求解： 严重中毒时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 83.945= 致命时间及服用最小剂量：h t 876.7=，mg M 74.1987= 课后习题7. 对于1.5节的模型，如果采用的是体外血液透析的办法，求解药物中毒施救模型的血液用药量的变化并作图。
解：已知血液透析法是自身排除率的6倍，所以639.06==μu t e t x λ-=1100)(，x 为胃肠道中的药量，1386.0=λ )(6600)(t t e e t y λμ---= 1386.0,639.0,5.236)2(,1100,2,====≥-=-λλλu z e x t uz x dt dz t 解得：()2,274.112275693.01386.0≥+=--t e e t z t t 用matlab 画图: 图中绿色线条代表采用体外血液透析血液中药物浓度的变化情况。 从图中可以看出，采取血液透析时血液中药物浓度就开始下降。T=2时，血液中药物浓度最高，为236.5；当z=200时，t=2.8731，血液透析0.8731小时后就开始解毒。 第二章 1.用 2.4节实物交换模型中介绍的无差别曲线的概念，讨论以下的雇员和雇主之间的关系： 1）以雇员一天的工作时间和工资分别为横坐标和纵坐标，画出雇员无差别曲线族的示意图，解释曲线为什么是那种形状； 2）如果雇主付计时费，对不同的工资率画出计时工资线族，根据雇员的无差别曲线族和雇主的计时工资线族，讨论双方将在怎样的一条曲线上达成协议； 3）雇员和雇主已经达成了协议，如果雇主想使用雇员的工作时间增加到t 2，他有两种
数学建模疾病的诊断 现要你给出疾病诊断的一种方法。 胃癌患者容易被误诊为萎缩性胃炎患者或非胃病者。从胃癌患者中抽 取5人（编号为1-5），从萎缩性胃炎患者中抽取5人（编号为6-10），以及非胃病者 中抽取5人（编号为11-15），每人化验4项生化指标：血清铜蓝蛋白（ X）、 1 蓝色反应（ X）、尿吲哚乙酸（3X）、中性硫化物（4X）、测得数据如表1 2 所示： 表1. 从人体中化验出的生化指标 根据数据，试给出鉴别胃病的方法。
论文题目：胃病的诊断 摘要 在临床医学中，诊断试验是一种诊断疾病的重要方法。好的诊断试验方法将对临床诊断的正确性和疾病的治疗效果起重要影响。因此，对于不同疾病不断发现新的诊断试验方法是医学进步的重要标志。传统的诊断试验方法有生化检测、DNA检测和影像检测等方法。而本文则通过利用多元统计分析中的判别分析及SPSS软件的辅助较好地解决了临床医学中胃病鉴别的问题。在临床医学上，既提高了临床诊断的正确性，又对疾病的治疗效果起了重要效果，同时也减轻了病人的负担。 判别分析是在分类确定的条件下，根据某一研究对象的各种特征值判别其类型归属问题的一种多变量统计分析方法。 其基本原理是按照一定的判别准则，建立一个或多个判别函数，用研究对象的大量资料确定判别函数中的待定系数，并计算判别指标。 首先，由判别分析定义可知，只有当多个总体的特征具有显著的差异时，进行判别分析才有意义，且总体间差异越大，才会使误判率越小。因此在进行判别分析时，有必要对总体多元变量的均值进行是否不等的显著性检验。 其次，利用判别分析中的费歇判别和贝叶斯判别进行判别函数的建立。 最后，利用所建立的判别函数进行回判并测得其误判率，以及对其修正。 本文利用SPSS软件实现了对总体间给类变量的均值是否不等的显著性检验并根据样本建立了相应的费歇判别函数和贝叶斯判别函数，最后进行了回判并测得了误判率，从而获得了在临床诊断中模型，给临床上的诊断试验提供了新方法和新建议。 关键词：判别分析；判别函数；Fisher判别；Bayes判别 一问题的提出 在传统的胃病诊断中，胃癌患者容易被误诊为萎缩性胃炎患者或非胃病患者，为了提高医学上诊断的准确性，也为了减少因误诊而造成的病人死亡率，必须要找出一种最准确最有效的诊断方法。为诊断疾病，必须从人体中提取4项生化指标进行化验，即血
一、把椅子往地面一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地放稳了，就四脚连线成长方形的情形建模并加以说明。（15分） 解：一、模型假设： 1. 椅子四只脚一样长，椅脚与地面的接触可以看作一个点，四脚连线呈长方形。 2. 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断，地面可以看成一张光滑曲面。 3. 地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。 （3分） 二、建立模型： 以初始位置的中位线为坐标轴建立直角坐标系，用θ表示椅子绕中心O 旋转的角度，椅子的位置可以用θ确定： ()f θ记为A 、B 两点与地面的距离之和 ()g θ记为C 、D 两点与地面的距离之和 由假设3可得，()f θ、()g θ中至少有一个为0。 由假设2知()f θ、()g θ是θ的连续函数。 （3分） 问题归结为： 已知()f θ和()g θ是θ的连续函数，对任意θ， ()()0f g θθ=，且设()()00,00g f =>。证明存在0θ， 使得()()000f g θθ== （3分） 三、模型求解： 令()()()h f θθθ=－g 若()()000f g =，结论成立 若()()000f g 、不同时为，不妨设()()00,00g f =>，椅子旋转()180π或后，AB 与CD 互换，即()()0,0g f ππ>=，则()(0)0,0h h π><。 （3分） 由f g 和的连续性知h 也是连续函数。根据连续函数的基本性质，必存在 ()000θθπ<<使000()0,()()h f g θθθ==即。 最后，因为00()()0f g θθ=，所以00()()0f g θθ==。 （3分） 图 5
2010年上学期2008级数学与应用数学，信息与计算科学专业 《数学建模》课程考试供选试题 第1题 4万亿投资与劳动力就业： 2008以来，世界性的金融危机席卷全球，给我国的经济发展带来很大的困难。沿海地区许多中小企业纷纷裁员，造成大量的人员失业。据有关资料估计，从2008年底，相继有2000万人被裁员，其中有1000万人是民工。部分民工返乡虽然能够从一定程度上缓解就业压力，但2009年的600多万毕业大学生给我国就业市场带来巨大压力。但可喜的是，我国有庞大的外汇储备，民间资本实力雄厚，居民储蓄充足。中国还是发展中国家，许多方面的建设还处于落后水平，建设投资的潜力巨大。为保持我国经济快速发展，特别是解决就业问题带来希望，实行政府投资理所当然。在2009年两代会上，我国正式通过了4万亿的投资计划，目的就是保GDP增长，保就业，促和谐。但是有几个问题一直困扰着我们，请你运用数学建模知识加以解决。问题如下： 1、GDP增长8%，到底能够安排多少人就业？如果要实现充分就业，2009年的GDP到底要增长多少？ 2、要实现GDP增长8%，4万亿的投资够不够？如果不够，还需要投资多少？ 3、不同的产业(或行业)吸纳的劳动力就业能力不同，因此投资的流向会有所不同。请你决策，要实现劳动力就业最大化，4万亿的投资应该如何分配到不同的产业(或行业)里？ 4、请你给出相关的政策与建议。 第2题 深洞的估算：假如你站在洞口且身上仅带着一只具有跑秒功能的计算器，你出于好奇心想用扔下一块石头听回声的方法来估计洞的深度，假定你捡到一块质量是1KG的石头，并准确的测定出听到回声的时间T=5S，就下面给定情况，分析这一问题，给出相应的数学模型，并估计洞深。 1、不计空气阻力； 2、受空气阻力，并假定空气阻力与石块下落速度成正比，比例系数k1=0.05； 3、受空气阻力，并假定空气阻力与石块下落速度的平方成正比，比例系数k2=0.0025； 4、在上述三种情况下，如果再考虑回声传回来所需要的时间。 第3题 优秀论文评选：在某数学建模比赛的评审过程中，组委会需要在一道题目的150 篇参赛论文中选择4 篇论文作为特等奖论文。评审小组由10 名评委组成，包括一名小组组长(出题人)，4 名专业评委(专门从事与题目相关问题研究的评委)，5 名普通评委(从事数学建模的教学和组织工作，参与过数学建模论文的评审)。组委会原先制定的评审步骤如下： step1:首先由普通评委阅读所有150 篇论文，筛选出20 篇作为候选论文。 Step2:然后由小组内的所有评委阅读这些候选论文，每人选择4 篇作为推荐的论文。 Step3:接着进入讨论阶段，在讨论阶段中每个评委对自己选择的 4 篇论文给出理由，大家进行讨论，每个评委对论文的认识都会受到其他评委观点的影响。 Step4:在充分讨论后，大家对这些推荐的论文进行投票，每个评委可以投出4票，获得至少6 票的论文可以直接入选，如果入选的论文不足，对剩余的论文(从20篇候选论文中除去已经入选的论文)重复step2至step4 步的评审工作。如果三轮讨论后入选的论文仍然不够，则由评选小组组长确定剩下名额的归属。 如果有超过4 篇的论文获得了至少6票，则由评选小组组长确定最终的名额归属。问题:
数学建模 试卷及参考答案 一．概念题（共3小题，每小题5分，本大题共15分） 1、一般情况下，建立数学模型要经过哪些步骤？（5分） 答：数学建模的一般步骤包括：模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用。 2、学习数学建模应注意培养哪几个能力？(5分) 答：观察力、联想力、洞察力、计算机应用能力。 3、人工神经网络方法有什么特点？(5分) 答：（1）可处理非线性；（2）并行结构．；（3）具有学习和记忆能力；（4）对数据的可容性大； （5）神经网络可以用大规模集成电路来实现。 二、模型求证题（共2小题，每小题10分，本大题共20分） 1、 某人早8:00从山下旅店出发,沿一条路径上山,下午5:00到达山顶并留宿.次日早8:00沿同一 路径下山,下午5:00回到旅店.证明:这人必在2天中同一时刻经过路途中某一地点(15分) 证明: 记出发时刻为t=a,到达目的时刻为t=b,从旅店到山顶的路程为s. 设某人上山路径的运动方程为f(t), 下山运动方程为g(t),t 是一天内时刻变量，则f(t),g(t)在 [a,b]是连续函数。 作辅助函数F(t)=f(t)-g(t),它也是连续的， 则由f(a)=0,f(b)>0和g(a)>0,g(b)=0,可知F （a ）<0, F(b)>0, 由介值定理知存在t0属于(a,b)使F(t0)=0, 即f(t0)=g(t0) 。 2、三名商人各带一个随从乘船过河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行，随从们秘约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货，但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中，商人们怎样才能安全渡河呢？(15分) 解:模型构成 记第k 次渡河前此岸的商人数为k x ，随从数为k y ，k=1，2,........，k x ，k y =0，1，2，3。将二维向量k s =（k x ，k y ）定义为状态。安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，记做S 。S=()}{2,1;3,2,1,0,3;3,2,1,0,0|,======y x y x y x y x （3分） 记第k 次渡船上的商人数为k u 随从数为k v 将二维向量k d =（k u ，k v ）定义为决策。允许决策集合记作D ，由小船的容量可知 D=(){2 ,1,0,,1|,=≤+≤v u v v u v u } （3分）
。 例1差分方程——资金的时间价值 问题1:抵押贷款买房——从一则广告谈起 每家人家都希望有一套(甚至一栋)属于自己的住房，但又没有足够的资金一次买下，这就产生了贷款买房的问题。先看一下下面的广告(这是1991年1月1日某大城市晚报上登的一则广告)，任何人看了这则广告都会产生许多疑问，且不谈广告中没有谈住房面积、设施等等，人们关心的是：如果一次付款买这栋房要多少钱呢?银行贷款的利息是多少呢?为什么每个月要付1200元呢?是怎样算出来的?因为人们都知道，若知道了房价(一次付款买房的价格)，如果自己只能支付一部分款，那就要把其余的款项通过借贷方式来解决，只要知道利息，就应该可以算出五年还清每月要付多少钱才能按时还清贷款了，从而也就可以对是否要去买该广告中所说的房子作出决策了。现在我们来进行数学建模。由于本问题比较简单无需太多的抽象和简化。 a.明确变量、参数，显然下面的量是要考虑的： 需要借多少钱，用记； 月利率(贷款通常按复利计)用R记； 每月还多少钱用x记； 借期记为N个月。 b．建立变量之间的明确的数学关系。若用记第k个月时尚欠的款数，则一个月后(加上利息后)欠款，不过我们又还了x元所以总的欠款为 k=0，1，2，3， 而一开始的借款为。所以我们的数学模型可表述如下 (1) c. (1)的求解。由
(2) 这就是之间的显式关系。 d．针对广告中的情形我们来看(1)和(2)中哪些量是已知的。N=5年＝60个月，已知；每月还款x＝1200元，已知A。即一次性付款购买价减去70000元后剩下的要另外去借的款，并没有告诉你，此外银行贷款利率R也没告诉你，这造成了我们决策的困难。然而，由(2)可知60个月后还清，即，从而得 (3) A和x之间的关系式，如果我们已经知道银行(3)表示N＝60，x＝1200给定时0 A。例如，若R ＝0．01，则由(3)可算得的贷款利息R，就可以算出0 53946元。如果该房地产公司说一次性付款的房价大于70000十53946＝123946元的话，你就应自己去银行借款。事实上，利用图形计算器或Mathematica这样的 数学软件可把(3)的图形画出来，从而可以进行估算决策。以下我们进一步考虑下面两个问题。 注1问题1标题中“抵押贷款”的意思无非是银行伯你借了钱不还，因而要你用某种不动产(包括房子的产权)作抵押，即万一你还不出钱了，就没收你的不动产。例题1某高校一对年青夫妇为买房要用银行贷款60000元，月利率0．01，贷款期25年＝300月，这对夫妇希望知道每月要还多少钱，25年就可还清。假设这对夫妇每月可有节余900元，是否可以去买房呢?