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九年级圆的大题练习
一．解答题（共8 小题）
1．如图，在△ABC 中，AB＝AC，以AB 为直径作⊙
O，分别交AC、BC 于点D、E，点F
在AC 的延长线上，且∠A＝2∠CBF．
（1）求证：BF 与⊙O 相切．
（2）若BC＝CF＝4，求BF 的长度．
2．如图，以△ABC 的边AB 为直径的⊙O 交AC 的中点D，DE 与⊙O 相切，且交BC 于
E．若⊙O 的直径为5，AC＝8．求DE 的长．3．如图，在⊙O 中，AB 为直径，AC 为弦．过BC 延长线上一点G，作GD⊥AO 于点D，交AC 于点E，交⊙O 于点F，M 是GE 的中点，连接CF，CM．（1）判断CM 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若∠ECF＝2∠A，CM＝6，CF＝4，求MF 的长．.
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4．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为直径，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D，过点D
作DE⊥AC 分别交AC、AB 的延长线于点E、F．（1）求证：EF 是⊙O 的切线；
（2）若AC＝4，CE＝2，求的长度．（结果保留π）O 5．如图，已知⊙是等边三角形ABC 的外接圆，点的延长线上有一点D 在圆上，在CD
AE∥．E CF BC 交于DA DFF，使＝，
的切线；是）求证：（1 EA ⊙O
＝CF．2（）求证：BD
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6．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，点O 在AC 上，
以OA 为半径的⊙O 交AB 于点D，BD 的垂直平分线交BC 于点E，交BD 于点F，连接DE．
的切线；DE 是⊙O （1）求证：直线
DE 的长．，OA＝1，求线段5（2）若AB＝，BC＝4 ，∠，交的外接圆于点的平分线交△．如图，∠BAC ABC D BC 于点F ABC 的平分线交7 ．AD 于点E
DB DE1（）求证：＝：
外接圆的半径；，求△＝＝）若∠（2 BAC90°，BD4 ABC 4DF 6 BD3（）若＝，＝，求的长AD
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8．如图，在△ABC 中，AB＝AC，以AB 为直径作圆O，分别交BC 于点D，交
CA 的延长线于点E，过点D 作DH ⊥AC 于点H，连接DE 交线段OA 于点F．
（1）求证：DH 是圆O 的切线；
＝，求证；A 为）若（2 EH 的中点．
（3）若EA＝EF＝1，求圆O 的半径．
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8 小题）1．如图，在△ABC 中，圆的大题练习一．解答题（共AB＝AC，以AB
为直径作⊙O，分别交AC、BC 于点D、E，点F 在AC 的延长线上，且∠A ＝2∠CBF．（1）求证：BF 与⊙O 相切．（2）若BC＝CF＝4，求BF 的长度．（1）证明：连接AE，如图，∵AB 为直径，∴∠AEB＝90°，∴AE ⊥BC，∵AB＝
AC，∴BE＝CE，AE 平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∵∠BAC＝2∠4，∴∠1＝∠4，∵∠1+∠3＝90°，∴∠3+∠4＝90°，∴AB⊥BF，∴BF 与⊙O 相切；（2）解：∵
BC＝CF＝4，∴∠F＝∠4，而∠BAC＝2∠4，∴∠BAC ＝2∠F，∴∠F ＝30°，∠
BAC＝60°，∴△ABC 为等边三角形，∴AB＝AC＝4，∴BF＝
＝＝4 ．2．如图，以△ABC 的边
AB 为直径的⊙O 交AC 的中点D，DE 与⊙O 相切，且交BC 于E．若⊙O 的
直径为5，AC＝8．求DE 的长．解：∵AB 为直径，
∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AC，∵D 点为AC 的中点，∴BA＝BC，AD＝CD＝AC＝4，∴∠A＝∠C，∵OA ＝OD，∴∠A＝∠ADO，∴∠ADO＝∠C，∴
OD∥BC，∵DE 与⊙O 相切，∴OD⊥DE，∴BC⊥DE，在Rt△ABD 中，BD
CDE90 ADB C＝∠，∠＝∠DEC＝°，∴△ABD∽△，A＝3 ＝，∵∠
AC
AB 为直径，O 3DE ，即＝，∴＝．．如图，在∴＝⊙中，
为弦．过BC 延长线上一点G，作GD⊥AO 于点D，交AC 于点E，交⊙O 于点F，M
是GE 的中点，连接CF，CM．（1）判断CM 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若∠ECF＝2∠A，CM＝6，CF＝4，求MF 的
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长．解：（1）CM 与⊙O 相切．理由如下：连接OC，如图，∵GD⊥AO 于点D，∴∠G+∠GBD ＝90°，∵AB 为直径，∴∠ACB
＝90°，∵M 点为GE 的中点，∴MC＝MG＝ME，∴∠G＝∠1，∵OB＝OC，∴∠
B＝∠2，∴∠1+∠2＝90°，∴∠OCM＝90°，∴OC ⊥CM，∴CM 为⊙O 的切线；（2）∵∠1+∠3+∠4＝90°，∠5+∠3+∠4＝90°，∴∠1＝∠5，而∠1＝∠G，∠5＝∠A，∴∠G＝∠A，∵∠4＝2∠A，∴∠4＝2∠G，而∠EMC ＝∠G+∠1＝2∠
G，∴∠EMC＝∠4，而∠FEC＝∠CEM，∴△EFC ∽△ECM，∴＝＝，即＝＝，∴CE＝4，EF＝，∴MF ＝ME﹣EF＝6
﹣＝．4．如图，⊙O 是△ABC 的
外接圆，AB 为直径，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D，过点D 作DE⊥AC 分别交AC、AB 的延长线于点E、F．（1）求证：EF 是⊙O 的切线；（2）若AC ＝4 ，CE ＝2，求的长度．（结果保留π）解：（1）如图，连接OD ，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD 平分∠EAF，∴
∠DAE＝∠DAO，∴∠DAE＝∠ADO，∴OD∥AE，∵AE⊥EF，∴OD⊥EF，∴EF
是⊙O 的切线；（2）如图，作OG⊥AE 于点G，连接BD，则AG＝CG＝AC＝2，∠
OGE＝∠E＝∠ODE＝90°，∴四边形ODEG 是矩形，∴OA
＝OB＝OD ＝CG+CE＝2+2＝4，∠DOG＝90°，∵∠DAE＝∠BAD，∠AED
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＝∠ADB＝90°，∴△ADE∽△ABD，∴＝，即＝，∴AD＝48，2
＝4，在Rt△ABD 中，∵AB＝在Rt△ABD 中，BD＝
2BD，∴∠BAD
的长度为＝．5 60＝30°，∴∠BOD＝°，则．如图，已知⊙O
是等边三角形ABC 的外接圆，点D 在圆上，在CD 的
延长线上有一点F，使DF ＝DA，AE∥BC 交CF 于E．（1）求证：EA 是⊙O 的切线；（2）求证：BD
＝CF．证明：（1）连接OA，∵⊙O 是等边三角形
ABC 的外接圆，∴∠OAC＝30°，∠BCA＝60°，∵AE ∥BC，∴∠EAC＝∠BCA＝
60°，∴∠OAE＝∠OAC+∠EAC＝30°+60°＝90°，∴AE 是⊙O 的切线；（2）∵△ABC 是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝60°，∵A、B、C、D 四点共圆，∴∠ADF＝∠ABC＝60°，∵AD＝DF ，∴△ADF 是等边三角形，∴AD＝AF，∠DAF＝60°，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAF+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAF，在△BAD 和△CAF 中，∵，∴△BAD≌△
．CAF，∴BD ＝CF6．如图，在△ABC 中，∠C OA
为半径的⊙O 交AB 于点D，BD 的垂直平分F，连接上，
以线O 90＝°，点在AC
DE．（1）求证：直线DE 是⊙O 的切线；BD 于点，交于点交BC E （2）若AB＝5，BC＝4，OA＝1，求线段DE 的长．
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（1）证明：连接OD，如图，∵EF 垂直平分BD，∴ED ＝EB，∴∠EDB＝∠
B，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ODA，∵∠A+∠B＝90°，∴∠ODA+∠EDB＝90°，
∴∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∴直线DE 是⊙O 的切线；（2）解：作OH⊥
AD 于H，如图，则AH＝DH ，在Rt△OAB 中，sinA ＝＝，在Rt △OAH
，∴AD＝，∴AH＝2AH＝，＝中，sinA＝，∴OH＝＝，在Rt，∴BF＝BD＝△ABC 中，cosB ∴BD＝5﹣＝＝，在Rt△
，∴线段＝DE 的长为＝，∴BEBEF 中，cosB ＝×＝
．7．如图，∠BAC 的平分线交△ABC 的外
接圆于点D，交BC 于点F，∠ABC 的平分线交AD 于点E．（1）求证：DE ＝DB：（2）若∠BAC＝90°，BD ＝4，求△ABC 外接圆的半径；（3）若BD
＝6，DF ＝4，求AD 的长（1）证明：∵AD 平分∠BAC，
BE 平分∠ABD，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠BED ＝∠1+∠3＝∠2+∠4＝∠
5+∠4＝∠DBE，∴DB＝DE；（2）解：连接CD，如图，∵∠BAC＝90°，∴
BC 为直径，∴∠BDC＝90°，∵∠1＝∠2，∴DB ＝BC，∴△DBC 为等腰直
角三角形，∴BC＝BD＝4
，∴△ABC 外接圆的半径为2 ；（3）解：∵
，即＝，∠5＝∠2＝∠1，∠FDB＝∠BDA，∴△DBF ＝∽△ADB，∴
∴AD＝9．8．如图，在△ABC 中，AB＝AC，以AB 为直
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径作圆O，分别交BC 于点D，交CA 的延长线于点E，过点D 作DH ⊥AC
于点H，连接DE 交线段OA 于点F．（1）求证：DH 是圆O 的切线；（2）若＝，求证； A 为EH 的中点．（3）若EA＝EF ＝1，求圆O 的半
证明：（1）连接OD，如图1径．，∵OB＝OD，
∴△ODB 是等腰三角形，∠OBD＝∠ODB①，在△ABC 中，∵AB＝AC，∴
∠ABC＝∠ACB②，由①②得：∠ODB＝∠OBD＝∠ACB，∴OD∥AC，∵
DH ⊥AC，∴DH⊥OD，∴DH 是圆O 的切线；（2）如图1，在⊙O 中，∵∠
＝∠∠，∴由（E＝∠B1）可知：E＝∠B C，∴△EDC ＝∵是等腰三角形，
＝，设OD＝，∴ODF ＝3x，AE＝2x，，∴△∥，∵AE OD AEF ∽△
∵AO＝BO，OD∥AC，∴BD＝CD，∴AC＝2OD＝6x，∴EC＝AE+AC＝2x+6x＝8x，∵ED ＝DC，DH⊥EC，∴EH＝CH＝4x，∴AH＝EH﹣AE＝4x﹣2x＝2x，∴AE＝AH，∴A 是EH 的中点；（3）如图1，设⊙O 的半径为r ，即OD ＝OB＝r ，∵EF＝EA，∴∠EFA＝∠EAF，∵OD∥EC，∴∠FOD＝∠EAF，则∠FOD＝∠EAF＝∠
EFA＝∠OFD，∴DF＝OD＝r ，∴DE＝DF+EF＝r+1，∴BD＝CD＝DE＝r+1，在
⊙O 中，∵∠BDE＝∠EAB，∴∠BFD＝∠EFA＝∠EAB＝∠BDE，∴BF＝BD，△BDF 是等腰三角形，∴BF ＝BD＝r+1，∴AF＝AB﹣BF＝2OB﹣BF＝2r ﹣
（1+r）＝r ﹣1，∵∠BFD ＝∠EFA，∠B＝∠E，
∴△BFD∽△EFA，∴，∴，解得：r 1＝，r2＝（舍），综上所述，⊙O 的半径为．
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