高三数学第二轮复习教案
第2讲 数列问题的题型与方法
一、考试容
数列；等差数列及其通项公式，等差数列前n 项和公式；等比数列及其通项公式，等比数列前n 项和公式。
二、考试要求
1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。
2．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能运用公式解答简单的问题。
3．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能运用公式解决简单的问题。
三、复习目标
1． 能灵活地运用等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n 项和公式解题；
2．能熟练地求一些特殊数列的通项和前n 项的和；
3．使学生系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；
4．通过解决探索性问题，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力．
5．在解综合题的实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力．
6．培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法．
四、双基透视
1． 可以列表复习等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质.
2．判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：
(1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证11(/)n n n n a a a a ---为同一常数。
(2)通项公式法：
①若 = +（n-1）d= +（n-k ）d ，则{}n a 为等差数列；
②若 ，则{}n a 为等比数列。
(3)中项公式法：验证
都成立。
3. 在等差数列{}n a 中,有关S n 的最值问题——常用邻项变号法求解：
(1)当 >0,d<0时，满足 的项数m 使得取最大值.
(2)当 <0,d>0时，满足 的项数m 使得取最小值。
在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
4.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。
五、注意事项
1．证明数列{}n a 是等差或等比数列常用定义，即通过证明11-+-=-n n n n a a a a 或1
1-+=n n n n a a a a 而得。 2．在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便。
3．对于一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。
4．注意一些特殊数列的求和方法。
5．注意n s 与n a 之间关系的转化。如：
n a = ,,
11--n n s s s 21≥=n n ， n a =∑=--+n k k k a a a 211)(． 6．数列极限的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列极限的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方面，就会迅速打通解题思路．
7．解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略．
8．通过解题后的反思，找准自己的问题，总结成功的经验，吸取失败的教训，增强解综合题的信心和勇气，提高分析问题和解决问题的能力．
数列是高中数学的重要容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位。高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分度。有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决。
六、例分析 例1．已知数列{a n }是公差d ≠0的等差数列，其前n 项和为S n ．
(2)过点Q 1(1，a 1)，Q 2(2，a 2)作直线12，设l 1与l 2的夹角为θ，
证明：(1)因为等差数列{a n }的公差d ≠0，所以
Kp 1p k 是常数(k=2，3，…，n)．
(2)直线l 2的方程为y-a 1=d(x-1)，直线l 2的斜率为d ．
例2．已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+==，
⑴设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列；
⑵设数列),2,1(,2
==n a c n n n ，求证：数列{}n c 是等差数列； ⑶求数列{}n a 的通项公式及前n 项和。
分析：由于{b n }和{c n }中的项都和{a n }中的项有关，{a n }中又有S 1n +=4a n +2，可由S 2n +-S 1n +作切入点探索解题的途径．
解：(1)由S 1n +=4a 2n +，S 2n +=4a 1n ++2，两式相减，得S 2n +-S 1n +=4(a 1n +-a n )，即a 2n +=4a 1n +-4a n ．(根据b n 的构造，如何把该式表示成b 1n +与b n 的关系是证明的关键，注
意加强恒等变形能力的训练)
a 2n +-2a 1n +=2(a 1n +-2a n )，又
b n =a 1n +-2a n ，所以b 1n +=2b n ①
已知S 2=4a 1+2，a 1=1，a 1+a 2=4a 1+2，解得a 2=5，b 1=a 2-2a 1=3 ②
由①和②得，数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列，故b n =3·21n -．
当n ≥2时，S n =4a 1n -+2=21n -(3n-4)+2；当n=1时，S 1=a 1=1也适合上式．
综上可知，所求的求和公式为S n =21n -(3n-4)+2．
说明：1．本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前n 项和。解决本题的关键在于由条件241+=+n n a S 得出递推公式。
2．解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．
例3．已知数列{a n }是首项a1＞0，q ＞-1且q ≠0的等比数列，设数列{b n }的通项b n =a 1n +-ka 2n + (n ∈N)，数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ．如果T n ＞kS n 对一切自然数n 都成立，数k 的取值围．
分析：由探寻T n 和S n 的关系入手谋求解题思路。
解：因为{a n }是首项a 1＞0，公比q ＞-1且q ≠0的等比数列，故
a 1n +=a n ·q ， a 2n +=a n ·q 2
．
所以 b n =a 1n +-ka 2n +=a n (q-k ·q 2)．
T n =b 1+b 2+…+b n =(a 1+a 2+…+a n )(q-k ·q 2)=S n (q-kq 2)．
依题意，由T
n ＞kS
n
，得S
n
(q-kq2)＞kS
n
，①对一切自然数n都成立．
当q＞0时，由a1＞0，知a
n ＞0，所以S
n
＞0；
当-1＜q＜0时，因为a1＞0，1-q＞0，1-q n＞0，所以S
n
=
综合上面两种情况，当q＞-1且q≠0时，S
n
＞0总成立．
由①式可得q-kq2＞k②，
例4．(2001年全国理)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以
此发展旅游产业. 根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少1
5
.本年度
当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收
入每年会比上年增加1
4
。(Ⅰ)设n年(本年度为第一年)总投入为a n万元，旅游业总收入为
b n万元. 写出a n，b n的表达式(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入? 解析：第1年投入800万元，第2年投入800×（1-）万元……，
第n年投入800×（1－）n－1万元
所以总投入a n＝800＋800（1－）＋……＋800×（1－）n－1＝4000［1－（）n］同理：第1年收入400万元，第2年收入400×（1＋）万元，……，
第n年收入400×（1＋）n－1万元
b n＝400＋400×（1＋）＋……＋400×（1＋）n－1＝1600×［（）n－1］
(2)∴b n－a n＞0，1600［（）n－1］－4000×［1－（）n］＞0
化简得，5×（）n＋2×（）n－7＞0
设x＝（）n，5x2－7x＋2＞0∴x＜，x＞1（舍)即（）n＜，n≥5.
说明：本题主要考查建立函数关系式，数列求和，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识解决实际问题的能力。解数学问题应用题重点在过好三关：（1）事理关：阅读理解，知道命题所表达的容；（2）文理关：将“问题情景”中的文字语言转化为符号语言，用数学关系式表述事件；（3）数理关：由题意建立相关的数学模型，将实际问题数学化，并解答这一数学模型，得出符合实际意义的解答。
例5．设实数0≠a ，数列{}n a 是首项为a ，公比为a -的等比数列，记
),(||1*N n a g a b n n n ∈=n n b b b S +++= 21，
求证：当1-≠a 时，对任意自然数n 都有n S =
2)1(lg a a a +[]
n n a na n )1()1(11++-++ 解：n n n n n a a a q a a 1111)1()(----=-==。 ||lg )1(|)1(|lg )1(||lg 111a na a a a a b n n n n n n n n n ----=--==∴
||lg )1(||lg )1()1(||lg 3||lg 2||lg 11232a na a a n a a a a a a S n n n n n ----+--+++-=∴
||lg ])1()1()1(32[11232a na a n a a a n n n n ----+--+++-=
记n n n n na a n a a a S 11232)1()1()1(32----+--+++-= ① 1121332)1()1()1()2()1(2+-----+--+--++-=n n n n n n na a n a n a a as ② ①+②得1121232)1()1()1()1(+-----+-+-+++-=+n n n n n n na a a a a a s a ③
11
11(1)1,(1)(1)1(1)
n n n n a a a a S n a a -+-++-≠-∴+=+-?-- ])1()1(1[)
1(||lg )
1(])1)(1(1[)1()1()1()1()1()1()1(12212112
1
111n n n n n n n n n n n a na n a a a S a a na n a a a na n a S a a n a a a S ++-++=∴+-+++=+-?+++=∴+??-?++-+=∴+++-+-+- 说明：本例主要复习利用错位相减解决差比数列的求和问题。关键是先研究通项，确定}{,n n n n a b a C ?=是等差数列，}{n b 等比数列。
解法一：设等差数列{a
n }的首项a
1
=a，公差为d，则其通项为
根据等比数列的定义知S
5
≠0，由此可得
一步加工，有下面的解法)
解法二：
依题意，得