微分方程
（一）基本概念和一阶微分方程
1、 通解就是含有独立常数的个数与方程的阶数相同的解；
有时也称为一般解但不一定是全部解。
特解：不含有任意常数或任意常数确定后的解。 （有的是用隐函数表示！！！）
2、几阶微分方程就有几个初始条件。
微分方程的特解在几何上是一条曲线称为该方程的一条几分曲线；而通解在几何上是 一族曲线就称为该方程的积分曲线族。 3、可分离变量的微分方程：dx x f dy y g )()(=
推广形式：齐次方程)1(:??+=+=-=+===C
x C x dx
u u f du u dx
du x u dx dy u x y x y dx dy ||ln )()(,),(??则令
形。属于可分离变量方程情则
令则令情形当属于齐次方程情形。，则令的解情形，先求出
当则令)(,
),)((,,0|b a b a |2)(
)(,
),,(0
00|b a b a |
1)()3()
()(,),0,0)(()2(2
11111112
11111121222112
21
122112221112
2
11222111c u c u f b a dx dy b a dx du y b x a u c y b x a c y b x a f dx dy
b b a a u
v b a u y
b a f v
b u a v b u a f du dv y v x u
c y b x a c y b x a c y b x a c y b x a f dx dy
c x dx u bf a du u bf a dx du u c by ax b a c by ax f dx dy
+++=+=+=++++=====?><++=++=-=-==++=++≠=?><++++=+==+?+==++≠≠++=??λλλβαβα4、一阶线性微分方程及其推广
)
)((),(,)(),()()2(,,0)(:
)1()()()()(C dx e x Q e y x C e x C y x Q y x P dx
dy
C Ce y y x P dx
dy
dx
x P dx x P dx x P dx
x P +??=?==+?==+?
---则得代入方程求出令解公式
用常数变易法可求出通一阶线性非齐次方程：为任意常数）（通解公式为，它也是可分离变量方程一阶线性齐次方程(3)
（3）见下页
方程求解。
再按照一阶线性非齐次把原方程化为令伯努利方程：),()1()()1(,
),1,0()()()3(1x Q n z x P n dx
dz
y z n y x Q y x P dx
dy
n n -=-+=≠=+-
(4)
。
阶线性非齐次方程求解为未知函数，再按照一为自变量，以，
可化为方程：x y y Q x y P dy dx x y P y Q dx dy )()(,)()(1=+-=
5、全微分方程及其推广
));arctan(21()(1));arctan(21()(1);1
21()();121()
();ln 21();ln 21();
(arctan );(arctan );
();()];ln(21[)];ln(21[);
(ln );();
2();2()
,(),(),(:
),(),(),(),(),(,),(:,0),(),()1(2
22
22222222
2222222222
222222
22
2222
22
2222222y x d y x ydy xdx y x d y x ydy xdx y x d y x ydy xdx y x d y x ydy xdx y x y
x d y x ydx xdy y x y x d y
x xdy ydx x y d y x ydx xdy y x d y x xdy ydx x y
d y xdy ydx y x d x ydx xdy y x d y
x ydy xdx y x d y x ydy xdx xy d xy
xdy
ydx xy d xdy ydx y x d ydy xdx y x d ydy xdx y x du dy y x Q dx y x P y x u dy y x Q dx y x P y x du y x u C y x u y
P
x Q dy y x Q dx y x P -=-+-+=+++--=--+-=++-+=--+-=--=+-=+-=-=--=--+=++=+=+-=-+=+=???=++==??=??=+流，就很有帮助。的全微分公式要倒背如把常见的一些二元函数第一种：凑微分法的常用方法求满足其中通解满足
全微分方程 )
()()(]),([),()(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(:0
000000),()
,(00y C y C y C dx y x P y
y u y x Q y y C dx y x P y x u y x P x u
dy y x Q dx y x P y x u dy
y x Q dx y x P y x u y x u y y x x y x y x u 积分后求出求出求导得对得由
第三种：不定积分法：积分与路径无关）特殊路径积分法（因为第二种''+??
=??=+==??++=++=?????
(2)全微分方程的推广（约当因子法）
是关键。
这种情形，求约当因子。，也是原来方程的通解通解求出按全微分方程解法仍可称为约当因子，则也即满足
为全微分方程，
使得但是存在足
不是全微分方程。不满假设--),(),(),(),(),(),(),(,]
[][0),(),(),(),(),(,0),(),(C y x u y x du dy y x Q y x R dx y x P y x R y x R y
RP x RQ dy y x Q y x R dx y x P y x R y x R y
P
x Q dy y x Q dx y x P ==+??=??=+??=??=+
例题：1、可分离变量方程及其推广
C y x C u x C dx u du
dx u du u y x y x dx dy
+++=+=
+=+=+=++++=??)14(2arctan 2
1
2arctan 211
4,14,14)14(Eg11222
则解：令： C x x y C x u dx u du u dx du u x y dx
dy
f dx dy x y
dx x y d x y x
y dx dy x x y x y dx
dy
x
eg +=+==++===+=+=-+=-??arctan arctan ,1,1,)
)(()(1)
()(1.:2222
22222则令混淆注：不要和齐次方程即，则得解：方程两边除以的通解求微分方程 (注：两个函数相除的导数公式，运算法则一定要门清！！！)
2
)ln(22ln 22||ln 2||ln 2122
222
22
20,0,)(1,
1,||ln )1ln(1,1,)
00()(1:3Cy Ce y x x y C Ce y x x y Ce y
x
y x Ce u u C y u u y dy u du u u dy du y u dy dx u y x y y y
x y x y y x x dy dx y x x y
dx dy eg y y y y -==+-<==++>=++=+++±=++±=++±=+==<>+±=+-=+-=
-+-±±??时当时当则令
取正号取负号，解：求微分方程
C e y u
C ze
C u z z u du dz z z z z z z z z z du dz u z
z du dz u z u v z v u v du dv y v x u y x y x y y x y dx dy eg x y z
=+=+-=+-=++++-=++-=+=+=+=+=-=-===-+=+-++=-+??3
2
arctan 2arctan 22222222
2002
)2(,,||ln arctan 2||ln )121(,)1()1()1()1(2,)1(2)(23,3,2,3010
2)1
2(2:4，则是齐次方程，再令方程变为
。
令得解解：先解方程组求微分方程
2、一阶线性微分方程及其推广
]
sin 2
1[sin 1]cos [cos )(,cot )(,cos )(cot 0
tan )sin (:2
cot cot C y y C ye e x y y Q y y P y x y dy
dx
y x ydx dy y x eg ydy ydy +=+??====+=+-?-程为看作自变量所得微分方看作未知函数，解：此题把
(二)特殊的高阶微分方程
1、可降阶的高阶微分方程
211112211)()(),(),(),(),(,,),()2()()()()1(C dx C x p y C x p y C x p p x f p p dx
dp
y p y y x f y C x C x C x C dx x f y x f y n n n n n n +===='=---='?'==
''=''=''++???+++???==???---???则原方程的通解为，即设其解为一阶微分方程，原方程则令型的微分方程
通解为型的微分方程
。，则原方程的通解为设其通解为一阶微分方程，代入原方程，得则令型的微分方程
211),(),(),(,),()3(C x C y dy
C y p y p y f dy
dp
p dy dp p dx dy dy dp dx dp y p y y y f y +==='--==?==
''=''=''???
2、线性微分方程解的性质与结构
我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结构很容易地推广到更高阶的线性微分方程。
)
2......().........()()()
1....(....................0)()(x f y x Q y x P y y x Q y x P y =+'+''=+'+''二阶非齐次线性方程二阶齐次线性方程
.
)()()()()()()()()()()()()()(5)()(*,)()()()(*4)()(*)()(*3)()()(),(2)()()()()()(),)(()()(),(121*
2*
121*
2*
121221121212211212121221121的特解是的特解，则与分别是与设程的通解。
是此二阶非齐次线性方则为独立的任意常数）程的通解（对应的二阶齐次线性方为的一个特解，而为二阶非齐次线性方程若的一个特解。为二阶非齐次线性方程方程的任意特解，则为对应的二阶齐次线性的一个特解，若为二阶非齐次线性方程若一个特解。
的二阶齐次线性方程的为对应的两个特解，则为二阶非齐次线性方程若通解为线性无关时，则方程的与为常数），也即（地，当仍为同方程的解，特别为任意常数性组合两个特解，则它们的线为二阶齐次线性方程的若x f x f y x q y x p y x y x y x f y x Q y x P y x f y x Q y x P y x y x y x Y x y y C C x y C x y C x Y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y C x y C y x y x y x y x y C C x y C x y C x y x y +=+'+''+=+'+''=+'+''><+=+=><+><-><+=≠+><λλ3、二阶和某些高阶常系数齐次线性方程
。
则方程的通解为，特征方程有共轭复根当。
则方程的通解为，，特征方程有二重根当。
则方程的通解为，的实根，特征方程有两个不同当种形式：情形对应方程通解的三特征方程根的三种不同为常数，特征方程其中程
二阶常系数齐次线性方)sin cos (,043)(042,0410,0)()()1(21221212212122121x C x C e y i q p e x C C y r r q p e C e C y r r q p q pr r q p y x Q y x P y x x r x r x r βββαα+=±<-=?><+===-=?><+=>-=?><=++=+'+''
x
r k k x r n x r x r n n n n n n i n n n n n e x C x C C n k k r e C e C e C y r r r n p r p r p r p r n i p y p y p y p y p y n n 021)()(2,,,10),,2,1(,0)2(12102121122111)2(2)1(1)(-------+???++≤><+???++=???><=++???+++???==+'+???+++则方程通解中含有重实根为特征方程的若则方程通解为个不同的实根若特征方程有系同二阶情形很类似。特征根与方程通解的关相应的特征方程为常数。其中阶常系数齐次线性方程
]
sin )(cos )[()2(31
211
21x x
D x D D x x
C x C C e n k k i k k k k x
βββαα--+???++++???++≤±><，则方程通解中含有重共轭复根为特征方程的若
由此可见，常系数齐次线性方程的通解完全被其特征方程的根所决定，但是三次及三次以上代数方程的根不一定容易求得，因此只能讨论某些容易求特征方程的根所对应的高阶常系数齐次线性方程的通解。
4、二阶常系数非齐次线性方程
]
sin )(cos )([)(*2),,2,1,0(,)(),,2,1,0(,)(]sin )(cos )([)(*1,,)(,cos )()(sin )()()3()()(*3)()(*2)()(*1,)(,)()()2()()(*03)()(*02),,2,1,0()()(*01)(),()()1()(*)()(*)(*)()(*)()()()()(*,)(1110111022111022112211x x P x x P xe x y i n i b b x b x b x b x P n i a a x a x a x a x P x x P x x P e x y i n x P x e x P x f x e x P x f e x R x x y e x xR x y e x R x y n x P e x P x f x R x x y x xR x y n i a a x a x a x a x R x y n x P x P x f x y x f x y x y x f x y x y C x y C x y C x y C x y y q p x f qy y p y n l x i n n n n n i n n n n l n l x n x n x n x
n x n x
n n x n n n i n n n n n n n ωωωλωωωλωλωωλλλλππππππππ+=±><===><=><=><==><=><=+++==+'+''------是特征根，则令若为待定系数。其中为待定系数。其中其中不是特征根，则令若皆为实常数次多项式为其中或令是特征方程的重根，则若令是特征方程的单根，则若不是特征根，则令若为实常数次多项式为其中令是特征方程的重根，则若令是特征方程的单根，则若为待定系数。
其中不是特征根，则令若次多项式
为其中的形式如下：
的形式和相对应地，常见的系数就得到特解然后代入方程确定这些待定的系数，的形式，其中包含一些的形式，先确定特解我们根据如何求？
线性方程的一个特解非齐次关键要讨论二阶常系数解上面已经讨论。所以系数齐次线性方程的通为对应二阶常，其中通解为：为常数，
其中方程：5、欧拉方程
。
注意下面变换公式：齐次线性微分方程。
，一定是常系数是未知函数的微分方程是自变量，代入方程，变为方程。令阶欧拉为常数称为其中??????-=-=-======?==???==+'+???++--------,),(1)()(,,1),,2,1(,02222
222222
2
2221)2(11)(dt dy dt
y d dx y d x dt dy dt y d x dt dy e dt y d e dt dy e dt d e dx dy dt d dx dt dx y d dt
dy dx dy x dt dy x dt dy e dx dt dt dy dx dy y t e x n n i p y p y x p y x p y x t t t t t t i n n n n n n
例题：1、可降阶的高阶微分方程
2121212122121222221212222222||ln )(2
1,1)
(1]1[121
2,12,
020)(2)1(C C x C C x C dx x C x y x C x z p C x x C dx e x e z x z x dx dz p z x
p x p p p x p x p p xp p x p y p y y y x y x dx x dx x +--+-=+-=-==+-=+?
-?=?-=+==--'=-'=--''=''='='-'-''??----通解为则有再令属于伯努利方程，原方程化为，则解：令的通解
求微分方程
2、常系数齐次线性微分方程
3、二阶常系数非齐次线性微分方程