外测度的性质与计算
The properties and calculation of the outer
measure
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学院：数学与信息科学学院
专业：数学与应用数学
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外测度的性质与计算
【摘要】Lebesgue外测度是Lebesgue积分的基础,本论文主要论述了它的一些性质及相关的计算.首先,给出了Lebesgue外测度的定义；接着,指出和证明了外测度具有的非负性、单调性、次可数可加性、距离可加性、平移不变性这五大主要性质；同时给出了外测度的介值定理和一些其他的性质,并讨论了在一般情况下,外测度不具备可数可加性；然后讨论了可数集的外测度的性质,着重写出可数
江西师范大学11届学士学位毕业论文
集的外测度具有可数可加性；最后是与外测度计算相关的一些例题.【关键词】Lebesgue外测度，次可数可加性，距离可加性。
The properties and calculation of the outside measure
【abstract 】Lebesgue outer measure is the base of lebesgue integral, this thesis mainly discusses some properties and its related calculation. At first, give the definition of Lebesgue outer measure; then pointed out and proved the outer measure has nonnegative, monotonicity and second countable additive property , distance additive property,translation invariant property ,the five main properties; It also gives the outer measure mean value theorem and some other properties, and discusses the properties under the meaning of general point sets, the outer measure does not have countable additive property. Then discussed the property of outer measure of countable set, and emphatically write that outer measure of countable set has count additive property. And the last is some examples about outer measure computation. 【keywords 】Lebesgue outer measure, Second countable additive property , Distance additive property
目录
1 引言 (1)
2 Lebesgue外测度的定义 (1)
3 一般集的外测度的性质 (2)
3.1 非负性 (2)
3.2 单调性 (2)
3.3 次可数可加性 (2)
3.4 距离可加性 (2)
3.5 平移不变性 (4)
3.6 对外测度有限可加性及可数可加性的研究 (4)
3.7外测度的介值定理 (6)
3.8 外测度的其他性质 (7)
4 可测集的外测度 (8)
5 外测度的计算 (10)
6 小结 (11)
参考文献 (12)
外测度的性质与计算
1 引言
在19世纪时,数学家们已经认识到,仅有连续函数与Riemann 积分的古典理
论已不足以解决数学分析中的许多问题,为了克服Riemann 积分在理论上的局限性,必须改造原有的积分定义,建立一种新型积分.19世纪下半叶,不少分析学家进行一系列扩充长度和面积概念的探索,逐渐形成测度概念,1898年,Borel 建立了一维Borel 点集的测度,法国数学家Lebesgue 在1902年他的博士论文《长度、面积和积分》中系统的建立了测度论,并成功的建立起新的积分理论--Lebesgue 积分（1915年,法国数学家弗雷歇提出在一般σ代数上建立测度,开始创立抽象测度理论,1918年,意大利数学家Caratheodory 关于外测度的研究,对于现代形式测度理论的形成起了关键作用.）.Riemann 积分忽视了函数的变化而只从定义域方面划分小区域来构造积分和,这样做的结果是将大量的函数排除在Riemann 可积函数类之外；Lebesgue 积分不是从分割自变量的区域而是从分割函数值域着手构造积分和.例设()x f 在[]b a ,上有界,满足()M x f m <<,作分割
M y y y y m n 210=<<<<=
令 (){}n i b x a y x f i ,2,1,,y x E 1-i i =≤≤<≤= ， 则对应于上面分割的积分和为
i n
i i m E y
?∑=-1
1
,其中i m E 为点集i E 的长度,这种积分的优点在于可以取1--i i y y 很小,
使得积分和的近似程度很高,它将积分对象从Riemann 可积函数类扩充到更大一类函数——可测函数类.积分和计算的关键是点集i E 的度量，对于通常的区间i E 的度量就是区间的长度或体积，而对于一般的点集的度量就不是一件简单的事情，它涉及到在n R 中如何建立一般点集的一种度量方案，这就是Lebesgue 外测度与测度理论。Lebesgue 外测度是对n R 中一般的点集E 给出的一种度量,是长度、面积和体积等概念的推广,是Lebesgue 积分的基石,所以对其性质和计算的研究是非常重要的,下文即是对Lebesgue 外测度的性质与计算的一些研究.
2 Lebesgue 外测度的定义
定义1 我们称n 维空间R n
中的点集{}n i b x a x x x I i i i n ,2,1,,,,21=<<=为
开区间,其中i i b a ≤n),1,2,(i =为常数（因此空集也是开区间,此时需某i i b a =）.当i x 满足的条件分别改为i i i b x a ≤≤和i i i b x a ≤<时,相应的点集分别称为闭区间和左开右闭区间.而数i i 1
(b -a )n
i =∏称为这三种区间的体积,记作I .
设E ?R n
,若{I K }是R n
中可数个开区间,使得1
E I k ∞
?= k ,则称{I K }是E 的一个
可数开覆盖,显然,E 的每一个可数开覆盖的体积和确定了一个非负广义数
∑∞
=1
k k I （即可取有限数或+∞）.
定义 2 称{}???
???∑∞=的可数开覆盖是E I I k k k 1
inf 为点集E 的Lebesgue 外测度,
简称外测度,记作m *E.
注：上述定义中E 的开覆盖中开区间的个数可以是有限的,因为k I 可以取作空集.
3 一般集的外测度的性质
3.1 非负性
定理1 非负性：0E m *≥,*m ?=0
证明由定义可直接推出.
3.2 单调性
定理2 单调性：若21E E ?,则2*1*E m E m ≤
证明 设{I K }是E 2的可数开覆盖,则它也是E 1的可数开覆盖.因此
*
*
122
inf 11m E I I E m E k k
k k ?∞?∞??≤?=∑????==??
3.3 次可数可加性
定理3 次可数可加性： *
m （ ∞
=1
k k
E ）≤k E k m ∑∞=1*
证明 对于任意0>ε及每一正整数k,由外测度定义,存在k E 的可数开覆盖
{}∞
=1,l l k I ,使得k E ∞
=?1
,l l k I ,k k E m i l k I 21,*ε+≤∑∞=, ,2,1=k ，由此得
∞=?∞=1
,,1l k l k I
k k E , ε+∑∞=≤∑∞=k
E k m l k l k I 11,,*
即∞=??????1,,l k l k I 是 ∞=1k k E 的可数开覆盖,从而有 ε+≤???? ??∑∞=∞=k k k k E m E m 1
*1* ，由ε的任意性,得k k k k E m E m ∑∞=∞=≤???? ??1
*
1*
3.4 距离可加性
定理4 距离可加性： 设E 1,E 2是R n 中的点集,若它们的距离()0,21>E E ρ，则 ()2*1*21*E m E m E E m +=
分析 由次可加性,对R n 中任意两个点集E 1和E 2,总有
()2*1*21*E m E m E E m +≤
因此只需证明()2*1*21*E m E m E E m +≥
由外测度定义,如果21E E 的任意可数开覆盖,能够分解为E 1和E 2的开覆盖,而且这两个开覆盖中没有公共区间即可.显然这点一般是做不到的,但是由于E 1和E 2之间有正距离,所以当我们选择21E E 的开覆盖,使其中的区间充分小时,分解成E 1和E 2的没有公共开区间的开覆盖就能做到. 引理 1 设n R E ?,对任意正数δ,令
?
??
???
=∞
=∑δδ的边长每个k 11
*
,inf I E I I E m k k k
k 则有E m E m **
=δ
证明：由于边长小于δ的区间所构成的开覆盖是E 的开覆盖的一部分,故
E m E m **≥δ.下证.**
E m E m <δ不妨设+∞
在E 的可数开覆盖{}k I ,使得
ε+≤∑∞
=E m I k k *1
对每个k,把I K 分割成()k l 个开区间： ()k l k k k I I I ,2,1,,,, 它们互不相交且每个开区间的边长都小于
2
δ
.现保持每个i k I ,的中心不动,边长扩大()21<<λλ倍作出新的开区间,记为i k I .λ.显然对每个k,有 ()
k k l i i k I I ?= 1,λ ,()()
k n
k l i i k n
k l i i k I I I λλ
λ==∑∑==1
,1
, 易知(){} ,2,1;,,2,1,==k k l i I i k λ是E 的边长小于δ的可数开覆盖,且有
()
ελλ
λ+≤=∑∑∑∞
=∞==E m I
I
n k k
n
k k l i i
k *1
1)
(1
,
从而可知 ()
ελδ+≤E m E m n ** 令1→λ,由ε的任意性,得 E m E m **
≤δ
因此 E m E m **
=δ
外测度距离可加性的证明：
由分析可知,只需证明()2*1*21*E m E m E E m +≥ ,设()+∞<21*E E m .对任意0>ε,由引理1,作21E E 得可数开覆盖{}k I ,使得 ()ε+<∑∞
=21*1E E m I k k
其中每个I k 的边长都小于()n E E /,21ρ.显然可将{}k I 分为两组()}{1k I 和(){}
2k I 使得 1E () k
k I 1? 2E () k
k I 2?
由于I k 的边长都小于()n E E /,21ρ,故I k 的直径小于()21,E E ρ,因此以上两组开区间中的每个开区间不能同时含有E 1和E 2中的点,从而
()()()2*1*2121*E m E m I I I E E m k
k k
k k
k +≥+=>+∑∑∑ε
再由ε的任意性,即得()2*1*21*E m E m E E m +≥ 。距离可加性得证.
3.5 平移不变性
定理5 平移不变性：设E n R ?,n R x ∈0,令E+{}{}E x x x x ∈+=00,则
{}()E m x E m *0*=+
证明：由开区间的性质可知,对任意的开区间n R I ?,有{}I x I =+0,于是对于E 的任意覆盖{}k I ,经平移后{}{}0x I k +是E+{0x }的一个覆盖,从而有 {}(){}∑∑∞
=∞
==+≤+1
1
00*
k k k k I x I x E m
故{}()()E m x E m *0*≤+ ，又E+{}0x +{}0x -=E 可得{}()0**x E m E m +≤。命题得证。
3.6 对外测度有限可加性及可数可加性的研究
有限可加性：当=B A ?时,()B m A m B A m ***+=
可数可加性： 当()j i E E j i ≠=φ 时,i i i i E m E m ∑∞=∞==???? ??1
*1*
显然,可数可加性蕴含有有限可加性.
由距离可加性可以知道,如果1E ,2E 是n R 中点集,若它们的距离()0,21>E E ρ， 则()2*1*21*E m E m E E m +=
对任意(),,2,1,, =?j i R E E n
j i 若()()j i E E j i ≠>0,ρ,有k k k k E m E m ∑∞=∞==???? ??1
*
1*
即当点集间满足正距离时,它们的外测度有可加性,如果没有正距离的条件时,外测度是否仍然有可加性呢？
对于开区间()1,0中的任意点x,令{}
为有理数x R x -<<=ξξξ,10，由于x R x ∈,故R x 非空.
引理 2 对任意()1,0,∈y x ,或者y x R R =,或者φ=y x R R
证明 设y x R R a ∈,则a-x,a-y 都是有理数.于是对任意x R ∈ξ
()()()y a a x x y -+-+-=-ξξ 也是有理数,故y R ∈ξ,所以y x R R ?,同理可
证x y R R ?,所以y x R R = 命题得证.
显然,()()
1
,01,0∈=
x x
R ,其中有些R x 与R y 是相等的,由于每个R x 都是可数集,所以
()1,0分解为不可数个互不相交的这样的R x 的并,从每个R x 中选取一个元素构成集
合W.由于()1,0?x R ,故()1,0?W .
记()1,1-内所有的有理数为 ,,,,21n r r r .令 {} ,2,1,,=∈+==n W r x x W n n ξξ
显然()2,1-?n W ,由外测度的平移不变性, ,2,1,**==n W m W m n 引理 3 对上面构造的W n ,有以下性质 （1） 当n m ≠时,φ=n m W W （2） () ∞
=?11,0n n W
证明 (1)若n m W W n m ≠≠,φ ,设n m W W t ∈,则
m r t +=1ξ,W r t n ∈+=212,,ξξξ，所以m n r r -=-21ξξ为有理数,故21ξξ和为同一个R x 中的元素,由W 的作法知,21ξξ=,则n m r r =,与已知矛盾.
（2）对任意()1,0∈x ,设{}ξ=W R x ,则x -ξ是有理数,且11<-<-ξx .于是
存在正整数m,使ξ-=x r m .从而m m W r x ∈+=ξ 所以() ∞
=?1
1,0n n W
定理 6 Lebesgue 外测度不具备有限可加性和可数可加性.
证明 设0*
≥=a W m ,则 ,2,1,*
==n a W m n .若a=0,由于() ∞
=?1
1,0n n W ,由次可
加性有 ()01,011
**
=≤=∑∞
=n n W m m 矛盾,故a>0.如果外测度是有限可加的,则
Na W m W m N n n N n n ==???? ??∑==1
*1*
，但()2,1-?n W ，所以()2,11-?= N
n n W ，故
)32,1*
1*
=-≤???
? ??==m W m Na N n n
上式对一切N 成立,矛盾.所以外测度不具有有限可加性,将上面证明中的N 改为
∞,则可证外测度不具有可数可加性。
3.7 外测度的介值定理
外测度的介值定理：设E 为实直线的有界子集,0*>E m ,则对任意小于E m *的正数C,均有E E ?1,使C E m =1*.
证明：因为E 为有界集,所以可以在[]E b a ?,上定义函数()[]()x a E m x f ,* =, 显然,当[]y x b a y x ≤∈,,,时,[]()[]()y a E x a E ,, ?,依外测度的单调性,有
()()y f x f ≤,故知f 是[]b a ,上的单调增加函数.
任取[]b a x ,∈与0≥h ,使[]b a h x ,∈+,依外测度性质,得
()()[]()[]()x a E m h x a E m x f h x f ,,** -+=-+
[]()[]()[]()x a E m h x x E m x a E m ,,,*** -++≤
=[]()h x x E m +,* []()h x x m +≤,*=h
故f 在x 处右连续，类似可证f 在x 处左连续,从而得f 在[]b a ,上连续. 由()()()()b f C a f E m b f a f ≤≤==,,0*,则依闭区间上连续函数的介值定理,知存在()b a ,∈ξ,使()C f =ξ,即[]C a E m =),(*ξ ,取集合[]ξ,1a E E =,则有
C E m E E =?1*1,且.
3.8 外测度的其他性质
1 若()0*=A m ,则对任意点集B,有()()B m B A m **= .
证明：因为()B A B ?,依单调性,有()()()()B m A m B A m B m ****+≤≤ 所以()()B A m B m **=。
2若()()0\\12*21*==E E m E E m ,则()()()()2*1*21*21*E m E m E E m E E m === 证明：因为()0\21*=E E m ,()[]2211\E E E E ?,故
()()())(\2*2*21*1*E m E m E E m E m =+≤
又()0\12*=E E m ,()[]1212\E E E E ?，故()()())(\1*1*12*2*E m E m E E m E m =+≤， 于是证得)()(2*1*E m E m =
因为()()()21122121\\E E E E E E E E =,则 ()()21*21*E E m E E m ≤ 又()()2121E E E E ?, 有()()21*21*E E m E E m ≤,所以
()()21*21*E E m E E m =
又()()121211,E E E E E E ?? ,结合上式可得
()()()()1*21*21*1*E m E E m E E m E m ≤=≤
综上可得()()()()2*1*21*21*E m E m E E m E E m ===
3 设A,B 是n R 中的两个点集,且∞
证明：因为()[]B A B A \ ?,()()B A B A ??\,由外测度的次可加性与单调性,得 ()()()()()B A m B m B A m B m A m ?+≤+≤*****\
由()∞
()()()()[]()()[]B C C B A B B A A C C A \\\\\\ ?
先证()()C B B A C A \\)\( ?.当()C A x \∈时,C x A x ?∈但,此时,若
()B A x B x \,∈?则；若()C B x B x \,∈∈则,所以()()C B B A x \\ ∈,即
()()C B B A C A \\)\( ?
类似可证()()()C B B C A C \\\ ?综合即证()()C B B A C A ???? ,则
()()()[]()()0****=?+?≤??≤?C B m B A m C B B A m C A m 所以()0*=?C A m 5 设是旋转变换22:R R f →，则对2R E ??都有()()E f m E m **= 证明见参考文献[9]
4 可测集的外测度
定义3设n R E ?,若对任意的点集n R T ?,有()()()
C E T m E T m T m ***+=，则称E 为Lebesgue 可测集,简称可测集.可测集的外测度称为它的Lebesgue 测度,简称测度,记作mE. 可测集的性质：
（1） φ为可测集,0=φm ；
（2） 若E 为可测集,则C E 为可测集；
（3） 若E,F 为可测集,则F E F E F E \,, 都为可测集； （4） 若i E () ,2,1=i 为可测集,则 ∞
=∞
=1
1
,i i i i E E 也是可测集.
引理 4 若对任意A,B,φ=B A ,有()B m A m B A m ***+= ，则对任一列互不相交
的{}i E ,有i i i i E m E m ∑∞=∞==???? ??1
*
1* 。 证明：由条件易得 ,3,2,1
*1*==???? ??∑==k E m E m k i i k
i i ，由外测度的单调性,有 ∑==∞==???? ??≥???? ??k i i k
i i i i E m E m E m 1*1*1*
由于k 是任意的,令k ∞→,即得∑∞=∞=≥???? ??1
*
1*
i i i i E m E m ，
由外测度的次可加性得 ∑∞=∞=≤???? ??1
*1*
i i i i E m E m 所以i i i i E m E m ∑∞=∞==???? ??1
*
1*
.
可测集的外测度具有可数可加性
定理 7 若i E 为可测集, ,2,1=i ,()j i E E j i ≠=φ ,则有i i i i E m E m ∑∞
=∞==???? ??11
证明：不妨在{}i E 中取21,E E ,由i E 为可测集可知,对任意集T,有 ()()()
C
E T m E T m T m 1*1** +=
取T 21E E =得 ()()()
C E E E m E E E m E E m 121*121*21* +=
即()2121mE mE E E m += 由引理 4得 i i i i E m E m ∑∞
=∞==???? ??1
1
定理 8 设{}i E 是可测集序列,且.,2,1,1 =?+i E E i i 则i i E ∞
→lim 也是可测的,且
()
i i i i mE E m ∞
→∞
→=lim lim
证明：因为i i E ∞
→lim ∞
==1
i i E ,故i i E ∞
→lim 可测.若存在l ,使+∞=l mE ,则结论显然成立.
现设 ,2,1,=+∞
() ,3,2,11=-=---i E E m mE mE i i i i ，
令φ=0E ,则() ∞
=-∞
=∞
→-==1
11
lim i i i i i i i E E E E ，由可数可加性,有
()
()()∑∞
=-∞=-∞
→-=???? ??-=1
111lim i i i i i i i i E E m E E m E m =()i i i
k k k i mE mE mE ∞→=-∞→=-∑lim lim 11 类似的性质还有：若有递减可测集合列∞
()
k k k k mE E m ∞
→∞
→=lim lim
5 外测度的计算
例1 在1R 中,设E 是[0,1]中的有理数全体,证明：()0*=E m .
证：依定义,()0E m *≥. ?ε>0,记E=（12,,,,n r r r ）,令
11
(/2,/2)k k k k k I r r εε++=-+,则
m ()/2
k
k I ε=.由于1
k k E I ∞
=? ,所以
1
1
()/2.k k
k k m I
εε∞
∞
====∑∑依外测度定义又有*().m E ε≤故综合可知()0*=E m .并由
此得,对可列点集E,有()0*=E m .
例2 证明：[0,1]中的康托尔集C 的外测度是零.
证明 因为1n k C F ∞
== （由康托尔集的构造过程知,n F 是2n 个长度为3n -的闭
区间之并集）,故 *()*()23,.n n n m C m F n N -≤≤??∈从而得 *()0.m C = 例3 若k 是1与n 之间的某个整数,a 是某实常数,并记
{}1,2,(...):,,n k i E x x x x a x i k ==-∞<<+∞≠, 则E 是n R 中的零测集. 证明 对,l N ∈记 {},12(,,):,,,l a n k i E x x x x a l x l i k ==-<<≠
显然,,1.l a l E E ∞
== 满足*()0m E =的集称Lebesgue 零测集,简称零测集,零测
集的子集是零测集,有限个或可列个零测集之并仍是零测集.所以只要证i E 是零测集.0,ε?>取开区间
1211
(,,,):,,2(2)2(2)l n k i n n I x x x a x a l x l i k l l εε--??=-<<+-≤<≠???? , 显然,,l l E I ?且().l m I ε=由ε的任意性知,*()0,l m E =故*()0.m E = 例 4 证明：[0,1]中无理数集的外测度为1.
证明：设1E 是[0,1]中的无理点集,2E 是有理点集,而[0,1]= 12,E E 因2E 可列故2()0.m E =于是有1211*[0,1]*()*()*().m m E m E m E =≤+=
又因为1[0,1],E ?依单调性有1*()*[0,1] 1.m E m ≤=综上所述,得1*()m E =1.
例5 设n E E E ,,21是1
R 中的有界集，则存在 n
i i E E 1
=?使
n
E m E m E m E m n
*2*1**
+++=
证明 由n E E E ,,21是1
R 中的有界集，所以 n
i i E 1
=也是有界集，如果
*
10n i i m E =??
= ???
，则***120n m E m E m E ==== ，则任意一个i E E =都满足题目要求。如果*
10n i i m E =??
> ???
，则存在某个i E ，使得*0i m E >，于是
*****1211max n
n i i i n i m E m E m E m E m E n ≤≤=+++??≤≤ ???
，
由外测度的介值定理可知存在 n
i i E E 1
=?使
n
E m E m E m E m n
*2*1**
+++=
6 小结
Lebesgue 外测度是Lebesgue 积分的基础,本论文主要论述了它的一些性质
并相关的计算.首先,给出了Lebesgue 外测度的定义；接着,指出和证明了外测度具有的非负性、单调性、次可数可加性、距离可加性、平移不变性这五大主要性质；同时给出了外测度的介值定理和一些其他的性质,并讨论了在一般情况下,外测度不具备可数可加性；然后讨论了可数集的外测度的性质,着重写出可数集的外测度具有可数可加性；最后是与外测度计算相关的一些例题.
参考文献：
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[]9周民强.实变函数论（第二版）[]M.北京：北京大学出版社,2008.
[]10徐森林.实变函数论[]M.中国科学技术大学出版社,2006.
实验一活性污泥性质的测定实验 实验项目性质：综合性 所属课程名称：水污染控制工程 实验计划学时：10 1 实验目的 (1) 加深对活性污泥性能，特别是污泥活性的理解。 (2) 掌握几项污泥性质的测定方法。 (3) 掌握水分快速测定仪的使用。 2 实验原理 活性污泥是人工培养的生物絮凝体，它是由好氧微生物及其吸附的有机物组成的。活性污泥具有吸附和分解废水中的有机物（也有些可利用无机物质）的能力，显示出生物化学活性。在生物处理废水的设备运转管理中，除用显微镜观察外，下面几项污泥性质是经常要测定的。这些指标反映了污泥的活性，它们与剩余污泥排放量及处理效果等都有密切关系。 3 实验设备与试剂 (1) 水分快速测定仪或烘箱1台 (2) 真空过滤装置1套。 (3) 布氏漏斗l个。 (4) 分析天平1台。 (5) 马弗炉1台。 (6) 坩埚３个。(钳子) (7) 定量滤纸数张。 (8) 100mL量筒4个。 (9) 500mL烧杯2个。 (10) 玻璃棒2根。 (11) 电炉1个 4 实验方法与操作步骤 (1) 污泥沉降比SV(％) 它是指曝气池中取混合均匀的泥水混合液100mL置于100mL量筒中，
静置30min 后，观察沉降的污泥占整个混合液的比例，记下结果(表1)。 (2) 污泥浓度MLSS 就是单位体积的曝气池混合液中所含污泥的干重，实际上是指混合液悬浮固体的数量，单位为g/L 。 ①测定方法 a ．将滤纸放在105℃烘箱或水分快速测定仪中干燥至恒重，称量并记录(W 1)(表2) b ．将该滤纸剪好平铺在布氏漏斗上(剪掉的部分滤纸不要丢掉)。 c ．将测定过沉降比的100mL 量筒内的污泥全部倒入漏斗，过滤(用水冲净量筒，水也倒入漏斗)。 d ．将载有污泥的滤纸移入烘箱(105℃)或快速水分测定仪中烘干恒重，称量并记录（W 2）。 ②计算 1 1000(g/L)w w MLSS v -?2= （1） (3)污泥指数SVI 污泥指数全称污泥容积指数，是指曝气池混合液经30min 静沉后，1g 干污泥所占的容积(单位为mL/g)。计算式如下 ) mL/g ()g/L (10 (%)MLSS SV SVI ?= （2） SVI 值能较好地反映出活性污泥的松散程度(活性)和凝聚、沉淀性能。一般在100左右有为宜。 (4)污泥灰分和挥发性污泥浓度MLVSS 挥发性污泥就是挥发性悬浮固体，它包括微生物和有机物。干污泥经灼烧后(600℃)剩下的灰分称为污泥灰分。 ①测定方法 先将已知恒重的磁坩埚称量并记录(W 3)，再将测定过污泥干重的滤纸和干污泥一并故入磁坩埚中，先在普通电炉上加热碳化，然后放入马弗炉内(600℃)烧40min ，取出放入干燥器内冷却，称量(W 4)。（表3） ②计算 % 100?= 干污泥质量灰分质量 污泥灰分 或 3 21 100%w w w w -?-4污泥灰分= （3） 143()() 1000(g/L)w w w w MLVSS v ---?2= （4） 式中 W 1——滤纸的净重，g ； W 2——滤纸及截留悬浮物固体的质量之和，g ；
函数的基本性质知识点归纳与题型总结 一、知识归纳 1．函数的奇偶性 2．函数的周期性 (1)周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 解题提醒： ①判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件． ②判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)
＝－f (x )或f (－x )＝f (x )，而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)或f (－x 0)＝f (x 0)． ③分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性． 题型一 函数奇偶性的判断 典型例题：判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝(x ＋1) 1－x 1＋x ； (2)f (x )＝? ???? －x 2＋2x ＋1，x ＞0， x 2＋2x －1，x ＜0； (3)f (x )＝4－x 2 x 2； (4)f (x )＝log a (x ＋x 2＋1)(a ＞0且a ≠1)． 解：(1)因为f (x )有意义，则满足1－x 1＋x ≥0， 所以－1＜x ≤1， 所以f (x )的定义域不关于原点对称， 所以f (x )为非奇非偶函数． (2)法一：(定义法) 当x ＞0时，f (x )＝－x 2＋2x ＋1， －x ＜0，f (－x )＝(－x )2＋2(－x )－1＝x 2－2x －1＝－f (x )； 当x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x －1， －x ＞0，f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＋1＝－x 2－2x ＋1＝－f (x )．
第一章 化学热力学基础 公式总结 1.体积功 We = －Pe △V 2．热力学第一定律的数学表达式 △U = Q + W 3．n mol 理想气体的定温膨胀过程 .定温可逆时： Wmax=-Wmin= 4.焓定义式 H = U + PV 在封闭体系中，W ′= 0，体系发生一定容过程 Qv = △U 在封闭体系中，W ′= 0，体系发生一定压过程 Qp = H2 – H1 = △H 5.摩尔热容 Cm ( J·K-1·mol-1 ): 定容热容 CV （适用条件 :封闭体系、无相变、无化学变化、 W ′=0 定容过程 适用对象 : 任意的气体、液体、固体物质 ） 定压热容 Cp ?=?2 1 ,T T m p dT nC H （适用条件 :封闭体系、无相变、无化学变化、 W ′=0 的定压过程 适用对象 : 任意的气体、液体、固体物质 ） 单原子理想气体： Cv,m = 1.5R , Cp,m = 2.5R 双原子理想气体： Cv,m = 2.5R , Cp,m = 3.5R 多原子理想气体： Cv,m = 3R , Cp,m = 4R 1 221ln ln P P nRT V V nRT =n C C m = ?=?2 1 ,T T m V dT nC U
Cp,m = Cv,m + R 6.理想气体热力学过程ΔU 、ΔH 、Q 、W 和ΔS 的总结 7.定义:△fHm θ(kJ·mol-1)-- 标准摩尔生成焓 △H —焓变； △rHm —反应的摩尔焓变 △rHm θ—298K 时反应的标准摩尔焓变； △fHm θ(B)—298K 时物质B 的标准摩尔生成焓； △cHm θ(B) —298K 时物质B 的标准摩尔燃烧焓。 8.热效应的计算 由物质的标准摩尔生成焓计算反应的标准摩尔焓变 △rH θm = ∑νB △fH θm ,B 由物质的标准摩尔燃烧焓计算反应的标准摩尔焓变 △rH θm = -∑νB △cH θm ,B 9.Kirchhoff （基尔霍夫） 方程 △rHm (T2) = △rHm (T1) + 如果 ΔCp 为常数，则 △rHm (T2) = △rHm (T1) + △Cp ( T2 - T1) 10.热机的效率为 对于卡诺热机 12 11Q Q Q Q W R +=- =η dT C p T T ? ?2 1 1 2 1211Q Q Q Q Q Q W +=+=-=η121T T T -=
行列式的几种常见计算技巧和方法 2.1 定义法 适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性． 例1 计算行列式 00400300200 1000. 解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有244=！ 项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是43214321j j j j a a a a ．显然，如果41≠j ，那么011=j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41=j 的项，同理只须考虑 1,2,3432===j j j 的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有 41322314a a a a ，而()64321 =τ，所以此项取正号．故 0 04003002001000 =()()241413223144321=-a a a a τ. 2.2 利用行列式的性质 即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法 上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：
nn n n n a a a a a a a a a a a a a 2211nn 333223221131211000000=，nn nn n n n a a a a a a a a a a a a a 221132 1 33323122211100 00 00=. 例2 计算行列式n n n n b a a a a a b a a a a ++= + 21 211211n 1 11 D . 解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的()1-倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形． 解：将该行列式第一行的()1-倍分别加到第2,3…（1n +）行上去，可得 1 21n 11210000D 0 n n n a a a b b b b b += = . 2.2.2 连加法 这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算．这类计算行列式的方法称为连加法．
5．梅耶公式： R c c v p =- R c c v p 0''ρ=- 0R MR Mc Mc v p ==- 6．比热比： v p v p v p Mc Mc c c c c ===''κ 1-= κκR c v 1 -=κnR c p 外储存能： 1． 宏观动能： 221mc E k = 2． 重力位能： mgz E p = 式中 g —重力加速度。 系统总储存能： 1．p k E E U E ++= 或mgz mc U E ++ =221 2．gz c u e ++=221 3．U E = 或u e =（没有宏观运动，并且高度为零） 热力学能变化： 1．dT c du v =，?=?2 1dT c u v 适用于理想气体一切过程或者实际气体定容过程 2．)(12T T c u v -=? 适用于理想气体一切过程或者实际气体定容过程（用定值比热计算） 3．102000121221t c t c dt c dt c dt c u t vm t vm t v t v t t v ?-?=-==???? 适用于理想气体一切过程或者实际气体定容过程（用平均比热计算）
4．把()T f c v =的经验公式代入?=?2 1dT c u v 积分。 适用于理想气体一切过程或者实际气体定容过程（用真实比热公式计算） 5．∑∑====+++=n i i i n i i n u m U U U U U 1121Λ 由理想气体组成的混合气体的热力学能等于各组成气体热力学能之和，各组成气体热力学能又可表示为单位质量热力学能与其质量的乘积。 6．?-=?21pdv q u 适用于任何工质，可逆过程。 7．q u =? 适用于任何工质，可逆定容过程 8．?=?21pdv u 适用于任何工质，可逆绝热过程。 9．0=?U 适用于闭口系统任何工质绝热、对外不作功的热力过程等热力学能或理想气体定温过程。 10．W Q U -=? 适用于mkg 质量工质，开口、闭口，任何工质，可逆、不可逆过程。 11.w q u -=? 适用于1kg 质量工质，开口、闭口，任何工质，可逆、不可逆过程 12.pdv q du -=δ 适用于微元，任何工质可逆过程 13．pv h u ?-?=? 热力学能的变化等于焓的变化与流动功的差值。 焓的变化： 1．pV U H += 适用于m 千克工质 2．pv u h += 适用于1千克工质 3．()T f RT u h =+= 适用于理想气体 4．dT c dh p =，dT c h p ?=?2 1 适用于理想气体的一切热力过程或者实际气体的定压过程
函数的基本性质【教学目标】 【教学重点】
函数的基本性质及应用 【教学难点】 函数关系的建立、用函数的性质解决简单的实际问题与领悟数学思想方法。 【教学过程】： 一．知识整理 1．基本思想 （1）函数主要研究两个变量的相互联系，故涉及到两个变量的相互作用、相互影响的问题，大多可用函数的观点来解决。 （2）研究函数的主要途径是函数的图象和基本性质（以图象说明性质）。 2.主要问题： （1）函数图象的基本作法：a.分段 b.平移 c.对称 d.伸缩 （2）函数单调性的求法：a.图象 b.单调运算 c.复合函数 d.定义 （3）函数最值（或范围）的求法：a.图象 b.单调性 c.不等式 d.复合函数 e.换元 f.数形结合 （4）反函数求法：①解出x =φ(y)，②调换x,y, ③写出反函数定义域 3.函数的基本性质 函数定义：在某个变化过程中有两个变量x,y，如果对于x在某个实数集合D内的每一个确定的值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的实数值与之对应，那么y就是x函数，记作y = f (x)，x∈D，x叫做自变量，x的取值范围D叫做函数的定义域，和x 的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。 函数的相等：定义域相同，对应法则相同 函数图象：以自变量x的值为横坐标，与x的值对应的y的值为纵坐标所构成的点集，即{(x,y)|y = f (x), x∈D} a.定义域：自变量x的取值范围；亦为函数图象上点的横坐标的集合 b.值域：因变量y的取值范围；亦为函数图象上点的纵坐标的集合 c.奇偶性：如果对于函数f(x)的定义域D内的任意实数a，都有f(-a)= f(a)，则称函数 f(x)为偶函数； 如果对于函数f(x)的定义域D内的任意实数a，都有f(-a)=-f(a)，则称函数f(x) 为奇函数；
行列式的若干计算技巧与方法 内容摘要 1. 行列式的性质 2.行列式计算的几种常见技巧和方法 定义法 利用行列式的性质 降阶法 升阶法（加边法） 数学归纳法 递推法 3. 行列式计算的几种特殊技巧和方法 拆行（列）法 构造法 特征值法 4. 几类特殊行列式的计算技巧和方法 三角形行列式 “爪”字型行列式 “么”字型行列式 “两线”型行列式 “三对角”型行列式 范德蒙德行列式 5. 行列式的计算方法的综合运用 降阶法和递推法 逐行相加减和套用范德蒙德行列式 构造法和套用范德蒙德行列式
行列式的性质 性质1 行列互换，行列式不变．即 nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a n 2n 1n2 2212n12111nn n2n12n 2221 1n 1211 . 性质2 一个数乘行列式的一行（或列），等于用这个数乘此行列式．即 nn n2 n1in i2i1n 11211 k k k a a a a a a a a a k nn a a a a a a a a a n2n1in i2i1n 11211. 性质3 如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列式就等于两个行列式的和，且这两个行列式除去该行（或列）以外的各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列）一样．即 111211112111121112212121 2 1212.n n n n n n n n n nn n n nn n n nn a a a a a a a a a b c b c b c b b b c c c a a a a a a a a a K K K M M M M M M M M M M M M K K K M M M M M M M M M M M M K K K 性质4 如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例，那么行列式为零．即 k a a a ka ka ka a a a a a a nn n n in i i in i i n 21 2121112 11nn n n in i i in i i n a a a a a a a a a a a a 212121112 11 =0. 性质5 把一行的倍数加到另一行，行列式不变．即
前言 化验分析是一门实践性很强的基础技术学科，它和国民经济各个部门都有密切的联系，因此在生产实践中，化验分析对生产既起着指导和协助的作用，又起着控制和监督的作用，并且还为新产品、新工艺的研制提供依据，是现代工业生产和环境保护工作的重要环节。化验分析综合了化学、数学和物理等多方面的知识，用以鉴定物质的组成，测定物质各组成部分的含量。前者称为定性分析，后者称为定量分析。 化验工作的特点是：技术性强，知识面广，责任心大。
污废水监测 第一节、水质检测在污水处理系统的作用和职能 1、对污水处理厂进水水质进行检测，以确认进水水质； 2、对污水处理厂出水水质进行监督检测，以评价污水处理效果； 3、对污水处理厂各工艺段的工艺参数进行检测，以评价和指导工艺运行； 4、及时统计并发送各种水质数据报表，以通报污水处理效果。 第二节、水质监测的质量方针和目标 1.相关标准、规范、法规执行率100%。 2.监测报告的主要数据和结论准确率为100%，其它差错率小于1%。 3.客户投诉率低于2%。 第三节、污（废）水监测项目 水质是指水和水中所含的杂质共同表现出来的综合特性；水质指标是水质的具体衡量标准，表示出水中杂质的种类、成分和数量。
污水监测项目主要分为两类污染物 第一类污染物是指能在环境和动物、植物中蓄积，对人体健康产生长远不良影响的污染物质(13种)； 不分行业和污水排放方式，也不分受纳水体的功能类别，一律是在车间或车间处理设施排放口采样测定的污染物，包括总汞、烷基汞、总镉、总铬、六价铬、总砷、总铅、总镍、苯并（a）芘、总铍、总银、总a放射性等。 第二类污染物是指其长远影响小于第一类的污染物质，是在排污单位排放口采样测定的污染物，包括PH、色度、悬浮物、生化需氧量、化学需氧量、石油类、动植物油、挥发性酚、总氰化物、硫化物、氨氮、氟化物、磷酸盐、甲醛、苯胺类、硝基苯类、阴离子表面活性剂、总铜、总锌、总锰等。 第四节、水质监测分析方法 1、国家或行业的标准分析方法：其成熟性和准确度好，是评价其他监测分析方法的基准方法，也是环境污染纠纷法定的仲裁方法。 2、统一分析方法：是经研究和多个单位的实验室证明是成熟的方法。 3、试用方法（等效方法）：是在国内少数单位研究和应用过，或直接从发达国家引进，供监测科研人员试用的方法。 标准分析方法和统一分析方法均可在水质监测与执法中使
第9章 统计热力学初步小结与练习 核心内容：配分函数（q ）及其与热力学函数（U,S …）之间的关系 主要内容：各种运动形式的q 及由q 求U,S …的计算公式 一、内容提要 1、微观粒子的运动形式和能级公式 n e r t εεεεεε++++=v 式中，ε：粒子的总能量，t ε：粒子整体的平动能，r ε：转动能，v ε：振动能， e ε：电子运动能，n ε：核运动能。 （1）三维平动子 )(8222222 2c n b n a n m h z y x t ++=ε 式中，h ：普朗克常数；m ：粒子的质量；a ，b ，c ：容器的三个边长，n x ，n y ，n z 分别为x ，y ，z 轴方向的平动量子数，取值1，2，3……。 对立方容器 )(82 223 22z y x t n n n mV h ++= ε 基态n x = 1，n y = 1，n z = 1，简并度10,=t g ，而其他能级的简并度要具体情况具体分析，如3 2286mV h t =ε的能级，其简并度g = 3。 （2）刚性转子 双原子分子 )1(822+= J J I h r πε
式中，J ：转动量子数，取值0，1，2……，I ：转动惯量，20R I μ=， μ：分子的折合质量，2 12 1m m m m += μ，0R ：分子的平衡键长，能级r ε的 简并度 g r = 2J+1 （3）一维谐振子 νυεh )2 1(v += 式中，ν：分子的振动频率，υ：振动量子数，取值0，1，2……，各能级都是非简并的，g v = 1 对三维谐振子， νυυυεh z y x )2 3 (v +++= 2 )2)(1(v ++=s s g ， 其中s=υx + υy + υz （4）运动自由度：描述粒子的空间位置所必须的独立坐标的数目。 2、能级分布的微态数和Boltzmann 分布 （1）能级分布的微态数 能级分布：N 个粒子分布在各个能级上的粒子数，叫做能级 分布数，每一套能级分布数称为一种分布。 微态数：实现一种分布的方式数。 定域子系统能级分布微态数 ∏=i i n i D n g N W i !!
函数的基本性质 一、函数的单调性 函数的单调性函数的单调性反映了函数图像的走势，高考中常考其一下作用：比较大小，解不等式，求最值。 定义：（略） 定理1：[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么 []1212()()()0x x f x f x -->?[]1212()() 0(),f x f x f x a b x x ->?-在上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --'上是增函数； ()[]b a x f x f ,)(0在?<'上是减函数. 1.函数单调性的判断(证明) (1)作差法(定义法) (2)作商法 (3)导数法 2.复合函数的单调性的判定 对于函数()y f u =和()u g x =，如果函数()u g x =在区间(,)a b 上具有单调性，当(),x a b ∈时 (),u m n ∈，且函数()y f u =在区间(,)m n 上也具有单调性，则复合函数(())y f g x =在区间(),a b 具 有单调性。 3.由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断 对于两个单调函数()f x 和()g x ，若它们的定义域分别为I 和J ，且I J ?≠?： (1)当()f x 和()g x 具有相同的增减性时， ①1()()()F x f x g x =+的增减性与()f x 相同， ②2()()()F x f x g x =?、3()()()F x f x g x =-、4() ()(()0)() f x F x g x g x = ≠的增减性不能确定； (2)当()f x 和()g x 具有相异的增减性时，我们假设()f x 为增函数，()g x 为减函数，那么： ①1()()()F x f x g x =+的增减性不能确定；
第一章气体的pVT关系 主要公式及使用条件 1. 理想气体状态方程式 pV =(m/M )RT =nRT 或pV m = p(V/n) = RT 式中p, V, T及n单位分别为Pa, m3, K及mol。V m =V /n称为气体的摩尔体 积，其单位为m3.mol-1。R=8.314510 J mol-1-K-1,称为摩尔气体常数。 此式适用丁理想气体，近似地适用丁低压的真实气体。 2. 气体混合物 (1)组成 摩尔分数y B (或X B) = n B/，n A A 体积分数 B = y B V m,B y A V "m,A 式中￡ n A为混合气体总的物质的量。V*m,A表示在一定T, p下纯气体A的摩A 尔体积。z y A V%A为在一定T, p下混合之前各纯组分体积的总和。A (2)摩尔质量 M mix = Y B M B=m/n = L M B/' n B B B B 式中m=￡m B为混合气体的总质量，n=￡n B为混合气体总的物质的量。上述各式适用丁任意的气体混合物。 (3)y B =n B / n = P B / p = V；/V 式中p B为气体B,在混合的T, V条件下，单独存在时所产生的压力，称为 B 的分压力。V B*为B气体在混合气体的T, p下，单独存在时所占的体积。 3. 道尔顿定律 p B = y B p, p = % P B B 上式适用丁任意气体。对丁理想气体 P B =A B RT/V 4. 阿马加分体积定律 ..*
V B = n B RT / p 此式只适用丁理想气体。 第二章热力学第一定律 主要公式及使用条件 1.热力学第一定律的数学表示式 U =Q W 或 d U = a Q+a W =a Q-a 网V ' W 规定系统吸热为正，放热为负。系统得功为正，对环境作功为负。式中P amb为环境的压力，W'为非体积功。上式适用丁封闭体系的一切过程。 2.焰的定义式 H =U pV 3.焰变 (1) H = U (pV) 式中以P V)为P V乘积的增量，只有在包压下A(P V) = P。-V1)在数值上等丁体积功。 2 (2) H = 1 nC p,m dT 此式适用丁理想气体单纯pVT变化的一切过程，或真实气体的包压变温过程，或纯的液体、固体物质压力变化不大的变温过程。 4.热力学能(乂称内能)变 2 U = 1 nC v,m dT 此式适用丁理想气体单纯pVT变化的一切过程。 5.包容热和包压热 Qv = U ( dV = 0W =' 0 Q p = H (d p =0,W' =0) 6.热容的定义式 (1)定压热容和定容热容 C p = aQp/dT =(州 /钉)p C v =8Q V /dT =(印 /可)V (2) 摩尔定压热容和摩尔定容热容
实验一活性污泥性质的测定实验1 实验目的 (1)加深对活性污泥性能，特别是污泥活性的理解。 (2)掌握几项污泥性质的测定方法。 (3)掌握水分快速测定仪的使用。 2实验原理活性污泥是人工培养的生物絮凝体，它是由好氧微生物及其吸附的有机物组成的。活性污泥具有吸附和分解废水中的有机物（也有些可利用无机物质）的能力，显示出生物化学活性。在生物处理废水的设备运转管理中，除用显微镜观察外，下面几项污泥性质是经常要测定的。这些指标反映了污泥的活性，它们与剩余污泥排放量及处理效果等都有密切关系。3实验设备与试剂 (1)水分快速测定仪1台 (2)真空过滤装置1套。 (3)秒表l块。 (4)分析天平1台。 (5)马弗炉1台。 (6)坩埚数个。 (7)定量滤纸数张。 (8)100mL量筒4个。 (9)500mL烧杯2个。 (10)玻璃棒2根。 (11)烘箱1台。 4实验方法与操作步骤(1)污泥沉降比SV(％)它是指曝气池中取混合均匀的泥水混合液100mL置于100mL量筒中，静置30min后，观察沉降的污泥占整个混合液的比例，记下结果(表6-1)。(2)污泥浓度MLSS就是单位体积的曝气池混合液中所含污泥的干重，实际上是指混合液悬浮固体的数量，单位为g/L ①测定方法a．将滤纸放在105℃烘箱或水分快速测定仪中干燥至恒重，称量并记录(W1)(见 表4-5)b．将该滤纸剪好平铺在布氏漏斗上(剪掉的部分滤纸不要丢掉)。c．将测定过沉降比的100mL量筒内的污泥全部倒人漏斗，过滤(用水冲净量筒，水也倒人漏斗)。d．将载有污泥的滤纸移入烘箱(105℃)或快速水分测定仪中烘干恒重，称量并记录（W2）。②计算污泥浓度(g/L)＝[(滤纸质量+污泥干重)一滤纸质量]×10(3)污泥指数SVI污泥指数全称污泥容积指数，是指曝气池混合液经30min静沉后，1g干污泥所占的容积(单位为mL/g)。计算式如下SVI值能较好地反映出活性污泥的松散程度(活性)和凝聚、沉淀性能。 一般在100左右有为宜。(4)污泥灰分和挥发性污泥浓度MLVSS挥发性污泥就是挥发性悬浮固体，它包括微生物和有机物，干污泥经灼烧后(600℃)剩下的灰分称为污泥灰分。 ①测定方法先将已知恒重的磁坩埚称量并记录(W3)(表4-8-1)，再将测定过污泥干重的滤 纸和干污泥一并故入磁坩埚中，先在普通电炉上加热碳化，然后放入马弗炉内(600℃)烧40min，取出故人干燥器内冷却，称量(Wd)。②计算在一般情况下，MLVSS/MLSS 的比值较固定，对于生活污水处理池的活性污泥混合液，其比值常在0.75左右。5实验报告记载及数据处理式中W1——滤纸的净重，mg；W2——滤纸及截留悬浮物固体的质量之和，mg。V——水样体积，L
热力学第二定律 一、 自发反应-不可逆性（自发反应乃是热力学的不可逆过程） 一个自发反应发生之后，不可能使系统和环境都恢复到原来的状态而不留下任何影响，也就是说自发反应是有方向性的，是不可逆的。 二、 热力学第二定律 1. 热力学的两种说法： Clausius:不可能把热从低温物体传到高温物体，而不引起其它变化 Kelvin ：不可能从单一热源取出热使之完全变为功，而不发生其他的变化 2. 文字表述： 第二类永动机是不可能造成的（单一热源吸热，并将所吸收的热完全转化为功） 功 热 【功完全转化为热，热不完全转化为功】 （无条件，无痕迹，不引起环境的改变） 可逆性：系统和环境同时复原 3. 自发过程：（无需依靠消耗环境的作用就能自动进行的过程） 特征：（1）自发过程单方面趋于平衡；（2）均不可逆性；（3）对环境做功，可从自发过程获得可用功 三、 卡诺定理（在相同高温热源和低温热源之间工作的热机） ηη≤ηη （不可逆热机的效率小于可逆热机） 所有工作于同温热源与同温冷源之间的可逆机，其热机效率都相同，且与工作物质无关 四、 熵的概念 1. 在卡诺循环中，得到热效应与温度的商值加和等于零：ηηηη+η ηηη=η 任意可逆过程的热温商的值决定于始终状态，而与可逆途径无关 热温商具有状态函数的性质 ：周而复始 数值还原 从物理学概念，对任意一个循环过程，若一个物理量的改变值的总和为0，则该物理量为状态函数 2. 热温商：热量与温度的商 3. 熵：热力学状态函数 熵的变化值可用可逆过程的热温商值来衡量 ηη ：起始的商 ηη ：终态的熵 ηη=(ηηη)η （数值上相等） 4. 熵的性质： （1）熵是状态函数，是体系自身的性质 是系统的状态函数，是容量性质 （2）熵是一个广度性质的函数，总的熵的变化量等于各部分熵的变化量之和 （3）只有可逆过程的热温商之和等于熵变 （4）可逆过程热温商不是熵，只是过程中熵函数变化值的度量 （5）可用克劳修斯不等式来判别过程的可逆性 （6）在绝热过程中，若过程是可逆的，则系统的熵不变 （7）在任何一个隔离系统中，若进行了不可逆过程，系统的熵就要增大，所以在隔离系统中，一切能自动进行的过程都引起熵的增大。若系统已处于平衡状态，则其中的任何过程一定是可逆的。 五、克劳修斯不等式与熵增加原理 不可逆过程中，熵的变化量大于热温商 ηηη→η?(∑ηηηηηηη)η>0 1. 某一过程发生后，体系的热温商小于过程的熵变，过程有可能进行不可逆过程 2. 某一过程发生后，热温商等于熵变，则该过程是可逆过程
教学要求：理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念，掌握增（减）函数的证明和判别, 学会运用函数图象理解和研究函数的性质。 教学重点：掌握运用定义或图象进行函数的单调性的证明和判别。 教学难点：理解概念。 教学过程： 一、复习准备： 1.引言：函数是描述事物运动变化规律的数学模型，那么能否发现变化中保持不变的特征呢？ 2. 观察下列各个函数的图象，并探讨下列变化规律： ①随x 的增大，y 的值有什么变化？ ②能否看出函数的最大、最小值？ ③函数图象是否具有某种对称性？ 3. 画出函数f(x)= x ＋2、f(x)= x 2的图像。（小结描点 法的步骤：列表→描点→连线） 二、讲授新课： 1.教学增函数、减函数、单调性、单调区间等概念： ①根据f(x)＝3x ＋2、 f(x)＝x 2 (x>0)的图象进行讨论： 随x 的增大，函数值怎样变化？ 当x 1>x 2时，f(x 1)与f(x 2)的大小关系怎样？ ②.一次函数、二次函数和反比例函数，在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质？ ③定义增函数：设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 [课题]：第一章集合与函数概念 1.3 函数的基本性质 主备人：高一数学备课组陈伟坚编写时间：2013年9月30日使用班级（21）（22） 计划上课时间：2013-2014学年第一学期第6 周星期一至三（四至六月考）[课标、大纲、考纲内容]： 学生在初中已学过一次函数、二次函数、反比例函数的图象与性质，通过这些基本初等函数引入函数的单调性和最值，学生还是容易接受的，但很多学生的二次函数的性质还不过关，需要加强。学生的阅读理解能力还是较弱，教师需要引导学生对函数的单调性、奇偶性的定义理解透彻。 1、重点：理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；求函数的单调区间和最值；奇偶性的定义，判定函数的奇偶性的方法；运用函数图象理解和研究函数的性质。 2、难点：运用函数图象理解函数单调性和奇偶性的定义，研究基本函数的单调性和奇偶性。 第1课时 1.3.1 单调性与最大（小）值（1） 【教学目标】 1. 运用已学过的函数特别是二次函数的图象，理解函数的单调性的定义及其几何意义； 2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 3. 会用定义证明函数的单调性 【教学重难点】 教学重点: 理解函数的单调性的含义及其几何意义. 教学难点: 用定义证明函数的单调性. 【教学过程】 一、引入课题 1． 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律： 2． ○ 2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ． 2．f(x) = -2x+1 ○1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○ 2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ． 3．f(x) = x 2 ○ 1在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而 ________ ． ○2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而 ________ ． 二、新课教学 （一）函数单调性定义 1．增函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1 行列式的计算方法总结: 1. 利用行列式性质把行列式化为上、下三角形行列式. 2. 行列式按一行(一列)展开,或按多行(多列)展开(Laplace 定理). 几个特别的行列式: B A B C A B C A == 0021 , B A B A D D B A mn )1(0 021 -== ,其中B A ,分别是n m ,阶的方阵. 例子: n n a b a b a b b a b a b a D 22O N N O = , 利用Laplace 定理,按第1,+n n 行展开,除2级子式 a b b a 外其余由第1,+n n 行所得的2级子式均为零. 故222222112)()1(--+++++-=-= n n n n n n n D b a D a b b a D ,此为递推公式,应用可得 n n n n b a D b a D b a D )()()(224222222222-==-=-=--Λ. 3. 箭头形行列式或者可以化为箭头形的行列式. 例:n n n n n n n a x x a a x x a a x x a a a a x x a a a a x a a a a x a a a a x ------=Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ ΛΛΛΛΛΛΛΛ00 000 01 133112 2113213 21321 321321 -----(倍加到其余各行第一行的1-) 100 101010 011)(3 332 221 111 Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛ-------? -=∏=n n n n i i i a x a a x a a x a a x x a x --------(每一列提出相应的公因子i i a x -) 1 001000 010)(3 332 222111 1 Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛn n n n i i i i n i i i a x a a x a a x a a x a a x x a x ----+-? -=∑∏== --------(将第n ,,3,2Λ列加到第一列) 单位：地理与环境学院 适用专业：环境工程 指导教师：XXX 目录 实验一颗粒自由沉淀实验 (2) 实验二水污染处理设备及工艺演示实验 (3) 实验三混凝实验 (4) 实验四活性污泥性质的测定 (6) 实验五水中氨氮的测定验 (7) 实验六离子交换实验 (9) 实验七加压溶气气浮实验 (10) 实验八曝气设备充氧能力的测定实验 (11) 实验一 颗粒自由沉淀实验 一、实验目的 加深对自由沉淀、基本概念以及沉淀规律的理解。掌握颗粒自由沉淀实验的方法，并能对实验数据进行分析、整理、计算和绘制颗粒自由沉淀曲线。 二、实验原理 沉淀是指从液体中借重力作用去除固体颗粒的一种过程。根据液体中固体物质的浓度和性质，可将沉淀过程分为自由沉淀、絮凝沉淀、成层沉淀和压缩沉淀等四类。当废水中的悬浮物浓度不高时，在静沉过程中颗粒之间互不干扰、碰撞，呈单颗粒状态下沉，这种沉淀属于自由沉淀。 自由沉淀时颗粒是等速下沉，下沉速度与沉淀的高度无关，因而自由沉淀可在一般的沉淀柱内进行。为使沉淀颗粒不受器壁的干扰，沉淀柱的直径一般应不小于100mm 。 如果沉淀柱的有效水深为H ，如图1-1所示，通过不同的沉淀时间t ，可求得不同的沉速u ，u=H/t 。如沉淀时间为t ，相应的沉速为u 0，则颗粒的去除率由两部分构成：沉速u ≥u0颗粒能全部去除，去除率为E 1；所有沉速小于u 0的颗粒能部分去除，去除率为E 2，则E=E 1+E 2。设所有沉速小于u 0的颗粒占总颗粒数的百分数为P 0，其中某一种沉速为u i 的颗粒的去除百分数为u x /u 0，则所有沉速小于u 0的颗粒u i 的去除百分数即 E 2 沉速u ≥u0颗粒所占的百分数为1―P 0，E 1=1―P 0，则总去除率： 但沉速小于u0的颗粒占总颗粒数的百分数P 0不易统计，故E 2较难计算。实验中可按以下方法进行去除率的计算。 经研究，可以从有效水深内的上、中、下部取相同数量的水样混匀后求出有效水深内 （污泥层以上）的平均悬浮物浓度。或者，为了简化，可以假定悬浮物浓度沿深度呈直线变化，这样，将取样口设在沉淀柱中部0.5H 处，则该处水样的悬浮物浓度可近似地代表整个有效水深内的平均浓度，据此计算出沉淀时间为t 时的沉淀效率。在不同的沉淀时间t 1、t 2、……分别从中部取样，测出其悬浮物浓度C 1、C 2……，并量出水深的变化H 、H1……（如沉淀柱直径足够大，则水深变化可忽略不计），可计算出u 1、u 2、……（等于H/t 1、H 1/t 2……），根据所测数据可绘制出时间~沉淀效率（t~E ）曲线、颗粒沉速~沉淀效率（u~E ）曲线。 三、实验设备及仪器 1. 沉淀实验筒：直径Ф100mm ，工作有效水深(由溢出口下缘到筒底的距离)1800mm 。 2. 浊度仪； 3. 秒表。 四、实验材料 高岭粘土配水。 五、实验步骤 1、称取一定量的高岭土，加入沉淀实验筒中，高岭土配制浓度为100mg/L ； 2、充气搅拌约5min ，使水样中悬浮物分布均匀； 3、 静置观察沉淀现象； 4、 分别在沉降0、10、20、30、4 5、60、90min 后，从实验筒中部H/2取样口取样，每次约100mL 左右(准确记下水样体积)。取水样前要先排出取样管中的积水约10mL 左右； 5、 测定水样中悬浮物浓度，以mg/L 计。测定每一沉淀时间的水样的悬浮物浓度方法如下：首先调烘箱至105±1℃，叠好滤纸放入称量瓶，打开盖子，将其放入105℃烘箱中至恒重，称取重量，然后将恒重好的滤纸取出放在玻璃漏斗中，过滤水样，并用蒸馏水冲净，使滤纸上得到全部悬浮性固体。最后将带有滤渣的滤纸移入称量瓶中，称其悬浮物的重量（还00p i i u dp ?00000000 111p p i i i i u p (p )dp (p )u dp u u =-+=-+??函数的基本性质(教案)
(完整版)行列式的计算方法总结
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