浅谈如何提高高等数学的学习兴趣
摘要：高等数学是理工科各专业的重要基础理论课，对学生后继课程的学习起着重要的作用。提高学生学习兴趣是学好高等数学的关键。本文结合教学实例，在分析高等数学教学现状的基础上，就如何提高学生学习高等数学的兴趣进行分析，提出了几点建议。
关键词：高等数学学习兴趣培养
高等数学是高等教育中几乎涵盖所有专业的一门重要基础课，它应用广泛且抽象性和逻辑性都很强，对培养学生理解专业知识和思维能力具有重要意义。但因为大学生对中学数学知识掌握不牢，导致学生对高等数学学习兴趣不高。本文从当前高等数学教学中存在的一些问题出发，就如何提高学生的学习兴趣进行讨论。
一、当前高等数学教学中存在的问题
1.1 课程内容方面
随着我国教育改革的推进，高等数学作为一门基础课程也在不断地改革与变化。突出的体现在教材的编排上，我国已经针对不同的专业课程要求设置了不同的教材和内容。但是实际教学中教师为了数学知识的严谨性，不对不同的教材进行区分讲授，千篇一律。还有一部分高数教师，教学过程呆板，讲解枯燥无味，酷爱推导公式，证明定理，进行纯数学的理论推导，将教材内容浓缩合并，缺乏教学内容的实用性，这使得学生所学知识与实际严重脱节，使学生失去了学习的兴趣。
1.2 教学方式方面
虽然近年来我国已推进教育改革，但是现行高等数学课堂教学中满堂灌式的教学方式还很突出，教学过程枯燥无味，缺少师生间的互动交流。而且一些教师的教学手段依然是黑板粉笔式的传统教学模式，没有充分发挥和利用现代化多媒体的教学手段，课堂气氛沉闷，使学生对高等数学的失去了兴趣和动力。
1.3 效果检验方面
虽然高等教育不像中小学那样以考试为目标，但是从高等学校的培养和教育来看还是应试教育。因为好的学习成绩将来能为学生工作和继续深造增加筹码，这也就导致学习成绩会影响大学的学习生活，这也导致了很多教师在教学中以考试为中心，与学生所学专业的应用缺乏联系，更不会提高学生的数学思维和创新能力了，这在很大程度上和我国的教学改革是相违背的。
二、激发学生学习高等数学的兴趣的方法
高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{} 的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ）A x x f x A x f x =+∞ →=-∞ →?=∞ →lim lim lim )()( (iii) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 ) (lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通 项之后，就能变成(i)中的形式了。即)(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0 ∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即e x f x g x g x f ) (ln )()()(=， 这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候，含有正余弦的加减的时候）
浅谈怎样学习高等数学 篇一：高等数学学习方法浅谈高等数学学习方法浅谈孙传光相对于现阶段高等职业发展的综合性和终身性趋势来说，高等数学不仅仅是学生掌握数学工具学习其他相关专业课程的基础，更是培养学生逻辑思维严谨性的重要载体，高等数学的重要性是不言而喻的。因此高等数学的有效学习成了高数教师和同学们共同关注的一个重要问题。通过平时与学生的交流和上课，学生的学习困难一般集中在认为教学内容太抽象听不懂、不会做题，数学概念太抽象，不易理解(如极限、无穷小等)。学生对于接受高等数学的思想、原理、方法非常不适应，对于如何学好高等数学，如何理解它的思想、方法茫然无知。下面我们大家一起讨论一下高数学不好的原因。首先，对大多数高中生而言，考取大学是最具诱惑力的行为归因，但进人大学后，这一因素就不复存在了，大一新生基本上处于如释重负的解脱状态，缺乏主动进取的精神，学习目标不明确，学习动机不强烈。有些同学则认为学高等数学对将来的工作也没有多大用处，有些同学本来数学的基础就不好，进人大学后一接触高等数学，发现难以与中学数学知识直接衔接，学习高等数学的兴趣荡然无存，对高等数学的学习消极应付。再次，学生在高中阶段已形成一定的思维方式及学习习惯，解数学题基本上采取模式辨认、方法回忆的思维方式，对解题方法和技巧模仿、记忆、套用，对知识不求甚解，并未真正理解和内化，没有进行数学思考的意识，也没有掌握数学思考的方法。大学课堂上，对高等数学各部分内容的理解支离破碎，自学能力差，缺乏独立思考的意识，没有反思学习过程的习惯，更没有总结、归纳知识和思想方法的习惯，对教师有较强的依赖心理，学生已形成的思维方式及学习习惯直接影响学生接受高等数学。最后，大学与高中的教学都以讲授法为主，但受的影响和制约，高中教师对知识的讲授详细，题型、方法归纳完整，较多的精力用于通过大题量的训练来培养学生的技能技巧，并及时进行辅导和巩固；而大学的教学由于知识点较多，课时有限，课容量大，教师更注重思想方法的深刻理解，和数学思想的培养。对于上述几个原因建议大家从以下几方面入手：第一、调整好自己的心态，尽快适应大学生活，对自己有一个准确的定位。第二、向大二的师哥师姐请教他们高数学习的一些窍门和技巧，再自己通过一段时间的高等数学的学习，根据高数课的特点和自己的学习习惯，尽快出适合自己的学习方法。第三、高数的学习
讲座题目高等数学的数学思想方法研究所属学科数学教育学 讲座时间2007年5月持续时间 最后学历研究生最后学位硕士 研究方向数学教育研究专长教育管理职称教授职务 学术特长及成果简介： 学术特长是数学教育学有关的课题和教育管理有关的课题。主要研究成果如下： 1、2006年9月完成了2004——2005年度中国职业技术教育学会科研规划项目《高职院校推进 学分制管理的研究与实践》，并获得结题证书。 2、论文《完善选课制是实行学分制的精髓》2005年12月发表在《长春教育学院学报》上。 3、论文《专升本院校实行学分制的几点思考》2006年10月发表在《中国育人杂志》上。 讲座内容介绍：（包括：选题意义和价值、研究现状、主要内容、观点和创新之处、主要 参考文献等。限2000字以内。） 一、选题意义和价值 为适应二十一世纪科技与社经的发展，培养大批具有高综合素质的创新型人才，我国正在进行从 应试教育向素质教育转轨的伟大改革，并提出在素质教育中着重培养学生的创新精神和实践能力的现 代教育目标。为实现这一目标，自九十年代初以来，高等数学教育也和其它学科教育一样，从教学思 想、教学内容、课程设置、教学方法和教学手段等方面进行了一系列的改革试验，并取得了初步的成 效。例如随着人们愈来愈认识到高等数学在大学人文素质教育中不可或缺的普遍和重要的作用，我国 许多重点的文史、外语和艺术等文科专业都开设了《大学数学》这一课程，又如为了加强教学建模和 运用计算机解决实际问题的能力，有些院校在高等数学中开设了《数学实验》或《数学建模》的课程，这是可喜的试验，但是高等数学的教育改革涉及面广，内容庞杂，矛盾和问题都较多，因此它的改革 是一项复杂的系统工程。当前如何把高等数学教育改革有序和有效地深入下去？当然这有许多方面的 工作要协同配合去做，我们认为其中根本的一项就是要改革在高等数学教学中相当普遍存在的形式主 义弊端——只注重纯数学知识与技能的传授而忽视对蕴涵于其中的数学思想方法的教学。为此必须认 真研究在高等数学教学全过程中，如何有效地加强数学思想方法教学的问题，提升一点来说，就是要 在所有数学教学活动中，结合具体的数学内容和活动形式，适当进行数学方法论的教育。 二、研究现状及主要内容 著名数学家和数学教育家徐利治教授认为“数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规律、数学思想方法以及数学中的发现发明与创新法则的一门学问”。[1]自80年代初，徐教授倡导数学方法论以来，这一学科在国内至今已有了很大发展，取得了不少理论成果，出版了许多有关的著作，特别自90年代以来，不少数学教育工作者把它应用于指导中学数学教育改革的具体实践，取得了很大的成效[2]。至于应用数学方法论指导高校数学教育改革的研究与实践至今只看到少量个别的报导，看来这方面还 未引起高校广大数学教育工作者足够的重视，本讲座试图对高等数学加强数学思想方法教学的意义， 它包含那些基本的数学思想方法以及如何加强这方面的教学作一初步阐述。 三、观点和创新之处 1．首先，各方在思想上要真正重视，尽快把数学思想方法的教学正式纳入高等数学教学大纲。 要在大纲中明确规定数学思想方法的教学目标、基本教学内容和具体的要求。这是落实加强数学思想
一提起“数学”课，大家都会觉得再熟悉不过了，从小学一直到高中，它几乎就是一门陪伴着我们成长的学科。然而即使有着大学之前近12年的数学学习生涯，仍然会有很多同学在初学大学数学时遇到很多困惑与疑问，尤其是作为数学系的学生，在面对 着“数学分析”之类的课程时，更可能会有一种摸不着头脑的感觉。那么，究竟应该如何在大学中学好高数呢？ 学习数学首先就要不怕挫折，有勇气面对遇到的困难，有毅力坚持继续学习，这一点在刚开始进入大学学习数学时尤为重要。 在中学的时候，可能许多同学都比较喜欢学习数学，而且数学成绩也很优秀，因而这时是处于一种良性循环的状态，不会有太多的挫败感，因而也就不会太在意勇于面对的重要性。而刚一进入大学，由于理论体系的截然不同，使得我们会在学习开始阶段遇到不小的麻烦，甚至会有不如意的结果出现（比如考试不及格），这时就一定得坚持住，能够知难而进，继续跟随老师学习。 很多同学在刚入学不久，就是一直感觉很晕。对于上课老师所讲的知识，虽然表面上能听懂，但却不明白知识背后的真正原因，所以总是感觉学到的东西不实在。至于做题就更差劲了，“吉米多维奇”上的习题根本不敢去看，因为书上的课后习题都没几个会做的。这确实与高中的情形相差太大了，香港浸会大学的杨涛教授曾经在一次讲座中讲过：“在初学高数时感觉晕是很正常的，而且还得再晕几个月可能就好了。”所以关键是不要放弃，初学者必须要克服这个困难才能学好大学理论知识。除了要坚持外，还要注意不要在某些问题的解决上花费过多的时间。因为大学数学理论十分严谨，教科书在讲解初步知识时，有时会不可避免地用到一些以后才能学到的理论思想，因而在初步学习时就对着这种问题不放是十分不划算的。 比如说，在“数学分析”一开始学习实数系的确界存在基本定理时，可能会有很多同学花很多时间来思考引入这个定理的目的是什么，但往往因为当时根本没什么基础，所以对于这个问题怎么想也想不通，甚至觉得这个定理没有什么实质的意义。直到后来学到了多元部分的数学分析，以及专业课“实变函数”时，才开始慢慢理解它的真正目的。这里之所以要说明是实数系有确界存在
浅谈高等数学在生活中的应用 摘要：随着社会经济的迅猛发展，数学在经济生活作用日益突出。数学的理论 和方法越来越广泛地应用到物理、化学、生物、医学、经济管理、军事战争等不同学科领域以及日常生活中。21世纪对数学需求表现得越来越突出，无论是数学建模、企业管理，还是经济分析，数学都是至关重要的。数学是一种思想方法，学习数学的过程就是思维训练的过程数学培养的就是你的思维能力，是分析问题、解决问题的思维方式。许多实际问题都需要建立数学模型来解决，而你建立模型地基础就是你怎样把实际问题转化为数学问题。这样就更容易的去解决问题、处理问题。不敢预测也不可能断言，在未来的各个领域研究中数学会占据统治地位，但是数学越来越渗透到各个领域研究中并且发挥着越来越重要的作用已成为事实。人类社会的进步，与数学这门科学的广泛应用是分不开的。 关键词:高等数学各个领域数学建模经济应用 数学既是一门理论学科，又是一门应用广泛的工具性学科，在理学、工学、管理学、经济学等各个领域都发挥着重要的作用，如何将抽象的数学理论应用到具体的经济科学实践中去，作为学管理学、经济学的我们更应该对数学有更深的认识，下面浅谈我的理解。 一、数学在管理中的应用 科学管理之父泰勒通过对管理活动的认识和研究，提出了科学管理，这就是数学在管理中应用的开始。不论是计件工资还是计时工资，都是用数学知识推导计算的。就我看来，我们学习数学也是为了更好的管理。 首先，数学在管理者的思维方面发挥了重要作用。我们经常强调人要有逻辑，数学逻辑是帮助人进行思维的工具。学好数学，就具备较好的思维能力，使管理者头绪清晰。其次，数学在管理决策中的应用。科学决策离不开对相关方案的判断和评估，这需要恰当地处理大量的数据，才能得到正确的决策。再次，数学在预测中的应用。企业根据已有的数据分析，总结相关发展趋势，对公司未来某段时间内的经营状况做出一些预警和规划。 （一）数学与管理的历史联系 尽管现代管理是工业革命以后的产物，对管理进行正式的研究则是一门较新的学科，但管理活动自古以来就存在，在人类早期文明中，管理活动也是必须的。人类的早期管理活动与数学开端是一个互相促进的过程，在这一过程中产生了算术、代数和几何。算术中的加、减、乘、除，都与人类管理活动直接有关；代数则是为解决较复杂管理问题产生的，也为解决相对复杂问题提供了工具；几何与土地测量和天文观测有关，土地测量和天文观测也与人类早期文明中管理活动紧密相关。总之，早期数学的大部分是由于贸易和农业的需要而发展起来的，同时也推动了早期的管理活动。 （二）数学与管理者 不难发现，对同一个问题，不同的人，用不同的数学方法，在不同的时间和地点，做出的结论永远是一致的。所以数学教育能培养人做事严肃认真，做事、做人目标明确，前后一致，表里如一的态度。在数学的发展过程中，数学每前进一步，都离不开严密的逻辑推理。推理是从已知到未知的合乎逻辑的思维过程。
论创新教育下的高等数学教学 ［摘要］实施创新教育是培养创新型人才的迫切需要。高等数学教学对于培养创新型人才具有重要作用。数学教师应当在高等数学教学中培养学生的创新意识、创新精神和创新能力，努力探索创新人才的培养途径。 ［关键词］高等数学教学创新教育创新型人才 创新是素质教育的灵魂，也是教学发展的不竭动力和源泉。实施创新教育是适应知识经济时代的挑战和培养创新型人才的重要举措。构建以培养学生创新精神和实践能力为核心的高等数学教学模式，是实现基础教育改革的一项重大和迫切的任务，更是关系到素质教育实施的战略问题。 一、正确理解数学创新教育的内涵 长期以来，一提到“数学创新”，人们总是习惯于把它同数学家的发明创造等同起来，认为创新是少数“数学天才”特有的素质，一般人难以具备。正是由于这种观念的束缚，使得不少数学教师缺乏创新教育的意识，忽视对学生创新潜能的开发，严重阻碍了学生创新能力的发展。 数学创新的实质就是数学创造，它包括两层含义：一是能够提供新颖的、首创的、具有社会价值的创造性数学成果，它以社会首创性为标准；二是能够产生对自身而言是新颖的成果（尽管是前人已经获得的），它以个体独特性为标准。数学教育要求学生达到的创新主要是指后一个层面。数学创新在于“出新”，不在于“大小”。例如，在高等数学的教学过程中，学生对概念、定理、公式等知识产生自我的理解；对定理、结论等进行重新组合或转换获得新的领悟；对习题突破常规、提出另辟蹊径的解法等，这些都属于创新。套用陶行知先生的话，高等数学教学过程中的每处知识“处处是创造之地”，教学的每一天“天天是创造之时”，对于参与教学活动的每一个学生而言“人人是创造之人”。 我们提倡的数学创新教育要以培养学生的创新精神和创新能力为价值取向，这就要求数学教师必须树立开放的教育创新观念，引导学生主动认识、探索、发现数学的新知识、新方法和新问题，为将来成为创新型人才奠定素质基础。
《高等数学》教学大纲 （2010年3月讨论稿） 全院专升本各专业适用 一、课程的性质与任务 《高等数学》课程，是成人高等教育本科各专业教学计划中的一门必修基础理论课，它不仅为专业计划中多门后继课程提供必要的数学基础，而且也是为提高学生科学素养而设置的课程。 通过本课程的学习，要使学生获得《高等数学》中的基本概念、基本理论和基本方法。要通过各个教学环节，逐步培养学生具备较熟练的运算能力和运用数学方法处理问题的初步能力。同时，在抽象思维和逻辑推理方面也有一定的提高，以提升学生的数学素质，使自学能力提高一个层次，为以后深造打下坚实的基础。 二、本课程的基本要求与重点 专升本数学教学是比较特殊的一种教学形式，因学生是专科毕业生，已初步获得一元微积分的基本知识。因此，根据成人高等教育以培养应用型人才的目标，按基础理论教材“必需、够用”的原则，本课程的基本要求： 1.加深掌握一元函数微分和积分两大基本数学方法的理解和应用； 2.获得多元函数微积分、常微分方程和无穷级数的系统的基本知识、基本理论和基本方法。 本课程的重点为：微分方程、二元函数微分学、二重积分、曲线积分和无穷级数。（说明：曲线积分和无穷级数经管类不作要求） 三、课程内容和考核要求 第一章函数、极限与连续性 （一）课程内容 1.初等函数与非初等函数； 2.函数的特性； 3.数列的极限； 4.函数的极限； 5.极限的运算法则； 6.两个重要极限； 7.无穷小量及其性质和无穷大量； 8.无穷小量的比较； 9.函数的连续性概念和连续函数的运算； 10.函数的间断点； 11.闭区间上连续函数的性质。 （二）考核要求 1.掌握求函数的定义域和函数值，理解函数记号的运用。 2.了解函数与其图形之间的关系，掌握画常用的简单的函数图像。
“互联网+”背景下《高等数学》教学的创新研究 作者：卜维春张洪涛赵景服 来源：《课程教育研究·新教师教学》2017年第06期 【摘要】本文分析了高等数学教学存在的问题，阐述了“互联网+”的内涵和应用，研究了基于“互联网+”背景下高等数学创新教学，提出了高等数学创新教学新模式——“双向反馈教学创新模式”，从而达到提高高等数学教学效果的目标。 【关键词】“互联网+”；高等数学；教学模式；双向反馈教学创新模式 【中图分类号】G420 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2017）06-0216-02 随着中国进入信息化时代，互联网、移动互联网等新兴行业发展迅速。李克强总理在《政府工作报告》中提出“互联网+”概念[1]，那么“互联网+”与教育结合又意味着什么呢？即是以“互联网+”为背景的教学方式方法不断更新和提升。充分利用“互联网+”的优点，探索有效的高等数学教学新模式：“双向反馈教学创新模式”，为高校开展高等数学创新教育提供决策依据。 一、“互联网+” 正确理解“互联网+”的概念对基于“互联网+”背景下《高等数学》教学的创新研究至关重要。“互联网+”符号“+”代表基于互联网与其他行业的融合，“互联网+”是发挥互联网的优势对传统行业进行重构转型和升级。“互联网+”的实质就是融合，通过将开放、平等、互动等网络特性在传统产业的运用，推进各行业、各部门通过融合走向成功的一种“力量”。“互联网+”在实际生活中有广泛的应用。如“互联网+”与传统集市和百货卖场的融合诞生了淘宝网和京东网；“互联网+”与传统银行和就医方式的融合催生了支付宝和网络挂号、专家预约。 二、《高等数学》的教学现状 《高等数学》教学方法还是以教师讲授为主，学生处于被动消极的学习接受过程，教学效果并不理想，主要原因及表现为：《高等数学》内容安排很多而课时安排的有限，重理论讲解轻实际应用，重推理证明轻计算过程；教学手段相对落后，计算机技能不够熟练，部分教师对数学软件Matlab、Mathematica等操作不熟练；课下教师与学生见面接触交流的时间很少甚至没有；《高等数学》教学教师为了完成教学任务应用“教”的技巧来选择“教”的内容，忽略了学生学习数学的兴趣。 三、“互联网+”背景下《高等数学》的教学创新模式：双向反馈教学创新模式
黑龙江省新世纪高等教育教案改革工程工程项目研究报告 报告名称：《高等数学》教案改革的研究与实践作者：李明哲、徐亚兰 完成时间：2012.4.1
哈尔滨学院
随着社会的进步及科技的发展，数学与当代科学技术高度融合，其应用超越了传统的领域,并且直接进入了人类活动的各个方面。丘成桐院士在北大百年校庆学术报告会上题为《数学的内容、方法和意义》的报告中指出：西方技术的基础在科学，实际和抽象的桥梁是基本科学，而基本科学的工具和语言就是数学。 数学作为一门基础学科,所取得的成就已成为高科技时代赖以进一步发展的重要基础,数学本身的发展为各科学领域的发展提供了强大的支持。正由于数学在当代科学地位的巨大变化,使得全面提高学生的数学素质、加强对数学综合应用能力的培养,成为新世纪实现高等教育根本目标的重要内容和高等数学教案改革的基本方向。本工程正是在这样的前提和背景下立项的。 2010年以来，我们结合省新世纪高等教育教案改革工程立项工程“《高等数学》教案改革的研究与实践”，以“素质教育和能力培养”为目标，将“学生为主体、教师为主导”的传统教案原则和“互动、参与、提高”等现代化教案思想相融合，进行“教案内容、教案方法、学习指导为一体”的整合研究，对哈尔滨学院高等数学课程从教案思想、课程设置、教案内容、教案方法、学习指导和评价体系等方面进行了改革的研究与实践． 一、工程研究的目的及意义 《高等数学》课程是高等院校理、工、经济、管理类专业必修的公共基础课，我国高校一般在大学一、二年级开设《高等数学》课程。通过这门课程的学习，一方面，它为学生学习后继课和解决实际问题提供必不可少的数学基础知识及常用的数学方法；另一方面，它通过各个教案环节，逐步培养学生具有比较熟练的基本运算能力和自学能力、综合运用所学知识去分析和解决问题的能力、初步抽象概括问题的能力以及一定的逻辑推理能力。因此，高等数学课的教案一直深受重视并且不
关于高等数学方法与典 型例题归纳 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
2014年山东省普通高等教育专升本考试 2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义 高职高专类 高等数学 经典方法及典型例题归纳 —经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务 —理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其 自动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程 2013年5月17日星期五 曲天尧 编写 一、求极限的各种方法 1．约去零因子求极限 例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限 例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；
(2) ???? ???=<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 3．分子(母)有理化求极限 例3：求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030+-+-=+-+→→ 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．． 是解题的关 键 4．应用两个重要极限求极限 两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重 要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。 例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 +，最后凑指数部分。 【解】22 212 12112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→
浅谈高等数学教学的几点认识 摘要：高等数学是理工科专业的必修基础课程，所学知识不仅为今后更深入的学习打下了坚实的基础，同时为控制学、运动学、经济学等许多研究领域的应用提供了理论依据.对于如何学好高等数学和如 何开展教学，本文提出了几点高等数学教学相关认识，主要为基础知识的重要性，课后练习的重要性和习题课的重要性. 关键词：高等数学；教学目的；基础知识；课后练习；习题课 高等数学是大学课程中非常重要的基础课程，为理工科的必修课程.有些文科专业也有要求学习，如，经济学的“微积分”.高等数学课程中所讲述的数学知识、思想、方法为今后其他课程的学习奠定了基础，也有利于学生创新思维的培养.然而为了学生知识面 的增加大量加设课程的同时，使得基础课程的课时不断被缩减，然而考研及后续科研、学习、应用都对数学的要求越来越高，使得高等数学教学过程中面临时间少内容多的困境.教学质量的提高已经迫在眉睫，下面结合笔者自身学习和教学过程中的切身感受，从以
下三个方面进行教学分析. 一、基础知识的重要性 高数是后续专业课程的基础，而学好高数中的基础知识又是学好高数的前提.因此基础知识是否学扎 实了对高数本身乃至后续应用都有着非常直接的影响.同时高数中许多基础知识也来自实际的工程应用和科学研究，有几何、物理的应用背景，因此，教师在讲解一些相关抽象概念的同时可以结合相关应用，如教学导数概念时，可以结合极限、切线、位移与速度的关系、速度与加[WTBX]速度的关系进行讲解，如对公式 f ′（x0）=limx→x0 f （x）-f （x0）x-x0 的理解. 在高数学习的过程中，还应该重视高数中的知识的内在关联性，进行方法、知识的对比分析及归纳对数学的学习非常有帮助，也利于学生的理解及巩固. 在微积分的学习中，一元和多元函数具有很多相似性，如做题思路、数学思想和基本概念方面，因此在学习多元函数的相关知识时对比前面学习的一元函数知识进行学习，更容易理解.同时，对无穷大、连续、有界、可导、连续性的判断方面，由于从正面解释也许难以
《高等数学》课程建设总结 作为工科本科院校，高等数学课程是我校长期扶持的重点建设课程，其教学质量的好坏直接影响到我校本科教学质量能否稳步提高。为了适应大众化教育阶段的新形势，我系近几年对高等数学教学在教学管理、师资队伍建设、教研室教学活动规范、教材建设、学科建设、教学研究、优化培养方案、教学大纲的修订及课程体系、教学内容、教学方法与手段、网络教学平台建设等方面进行了大胆和具有特色的创新和实践，进行了一系列全方位的改革与创新，产生了许多新思想、新方法、新突破，构建出符合信息时代要求且面向工科院校实际的高等数学教学新模式，取得了突出的成果，满足了不同专业本科生的多个层次教学系列的需要。 比如我们进行了“多层次的分级教学”、“高等数学党员辅导站”、“党员建设高等数学精品课程”、“将Blackboard网络教学平台引入数学课教学，搭建立体化教学平台”、“开设数学实验，将建模思想引入高等数学教学”等多项特色鲜明、实效性强的创新项目，极大限度地调动了教师和学生的积极性。针对各类人才对数学素质的要求，在力争全面提高高等数学教育质量的基础上, 进行了全方位的改革与创新。引导学生朝着能发挥自己优势的方向发展，让优秀人才更快更好的成长。 经过近四年多的探索与实践，更新了教学理念，逐步形成了自己的特色，取得了良好的效果。在教学模式上采取强化基础，加强应用及多层次的分级教学，在教学方法上，积极探索现代化教学手段，发挥学生的主观能动性，激发学生的求知欲。教材建设和师资建设也初见成效，不仅使学生的知识结构扩充，更重要的是,对培养学生的创造性思维能力、抽象概括能力、逻辑推理能力、自学能力、分析问题和解决问题能力、对开阔学生思路，提高学生综合素质等都有很大帮助。着重培养学生的创造能力和创新意识，使学生由学数学转变为学数学和用数学解决工程实际问题相结合，补考率大大降低，教学质量稳步提高。随着高等教育的快速发展，适应社会对理工院校不同专业的学生素质的要求呈多元化多层次的趋势，我们将高数教学的全过程视作一个系统，对各教学环节进行全方位的改革与创新，努力构建出了一个符合时代要求的、全新的、特色鲜明的教学体系，重点在以下方面做出了努力并取得良好效果。
《高等数学》课的教学方法 高等数学是一门基础学科，它可以为大学生其它科目的学习提供解决问题的方法和思路，还可以为学生今后的工作和生活提供数学知识、数学思想和思维方式，因此，良好的数学教学就显得尤为重要.可是数学自身所具有的高度的抽象性和严密的逻辑性，不但给教师的教学带来了一定的难度，而且也给学生的学习也造成了困难.学生在学习过程中觉得枯燥，常常会产生厌学情绪，针对这种情况，就需要反思教师个人的教学方法，要教会学生用数学的眼光看问题，用数学的思维想问题，将数学思维植入到学生的大脑里，从而使教学效果达到最好. 作者在最初的教学中，由于教学经验不足，往往只重视了对教材内容的传授教，却忽视了对学生自学能力的培养重知识结论，轻思想方法渗透;重知识训练、轻情感激励;教师苦教，学生苦学，只是充当了课本与学生之间的转送带，并没有把真正的学习方法教给学生.结果是付出多回报少，学生学到的只是应试的数学，并不能真正体会数学的精髓，学生的素质得不到全面的发展.在随后几年的教学中，作者越来越深刻地感受到，要改变以上状况，必须转变个人的教学理念，真正体现教是为学服务的思想;真正实现教是为了不教的目的. 1丰富教学内容，激发学生学习兴趣 1.1引入数学史 教育的目标是育人，育人不但包括知识的传授，更重要的是培养对
社会能够起到推动作用的人才.作为数学教师，如何在教好书的同时能育好人呢?这个问题曾经困扰了作者许久.当初作者认为，理科的教学不像文科类教学内容丰富、形式灵活、容易引起学生的兴趣，特别是数学课，内容相对来说比较枯燥，乏味，学生容易产生厌学、畏难情绪，很难达到教书与育人双赢的目的.可是在多年的教学实践中，作者发现，数学课也可以讲得很精彩，比如在教学过程当中适当地讲解一些数学史的内容，可以激起学生的好奇心，有利于激发学生的学习兴趣，使学生能够体会到数学创作过程中所产生的的魅力，从而理解数学的文化和应用价值.例如在讲解极限概念的时候，作为引例，可以介绍我国古代数学家刘徽(公元263年)曾用他所创造的割圆术计算圆的面积，我国另一伟大数学家祖冲之( 429~500)进一步利用割圆术求得圆周率在3. 141 592 6与3. 141 592 7之间，这个结论，直到九百年后才被中亚西亚数学家阿尔卡西(Al-kashi?-1429)突破.这说明极限的思想最初是来自于我国的，这样的历史事实可以激发学生的自豪感和爱国热情，更加清晰了学生的学习目标与定位.数学史是数学以及科学史的分支，在高等数学的教学过程中引入数学史，使得理论与实际相结合，既活跃了课堂气氛，又激发了学生的学习兴趣，可以说是一举两得.各国著名数学家的传记、轶闻对培养学生的人格素质可以起到潜移默化的作用，学生从这些大家那里可以学习追求真理的科学精神，学生还要学习数学家们不迷信权威的批判精神. 1. 2发掘数学中蕴含的辩证思想 数学是反映现实世界空间形式、数量关系的一门科学，数学曾经是
浅谈高等数学在现代医学中的作用 一、高等数学在医学领域的应用 数学是一门语言, 它是表达量变和质变最完美的工具; 数学又是一种感觉, 它是科学迅速超越时空的触角。恩格斯曾对数学做过如下定义: 数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的 科学。数学是基础教育中最受重视的学科之一, 并贯穿于整个基础教育阶段。高等数学教育则几乎覆盖了大学本科阶段所有自 然学科领域和部分人文社会学科领域。 随着计算机科学技术的不断发展, 数学的社会化程度也日 益提高, 数学的思想、观点、方法已广泛地渗透到自然科学和社会科学的各个领域。数学在传统领域的应用, 以及在新领域取得的许多重要进程, 使得数学在医学领域中的作用也不断突出。数学与医学, 特别是生物医学的结合越来越紧密。例如, 可以为生物医学工程学、细胞分子生物学、肿瘤生长动力学、药物动力学等现代生物医学做出定性描述向定量描述的趋变; 常微分方程 可以运用到临床医学的定量分析和群体医学的动态分析; 生物 统计学、概率论可以为药物使用、人口统计与流行病、公共卫生管理等作出决策; 数学可为医学基础、临床医学、预防医学建立医学数学模型, 经过数学处理得到可供人们作出分析、判断、预测和决策的定量结果; 临床治疗和医学科研所使用到的各种高、精、尖端医学仪器都离不开数学和计算机科学的支持, 等等。 马克思曾说过:“一门科学只有成功地应用数学时, 才算达
到了完善的地步。”因此可以看出, 数学与现代医学结合程度将决定现代医学的发展程度。中科院在《21 世纪初科学发展趋势》的研究报告中指出, 生命科学“可能发展成为科学革命的中心”,数学科学则“一直是整个科学技术发展的带动因素”, 加快数学在医学领域的应用和发展是当今医学发展的必然趋势。 二、高等数学教育在医学教育中的作用及意义 数学的思维方式、计量分析技术有力地推动了现代医学的 迅速发展。强调用数学、统计学研究并解决医学问题的思路和方法, 增强对医学问题进行定量分析与处理的能力, 提高医学科研水平, 促进临床工作进一步精确化、科学化早已成为各国高等医学教育所关注的重要内容。目前国内绝大多数的医学院校都在 大学一年级开设了《医用高等数学》。笔者认为, 开设这门课程除了可以扩大学生知识面以外, 还有着如下五个方面的作用及意义: 1. 高数教育可以加强医学生的道德教育 抽象性是数学的基本特征之一, 具体表现为推理的严谨性、 表达的准确性、类别的归纳性、计算的规定性、定义的唯一性等等。学生在学习高数的同时, 也能受到其特性的影响: 教育过程中数学史的讲解可以激发学生的爱国主义热情; 逻辑性的推理 可以培养学生严谨的思维模式; 公理、定义、计算规则的唯一性要求可以使学生形成对法律法规、社会公德的内在自我约束; 对问题的归类、分析可以培养学生灵活思考问题、周密总结分析的
高等数学教学方法 一、衔接对比式教学 高等数学是一门非常枯燥的学科，在数学中的各个分支之间有着千丝万缕的关系，各个知识点之间是环环相扣的。高等数学教学中存在的问题也非常多，在学习高等数学时学生往往会觉得内容很多，很零碎。而实际上高等数学是一门系统性非常强的课程，其前后章节的内容关联度很高。因而教师在教学过程中，应该将前后的知识点进行衔接对比。衔接对比法，就是指通过两个对象相似之处的衔接和比较，由已有知识引出新知识的方法。在教学过程中，衔接对比的过程是培养学生创造性思维，形成创新能力的过程。通过衔接对比可以使学生了解新旧知识的关系，激发他们对新知识学习的积极性，还可以使深奥的知识形象化，激发学生的学习兴趣。例如在讲解定积分这一知识点时，引导学生与不定积分相比较。看起来很相似的两个概念，可是它们产生的途径居然是完全不同，它们的运算结果一个是数，而另一个却是函数的集合。但是，它们又通过微积分基本公式紧密地联系在一起。通过这样的衔接对比就可以将这两个概念理解透，掌握应用好。又如我们在讲函数极限时就可以强调，后面的导数和定积分实际上都是极限，极限的理论是微积分的一个基础。而不定积分是计算定积分的基础。在强调知识之间的联系时，还应对相关的内容进行对比，通过比较可以加深学生对知识
的理解。一元和多元函数微积分有很多相似之处，但也有很多不同的结论，我们应引导学生进行对比。如在一元函数微分学中，可导和可微是互为充要条件，但是在多元函数中，函数的两个偏导存在是可微的必要不充分条件。通过这些知识的衔接和对比，可以加深学生学习的系统性，巩固学生已学知识。 一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。这儿的“师资”，其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。《韩非子》也有云：“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副其实的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。 二、背景式教学 高数知识有深刻的应用背景和内涵，教师在讲解知识的同时应当告诉学生这个概念或知识点的背景与精神实质，让学生了解为什么要这么定义，然后再告诉学生该怎么做。教学中，如微分概念的引入，应当首先告诉学生，一元函数微分是函数增量关于的线性主部，是求函数增量的一种近似的方法，一元函数微分几何上是用曲线切线的增量代替函数的增量，二元函数微分是用曲面切平面的增量代替函数的增量等。这
高等数学中罗尔定理教学方法探讨 惠菊梅 (青海大学基础部,青海西宁810016) 摘要:根据四种命题间的关系,强调了罗尔定理的题设只是结论成立的充分条件而非必要条件,对现行教材内容作了完善和补充。 关键词:罗尔定理;命题;条件 中图分类号:G420 文献标识码:C 文章编号:1006-8996(2003)03-0079-02 罗尔定理是微分学及其应用中许多定理及公式的基础,现用全国高等农业院校教材高等数学中对罗尔定理只直接写出定理,未作证明,也未作适当的引入或必要的铺垫,学生只知结果不知前因,对知识的衔接、理解掌握出现一定的难度。另外,教材中还指出: 如果定理的三个条件中有一个不满足,则定理的结论就可能不成立 ,这说明罗尔定理的题设只是结论成立的充分条件而非必要条件。但教材没有在理论上系统地阐述且举例也较含糊,学生不易理解掌握。针对这两个问题,笔者采用下述方法组织教学, 取得了较好的效果。 1 定理的引入 罗尔定理:如果函数y =f (x )满足下列条件: [1](1)在闭区间[a ,b ]上连续 (2)在开区间(a ,b )内可导 (3)f (a )=f (b ) 则在(a ,b )内至少存在一点 ,使得f ( )=0。 首先采用画图及简述的教学方法给出罗尔定理的基础费马定理: 若函数f (x )在开区间(a ,b )内一点 处可导且取得最大值(或最小值),则必有f ( )=0 。 设f ( )为最大值,则f (x ) f ( ),且f ( +)=f ( -)=f ( ) 而f ( -)=lim x -f (x )-f ( )x - 0,f ( +)=lim x +f (x )-f ( )x - 0所以f ( )=0。 其次,讲明罗尔定理的三条题设既具体实用又满足费马定理的题设,所以就有费马定理的结论。 (1)在闭区间[a ,b ]上连续的函数一定有最大值和最小值。 (2)在开区间(a ,b )内可导,对应 费马定理 的题设在开区间(a ,b )内一点 处可导。 (3)f (a )=f (b )的作用,若f (a ) f (b ),f (a )、f (b )分别是最大值和最小值,则无法在开区间(a ,b )内找到可导的 点,有了f (a )=f (b ),即使端点处取得最值,在开区间(a ,b )内至少还会有取得最大值(或最小值)的点,这样学生对罗尔定理容易理解掌握。 2 罗尔定理的题设是结论成立的充分而非必要条件 例1[2] 研究函数f (x )=x 2 -4x +3在区间[-1,4]上能否找到一个点x = ,使f ( )=0解 f (x )=2x -4,令f (x )=0,则有2x -4=0,解得x =2,即f (2)=0,所以 =2。后面又收稿日期:2002-11-20作者简介:惠菊梅(1953 ),女,陕西清涧人,讲师。 第21卷 第3期 2003年6月 青海大学学报(自然科学版) Journal of Qinghai University Vol.21No.3 Jun.2003
高等数学上册复习要点及解题技巧 第一章：1、极限（夹逼准则） 2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型） 第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续 2、求导法则（背） 3、求导公式也可以是微分公式 第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节） 2、洛必达法则 3、泰勒公式拉格朗日中值定理 4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习） 5、曲率公式曲率半径 第四章、第五章：积分 不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ） 定积分： 1、定义 2、反常积分 第六章：定积分的应用 主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长 第七章：向量问题不会有很难 1、方向余弦 2、向量积 3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 3、空间平面 4、空间旋转面（柱面） 高数解题技巧 高数解题的四种思维定势 ●第一句话：在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。 ●第二句话：在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。 ●第三句话：在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)＝f(b)=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。 ●第四句话：对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。
线性代数解题的八种思维定势 ●第一句话：题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行(列)展开定理以及AA*=A*A=|A|E。 ●第二句话：若涉及到A、B是否可交换，即AB＝BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。 ●第三句话：若题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解因子aA+bE再说。 ●第四句话：若要证明一组向量α1,α2,…,αS线性无关，先考虑用定义再说。 ●第五句话：若已知AB＝0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理 ●第六句话：若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。 ●第七句话：若已知A的特征向量ξ0，则先用定义Aξ0＝λ0ξ0处理一下再说。 ●第八句话：若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。 概率解题的九种思维定势 ●第一句话：如果要求的是若干事件中“至少”有一个发生的概率，则马上联想到概率加法公式；当事件组相互独立时，用对立事件的概率公式 ●第二句话：若给出的试验可分解成（0－1）的n重独立重复试验，则马上联想到Bernoulli试验，及其概率计算公式 ●第三句话：若某事件是伴随着一个完备事件组的发生而发生，则马上联想到该事件的发 生概率是用全概率公式计算。关键：寻找完备事件组 ●第四句话：若题设中给出随机变量X ~ N 则马上联想到标准化 ~ N(0,1)来处理有关问题。 ●第五句话：求二维随机变量（X，Y）的边缘分布密度的问题，应该马上联想到先画出使 联合分布密度的区域，然后定出X的变化区间，再在该区间内画一条//y轴的直线，先与区域边界相交的为y的下限，后者为上限，而的求法类似。 ●第六句话：欲求二维随机变量（X，Y）满足条件Y≥g(X)或(Y≤g(X))的概率，应该马上联 想到二重积分的计算，其积分域D是由联合密度的平面区域及满足Y≥g(X)或(Y≤g(X))的 区域的公共部分。 ●第七句话：涉及n次试验某事件发生的次数X的数字特征的问题，马上要联想到对X作 （0－1）分解。即令