单项选择题
第一章第二章
1. 下列表达式正确的有( )
A. Q Q P ? → ? ) (
B.P Q P ?∨ C .P Q P Q P ??∧∨∧)()( D.T Q P P ?→→)(
2. 下列推理步骤错在( )
①))()((x G x F x →?
P ②)()(y G y F →
US① ③)(x xF ?
P ④)(y F
ES③ ⑤)(y G
T②④I ⑥)(x xG ? EG⑤
A.②
B.④
C.⑤
D.⑥
3. 设P ：2×2=5，Q ：雪是黑的，R ：2×4=8，S ：太阳从东方升起，下列( )命题的真值为真。
A.R Q P ∧→
B.S P R ∧→
C.R Q S ∧→
D.)()(S Q R P ∧∨∧
4. 下列公式中哪些是永真式？( )
A.(┐P ∧Q )→(Q→?R)
B.P→(Q→Q)
C.(P ∧Q)→P
D.P→(P ∧Q)
5. 下列等价关系正确的是( )
A.)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∨??∨? B .)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∨??∨?
C.Q x xP Q x P x →??→?)())((
D.Q x xP Q x P x →??→?)())((
6. 下列推导错在( )
①)(y x y x >??
P ②)(y z y >?
US① ③z z >
ES② ④)(x x x >? UG③
A.②
B. ④ C . ③ D.无
7. 若公式)()(R P Q P ∧?∨∧的主析取范式为111110011001m m m m ∨∨∨则它的主合取范式为( )
A.111110011001m m m m ∧∧∧
B.101100010000M M M M ∧∧∧ ；
C.111110011001M M M M ∧∧∧
D.101100010000m m m m ∧∧∧ 。
8. 在下述公式中不是重言式为( )
A ．)()(Q P Q P ∨→∧
B ．))()(()(P Q Q P Q P →∧→??
C ．Q Q P ∧→?)(
D ．)(Q P P ∨→
9. 下列各式中哪个不成立( )
A.)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∨??∨?
B.)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∨??∨?
C .)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∧??∧? D.Q x xP Q x P x ∧??∧?)())((
10.命题“尽管有人聪明，但未必一切人都聪明”的符号化（P(x)：x 是聪明的，M(x)：x 是人）( )
A.)))()((())()((x P x M x x P x M x →??∧→?
B.)))()((())()((x P x M x x P x M x ∧??∧∧?
C.)))()((())()((x P x M x x P x M x →??∧∧?
D.)))()((())()((x P x M x x P x M x →??∨∧?
11.下述命题公式中，是重言式的为( )
A.)()(q p q p ∨→∧
B.q p ∨))()((p q q p →∨→?
C.q q p ∧→?)(
D.q q p →?∧)(
12.谓词公式)())()((x Q y yR x P x →?∨?中的x 是( )
A.自由变元
B.约束变元
C.既是自由变元又是约束变元
D.既不是自由变元又不是约束变元
13.命题“有的人喜欢所有的花”的逻辑符号化为( )
设D ：全总个体域，F （x ）：x 是花，M(x) ：x 是人，H(x,y)：x 喜欢y
A. ))),()(()((y x H y F y x M x →?→?
B.))),()(()((y x H y F y x M x →?∧?
C. ))),()(()((y x H y F y x M x →?→?
D.))),()(()((y x H y F y x M x →?∧?
14.下列等价式成立的有( )
A.Q P Q P ?→??→
B.R R P P ?∧∨)(
C.Q Q P P ?→∧)(
D.R Q P R Q P →∧?→→)()(
15.给定公式)()(x xP x xP ?→?，当D={a,b}时，解释( )使该公式真值为0。
A.P(a)=0、P(b)=0 B .P(a)=0、P(b)=1 C.P(a)=1、P(b)=1
16.设x x M ：
)(是人，x x P ：)(犯错误,命题“没有不犯错误的人”符号化为( ) A.))()((x P x M x ∧? B.)))()(((x P x M x ?→?? C.)))()(((x P x M x ∧?? D .)))()(((x P x M x ?∧??
17.下列语句是命题的有( )
A.明年中秋节的晚上是晴天
B.0>+y x
C.0>xy 当且仅当x 和y 都大于0
D.我正在说谎
18.下列公式是重言式的有( )
A.)(Q P ?? B .Q Q P →∧)( C.P P Q ∧→?)( D.P Q P ?→)(
19.下列集合中哪个是最小联结词集( )
A .},{→? B.{?, } C. {?, } D.},,{∨∧?
20.设L(x)：x 是演员，J(x)：x 是老师，A(x , y)：x 钦佩y ，命题“所有演员都钦佩某些老师”符号化为( )
A.)),()((y x A x L x →?
B.))),()(()((y x A y J y x L x ∧?→?
C.)),()()((y x A y J x L y x ∧∧??
D.)),()()((y x A y J x L y x →∧??
21.下列各命题中真值为真的命题有( )
A.2+2=4当且仅当3是奇数
B.2+2=4当且仅当3不是奇数
C.2+2≠4当且仅当3是奇数
D.2+2=4仅当3不是奇数
22.命题逻辑演绎的CP 规则为( )
A.在推演过程中可随便使用前提
B.在推演过程中可随便使用前面演绎出的某些公式的逻辑结果
C .如果要演绎出的公式为C B →形式，那么将B 作为前提，演绎出C
D.设)(A Φ是含公式A 的命题公式，A B ?，则可用B 替换)(A Φ中的A
第三章
23.设A={1，2，3，4}，P （A ）（A 的幂集）上规定二元系|}||(|)(,|,{t s A p t s t s R =∧∈><=则P （A ）/ R=( )
A ．A
B ．P(A)
C ．{[Φ]R ，[{1}]R ，[{1，2}]R ，[{1，2，3}]R ，[{1，2，3，4}]R }
D ．{[Φ]R ，[2]R ，[2，3]R ，[2，3，4]R ，[A]R }
24.集合A={1,2,…,10}上的关系R={
A.自反的
B.对称的
C.传递的，对称的
D.传递的
25.集合A={1，2，3，4}上的偏序关系为，则它的Hass 图为( C )
26.设R ，S 是集合A 上的关系，则下列说法正确的是( )
A ．若R ，S 是自反的， 则S R ο是自反的
B ．若R ，S 是反自反的， 则S R ο是反自反的
C ．若R ，S 是对称的， 则S R ο是对称的
D ．若R ，S 是传递的， 则S R ο是传递的
27.Ａ，Ｂ，Ｃ是三个集合，则下列哪几个推理正确 ( )
A.A ?B ，B ?C 则A ?C
B.A ?B ，B ?C 则 A∈B
C.A∈B，B∈C 则 A∈C
28.设A={Φ，{1}，{1，3}，{1，2，3}}则A 上包含关系“?”的哈斯图为( C )
29.设f ，g 是函数，当( C )时，f=g
A.)()( x g x f domf x =∈?都有
B. 的表达式相同与g f
C. g f domf domg ?? 且
D.rangef rangef domf domg ==,
30.设}}{,{,ΦΦ=Φ=B A ，则B －A 是( )
A.}}{{Φ
B.}{Φ
C.}}{,{ΦΦ
D.Φ
31.集合A={1，2，3，4}上的偏序关系图如下左，则它的哈斯图为( C )
32.设} 3 ,2 ,1 {=S ，定义S S ?上的等价关系,
,
则由R 产生的S S ?上一个划分共有( B )个分块。
A ．4
B ．5
C ．6
D ．9
33.下列是真命题的有( )
A ． }}{{}{a a ?
B ．}},{{}}{{φφφ∈
C ．}},{{φφφ∈
D ．}}{{φφ∈
34.设B A S ??，下列各式中( B )是正确的
domS ?B B.domS ?A C.ranS ?A D.domS ? ranS = S
35.设} 3 ,2 ,1 {=S ，S 上关系R 的关系图如下 ，则R 具有( D )性质
A ．自反性、对称性、传递性
B ．反自反性、反对称性
C ．反自反性、反对称性、传递性
D ．自反性
36.设} |{是偶数或奇数x x A =,)}2( |{y x I y y x B =∧∈?=,)}12( |{+=∧∈?=y x I y y x C ,
},4,4,3,3,2,2,1,1,0|{Λ----=x D 下列相等的集合是( D )
A.A 的B
B.B 和C
C.C 和D
D.A 和D
37.设{}b a A ,=，则P （A ）×A = ( C)
A.A
B.P （A ）
C.{}><><><><><><>Φ<>Φ
D.{}><><><><><><>Φ<>Φ 38.A 是素数集合，B 是奇数集合，则A-B=( D ) A.素数集合 B.奇数集合 C.Φ D.{2} 39.设R 和S 是P 上的关系，P 是所有人的集合，},|,{的父亲是y x P y x y x R ∧∈><=， },|,{的母亲是y x P y x y x S ∧∈><=则1-S R ο表示关系 ( A ) A.},|,{的丈夫是y x P y x y x ∧∈>< B.},|,{的孙子或孙女是y x P y x y x ∧∈>< C.Φ D.},|,{的祖父或祖母是y x P y x y x ∧∈>< 40.在自然数集N 上，（对任意N b a ∈,）下列( B)运算是可结合的 A.b a b a -=* B.),max(b a b a =* C.b a b a 5+=* D.b a b a -=* 41.Q 为有理数集N ，Q 上定义运算*为a*b = a + b – ab ，则 A.a B.b C.1 D.0 42.公式),()),(),((y x xP z y Q y x P y x ?∧∨??换名( A ) A.),()),(),((y x xP z u Q u x P u x ?∧∨?? B.),()),(),((u x xP z u Q u x P y x ?∧∨??； C.),()),(),((u x xP z y Q y x P y x ?∧∨?? D.),()),(),((y u uP z y Q y u P y u ?∧∨??。 43.下面蕴涵关系不成立的是( C ) A.))()(()()(x Q x P x x xQ x xP ∨???∧? B.))()(()()(x Q x P x x xQ x xP →???→? C.))()(()()(x Q x P x x xQ x xP →???→? D.),(),(y x xA y y x yA x ????? 44.N 是自然数集，定义3mod )()( ,:x x f N N f =→（即x 除以3的余数）,则f 是(D) A.满射不是单射 B.单射不是满射 C.双射 D.不是单射也不是满射 45.集合A={2，3，6，12，24，36}上偏序关系R 的Hass 图为 则集合B={2，3，6，12}的上确界( ) B={2，3，6，12}的下界( ) C={6，12，24，36}的下确界( ) D={6，12，24，36}的上界( ) A. 12,无,6,36 B. 12,2,6,36 C. 12,2,12,36 D .12,无,6,无 46.下列哪个偏序集构成有界格( ) A.（N ，≤） B.（Z ，≥） C.（{2，3，4，6，12}，|（整除关系）） D .(P （A ），?) 47.六阶群的子群的阶数可以是( D) A.1，2，5 B.2，4 C.3，6，7 D.2，3 48.对右图，则)(),(),(G G G k δλ分别为( C ) A.2、2、1 B.1、1、2 C.1、1、1 D.1、2、2 49.一棵树有7片树叶，3个3度结点，其余全是4度结点，则该树有( A )个4度结点 A.1 B.2 C.3 D.4 50.具有6 个顶点，12条边的连通简单平面图中，每个面都是由( C )条边围成 A.2 B.4 C.3 D.5 51.设G 是有n 个结点m 条边的连通平面图，且有k 个面，则k 等于( A) A.m-n+2 B.n-m-2 C.n+m-2 D.m+n+2 52.下列哪个公式为永真式？( C ) A.?Q=>Q→P B.?Q=>P→Q C.P=>P→Q D.?P ∧(P ∨Q)=>P 53.“人总是要死的”谓词公式表示为( )（论域为全总个体域）M(x)：x 是人；Mortal(x)：x 是要死的 A.)()(x Mortal x M → B.)()(x Mortal x M ∧ C. ))()((x Mortal x M x ∧? D.))()((x Mortal x M x →? 54.设}}2,1{},1{,{Φ=S ，则有( A )S ? A.{{1,2}} B.{1,2 } C.{1} D.{2} 55.判断下列命题哪个正确？( B ) A.若A∪B＝A∪C，则B ＝C B.{a,b}={b,a} C.P(A∩B)≠P(A)∩P (B)（P(S)表示S 的幂集） D.若A 为非空集，则A ≠A∪A 成立 56.下列结果正确的是( ) A.B A B A =-?)( B.Φ=-?A B A )( C.A B B A =?-)( D.Φ=Φ?Φ}{ 57.集合},2{N n x x A n ∈==对( )运算封闭 A. 乘法 B.减法 C. 加法 D.y x - 58.设I 为整数集合，m 是任意正整数，m Z 是由模m 的同余类组成的同余类集合，在m Z 上定义运算 ]mod )[(][][m j i j i ?=?，则代数系统>? A.封闭的代数系统 B.半群 C.独异点 D.群 59.设≤><,N 是偏序格，其中N 是自然数集合，“≤”是普通的数间“小于等于”关系，则 N b a ∈?,有=∨b a ( ) A.a B.b C.min(a ，b) D. max(a ，b) 60.一棵无向树T 有4度、3度、2度的分枝点各1个，其余顶点均为树叶，则T 中有( )片树叶 A.3 B.4 C.5 D.6 61.有向图D= A.0 B.1 C.2 D.3 62.设},,,,,{f e d c b a V =，},,,,,,,,,,,{><><><><><><=e f e d d a a c c b b a E ，则有向图 >= A.强连通的 B.单侧连通的 C.弱连通的 D.不连通的 63.设无向图G 有18条边且每个顶点的度数都是3，则图G 有( )个顶点 A.10 B.4 C.8 D.12 64.下列命题正确的是( C ) A.S S N N ∈∈∈2 ,2则 B.S N S Q Q N ?∈?则 , C.R N R Q Q N ???则 , D.S N S N ??Φ?Φ?Φ则 , 65.设A={a,{a}}，下列命题错误的是( B ) A.{a}∈P(A) B.{a}?P(A) C.{{a}}∈P(A) D.{{a}}?P(A) 66.设A={Φ} ，B=Р(Р(A)) 下列( )表达式不成立 A.B ?Φ B.{}B ?Φ C. B ?Φ D. {}{}B ∈Φ 67.设R ，S 是集合A 上的关系，则下列( )断言是正确的 A .S R ,自反的，则S R ο是自反的 B.若S R ,对称的，则S R ο是对称的 C.若S R ,传递的，则S R ο是传递的 D.若S R ,反对称的，则S R ο是反对称的 68.设P={x|(x+1)2≤4且x ∈R},Q={x|5≤x 2+16且x ∈R},则下列命题哪个正确( ) A.Q ?P B.Q ?P C.P ?Q D.P=Q 代数系统 69.),2(⊕=S G ，其中}3,2,1{=S ，⊕为集合对称差运算，则方程}3,1{}2,1{=⊕x 的解为( ) A. Φ B.}3,2,1{ C.}3,1{ D. }3,2{ 70.在有理数集Q 上定义的二元运算*，Q y x ∈?,有xy y x y x -+=*， 则Q 中满足( ) A. 1,≠∈?x Q x 时有逆元1-x B.只有唯一逆元 C. 所有元素都有逆元 D.所有元素都无逆元 71.设S={0，1}，*为普通乘法，则< S ， * >是( ) A.半群，但不是独异点 B.只是独异点，但不是群 C.群 D.环，但不是群 72.设A={1，2，…，10 }，则下面定义的运算*关于A 封闭的有( ) A.x*y=max(x ，y) B.x*y=质数p 的个数使得y p x ≤≤ C.x*y=gcd(x ， y) (gcd (x ，y)表示x 和y 的最大公约数) D.x*y=lcm(x ，y) （lcm(x ，y) 表示x 和y 的最小公倍数） 73.设[{a ， b ， c}，*]为代数系统，*运算如下： 则零元为( C) A.a B.b C.c D.没有 74.设>=<ο},2,1,0{1G ，>=<},*1,0{2G ，其中ο表示模3加法，*表示模2乘法，在集合21G G ?上定义如下运算：,,,,21G G d c b a ?>∈<>*>=< A.<0，0> B.<0，1> C.<1，0> D.<1，1> 75.设R 是实数集合，“?”为普通乘法，则代数系统 A ．群 B ．独异点 C ．半群 76.设是一个格，由格诱导的代数系统为>∧∨<, , A ，则( )成立 A.的分配律对满足∧∨>∧∨<,,A B.b b a b a A b a =∨?≤∈?,, C.c b c a b a A c b a =∨=∨∈?则若 ,,, D.b b a a b b a a A b a =∨∧=∧∨∈?)( )(,,且有 77.设}4,4 1,3,31,2,21,1{=s ，*为普通乘法，则 A.代数系统 B.半群 C.群 D.都不是 78.设}4,4 1,3,31,2,21,1{=s ，*为普通乘法，则 79.在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？( ) A.a*b=a-b B.a*b=max{a ，b} C.a*b=a+2b D.a*b=|a-b| 80.设≤><,A 是一个有界格，如果它也是有补格，只要满足( ) A. 每个元素都至少有一个补元 B. 每个元素都有多个补元 C.每个元素都无补元 D. 每个元素都有一个补元 81.具有如下定义的代数系统>*<,G ，( )不构成群 A.}10,1{=G ，*是模11乘 B.}9,5,4,3,1{=G ，*是模11乘 C.Q G =（有理数集），*是普通加法 D .Q G =（有理数集），*是普通乘法 82.在( )中，补元是唯一的 A.有界格 B.有补格 C.分配格 D.有补分配格 83.在布尔代数>-∧∨<,, , A 中，0=∧c b 当且仅当( ) A.c b ≤ B.b c ≤ C.c b ≤ D.b c ≤ 84.设是偏序集，“≤”定义为：b a b a A b a |,,?≤∈?，则当A=( )时，是格 A.{1，2，3，4，6，12} B.{1，2，3，4，6，8，12，14} C.{1，2，3，…，12} D.{1，2，3，4} 85.设>-∧∨<,, , A 是布尔代数，f 是从A n 到A 的函数，则( ) A.f 是布尔代数 B.f 能表示成析取范式，也能表示成合取范式 C.若A={0，1}，则f 一定能表示成析取范式，也能表示成合取范式 D.若f 是布尔函数，它一定能表示成析（合）取范式 图论 86.连通非平凡的无向图G 有一条欧拉回路当且仅当图G ( ) A.只有一个奇度结点 B.只有两个奇度结点 C.只有三个奇度结点 D.没有奇度结点 87.设>= A.完全图 B.树 C.简单图 D.多重图 88.若一棵完全二元（叉）树有2n-1个顶点，则它( )片树叶 A.n B.2n C.n-1 D.2 89.图给出一个格L，则L是( ) A.分配格 B.有补格 C.布尔格 D.A，B，C都不对 90.在Peterson图中，至少填加( )条边才能构成Euler图 A.1 B.2 C.4 D.5 91.在有n个顶点的连通图中，其边数( ) A.最多有n-1条 B.至少有n-1 条 C.最多有n条 D.至少有n 条 92.图中从v1到v3长度为2的通路有( )条 A． 0 B． 3 C． 2 D． 1 93.下面那一个图可一笔画出( A ) 94.一个割边集与任何生成树之间( ) A.没有关系 B.割边集诱导子图是生成树 C.有一条公共边 D.至少有一条公共边 95.在任何图中必定有偶数个( ) A.度数为偶数的结点 B.入度为奇数的结点 C.度数为奇数的结点 D.出度为奇数的结点 96.一棵树有2个2度顶点，1 个3度顶点，3个4度顶点，则其1度顶点为( ) A.5 B.7 C.8 D.9 97.下列偏序集( C )能构成格 98.连通图G 是一棵树当且仅当G 中( ) A.有些边是割边 B.每条边都是割边 C.所有边都不是割边 D.图中存在一条欧拉路径 99.有n 个结点)3(≥n ，m 条边的连通简单图是平面图的必要条件( ) A.63-≥m n B.63-≤m n C.63-≥n m D.63-≤n m 100. 设无向图G 有18条边且每个顶点的度数都是3，则图G 有( )个顶点 A.10 B.4 C.8 D.12 101. 在有n 个顶点的连通图中，其边数( ) A.最多有n-1条 B.至少有n-1条 C.最多有n 条 D.至少有n 条 102. 给定无向图>= A.},,,{4341><> B.},,,{6454><> C.},,,{8474><> D.},,,{3221><> 103. 如右图 相对于完全图K 5的补图为( A ) 104. 下列哪一种图不一定是树( ) A.无回路的简单连通图 B.每对顶点间都有通路的图 C.有n 个顶点n-1条边的连通图 D.连通但删去任何一条边便不连通的图 105. 下面偏序集( B )能构成格 106. 6阶有限群的任何子群一定不是( ) A.2阶 B.3 阶 C.4 阶 D.6 阶 107. 在如下的有向图中，从V 1到V 4长度为3 的道路有( )条 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 108. n 个结点的无向完全图n K 的边数为( ) A.)1(+n n B.2)1(+n n C.)1(-n n D.2 )1(-n n 109. 设G 是一个哈密尔顿图，则G 一定是( ) A.欧拉图 B.树 C.平面图 D.连通图 110. 在如下各图中( B)是欧拉图 111. 下列图中( )是根树 A.>><><><=<},,,,,{},,,,{1d c b a a a d c b a G B.>><><><=<},,,,,{},,,,{2d c d b b a d c b a G C.>><><><=<},,,,,{},,,,{3a c d a b a d c b a G D.>><><><=<},,,,,{},,,,{4d d c a b a d c b a G 112. 下面给出的集合中，哪一个是前缀码？( ) A.{0，10，110，101111} B.{1，11，101，001，0011} C.{b ，c ，aa ，ab ，aba} D.{01，001，000，1} 113. 左图[0]相对于完全图的补图为( A ) 114. 下列图中是欧拉图的有( A ) 115.设n阶图G有m条边，每个结点度数不是k就是k+1，若G中有N k个k度结点，则N k=( ) A.n×k B.n×(k+1) C.n×(k+1)-m D.n×(k+1)-2m 116.设G是简单有向图，可达矩阵P(G)刻画下列 ( C )关系 A.点与边 B.边与点 C.点与点 D.边与边 117.设G是一棵树，n,m分别表示顶点数和边数，则( ) A.n=m B. n=m+1 C. m=n+1 D.不能确定 . 离散数学作业7 离散数学数理逻辑部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第三次作业，大家要认真及时地完成数理逻辑部分的综合练习作业。 要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求2010年12月19日前完成并上交任课教师（不收电子稿）。并在07任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。 一、填空题 1．命题公式()P Q P →∨的真值是 1 ． 2．设P ：他生病了，Q ：他出差了．R ：我同意他不参加学习. 则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为 (PQ)R ． 3．含有三个命题变项P ，Q ，R 的命题公式PQ 的主析取范式是 (PQR) (PQR) ． 4．设P(x)：x 是人，Q(x)：x 去上课，则命题“有人去上课．” 可符号化为 (x)(P(x) →Q(x)) ． 5．设个体域D ＝{a, b},那么谓词公式)()(y yB x xA ?∨?消去量词后的等值式为 (A(a) A(b)) (B(a) B(b)) ． 6．设个体域D ＝{1, 2, 3}，A(x)为“x 大于3”，则谓词公式(x)A(x) 的真值为 ． 7．谓词命题公式(x)((A(x)B(x)) C(y))中的自由变元为 ． 8．谓词命题公式(x)(P(x) Q(x) R(x ，y))中的约束变元为 X ． 三、公式翻译题 1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式． 1．解：设P ：今天是天晴； 则 P ． 2．请将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式． 解：设P ：小王去旅游，Q ：小李去旅游， 则 PQ ． 3．请将语句“如果明天天下雪，那么我就去滑雪”翻译成命题公式． 解：设P:明天天下雪 。 Q:我去滑雪 则 P Q ． 4．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式． 7．解：设 P ：他去旅游，Q ：他有时间， 则 P Q ． 5．请将语句 “有人不去工作”翻译成谓词公式． 11．解：设P(x)：x 是人，Q(x)：x 去工作， 常熟理工学院20 ～20 学年第学期 《离散数学》考试试卷（试卷库01卷） 试题总分： 100 分考试时限：120 分钟 题号一二三四五总分阅卷人得分 一、单项选择题（每题2分，共20分） 1.下列表达式正确的有( ) （A）（B）（C）（D） 2.设P：2×2=5，Q：雪是黑的，R：2×4=8，S：太阳从东方升起，下列( )命题的真值为 真。 （A）（B）（C）（D） 3.集合A={1,2,…,10}上的关系R={ 1．n个命题变元组成的命题公式共有种不同的等价公式。 2．设〈L，≤〉为有界格，a为L中任意元素，如果存在元素b∈L,使，则称b是a 的补元。 3．设*，Δ是定义在集合A上的两个可交换二元运算，如果对于任意的x,y∈A,都有 ,则称运算*和运算Δ满足吸收律。 4．设T是一棵树，则T是一个连通且的图。 5．一个公式的等价式称作该公式的主合取范式是指它仅由组成。 6．量词否定等价式? ("x)P(x) ?，? ($x)P(x) ?。 7．二叉树有5个度为2的结点，则它的叶子结点数为。 8．设 《离散数学》题库答案 一、选择或填空 (数理逻辑部分) 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( ) (1)?Q=>Q →P (2)?Q=>P →Q (3)P=>P →Q (4)?P ∧(P ∨Q)=>?P 答:(1),(4) 2、下列公式中哪些就是永真式？( ) (1)(┐P ∧Q)→(Q →?R) (2)P →(Q →Q) (3)(P ∧Q)→P (4)P →(P ∨Q) 答:(2),(3),(4) 3、设有下列公式,请问哪几个就是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P ∧Q (2) P ∧Q=>P (3) P ∧Q=>P ∨Q (4)P ∧(P →Q)=>Q (5) ?(P →Q)=>P (6) ?P ∧(P ∨Q)=>?P 答:(2),(3),(4),(5),(6) 4、公式?x((A(x)→B(y,x))∧ ?z C(y,z))→D(x)中,自由变元就是( ),约束变元就是( )。 答:x,y, x,z 5、判断下列语句就是不就是命题。若就是,给出命题的真值。( ) (1) 北京就是中华人民共与国的首都。 (2) 陕西师大就是一座工厂。 (3) 您喜欢唱歌不？ (4) 若7+8＞18,则三角形有4条边。 (5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 答:(1) 就是,T (2) 就是,F (3) 不就是 (4) 就是,T (5) 不就是 (6) 不就是 6、命题“存在一些人就是大学生”的否定就是( ),而命题“所有的人都就是要死的”的否定就是( )。 答:所有人都不就是大学生,有些人不会死 7、设P:我生病,Q:我去学校,则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时,我才不去学校 (2) 若我生病,则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时,我才不去学校(4) 若我不生病,则我一定去学校 答:(1) P Q →? (2) Q P ?→ (3) Q P ?? (4)Q P →? 8、设个体域为整数集,则下列公式的意义就是( )。 (1) ?x ?y(x+y=0) (2) ?y ?x(x+y=0) 答:(1)对任一整数x 存在整数 y 满足x+y=0(2)存在整数y 对任一整数x 满足x+y=0 9、设全体域D 就是正整数集合,确定下列命题的真值: (1) ?x ?y (xy=y) ( ) (2) ?x ?y(x+y=y) ( ) (3) ?x ?y(x+y=x) ( ) (4) ?x ?y(y=2x) ( ) 答:(1) F (2) F (3)F (4)T 10、设谓词P(x):x 就是奇数,Q(x):x 就是偶数,谓词公式 ?x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立 答:(1) 11、命题“2就是偶数或-3就是负数”的否定就是( )。 答:2不就是偶数且-3不就是负数。 12、永真式的否定就是( ) (1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能 数理逻辑部分 选择、填空及判断 ?下列语句不就是命题的( A )。 (A) 您打算考硕士研究生不？ (B) 太阳系以外的星球上有生物。 (C) 离散数学就是计算机系的一门必修课。 (D) 雪就是黑色的。 ?命题公式P→(P∨?P)的类型就是( A ) (A) 永真式(B) 矛盾式 (C) 非永真式的可满足式(D) 析取范式 ?A就是重言式,那么A的否定式就是( A ) A、矛盾式 B、重言式 C、可满足式 D、不能确定 ?以下命题公式中,为永假式的就是( C ) A、p→(p∨q∨r) B、(p→┐p)→┐p C、┐(q→q)∧p D、┐(q∨┐p)→(p∧┐p) ?命题公式P→Q的成假赋值就是( D ) A、 00,11 B、 00,01,11 C、10,11 D、 10 ?谓词公式) x xP∧ ?中,变元x就是 ( B ) R , ( x ) (y A、自由变元 B、既就是自由变元也就是约束变元 C、约束变元 D、既不就是自由变元也不就是约束变元 ?命题公式P→(Q∨?Q)的类型就是( A )。 (A) 永真式 (B) 矛盾式 (C) 非永真式的可满足式 (D) 析取范式 ?设B不含变元x,) x x→ ?等值于( A ) A ) ( (B A、B (D、B x xA→ x ?) ( ( ?C、B x∧ A ?) (B、) ?) xA→ x ) ( A x (B x∨ ?下列语句中就是真命题的就是( D )。 A.您就是杰克不？ B.凡石头都可练成金。 C.如果2+2=4,那么雪就是黑的。 D.如果1+2=4,那么雪就是黑的。 ?从集合分类的角度瞧,命题公式可分为( B ) A、永真式、矛盾式 B、永真式、可满足式、矛盾式 C、可满足式、矛盾式 D、永真式、可满足式 ?命题公式﹁p∨﹁q等价于( D )。 A、﹁p∨q B、﹁(p∨q) C、﹁p∧q D、 p→﹁q ?一个公式在等价意义下,下面写法唯一的就是( D )。 (A) 范式 (B) 析取范式 (C) 合取范式 (D) 主析取范式 ?下列含有命题p,q,r的公式中,就是主析取范式的就是( D )。 离散数学作业7 离散数学数理逻辑部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、 数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型(除单项选择题外) 安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第三次作业，大家要认真及时地完成数理逻辑部分的综合练习作业。 要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求本学期第17周末前完成并上交任课教师(不收电子稿)。并在07任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。 一、填空题 1 .命题公式P (Q P)的真值是T或1 ______ . 2?设P:他生病了，Q:他出差了. R:我同意他不参加学习.则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为(P V Q)-R 3. ____________________________________________________________ 含有三个命题变项P，Q，R的命题公式P Q的主析取范式是__________________ _(P Q R) (P Q R)_ 4. 设P(x): x是人，Q(x): x去上课，则命题“有人去上课.” 可符号化为— x(P(x) Q(x))_ 5. 设个体域D = {a, b},那么谓词公式xA(x) yB(y)消去量词后的等值式为 (A(a) A(b)) (B(a) B(b))_ 6 .设个体域D = {1,2, 3}，A(x)为“x大于3”，则谓词公式(x)A(x)的真值为F 或0 ________________ . 7.谓词命题公式(x)((A(x) B(x)) C(y))中的自由变元为 ________ . 8 .谓词命题公式(x)(P(x) Q(x) R(x，y))中的约束变元为x _______ . 三、公式翻译题 1 .请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式 离散数学证明题离散数学证明题:链为分配格 证明设a,b均是链A的元素，因为链中任意两个元素均可比较，即有a≤b或a≤b，如果a ≤b，则a,b的最大下界是a,最小上界是b，如果b≤a，则a,b的最大下界是b,最小上界是a，故链一定是格,下面证明分配律成立即可,对A中任意元素a,b,c分下面两种情况讨论: ⑴b≤a或c≤a ⑵a≤b且a≤c 如果是第⑴种情况,则a∪(b∩c)=a=(a∪b)∩(a∪c) 如果是第⑵种情况,则a∪(b∩c)=b∩c=(a∪b)∩(a∪c) 无论那种情况分配律均成立,故A是分配格. 一.线性插值(一次插值) 已知函数f(x)在区间[xk ,xk+1 ]的端点上的函数值yk =f(xk ), yk+1 = f(xk+1 ),求一个一次函数y=P1 (x)使得yk =f(xk ),yk+1 =f(xk+1 ), 其几何意义是已知平面上两点(xk ,yk ),(xk+1 ,yk+1 ),求一条直线过该已知两点。 1. 插值函数和插值基函数 由直线的点斜式公式可知： 把此式按照 yk 和yk+1 写成两项: 记 并称它们为一次插值基函数。该基函数的特点如下表： 从而 P1 (x) = yk lk (x) + yk+1 lk+1 (x) 此形式称之为拉格朗日型插值多项式。其中, 插值基函数与yk 、yk+1 无关，而由插值结点xk 、xk+1 所决定。一次插值多项式是插值基函数的线性组合, 相应的组合系数是该点的函数值yk 、yk+1 . 例1: 已知lg10=1,lg20=1.3010, 利用插值一次多项式求lg12的近似值。 解: f(x)=lgx,f(10)=1,f(20)=1.3010, 设 x0 =10 ,x1 =20 ,y0 =1 ,y1 =1.3010 则插值基函数为： 于是, 拉格朗日型一次插值多项式为: 故 : 即lg12 由lg10 和lg20 两个值的线性插值得到,且具有两位有效数字(精确值lg12=1.0792). 二.二次插值多项式 已知函数y=f(x)在点xk-1 ,xk ,xk+1 上的函数值yk-1 =f(xk-1 ),yk =f(xk ), yk+1 =f(xk+1 ), 求一个次数不超过二次的多项式P2 (x), 使其满足, P2 (xk-1 )=yk-1 , P2 (xk )=yk , P2 (xk+1 )=yk+1 . 其几何意义为:已知平面上的三个点 (xk-1 ,yk-1 ),(xk ,yk ),(xk+1 ,yk+1 ), 求一个二次抛物线, 使得该抛物线经过这三点。 1.插值基本多项式 有三个插值结点xk-1 ,xk ,xk+1 构造三个插值基本多项式，要求满足： (1) 基本多项式为二次多项式; (2) 它们的函数值满足下表： 因为lk-1 (xk )= 0,lk-1 (xk+1 )=0, 故有因子(x-xk )(x-xk+1 ), 而其已经是一个二次多项式, 仅相差一个常数倍, 可设 lk-1 (x)=a(x-xk )(x-xk+1 ), 《离散数学》题库与答案 一、选择或填空 （数理逻辑部分） 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( A ) (1)?Q=>Q→P (2)?Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)?P∧(P∨Q)=>?P 答：在第三章里面有公式（1）是附加律，（4）可以由第二章的蕴含等值式求出（注意与吸收律区别） 2、下列公式中哪些是永真式？( ) (1)(┐P∧Q)→(Q→?R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q) 答：（2），（3），（4）可用蕴含等值式证明 3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q (4)P∧(P→Q)=>Q (5) ?(P→Q)=>P (6) ?P∧(P∨Q)=>?P 答：（2）是第三章的化简律，（3）类似附加律，（4）是假言推理，（3），（5），（6）都可以用蕴含等值式来证明出是永真蕴含式 4、公式x((A(x)B(y，x))z C(y，z))D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。 答：x,y, x,z（考察定义在公式x A和x A中，称x为指导变元，A为量词的辖域。在x A和x A的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，即称x为约束变元，A中不是约束出现的其他变项则称为自由变元。于是A(x)、B(y，x)和z C(y，z)中y为自由变元，x和z为约束变元，在D(x)中x为自由变元） 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( ) (1)北京是中华人民共和国的首都。(2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗？(4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。 (5) 前进！(6) 给我一杯水吧！ 答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是（命题必须满足是陈述句，不能是疑问句或者祈使句。） 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。 答：所有人都不是大学生，有些人不会死（命题的否定就是把命题前提中的量词“换成存在，换成”，然后将命题的结论否定，“且变或或变且”） 7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时，我才不去学校(2) 若我生病，则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1）P ?（注意“只有……才……”和“除非……就……”两者都是一个 Q→ 形式的）（2）Q P→ ? P? ?（4）Q P? →（3）Q 8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。 (1) x y(x+y=0) (2) y x(x+y=0) 答：（1）对任一整数x存在整数y满足x+y=0 （2）存在整数y对任一整数x满足x+y=0 9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值： (1) x y (xy=y) ( ) (2) x y(x+y=y) ( ) (3) x y(x+y=x) ( ) (4) x y(y=2x) ( ) 答：（1）F (反证法：假若存在，则（x- 1）*y=0 对所有的x都成立，显然这个与前提条件相矛盾) （2）F （同理）（3）F （同理）（4）T（对任一整数x存在整数y满足条件y=2x 很明显是正确的） 试卷二试题与参考答案 一、填空 1、 P:您努力,Q:您失败。 2、 “除非您努力,否则您将失败”符号化为 ; “虽然您努力了,但还就是失败了”符号化为 。 2、论域D={1,2},指定谓词P P (1,1) P (1,2) P (2,1) P (2,2) T T F F 则公式x ??真值为 。 3设A={2,3,4,5,6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=,则 R= (列举法)。 R 的关系矩阵M R = 。 4、设A={1,2,3},则A 上既不就是对称的又不就是反对称的关系 R= ;A 上既就是对称的又就是反对称的关系R= 。 5、设代数系统 二、选择 1、在下述公式中就是重言式为( ) A.)()(Q P Q P ∨→∧; B.))()(()(P Q Q P Q P →∧→??; C.Q Q P ∧→?)(; D.)(Q P P ∨→。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为( ),成真赋值的个数为 ( )。 A.0; B.1; C.2; D.3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ,则 S 2 有( )个元素。 A.3; B.6; C.7; D.8 。 4、设} 3 ,2 ,1 {=S ,定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈∈<><><<=则由 R 产 生的S S ?上一个划分共有( )个分块。 A.4; B.5; C.6; D.9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ,S 上关系R 的关系图为 则R 具有( )性质。 A.自反性、对称性、传递性; B.反自反性、反对称性; C.反自反性、反对称性、传递性; D.自反性 。 6、设 ο,+ 为普通加法与乘法,则( )>+<ο,,S 就是域。 A.},,3|{Q b a b a x x S ∈+== B.},,2|{Z b a n x x S ∈== C.},12|{Z n n x x S ∈+== D.}0|{≥∧∈=x Z x x S = N 。 7、下面偏序集( )能构成格。 第二章命题逻辑 §2.2 主要解题方法 2.2.1 证明命题公式恒真或恒假 主要有如下方法： 方法一.真值表方法。即列出公式的真值表，若表中对应公式所在列的每一取值全为1，这说明该公式在它的所有解释下都是真，因此是恒真的；若表中对应公式所在列的每 一取值全为0，这说明该公式在它的所有解释下都为假，因此是恒假的。 真值表法比较烦琐，但只要认真仔细，不会出错。 例2.2.1 说明G= (P∧Q→R)∧(P→Q)→(P→R)是恒真、恒假还是可满足。 解：该公式的真值表如下： 表2.2.1 由于表2.2.1中对应公式G所在列的每一取值全为1，故 G恒真。 方法二.以基本等价式为基础，通过反复对一个公式的等价代换，使之最后转化为一个恒真式或恒假式，从而实现公式恒真或恒假的证明。 例2.2.2 说明G= ((P→R) ∨? R)→ (? (Q→P) ∧ P)是恒真、恒假还是可满足。 解：由(P→R) ∨? R=?P∨ R∨? R=1，以及 ? (Q→P) ∧ P= ?（?Q∨ P）∧ P = Q∧? P∧ P=0 知，((P→R) ∨? R)→ (? (Q→P) ∧ P)=0，故G恒假。 方法三.设命题公式G含n个原子，若求得G的主析取范式包含所有2n个极小项，则G是恒真的；若求得G的主合取范式包含所有2n个极大项，则G是恒假的。 方法四. 对任给要判定的命题公式G，设其中有原子P1，P2，…，P n，令P1取1值，求G的真值，或为1，或为0，或成为新公式G1且其中只有原子P2，…，P n，再令P1取0值，求G真值，如此继续，到最终只含0或1为止，若最终结果全为1，则公式G恒真，若最终结果全为0，则公式G 1. 写出命题公式 ﹁（P →（P ∨ Q ））的真值表。 答案： 2.证明 答案： 3. 证明以下蕴涵关系成立： 答案： 4. 写出下列式子的主析取范式： 答案： 5. 构造下列推理的论证：p ∨q, p →r, s →t, s →r, t q 答案： ) ()(R P Q P ∨∧∧?) ()(R P Q P ∨∧?∨??) )(())(R Q P P Q P ∧?∨?∨∧?∨??) ()()()(R Q R P P Q P P ∧?∨∧?∨∧?∨∧??) ()()(Q R P R P Q R P Q ∧∧?∨?∧∧?∨∧∧??) ()()(P R Q P R Q Q R P ?∧∧?∨∧∧?∨?∧∧?∨) ()()(Q R P R P Q R P Q ∧∧?∨?∧∧?∨∧∧??) (Q R P ?∧∧?∨) ()(Q P Q P Q P ?∧?∨∧??Q) P (Q)(P P) (Q P)P (Q)(Q Q)P (P) Q)P ((Q)Q)P (P) Q (Q)P (Q P ?∧?∨∧?∧∨∧?∨?∧∨?∧??∧∨?∨?∧∨??∨?∧∨???Q Q P P ?∨∧?)() ()(R P Q P ∨∧∧? ①s →t 前提 ②t 前提 ③s ①②拒取式I12 ④s →r 前提 ⑤r ③④假言推理I11 ⑥p →r 前提 ⑦p ⑤⑥拒取式I12 ⑧p ∨q 前提 ⑨q ⑦⑧析取三段论I10 6. 用反证法证明：p →((r ∧s)→q), p, s q 7. 请将下列命题符号化： 所有鱼都生活在水中。 答案： 令 F( x )：x 是鱼 W( x )：x 生活在水中 ))((W(x)F(x)x →? 8. 请将下列命题符号化： 存在着不是有理数的实数。 答案： 令 Q ( x )：x 是有理数 R ( x )：x 是实数 Q(x))x)(R(x)(?∧? 9. 请将下列命题符号化： 尽管有人聪明，但并非一切人都聪明。 答案： 令M(x)：x 是人 C(x)：x 是聪明的 则上述命题符号化为 10. 请将下列命题符号化： 对于所有的正实数x,y ，都有x+y ≥x 。 答案： 令P(x):x 是正实数 S(x,y): x+y ≥x 11. 请将下列命题符号化： 每个人都要参加一些课外活动。 答案： ))) ()((())()((x C x M x x C x M x →??∧∧?)) ,()()((y x S y P x P y x →∧?? 本科高等数学离散数学试题及答案 一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; ρ(A) - ρ(B)＝__________________________ . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = __________________________. 3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________. 4. 已知命题公式G＝?(P→Q)∧R，则G的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________. 5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________. 6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B＝_________________________; A?B＝_________________________;A－B＝_____________________ . 7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________. 8. 设命题公式G＝?(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有__________________________，_____________________________, __________________________. 9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R1?R2 = ________________________,R2?R1 =____________________________, R12 =________________________. 10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = _____________________________. 11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ , A∩B = __________________________ , . 13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________. 14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____. 15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。 作业参考答案——10-特殊图 1.(a)(c)(d)是欧拉图，(a)(b)(c)(d)(e)可以一笔画，(a)(b)(c)(d)(e)(f)(g)是 哈密顿图。 2.根据给定条件建立一个无向图G= 数至少为2，而V2中的每个结点度数至多为2，从而它满足t条件t=1，因此存在从V1到V2的匹配，故可分配。 5.此平面图具有五个面，如下图所示。 a b c d e f g r1r2 r3 r4 r5 ?r1，边界为abca，D(r1)=3; ?r2，边界为acga，D(r2)=3; ?r3，边界为cegc，D(r3)=3; ?r4，边界为cdec，D(r4)=3; ?r5，边界为abcdefega，D(r5)=8;无限面 6.设该连通简单平面图的面数为r，由欧拉公式可得，6?12+r=2，所以 r=8，其8个面分别设为r1,r2,r3,r4,r5,r6,r7,r8。因是简单图，故每个面至少由3条边围成。只要有一个面是由多于3条边所围成的，那就有所有面的次数之和 8∑ i=1 D(r i)>3×8=24。但是，已知所有面的次数之和等于边数的两倍，即2×12=24。因此每个面只能由3条边围成。 2 《离散数学》期末复习题 一、填空题（每空2分，共20分） 1、集合A上的偏序关系的三个性质是、 和。 2、一个集合的幂集是指。 3、集合A={b,c}，B={a,b,c,d,e}，则A?B= 。 4、集合A={1,2,3,4}，B={1,3,5,7,9}，则A?B= 。 5、若A是2元集合, 则2A有个元素。 6、集合A={1,2,3｝，A上的二元运算定义为：a* b = a和b两者的最大值，则 2*3= 。 7、设A={a, b,c,d }, 则∣A∣= 。 8、对实数的普通加法和乘法，是加法的幂等元， 是乘法的幂等元。 9、设a,b,c是阿贝尔群 19、代数系统是指由及其上的或 组成的系统。 20、设 离散数学试题及答案 一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; ρ(A) - ρ(B)＝__________________________ . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = __________________________. 3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________. 4. 已知命题公式G＝?(P→Q)∧R，则G的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________. 5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________. 6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B＝_________________________; A?B ＝_________________________;A－B＝_____________________ . 7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________. 8. 设命题公式G＝?(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有__________________________， _____________________________, __________________________. 9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R1?R2 = ________________________,R2?R1 =____________________________, R12 =________________________. 10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = _____________________________. 11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ , A∩B = __________________________ , . 13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________. 14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____. 15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。 第一章 1.假定A是ECNU二年级的学生集合，B是ECNU必须学离散数学的学生的集合。请用A 和B表示ECNU不必学习离散数学的二年级的学生的集合。 2.试求： (1)P(φ) (2)P(P(φ)) (3)P(P(P(φ))) 3.在1~200的正整数中，能被3或5整除，但不能被15整除的正整数共有多少个？ 能被5整除的有40个， 能被15整除的有13个， ∴能被3或5整除，但不能被15整除的正整数共有 66-13+40-13=80个。 第三章 1.下列语句是命题吗？ (1)2是正数吗？ (2)x2+x+1=0。 (3)我要上学。 (4)明年2月1日下雨。 (5)如果股票涨了，那么我就赚钱。 2.请用自然语言表达命题(p?→r)∨(q?→r)，其中p、q、r为如下命题： p：你得流感了 q：你错过了最后的考试 3.通过真值表求p→(p∧(q→p))的主析取范式和主合取范式。 4.给出p→(q→s),q,p∨?r?r→s的形式证明。 第四章 1.将?x(C(x)∨?y(C(y)∧F(x,y)))翻译成汉语，其中C(x)表示x有电脑，F(x,y) 表示x和y是同 班同学，个体域是学校全体学生的集合。 解： 学校的全体学生要么自己有电脑，要么其同班同学有电脑。 2.构造?x(P(x)∨Q(x)),?x(Q(x)→?R(x)),?xR(x)??xP(x)的形式证明。 解： ①?xR(x) 前提引入 ②R(e) ①US规则 ③?x(Q(x)→?R(x)) 前提引入 ④Q(e) →?R(e) ③US规则 ⑤?Q (e) ②④析取三段论 ⑥?x(P(x)∨Q(x)) 前提引入 ⑦P(e) ∨Q(e) ⑥US规则 ⑧P(e) ⑤⑦析取三段论 ⑨?x (P(x)) ⑧EG规则 第五章 五、证明题 1．设G 是一个n 阶无向简单图，n 是大于等于3的奇数．证明图G 与它的补图G 中的奇数度顶点个数相等． 证明：设,G V E =<>，,G V E '=<>．则E '是由n 阶无向完全图n K 的边删去E 所得到的．所以对于任意结 点u V ∈，u 在G 和G 中的度数之和等于u 在n K 中的度数．由于n 是大于等于3的奇数，从而n K 的每个结点都是偶数度的（ 1 (2)n -≥度），于是若u V ∈在G 中是奇数度结点，则它在G 中也是奇数度结点．故图G 与它的补图G 中的奇数度结点个数相等． 2．设连通图G 有k 个奇数度的结点，证明在图G 中至少要添加 2 k 条边才能使其成为欧拉图． 证明：由定理3.1.2，任何图中度数为奇数的结点必是偶数，可知k 是偶数． 又根据定理4.1.1的推论，图G 是欧拉图的充分必要条件是图G 不含奇数度结点．因此只要在每对奇数度结点之间各加一条边，使图G 的所有结点的度数变为偶数，成为欧拉图． 故最少要加2 k 条边到图G 才能使其成为欧拉图． 五、证明题 1．试证明集合等式：A ? (B ?C )=(A ?B ) ? (A ?C )． 证：若x ∈A ? (B ?C )，则x ∈A 或x ∈B ?C ， 即x ∈A 或x ∈B 且x ∈A 或x ∈C ． 即x ∈A ?B 且x ∈A ?C ， 即x ∈T =(A ?B ) ? (A ?C )， 所以A ? (B ?C )? (A ?B ) ? (A ?C )． 反之，若x ∈(A ?B ) ? (A ?C )，则x ∈A ?B 且x ∈A ?C ， 即x ∈A 或x ∈B 且x ∈A 或x ∈C ， 即x ∈A 或x ∈B ?C ， 即x ∈A ? (B ?C )， 所以(A ?B ) ? (A ?C )? A ? (B ?C )． 因此．A ? (B ?C )=(A ?B ) ? (A ?C )． 2．对任意三个集合A , B 和C ，试证明：若A ?B = A ?C ，且A ≠?，则B = C ． 证明：设x ∈A ，y ∈B ，则的幺元为( 0 )
是( )是( ) A.代数系统 B.半群 C.群 D.都不是离散数学作业答案
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