分式与分式方程
一、选择题
1. 若把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（）
A.扩大2倍
B.不变
C.缩小2倍
D.缩小4倍
2. 分式的值为零，则x的值为（）A.3 B.-3 C.±3 D.任意实数
3.下列分式是最简分式的是（）A. B. C. D.
4.下列计算正确的是( )
A.2·
B.5xy÷
C.a÷b·=a÷1=a
D.=x+y
5. 为响应承办“绿色奥运”的号召，九年级（1）班全体师生义务植树300棵．原计划每小时植树x棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成任务．则下面所列方程中，正确的是（）
A. B. C. D.
二、填空题
6.若代数式有意义，则x的取值范围是 ______.
7.已知﹣ =3，则分式的值为．
8.计算(－ )2·(－ )3÷(－ )4= ；
9. 计算的结果是____________；
10.化简：．
11.使分方程产生增根的m的值是______．
12．方程的解．
三、计算题.13.先化简，再求值。，其中，a=。
14.先化简，在求值；，其中
15.先化简：÷（﹣），再从﹣2＜x＜3的范围内选取一个你最喜欢的x的值代入，求值．
16.先化简，再求值：，其中．
17.先化简，再求值：，其中．
18.先化简，再求值：，其中．
19.解方程：（1）（2）
20. 先化简，再求值：，其中x满足x2－x－1＝0.
21. 先化简，再求值：，其中。
22. 先化简：，然后解答下列问题：
（1）当x=3时，求原代数式的值；
（2）原代数式的值能等于﹣1吗？为什么？
23.（7分）先化简，再求值，，其中x=5
24. 解方程： .
25. 解方程
重庆渝昂教育个性化辅导中心 重庆市渝北区两路步行街金易都会八楼809 电话：67836768 邮箱：youngedu@https://www.doczj.com/doc/5210152015.html, 第 1 页 共 1 页 分式方程知识点归纳总结 1. 分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式。 1) 分式与整式最本质的区别：分式的字母必须含有字母，即未知数；分子可含字母可不含字母。 2) 分式有意义的条件：分母不为零，即分母中的代数式的值不能为零。 3) 分式的值为零的条件：分子为零且分母不为零 2. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。 用式子表示 其中A 、B 、C 为整式（0≠C ） 注：（1）利用分式的基本性质进行分时变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式。 （2）应用基本性质时，要注意C ≠0，以及隐含的B ≠0。 （3）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以，避免只乘或只除以分子或分母的部分项，或避免出现分子、分 母乘除的不是同一个整式的错误。 3. 分式的通分和约分：关键先是分解因式 1) 分式的约分定义：利用分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值。 2) 最简分式：分子与分母没有公因式的分式 3) 分式的通分的定义：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母 的分式化成分母相同的分式。 4) 最简公分母：取“各个分母”的“所有因式”的最高次幂的积做公分母，它叫做最简公分母。 4. 分式的符号法则 分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个分式的值不变。用式子表示为 注：分子与分母变号时，是指整个分子或分母同时变号，而不是指改变分子或分母中的部分项的符号。 5. 条件分式求值 1） 整体代换法：指在解决某些问题时，把一些组合式子视作一个“整体”，并把这个“整体”直接代入另一个式 子，从而可避免局部运算的麻烦和困难。 例：已知 ，则求 2）参数法：当出现连比式或连等式时，常用参数法。 例：若 ，则求 6. 分式的运算： 1）分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。 2）分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 3）分式乘方法则： 分式乘方要把分子、分母分别乘方。 4）分式乘方、乘除混合运算：先算乘方，再算乘除，遇到括号，先算括号内的，不含括号的，按从左到右的顺序运算 5）分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。 异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减 ,a b a b a c ad bc ad bc c c c b d bd bd bd ±±±=±=±= bc ad c d b a d c b a bd ac d c b a =?=÷=?;n n n b a b a =)(C B C A B A ??=C B C A B A ÷÷= 41 1=+b a b b a b ab a a 7223-++-4 32c b a == c b a c b a +++-523
考纲要求: 1. 了解分式方程的概念 2.会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个），会对分式方程的解进行检验. 3.会用分式方程解决简单的事件问题. 基础知识回顾: 1.分式方程的定义： 分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 2.解分式方程的一般步骤： ()1去分母化分式方程为整式方程. ()2解这个整式方程，求出整式方程的根. ()3检验，得出结论.一般代入原方程的最简公分母进行检验. 3.增根.增根是分式方程化为整式方程的根，但它使得原分式方程的分母为零.学*科网 应用举例: 招数一、分式方程增根问题：增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母0，确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 【例1】当____________时,解分式方程会出现增根． 【答案】2 考点：分式方程的增根． 招数二、分式方程无解问题：分式方程无解分为以下两种情况：①原方程解不出数来，也就是整式方程无解；②整式方程能解出来，但是解出来的数使得原分式方程的分母为零，也就是所谓的增根，所以切记一定要讨论。
【例2】若关于x的方程无解，则m的值为__． 【答案】-1或5或 考点：分式方程的解． 招数三、已知分式方程解的范围求参数范围问题：明确告诉了解的范围，首先还是要按正常步骤解出方程，解中肯定带有参数，再根据解的范围求参数的范围，注意：最后一定要讨论增根的问题.[来源:学,科,网] 【例3】关于x的方程＝1的解是非负数，则a的取值范围是（） A．a≥﹣3 B．a≤﹣3 C．a≥﹣3且a D．a≤﹣3且a 【答案】D 【解析】 解：解方程＝1，得：x＝﹣a﹣3， ∵方程＝1的解是非负数， ∴﹣a﹣3≥0且﹣a﹣3≠， 解得：a≤﹣3且a≠﹣， 故选：D． 【例4】若关于x的分式方程=1的解是负数,求m的取值范围. 【答案】m<2且m≠0.
分式方程解法的标准 一,内容综述: 1.解分式方程的基本思想 在学习简单的分式方程的解法时,是将分式方程化为一元一次方程,复杂的(可化为一元二次方程)分式方程的基本思想也一样,就是设法将分式方程"转化"为整式方程.即 分式方程整式方程 2.解分式方程的基本方法 (1)去分母法 去分母法是解分式方程的一般方法,在方程两边同时乘以各分式的最简公分母,使分式方程转化为整式方程.但要注意,可能会产生增根.所以,必须验根. 产生增根的原因: 当最简公分母等于0时,这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数,所得方程与原方程同解),这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解. 检验根的方法: 将整式方程得到的解代入原方程进行检验,看方程左右两边是否相等. 为了简便,可把解得的根直接代入最简公分母中,如果不使公分母等于0,就是原方程的根;如果使公分母等于0,就是原方程的增根.必须舍去. 注意:增根是所得整式方程的根,但不是原方程的根,增根使原方程的公 分母为0. 用去分母法解分式方程的一般步骤: (i)去分母,将分式方程转化为整式方程; (ii)解所得的整式方程; (iii)验根做答 (2)换元法 为了解决某些难度较大的代数问题,可通过添设辅助元素(或者叫辅助未知数)来解决.辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量,从而把问题化繁为简,化难为易,使未知量向已知量转化,这种思维方法就是换元法.换元法是解分式方程的一种常用技巧,利用它可以简化求解过程. 用换元法解分式方程的一般步骤: (i)设辅助未知数,并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数 式; (ii)解所得到的关于辅助未知数的新方程,求出辅助未知数的值; (iii)把辅助未知数的值代回原设中,求出原未知数的值; (iv)检验做答. 注意:(1)换元法不是解分式方程的一般方法,它是解一些特殊的分式方程的特殊
中考数学分式方程与二次根式方程 〖知识点〗 分式方程、二次根式的概念、解法思路、解法、增根 〖大纲要求〗 了解分式方程、二次根式方程的概念。把握把简单的分式方程、二次根式方程转化为一元一次方程、一元二次方程的一样方法，会用换元法解方程，会检验。 内容分析 1．分式方程的解法 (1)去分母法 用去分母法解分式方程的一样步骤是： （i)在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程； (ii)解那个整式方程； (iii)把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母不为零的根是原方程的根，使最简公分母为零的根是增根，必须舍去. 在上述步骤中，去分母是关键，验根只需代入员简公分母. (2)换元法 用换元法解分式方程，也确实是把适当的分式换成新的未知数，求出新的未知数后求出原先的未知数． 2．二次根式方程的解法 (1)两边平方法 用两边平方法解无理方程的—般步骤是： (i)方程两边都平方，去掉根号，化成有理方程； (ii)解那个有理方程； (iii)把有理方程的根代入原方程进行检验，假如适合，确实是原方程的根，假如不适合，确实是增根，必须舍去． 在上述步骤中，两边平方是关键，验根必须代入原方程进行． (2)换元法 用换元法解无理方程，确实是把适当的根号下台有未知数的式子换成新的未知数，求出新的未知数后再求原先的未知数． 〖考查重点与常见题型〗 考查换元法解分式方程和二次根式方程，有一部分只考查换元的能力，常显现在选择题中另一部分习题考查完整的解题能力，习题显现在中档解答题中。 考题类型 1．（1）用换元法解分式方程 3x x2－1 ＋ x2－1 3x ＝3时，设 3x x2－1 ＝y，原方程变形为（） （A）y2－3y＋1＝0（B）y2＋3y＋1＝0（C）y2＋3y－1＝0（D）y2－y＋3＝0 2．用换元法解方程x2＋8x＋x2＋8x－11 ＝23，若设y＝x2＋8x－11 ，则原方程可化为（） （A）y2＋y＋12＝0（B）y2＋y－23＝0（C）y2＋y－12＝0（D）y2＋y－34=0
【知识精读】 １、解分式方程得基本思想：把分式方程转化为整式方程。 ２、解分式方程得一般步骤: (1）在方程得两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程; (2)解这个整式方程; (3)验根:把整式方程得根代入最简公分母，瞧结果就就是否等于零,使最简公分母等于零得根就就是原方程得增根,必须舍去,但对于含有字母系数得分式方程,一般不要求检验。 3、列分式方程解应用题与列整式方程解应用题步骤基本相同,但必须注意,要检验求得得解就就是否为原方程得根，以及就就是否符合题意。 下面我们来学习可化为一元一次方程得分式方程得解法及其应用。 【分类解析】 例１、解方程: 分析:首先要确定各分式分母得最简公分母,在方程两边乘这个公分母时不要漏乘,解完后记着要验根 解:方程两边都乘以,得 例2、解方程 分析:直接去分母,可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式得分母发现得值相差1，而分子也有这个特点,因此，可将分母得值相差1得两个分式结合,然后再通分,把原方程两边化为分子相等得两个分式，利用分式得等值性质求值。 解：原方程变形为: 方程两边通分,得 经检验:原方程得根就就是 例3、解方程: 分析:方程中得每个分式都相当于一个假分数，因此,可化为一个整数与一个简单得分数式之与。 解:由原方程得: 即
例4、解方程: 分析:此题若用一般解法,则计算量较大。当把分子、分母分解因式后，会发现分子与分母有相同得因式,于就就是可先约分。 解:原方程变形为: 约分,得 方程两边都乘以 注：分式方程命题中一般渗透不等式，恒等变形，因式分解等知识。因此要学会根据方程结构特点,用特殊方法解分式方程。 ５、中考题解: 例1、若解分式方程产生增根，则m得值就就是( ) A、?? B、 Ｃ、?D、 分析:分式方程产生得增根，就就是使分母为零得未知数得值。由题意得增根就就是：化简原方程为：把代入解得,故选择D。 例2、甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动,已知乙班每小时比甲班多种2棵树,甲班种60棵所用得时间与乙班种６６棵树所用得时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？ 分析：利用所用时间相等这一等量关系列出方程。 解:设甲班每小时种x棵树，则乙班每小时种(x+２)棵树, 由题意得: 答:甲班每小时种树２0棵,乙班每小时种树22棵。 说明：在解分式方程应用题时一定要检验方程得根。 6、题型展示: 例１、轮船在一次航行中顺流航行8０千米,逆流航行42千米,共用了7小时；在另一次航行中,用相同得时间，顺流航行４0千米,逆流航行70千米。求这艘轮船在静水中得速度与水流速度 分析:在航行问题中得等量关系就就是“船实际速度=水速+静水速度”,有顺水、逆水，
分式方程应用（2） ——含参数的分式方程应用武汉二中广雅中学张勇 教学目标知识 技能 1．会解含参数的分式方程 2．会分析题意找出等量关系. 方法通过小组讨论、合作、比赛的形式激励学生勇于思考问题，并提出自己的见解，体现翻转课堂中学生的主体性 情感 态度 1.在小组合作中，增加学生的交流，培养学生的合作意识，及团队精神. 2.在解决问题中，让学生了解数学知识来源于生活，同时又为生活服务. 重点利用分式方程解决简单的含参数的行程问题. 难点根据行程问题找等量关系，能能完整、正确的解出该分式方程. 环节教学问题设计 教学活动设计 任务单反馈三个主要问题： 1.过程的不完整和不规范 问：分式方程应用题的基本步骤有哪几步？ 2.不会解含参数的分式方程 问：什么是含参数的分式方程？ 3，不会分析题意中的等量关系 学生抢答，回顾上节课重点内 容： 或由教师指定几个学生对出现 的问题进行点评，其他同学可以 补充，增强对出现问题的认识 重难点突破突破1：会解含参数的分式方程 例1： 1 1(1) 1 a a x +=≠ - 练习（1） 2 0(2) 2 a a x x -=≠ - （2） 5 (50) a a a x x a =≠≠ - 且 问：参数字母的限定对方程检验有影响吗？ 突破2：会分析等量关系列方程 例2：甲、乙两人同时从A地出发，步行到a 千米的B地，甲比乙每小时多走1千米， 结果比乙早到半个小时，求两人每小时各 走多少千米？若设乙每小时走x千米，则 根据题意可列方程为_________________ 突破1由老师和学生共同分析 分式方程的解法的每一步，并由 老师对每一步可能出现的问题 进行点评，加深学生对参数表示 已知数还是未知数的理解 对与分式方程的练习以小组比 赛的形式看哪一组完成的正确 率高，速度快，提高学生的竞争 意识. 突破2由学生分析基本的行程 中数量关系，体会审题中对等量 关系关键词的关注，和体会不同 等量关系对不同的方程形式的 影响. 最后由老师给予总结和点评
分式方程的解法与技巧 【典型例题】 1. 局部通分法： 例1. 解方程：x x x x x x x x -----=-----34456778 分析：该方程的特点是等号两边各是两个分式，相邻两个分式的分子与分子，分母与分母及每个分式的分子与分母都顺序相差1，象这类通常采取局部通分法。 解：方程两边分别通分并化简，得： 145178()()()() x x x x --=-- 去分母得：()()()()x x x x --=--4578 解之得：x ＝6 经检验：x ＝6是原分式方程的根。 点拨：此题如果用常规法，将出现四次项且比较繁，而采用局部通分法，就有明显的优越性。 但有的时候采用这种方法前需要考虑适当移项，组合后再进行局部通分。 2. 换元法： 例2. 解方程： 7643165469222x x x x x x ----+=--+ 分析：此方程中各分式的分母都是含未知数x 的二次三项式，且前两项完全相同，故可考虑用换元法求解。令或或或k x x k x x k x x =--=-+=-+222646569 k x x =-26均可。 解：设，则原方程可化为：k x x =-+265 793144k k k --=-+ 去分母化简得：20147111602k k --= ∴()()k k -+=1220930 ∴，k k ==-129320 当时，k x x =--=126702 ()()x x -+=710 解之得：，x x 1217=-=
当时，k x x =--+=-93206593202 2012019302x x -+= 解此方程此方程无解。 经检验：，是原分式方程的根。x x 1217=-= 点拨：换元法解分式方程，是针对方程实际，正确而巧妙地设元，达到降次，化简的目的，它是解分式方程的又一重要的方法，本题还有其它的设法，同学们可自己去完成。 3. 拆项裂项法： 例3. 解方程： 12442212x x x x ++-+-= 分析：这道题虽然可用通分去分母的常规解法，但若将第二项拆项、裂项，则更简捷。 解：原方程拆项，变形为： ()()()()12222222221x x x x x x ++++-+---= 裂项为： 122222221x x x x ++-++--= 化简得：321x += 解之得：x =1 经检验：x ＝1是原分式方程的解。 4. 凑合法： 例4. 解方程：x x x x 4143412 +-=--- 分析：观察此方程的两个分式的分母是互为相反数，考虑移项后易于运算合并，能使运算过程简化。 解：部分移项得： x x x x 4143412=--+--- ∴x x x x 4143412=------ ∴x 412= ∴x ＝2 经检验：x ＝2是原分式方程的根。
15.3.1含字母参数的分式方程专题导学案 班级：姓名： 解方程：{ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT | 增根的定义： 1、____________________ 2、____________________ 类型一：分式方程有增根 例1：若关于的方程有增根，求的值。 方法归纳： （1）化分式方程为____________________； （2）根据________________,确定增根的 值； （3）解含参数方程方法： ①___________________________； ②___________________________。 练习1：如果关于的方程有增根，则的值为_________ 练习2：若方程有增根，则增根为_______，k的值_______ 练习3：若关于的方程有增根，求增根和的值。 类型二：分式方程无解 例2:若关于的方程无解，求的值
练习4：如果关于的分式方程无解，求的值 类型三：分式方程的解为正数或者为负数（其他的限制条件） 例3：如果关于的方程的解为正数，则m的 取值范围？提示：不要忘记保证____________（即 ________________）这个隐含条件。 方法归纳： （1）__________________________； （2）__________________________； （3）__________________________。 练习5：如果关于的方程的解为正数，则a的取值范围____________。 练习6：当的值为何值时，关于的方程的解为负数？
中考数学专项练习分式方程的增根（含解析）【一】单项选择题 1.以下关于分式方程增根的说法正确的选项是〔〕 A.使所有的分母的值都为零的解是增 根 B.分式方程的解为零就是增根 C.使分子的值为零的解就是增 根 D.使最简公分母的值为零的解是增根 2.解关于x的方程产生增根，那么常数的值等于〔〕 A.－ 1 B.－ 2 C.1 D.2 3.关于x的方程﹣=0有增根，那么m的值是〔〕 A.2 B.- 2 C.1 D.-1 4.假设关于x的分式方程有增根，那么k的值是〔〕
A.- 1 B.- 2 C.2 D.1 5.假设关于x的分式方程?m＝无解，那么m的值为〔〕 A.m= 3 B.m= C.m= 1 D.m=1或 6.解关于x的方程＝产生增根，那么常数m的值等于〔〕 A.-1 B.-2 C.1 D.2 7.如果关于x的方程无解，那么m等于〔〕 A.3
B.4 C.- 3 D.5 8.分式方程+1＝有增根，那么m的值为〔) A.0和 2 B.1 C.2 D.0 9.解关于x的分式方程时不会产生增根，那么m的取值是〔〕 A.m≠ 1 B.m≠﹣ 1 C.m≠ D.m≠±1 10.假设解分式方程产生增根，那么m的值是〔〕 A.或 B.或 2 C.1或 2 D.1或
11.假设关于x的分式方程+ =1有增根，那么m的值是〔〕 A.m=0或m= 3 B.m= 3 C.m= D.m=﹣1 12.以下说法中正确的说法有〔〕 〔1〕解分式方程一定会产生增根；〔2〕方程=0的根为x=2；〔3〕x+ =1+ 是分式方程． A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3个 13.假设关于x的方程有增根，求a的值〔〕 A.0 B.- 1 C.1 D.-2 【二】填空题
《分式方程（2）》教学设计 一、 复习旧知 1、 某运输公司需要装一批货物，由于机械设备没有即时到位，只好先用人工装运，6 h 完成了一半任务；后来机械装运和人工装运同时进行，1 h 完成了后一半任务。如果设单独采用机械装运x h 可以完成后一半任务，那么x 满足怎样的方程？ 请找出此题中存在的数量关系： （人工装运的工作效率+机械装运的工作效率）×1=12 111()11222x +?=即1116x += 二、 讲授新知 你能设法求出分式方程1116x +=的解吗？ 解方程1116x += 解：方程两边都乘以6x ，得 x+6=6x 解这个方程，得x=65 例1 解方程：132x x =- 解：方程两边都乘以(2)x x -，得 3(2)x x =- 解这个方程，得 3x = 检验：将x=3代入原方程，得 左边=1=右边 所以，x=3是原方程的根。 例2 解方程542332x x x +=-- 480600452x x -= 解略 议一议：P80 在这里，x=2不是原方程的根，因为它使得原分式方程的分母为零，我们称它为原方程的增根。产生增根的原因是，我们在方程的两边同乘了一个可能使分母为零的整式。 因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验。 想一想： 解分式方程一般需要经过哪几个步骤？ 三、 随堂练习 1、 解方程：
（1）341x x =- （2）542332x x x +=-- 2、 若方程3 23-=--x k x x 会产生增根，试求k 的值 四、 学习小结： 1、 通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ 2、 在本节课的学习过程中，你有什么感想？ 五、 作业P82习题3.7
【知识精读】 1. 解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程。 2. 解分式方程的一般步骤： （1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程； （2）解这个整式方程； （3）验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。 3. 列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。 下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。 【分类解析】 例1. 解方程：x x x --+=121 1 分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根 解：方程两边都乘以()()x x +-11，得 例2. 解方程x x x x x x x x +++++=+++++12672356 分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现()()()()x x x x ++++6723与、与的值相差1，而分子也有这个特点，因此，可将分母的值相差1的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用分式的等值性质求值。 解：原方程变形为： x x x x x x x x ++-++=++-++67562312 方程两边通分，得 经检验：原方程的根是x =- 92 。 例3. 解方程：121043323489242387161945x x x x x x x x --+--=--+-- 分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。
分式方程意义及解法 一、内容综述： 1．解分式方程的基本思想 在学习简单的分式方程的解法时，是将分式方程化为一元一次方程，复杂的（可化为一元二次方程）分式方程的基本思想也一样，就是设法将分式方程“转化”为整式方程．即分式方程整式方程 2．解分式方程的基本方法 (1)去分母法 去分母法是解分式方程的一般方法，在方程两边同时乘以各分式的最简公分母，使分式方程转化为整式方程．但要注意，可能会产生增根。所以，必须验根。 产生增根的原因： 当最简公分母等于0时，这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数，所得方程与原方程同解)，这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解． 检验根的方法： （1）将整式方程得到的解代入原方程进行检验，看方程左右两边是否相等。 （2）为了简便，可把解得的根直接代入最简公分母中，如果不使公分母等于0，就是原方程的根；如果使公分母等于0，就是原方程的增根。必须舍去．注意：增根是所得整式方程的根，但不是原方程的根，增根使原方程的公分母为0．
用去分母法解分式方程的一般步骤： (i)去分母，将分式方程转化为整式方程； (ii)解所得的整式方程； (iii)验根做答 (2)换元法 为了解决某些难度较大的代数问题，可通过添设辅助元素（或者叫辅助未知数）来解决．辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量，从而把问题化繁为简，化难为易，使未知量向已知量转化，这种思维方法就是换元法．换元法是解分式方程的一种常用技巧，利用它可以简化求解过程． 用换元法解分式方程的一般步骤： (i)设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式； (ii)解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值； (iii)把辅助未知数的值代回原设中，求出原未知数的值； (iv)检验做答． 注意： （1）换元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的分式方程的特殊方法。它的基本思想是用换元法把原方程化简，把解一个比较复杂的方程转化为解两个比较简单的方程。 （2）分式方程解法的选择顺序是先特殊后一般，即先考虑能否用换元法解，不能用换元法解的，再用去分母法。 （3）无论用什么方法解分式方程，验根都是必不可少的重要步骤。
2.4-2 分式方程中的增根问题 【学习目标】 1.知道分式方程的增根及产生增根的原因. 2.已知增根会求待定系数的值. 【核心知识】分式方程产生增根的原因；知识核心：已知增根会求待定系数的值.学习过程 一、知识链接 1.什么是分式方程?解分式方程的关键是什么？应该注意哪些问题 2.解方程: （1） 105 2 2112 x x += --（2）2 2 1 2 2 2 + - = + + x x x 二、新课学习 探究一分式方程产生增根的原因 1.看书39页议一议，思考问题： (1)产生增根的原因是什么？ （2）什么是原方程的增根？（在书上画出、小组讨论） （3）如何检验？ 点拨:（1）产生增根的原因：我们在方程两边乘以一个不为零的整式，扩大了值域. （2）解分式方程去分母时，方程两边都乘以各分母的最简公分母，检验时可代入最简公分母看是否为零. 2.课本例2，（学生尝试在练习本上做，不会可参考课本上的过程） 3.练习：做课本40页的随堂练习（找学生板演，其他学生做课堂练习本上） 探究二已知增根求待定系数的值. 1．若方程 x x－3 －2＝ k x－3 有增根，试求k的值. （学生先独立做，讨论解题思路） 点拨:解这类题的一般步骤：（1）把分式方程化成整式方程（2）令最简公分母为0，求出求出x的值（3）把x的值代入整式方程，求出字母系数的值. 2.练习：若方程 2 2 2 2 = - + + -x m x x有增根，试求m的值。
三、课堂达标 1.若方程 的解是非正数，求a 的取值范围. 2.若方程x x －3 －2＝k x －3 有增根，试求k 的值. 四、课堂小结，回顾思考 1.解分式方程的解的两种情况： 所得的根是原方程的根、②所得的根不是原方程的根 2.原方程的增根：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根 3.产生增根的原因：在把分式方程转化为整式方程时，分式的两边同时乘以了一个不为零的整式，扩大了值域. 4.验根：把求得的根代入最简公分母，看它的值是否为零。使最简公分母值为零的根是增根. 5.解这类题的一般步骤：（1）把分式方程化成整式方程. （2）令公分母为0，求出求出x 的值. （3）把x 的值代入整式方程，求出字母系数的值. 课外训练 【基础达标】 1.当m 为何值时，关于x 的方程234222+=-+-x x mx x 会产生增根？ 2.如果分式方程11(2)a x x x -=-有增根x=0.求a 的值. 3.若方程有 918332-=--+x x x x x 增根，求增根x.
如何解分式方程 解分式方程的方法很多，怎样选择合适的方法去解，从而简化运算呢？下面结合一些例题，向同学们介绍一些解法技巧。 1．一般法 所谓一般法，就是先去分母，将分式方程转化为一个整式方程。然后解这个整式方程。 解原方程就是 方程两边同乘以（x＋3）（x－3），约去分母，得4（x－3）＋x（x＋3）=x2－9－2x。 2．换元法 换元法就是恰当地利用换元，将复杂的分式简单化。 分析本方程若去分母，则原方程会变成高次方程，很难求出方程的 解设x2＋x=y，原方程可变形为 解这个方程，得y 1=－2，y 2 =1。 当y=－2时，x2＋x=－2。 ∵Δ＜0，∴该方程无实根；当y=1时，x2＋x=1，
∴1x 2 -± = 经检验，1x 2 -± = 是原方程的根，所以原方程的根是1x 2 -± = 。 3．分组结合法 就是把分式方程中各项适当结合，再利用因式分解法或换元法来简化解答过程。 4．拆项法 拆项法就是根据分式方程的特点，将组成分式方程的各项或部分项拆项，然后将同分母的项合并使原方程简化。特别值得指出的是，用此法解分式方程很少有增根现象。 例4 解方程 解 将方程两边拆项，得 即x=－3是原方程的根。 5．因式分解法 因式分解法就是将分式方程中的各分式或部分分式的分子、分母分解因式，从而简化解题过程。
解将各分式的分子、分母分解因式，得 ∵x－1≠0，∴两边同乘以x－1，得 检验知，它们都是原方程的根。所以，原方程的根为x 1=－1，x 2 =0。 6．配方法 配方法就是先把分式方程中的常数项移到方程的左边，再把左边配成一个完全平方式，进而可以用直接开平方法求解。 ∴x2±6x＋5=0， 解这个方程，得x=±5，或x=±1。 检验知，它们都是原方程的根。所以，原方程的根是x 1=5，x 2 =－5，x 3 =1，x 4 =－1。 7．应用比例定理 上述例5，除了用因式分解法外，还可以应用合比和等比定理来解。下面以合比定理为例来说明。
分式方程练习题 一 ；填空题 1．当x =______时， 15x x ++的值等于12． 2．当x =______时，424x x --的值与5 4 x x --的值相等． 3．若11x -与1 1 x +互为相反数，则可得方程___________,解得x =_________. 4．若方程 212x a x +=--的解是最小的正整数，则a 的值为________. 5. 分式方程2131 x x =+的解是_________ 6. 若关于x 的分式方程 3 11x a x x --=-无解，则a = ． 二、选择题 7．下列方程中是分式方程的是（ ） （A ） (0)x x x π π= ≠ （B ）111235x y -= （C ）32 x x x π=+ （D ）11 132x x +--=- 8．解分式方程12133x x x +-=，去分母后所得的方程是（ ） （A ）13(21)3x -+= （B ）13(21)3x x -+= （C ）13(21)9x x -+= （D ）1639x x -+= 9.．化分式方程 22134 05511x x x --=---为整式方程时，方程两边必须同乘（ ） （A ）2 2 (55)(1)(1)x x x --- （B ）2 5(1)(1)x x -- （C ）2 5(1)(1)x x -- （D ）5(1)(1)x x +- 10．下列说法中错误的是（ ） （A ）分式方程的解等于0，就说明这个分式方程无解 （B ）解分式方程的基本思路是把分式方程转化为整式方程 （C ）检验是解分式方程必不可少的步骤 （D ）能使分式方程的最简公分母等于零的未知数的值不是原分式方程的解． 11.解分式方程 2236111 x x x +=+--，下列说法中错误的是（ ） （A ）方程两边分式的最简公分母是(1)(1)x x +- (B)方程两边乘以(1)(1)x x +-，得整式方程2(1)3(1)6x x -++= (C)解这个整式方程，得1x = (D) 原方程的解为1x = 12．下列结论中，不正确的是（ ）
§3.4.2 分式方程（二） 教学目标 （一）教学知识点 1.解分式方程的一般步骤. 2.了解解分式方程验根的必要性. （二）能力训练要求 1.通过具体例子，让学生独立探索方程的解法，经历和体会解分式方程的必要步骤. 2.使学生进一步了解数学思想中的“转化”思想，认识到能将分式方程转化为整式方程，从而找到解分式方程的途径. （三）情感与价值观要求 1.培养学生自觉反思求解过程和自觉检验的良好习惯，培养严谨的治学态度. 2.运用“转化”的思想，将分式方程转化为整式方程，从而获得一种成就感和学习数学的自信.教学重点 1.解分式方程的一般步骤，熟练掌握分式方程的解决. 2.明确解分式方程验根的必要性. 教学难点 明确分式方程验根的必要性. 教学方法 探索发现法,学生在教师的引导下，探索分式方程是如何转化为整式方程，并发现解分式方程验根的必要性. 教学过程 一、提出问题，引入新课 ［师］在上节课的几个问题，我们根据题意将具体实际的情境，转化成了数学模型——分式方程.但要使问题得到真正的解决，则必须设法解出所列的分式方程.这节课，我们就来学习分式方程的解法.我们不妨先来回忆一下我们曾学过的一元一次方程的解法，也许你会从中得到启示，寻找到解分式方程的方法. 解方程62 4x 232 5x 2 13x --=++-
［师生共解］（1）去分母，方程两边同乘以分母的最小公倍数6，得 3（3x －1）+2（5x+2）=6×2－（4x －2）. （2）去括号，得9x －3+10x+4=12－4x+2, （3）移项，得9x+10x+4x=12+2+3－4, （4）合并同类项，得23x=13, （5）使x 的系数化为1，两边同除以23， 2313 =x 二、讲解新课，探索分式方程的解法 ［师］刚才我们一同回忆了一元一次方程的解法步骤.下面我们来看一个分式方程. 1、例1：解方程： x x 321=- （1） ［师］解这个方程，能不能也像解含有分母的一元一次方程一样去分母呢？ ［生］可以。 ［师］同学们想一想，方程两边同乘以什么样的整式（或数），可以去掉分母呢？ ［生］乘以分式方程中所有分母的公分母. ［师］解一元一次方程，去分母时，方程两边同乘以各分母的最小公倍数，比较简单.解分式方程时，方程两边同乘以分母的最简公分母，去分母也比较简单.那么这个分式方程的最简公分母是什么呢？ ［生］x （x －2）. ［师生共析］方程两边同乘以x （x －2）,得 x x x x x x 3)2(21)2(?-=-?- 化简，得x=3（x －2）. （2） 我们可以发现，采用去分母的方法把分式方程转化为整式方程，而且是我们曾学过的一元一次方程. ［生］再往下解，我们就可以像解一元一次方程一样，解出x.即x=3x －6（去括号） 2x=6（移项，合并同类项）.
解分式方程的特殊方法与技巧 分式方程意义及解法 一、内容综述: 1(解分式方程的基本思想 在学习简单的分式方程的解法时，是将分式方程化为一元一次方程，复杂的(可化为一元二次方程)分式方程的基本思想也一样，就是设法将分式方程“转化”为整式方程(即分式方程整式方程 2(解分式方程的基本方法 (1)去分母法 去分母法是解分式方程的一般方法，在方程两边同时乘以各分式的最简公分母，使分式方程转化为整式方程(但要注意，可能会产生增根。所以，必须验根。 产生增根的原因: 当最简公分母等于0时，这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数，所得方程与原方程同解)，这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解( 检验根的方法: (1)将整式方程得到的解代入原方程进行检验，看方程左右两边是否相等。 (2)为了简便，可把解得的根直接代入最简公分母中，如果不使公分母等于0，就是原方程的根;如果使公分母等于0，就是原方程的增根。必须舍去( 注意:增根是所得整式方程的根，但不是原方程的根，增根使原方程的公分母为0( 用去分母法解分式方程的一般步骤: (i)去分母，将分式方程转化为整式方程;
(ii)解所得的整式方程; (iii)验根做答 (2)换元法 为了解决某些难度较大的代数问题，可通过添设辅助元素(或者叫辅助未知数)来解决(辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量，从而把问题化繁为简，化难为易，使未知量向已知量转化，这种思维方法就是换元法(换元法是解分式方程的一种常用技巧，利用它可以简化求解过程( 用换元法解分式方程的一般步骤: (i)设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式; (ii)解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值; (iii)把辅助未知数的值代回原设中，求出原未知数的值; (iv)检验做答( 注意: (1)换元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的分式方程的特殊方法。它的基本思想是用换元法把原方程化简，把解一个比较复杂的方程转化为解两个比较简单的方程。 (2)分式方程解法的选择顺序是先特殊后一般，即先考虑能否用换元法解，不能用换元法解的，再用去分母法。 (3)无论用什么方法解分式方程，验根都是必不可少的重要步骤。 二、例题精析: 例1(解分式方程:。 分析:解分式方程的思路是把方程去分母化为整式方程。 解:方程两边都乘以x(x+2)，约去分母，得
含有参数的分式方程 【问题一】解含有参数的分式方程 例如：解关于x 的方程11(1)1 a a x +=≠- 分析：解分式方程的一般是方法将分式方程转化为整式方程，通过在等式两边乘以最简公分母达到去分母的效果。在解决含有参数的分式方程时，将参数看作一个常数进行运算，用含有参数的代数式表示方程的解。 解：去分母，方程两边同时乘以1x - 得：1(1)1a x x +-=- 整理方程得：(1)2a x a -=- ∵1a ≠，∴10a -≠， ∴21 a x a -=- 检验，当21 a x a -= -时，10x -≠ ∴原分式方程的解为21a x a -=- 小结：将等式中的参数看作常数，用含有参数的代数式表示一个未知数的值，是解决含参问题的基本方法。 练习：解关于x 的方程 10(0,1)1m m m x x -=≠≠+且 （1m x m =-） 【问题二】已知含有参数的分式方程有特殊解，求参数的值 例如：当a 为何值时，关于x 的方程12325 x a x a +-=-+的解为0. 分析：将方程的解代入原方程建立关于参数的方程。 解：当x =0是方程的解时 有 0123025a a +-=-+，解得 15 a = 当15 a =时，50a +≠ 所以15a =是方程23152 a a -=-+的解. 所以当15a =时，原方程的解为0 . 小结：方程的解是指使得等式两边相等的未知数的值，所以将方程的解代入原式，等式依然成立。 练习：当a 为何值时，关于x 的方程2334 ax a x +=-的解为1. （3a =）
【问题三】已知含有参数的分式方程解的范围，求参数的值 例如：已知关于x 的方程233 x m x x -=--的解为正数，试求m 的取值范围. 分析：将m 看作常数，表示出方程的解，根据方程的解的范围建立关于m 的关系式，注意 方程有意义这个前提条件. 解：去分母得：2(3)x x m --= 解得6x m =- ∵原方程的解为正数， ∴0x >，即60m ->……………① 又∵原方程要有意义 ∴30x -≠，即63m -≠……………② 由①②可得6m <且3m ≠ 所以，当6m <且3m ≠时，方程的解为正数. 小结：用含有参数的代数式将方程的解表示出来，进而根据原方程解的范围，建立与参数有关的关系式子。 练习：若关于x 的方程2122212 x x x a x x x x --++=-+--的解为负数，试求a 的取值范围. （5a <-且7a ≠-） 【问题四】已知含有参数的分式方程有增根，求参数的值 例如：已知关于x 的方程211 x k x x +=--有增根，求k 的值. 分析：分式方程的增根不是原分式方程的解，而是分式方程去分母后所得的整式方程的解中使得最简公分母为0 的未知数的值. 解：去分母，等式两边同时乘以1x -， 得 22x k x +=-， 解得 2x k =+ ∵分式方程有增根， ∴10x -=，即1x = ∴21k +=，解得1k =- 所以1k =-时，原方程有增根. 小结：含有参数的分式方程有增根求参数的一般方法. ①解含有参数的分式方程（用含有参数的代数式表示未知数的值）； ②确定增根（最简公分母为0）； ③将增根的值代入整式方程的解，求出参数. 练习：已知关于x 的方程212122 k x x x x +=-++-有增根，求k 的值. 变式：已知关于x 的方程212221(2)(1) x x x ax x x x x -++-=-+-+无增根，求a 的值.
解分式方程的方法 一、分式方程： 1、识别一个方程是分式方程的关键是方程分母中有未知数。 2、解分式方程的基本思想是：“把分式方程的分母去掉，使分式方程化为整式方程，就可以利用整式方程的解法求解”。这就是“转化思想”。 3、将分式方程转化为整式方程，转化的条件是“去分母”。其方法是在分式的两边同乘以分式方程中各分式的最简公分母。 4、在方程变形中，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的“增根”。应当舍去。因此，解得整式方程的根后，要代入原分式方程检验，适合原方程即为分式方程的根，不适合，就说明原方程无解。也可以代入最简公分母中，使公分母≠0时为原方程的解，使公分母=0时为增根舍去。 二、解分式方程时注意以下几个问题： 1、方程两边同乘以最简公分母时，每一项都要乘，特别是以一个数或一个整式为一项时，这一项不能漏乘； 2、两边都乘以最简公分母去掉方程中的分母，若分式的符号是“-”，去掉分母后，分子应加括号； 3、由于分式方程两边同乘以一个含有未知数的整式，方程可能会产生增根，故必须对求得的根进行检验，这一步必不可少； 4、当分式方程的分母是多项式，为了找最简公分母，需把分母分解因式。 补充讲解： 一、含有字母系数一元一次方程及简单的公式变形。 1、含有字母系数的一元一次方程的解法与一元一次方程的解法相同。方程的同解原理（即：等式的性质）与恒等变形的方法同样适用。 2、解含有字母已知数的一元一次方程要注意以下几点： （1）要分清哪些是已知数，哪个字母是未知数； （2）明确了哪个是未知数后，再采用解数学已知数的方程的方法，去解方程； （3）解到最后将方程已化为ax=b时，对于最简方程ax=b的系数化为1时，应进行讨论：当a≠0时，则方程有唯一解x=；当a=0，b≠0时，方程无解；当a=0, b=0时，方程有无数解。 二、简单的公式变形： 1、在数理化等学科的学习中，都遇到有关的公式的推导，公式的变形问题。 2、公式的变形问题，实际上就是解含有字母系数的方程。 3、教材规定公式中的字母均为正数，在变形的最后一步，按字母是正数进行讨论。 三、解分式方程确定最简公分母的方法： （1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里。 （2）如果各分母都是多就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂。 项式取各分母系数的最小公倍数； （3）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式； （4）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．