数学分析(2)期末试题
课程名称 数学分析(Ⅱ) 适 用 时 间 试卷类别 1 适用专业、年级、班 应用、信息专业
一、单项选择题(每小题3分,3×6=18分)
1、 下列级数中条件收敛的是( ).
A .1(1)n
n ∞
=-∑ B . 1n n ∞
= C . 21(1)n n n
∞
=-∑ D . 11(1)n
n n ∞=+∑
2、 若f 是(,)-∞+∞内以2π为周期的按段光滑的函数, 则f 的傅里叶(Fourier )级数在
它的间断点x 处 ( ).
A .收敛于()f x
B .收敛于1
((0)(0))2
f x f x -++
C . 发散
D .可能收敛也可能发散 3、函数)(x f 在],[b a 上可积的必要条件是( ).
A .有界
B .连续
C .单调
D .存在原
函数
4、设()f x 的一个原函数为ln x ,则()f x '=( )
A . 1x
B .ln x x
C . 21
x
- D . x e
5、已知反常积分2
0 (0)1dx
k kx +∞>+?收敛于1,则k =( )
A . 2
π
B .22π
C . 2
D . 24π
6、231ln (ln )(ln )(1)(ln )n n x x x x --+-+-+收敛,则( )
A . x e <
B .x e >
C . x 为任意实数
D . 1e x e -<< 二、填空题(每小题3分,3×6=18分)
1、已知幂级数1n n n a x ∞
=∑在2x =处条件收敛,则它的收敛半径为 .
2、若数项级数1
n n u ∞
=∑的第n 个部分和21
n n
S n =
+,则其通项n u = ,和S = . 3、曲线1
y x
=
与直线1x =,2x =及x 轴所围成的曲边梯形面积为 . 4、已知由定积分的换元积分法可得,1
()()b
x x a
e f e dx f x dx =??,则a = ,b = .
5、数集(1) 1, 2 , 3, 1n
n n n ?
?
-=??+?
?
的聚点为 . 6、函数2
()x f x e =的麦克劳林(Maclaurin )展开式为 .
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三、计算题(每小题6分,6×5=30分)
1、 (1)dx
x x +?. 2、2ln x x dx ?.
3、 0
(0)dx a >?
. 4、 2 0
cos lim
sin x
x t dt x
→?
.
5、dx ?
.
四、解答题(第1小题6分,第2、3 小题各8分,共22分)
1、讨论函数项级数21
sin n nx
n ∞
=∑在区间(,)-∞+∞上的一致收敛性.
2、求幂级数1n
n x n
∞
=∑的收敛域以及收敛区间内的和函数.
3、设()f x x =, 将f 在(,)ππ-上展为傅里叶(Fourier )级数. 五、证明题(每小题6分,6×2=12分)
1、已知级数1
n n a ∞=∑与1
n n c ∞
=∑都收敛,且
证明:级数1
n n b ∞
=∑也收敛.
2、证明:
22 0
sin cos n
n x dx x dx π
π
=??.
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试题参考答案与评分标准
课程名称 数学分析(Ⅱ) 适 用 时 间 试卷类别 1 适用专业、年级、班 应用、信息专业
一、 单项选择题(每小题3分,3×6=18分)
⒈ B ⒉ B ⒊ A ⒋ C ⒌ D ⒍ D 二、 填空题(每小题3分,3×6=18分)
⒈ 2 ⒉ 2
, =2(1)
n u S n n =
+ ⒊ ln 2
⒋ 1, a b e == ⒌ 1± ⒍
20
1, (,)!n
n x x n ∞
=∈-∞+∞∑ 三、 计算题(每小题6分,6×5=30分)
1. 解
1
(1)
dx x x ∴+?
(3分)
ln ln 1.x x C =-++ (3分)
2. 解 由分部积分公式得
3311
ln ln 33x x x d x =-? (3分) 3311
ln 39
x x x C =-+ (3分) 3. 解 令sin , [0, ]2
x a t t π
=∈ 由定积分的换元积分公式,得
2
220
cos a
tdt π
=?
(3分)
67
68
2
.4
a π=
(3分)
4. 解 由洛必达(L 'Hospital)法则得
20cos lim cos x x x
→= (4分) 1= (2分)
5. 解
= (2分)
420
4
(cos sin ) (sin cos )x x dx x x dx π
π
π=-+-?? (2分)
2.= (2分)
四、 解答题(第1小题6分,第2、3小题各8分,共22分)
1. 解 (, ), x n ?∈-∞∞?+(正整数)
22
sin 1
nx n n ≤ (3分) 而级数211
n n ∞
=∑收敛,故由M 判别法知,
2
1
sin n nx
n ∞
=∑在区间(,)-∞+∞上一致收敛. (3分)
2. 解 幂级数1n
n x n
∞
=∑
的收敛半径1R =
=,
收敛区间为(1,1)-. (2分)
易知1
n
n x n ∞
=∑在1x =-处收敛,而在1x =发散,
故1n
n x n
∞
=∑的收敛域为[1,1)-. (2分)
1
, (1, 1)1n n x x x ∞
==∈--∑ (2分) 逐项求积分可得
0001, (1,1)1x
x n
n dt t dt x t ∞==∈--∑??. 即101ln(1), (1,1).1n n
n n x x x x n n
+∞
∞
==--==∈-+∑∑ (2分) 3. 解 函数f 及其周期延拓后的图形如下
函数f 显然是按段光滑的,
故由收敛性定理知它可以展开为Fourier 级数。 (2分)
由于()f x 在(,)ππ-为奇函数, 故 0, 0, 1, 2, n a n ==…, 而
1(1)2
n n
+-?= (4分)
所以在区间(,)ππ-上,
11
sin ()2(1).n n nx
f x x n ∞
+===-∑ (2分)
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70
五、 证明题(每小题5分,5×2=10分)
1. 证明 由1
n n a ∞=∑与1
n n c ∞
=∑都收敛知,
级数
1
()n
n n c
a ∞
=-∑也收敛。 (1分)
又由 , 1, 2, 3 n n n a b c n ≤≤=,
可知, 0, 1,2,3,
n n n n b a c a n ≤-≤-
=
从而由正项级数的比较判别法知
1
()n
n n b
a ∞
=-∑收敛, (2分)
于是由 (), 1,2,3,n n n n b b a a n =-+
=
知级数
1
n
n b
∞
=∑收敛. (2分)
2. 证明 令2
x t π
=
-,则2
t x π
=
-. (1分)
由定积分的换元积分公式,得
202
sin sin ()2n n xdx t dt π
ππ
=-??- (2分) 20
cos n xdx π
=? (2分)